7 21.2.5 一元二次方程根与系数的关系（Word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过自主学习环节引导学生解方程填表，观察两根和与积的值，从特殊方程（如x²+6x-16=0）到一般形式（ax²+bx+c=0）形成猜想，搭建从具体运算到抽象规律的学习支架。 资料以探究式学习为主线，自主预习通过实例观察培养抽象能力与创新意识，合作探究用求根公式验证猜想发展推理能力，典例与检测题的变式应用（如求代数式值、已知根求方程）强化模型意识与应用意识，结构完整助力学生自主学习与教师教学评估。

第21章 一元二次方程 21.2 一元二次方程的解法 5. 一元二次方程根与系数的关系 学习目标： 1.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系（重点）； 3.学会用根与系数的关系求字母的值（难点）. 自主学习 一、新知预习 问题 解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2,x1·x2的值，它们 一元二次方程的各系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？ x1 x2 x1+x2 x1x2 x2+6x-16=0 x2-6x+8=0 猜想1 若方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则x1+x2=______,x1·x2=______. x1 x2 x1+x2 x1x2 2x2-3x+1=0 2x2+3x-5=0 猜想2 若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=_____,x1·x2=_____. 合作探究 一、探究过程 探究点1：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 【验证猜想】对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，设方程的两个根分别为x1，x2， 求x1+x2,x1x2的值.根据公式法，我们可以知道x1=_________，x2=_________.则x1+x2=______,x1x2=______. 【归纳总结】一元二次方程根与系数的关系：若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2=_____,x1·x2=______. 【典例精析】 例1设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1） （2） 解：根据根与系数的关系，可知x1+x2=______,x1x2=_______. （1） =________=_______. （2） =____________=______; 【归纳总结】解决此类问题先要确定a，b，c的值及Δ=b²-4ac的符号.若Δ≥0，再求出的x1+x2,x1x2值，再将所求式做适当变形，把x1+x2与x1x2的值整体代入求解即可. 【针对训练】 1.已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为(　　) A．－1 B．9 C．23 D．27 2.请写出两根分别是2和－5的一个一元二次方程_______________． 探究点2：一元二次方程根与系数的关系的应用 例2已知方程的一个根是－3，求另一根及k的值. 解：方法一： ∵方程的一个根为-3， ∴把x=-3代入得 ，解得k= ， 把k= 代入原方程得 ， 解得x1= ,x2= . ∴k= ，方程的另一个根为 . 方法二： ∵方程的一个根为-3， ∴x1+x2= ，x1x2= ， ∴把x1=-3代入得 ，解得x2= ， 把x1=-3，x2= 代入x1+x2= ，解得k= ， ∴k= ，方程的另一个根为 . 【归纳总结】利用根与系数的关系求未知字母的值时，求出的值必须保证原方程有解，通常解这类题目时，最后都需要检验. 【针对训练】 3.已知α，β是方程x2+2x-2027=0的两个实数根，求的值. 4.关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，求的值. 二、课堂小结 根与系数的关系 公式 x1＋x2＝ ，x1·x2＝ . x1＋x2＝ ，x1·x2＝ . 应用 应用前提 方程必须有解. 应用形式 ①已知一根求另一根和未知系数；②求变形式的值；③已知两根求方程；④已知两个根的数量关系，求未知字母的值（要注意取舍）. 当堂检测 1.若方程的两个根为，，则的值是 . 2.已知实数a，b分别满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则＋的值是(　　) A．7 B．－7 C．11 D．－11 3.设x1，x2是一元二次方程3x2＋6x－＝0的两个实数根，不解方程，求下列各式的值． （1）x·x2＋x1·x； （2）|x1－x2|. 4.设x1，x2是关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0的两个实数根．问：是否存在实数k，使得3x1·x2－x1＞x2成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由. 5. 已知a，b，c是Rt△ABC三边的长，a＜b＜c， (1) 求证：关于x的方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0有两个不相等的实数根； (2)若c＝3a，x1，x2是这个方程的两根，求x＋x的值． 参考答案 自主学习 一、新知预习 2 -8 -6 -16 2 4 6 8 猜想1 -p q 1 - 1 - - 猜想2 - 合作探究 1、 探究过程 探究点1： 【验证猜想】（1） （2）- 【归纳总结】- 【典例精析】 例1 -2 - （1）x1x2+2（x1+x2）+4 - （2） 【针对训练】 1.D 2. x²+3x-10=0（答案不唯一，合理即可） 探究点2： 例2 方法一：18-3k-9=0 3 3 2x²+3x-9=0 -3 3 方法二：- - x1x2= - - 3 3 【针对训练】 3.解：∵a=1，b=2，c=-2027，Δ=2²-4×（-2027）=8112＞0，∴α²+3α+β=α²+2α+α+β=2027+（-2）=2025. 4. 解：∵x1、x2是一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=2m-1. ∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=7，∴m2-2（2m-1）=7，解得m1=5，m2=-1.当m=5时，原方程无解，所以m=-1.即原方程为x²+x-3.∴=（x1+x2）2-4x1x2=13. 二、课堂小结 -p q - 当堂检测 1. -1 2.A 3. 解：x1＋x2＝－2，x1·x2＝－. (1)x·x2＋x1·x＝x1x2(x1＋x2)＝－×(－2)＝3. (2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－2) 2－4×＝4＋6＝10.∴|x1－x2|＝. 4.解：存在.∵关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根，∴Δ＝16－4(k＋1)≥0.∴k≤3.又3x1·x2－x1＞x2，∴3x1·x2－(x1＋x2)＞0.∵x1＋x2＝4，x1·x2＝k＋1，∴3×(k＋1)－4＞0.∴k＞.∴＜k≤3.∴存在实数k，使得3x1·x2－x1＞x2成立． 5.(1)证明：把方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0化成一般形式为(c－a)x2－2bx＋a＋c＝0，其判别式Δ＝8b2－4a2＋4c2.∵a，b，c是Rt△ABC三边的长，且a＜b＜c，∴c²=a²+b².Δ＝8b2－4a2＋4c2=4b²＞0.∴方程a(1－x2)－2bx＋c(1＋x2)＝0有两个不相等的实数根． (2)解：∵x1＋x2＝，x1·x2＝，又c＝3a，∴x1＋x2＝，x1·x2＝2，∴x＋x＝（x1+x2）²-2x1x2=－4.∵c²=a²+b²，c=3a，∴b²=8a².∴x＋x＝－4=16-4=12.温馨提示：配套课件及全册导学案WORD版见光盘或网站下载：www.youyi100.com(无须注册，直接下载) 温馨提示：配套课件及全册导学案WORD版见光盘或网站下载：www.youyi100.com(无须注册，直接下载) 学科网（北京）股份有限公司 $