第13章《勾股定理》单元测试卷2026-2027学年华东师大版数学八年级上学期

**基本信息** 该单元卷聚焦勾股定理，融合赵爽证明、古算“葛藤缠绕”等文化素材与吸管入杯、航行距离等生活情境，覆盖基础应用与综合探究，适配八年级单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|勾股定理基本关系、逆定理、面积关系|第3题以正方形面积直观考定理，第9题辨析赵爽弦图证明逻辑| |填空题|6/24|反证法、圆柱最短路径、中线性质|第15题古算“葛藤缠绕”渗透空间观念，第14题吸管问题强化应用意识| |解答题|9/86|实际应用、勾股数证明、折叠综合|25题正方形折叠融合几何直观与推理能力，23题探究锐角三角形三边关系培养创新意识|

初中数学（华师大版）八年级上册 第13章《勾股定理》练习卷 陈芳铭、黄勤程、苏秋阳 命题 刘加庆、李婉茹 审题 （本卷共25题；满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．在中，，则下列关系式不成立的是 A. B. C. D. 2．在中，若，，，则的度数是 A． B． C． D． 3．如图，以直角三角形的三边为边长向外作正方形，其面积分别为,,,若， ( S 3 S 2 S 1 ) ，则的值为 A． B． C． D． 4． 若的三边长，，满足等式，则的形状是 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 5．一个直角三角形的两条边长分别为，，则该三角形的第三边长为 A. B. C. D. 或 6．边长为的等边三角形的面积是 A. B. C. D. ( A B C )7．如图，的三条边长分别、、，其顶点在格点上，则下列判断正确的是 A． B． C． D． ( A D C B )8．如图，已知四边形中，，，，，，则四 边形的面积是 A． B． C． D． 9．我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是 ( B . c a b ) ( A . c b a )由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是 ( C . c b a ) ( D . a b c ) 10．如图，点在等边内，，，，将线段绕着点逆时针 ( D' A D B C )旋转得到线段，连接．给出下列结论：①；②③ 是直角三角形；④点到的距离为；其中正确的是 A．①④ B．①③④ C．①③ D．②③④ ( D A C B )二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．在中，斜边，则 . ( （第 12 题图） ) ( （第 10 题图） ) 12．如图，在中，，，于点， 则 . 13．用反证法证明 “如果，，那么”时，证明的第一步应先 假设 . ( （第 10 题图） ) 14．如图，将一根长的吸管放入直径为，高为的圆柱形水杯 中，则吸管露在杯子外的最短长度为 . ( A B )15. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛 藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示， 把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长 ( C D A B )为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕周后其末端恰好到达点处．则问 题中葛藤的最短长度是 尺. 16．如图，在中，，，边上的 中线，则的面积是_________． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．(8分) ( P A B )如图，港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙两艘轮船同时离开港口，甲船沿西北方向以每小时海里的速度航行，乙船沿东北方向以每小时16海里的速度航行，它们离开港口5小时后分别位于，两处，求此时，之间的距离． 18．(8分) 如图，一架长的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端离地面的高度为，如果梯子的底部向外滑出后停在位置上，则梯子的顶部下滑多少米? 19．(8分) 我们把满足方程的正整数解(，，)叫做勾股数，如(3，4，5)就是一组勾股数． (1)请你再写出两组勾股数：( ， ， )，( ， ， )； (2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果表示大于1的整数，，，，那么以，，为三边长的三角形为直角三角形(即，，为勾股数)，请你加以证明． 20．(8分) 在△中，，，，且．求证： 21．(8分) 我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数学问题． 例：比较与的大小． 解：如图1，在每个小正方形的边长都为的正方形网格中，构造，点，，都在格点上，由勾股定理，得，，． ( 图2 图1 A B C )∵在中， ， ∴． 请仿照上述方法，在图2中构造图形，比较与的大小． 22．(10分) 如图，在△中，，cm，cm．将△沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕与交于点． (1)试用尺规作图作出折痕；(要求：保留作图痕迹，不写作法．) (2)连结，求线段的长度． 23．(10分) 问题：探究锐角三角形的三边关系． 当△是锐角三角形时，设，，，且≥≥．小明猜想：．以下是他的证明过程： 如图，过点作，垂足为，设，①， ∵在中，， ( 图 1 图2 )∴，即， ∵在中， ② ， ∴= ② ， 化简得，， ∵，， ∴ ③ ， ∴， ∴． (1)补全小明证明过程中①，②．③所缺的内容； (2)如图，当是钝角三角形时，猜想：与之间的关系，并证明你的猜想． 24．(13分) 小明学习了勾股定理之后，探究“如何用一条已知线段构造一个直角三角形且使其周长恰好等于线段的长”． (1)如图，已知线段，小明在线段上取点和，使得，，再将线段，，围成三角形，求证：所围成的三角形是直角三角形； (2)如图，点为线段上一点，请在线段上作点，使，，()恰好能构成一个直角三角形(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (3)已知正方形、正方形的边长分别为有理数、有理数，且满足，，若正方形的面积等于正方形和正方形的面积之和，求证：正方形的边长也是有理数． ( 图1 图2 ) 25．(13分) 我们知道：在小学已经学过“正方形的四条边都相等，正方形的四个内角都是直角”．试利用上述知识，并结合已学过的知识解答下列问题： 如图，在正方形中，点是边上的动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连接，交于点，延长交边于点． (1)求证：； (2)延长交射线于点，若，，求的长． 八年级上册《勾股定理》练习卷　第 4 页 （共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中数学（华师大版）八年级上册第13章《勾股定理》练习卷 参考答案及评分标准 说明： （一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分． （二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分． （三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数． 一、选择题：考查基础知识及基本技能。每小题4分，满分40分。 1.B 2. C 3. D 4.C 5. D 6. C 7. B 8. A 9. A 10. B 二、填空题：考查基础知识及基本技能。每小题4分，满分24分。 11. 　 12. 　　 13. 与不平行 14. 15. 16. 三、解答题：本题共9小题，共86分。 17.（8分） 解：依题意得：，， 6分 在中，由勾股定理得： =100. 7分 答：此时，之间的距离是100海里. 8分 说明：本参考答案仅给出一种解法供参考． 18．（8分） 解：由题意得：，，， 2分 在中，， ∴， 4分 ∴， 5分 在中，， 7分 ∴. 答：梯子的顶部下滑0.9米． 8分 说明：本参考答案仅给出两种解法供参考． 19.（8分） 解：(1) 6，8，10；9，12，15（答案不唯一）； 2分 (2) ∵ 4分 ， 6分 ∴， 7分 即：以，，为三边长的三角形为直角三角形. 8分 说明：本参考答案仅给出一种解法供参考． 20.（8分） 证明：假设， 2分 ∴是直角三角形，且， 4分 这与已知条件矛盾， 5分 ∴假设不成立， 6分 ∴. 8分 说明：本参考答案仅给出一种解法供参考． 21.（8分） 解：如图，在每个小正方形的边长都为的正方形网格中，构造， 2分 点，，都在格点上， 由勾股定理，得，，． 5分 ( 图2 A B C )∵在中， ， 6分 ∴． ∴ 7分 即 8分 说明：本参考答案仅给出一种解法供参考． 22．（10分） 解：（1）如图所示，线段即为所求. 4分 （2）∵沿折叠，点落在边上的点处， ∴，，， 5分 ∴，， 6分 在中，由勾股定理得： 即： 8分 解得：(cm). 10分 说明：本参考答案仅给出一种解法供参考． 23.（10分） 解：(1) ①；②；③； 3分 （2），理由如下： 4分 证明：如图，过点作的延长线，垂足为， 5分 设， ∵在中，， 在Rt△中，， 6分 ∴， 7分 化简得：， 8分 ∵，， ∴， 9分 ∴， ∴． 10分 说明：本参考答案仅给出一种解法供参考． 24.（13分） 解：(1)∵，，， ∴，，， 1分 ∵，， 2分 ∴ ( A C P Q B )即：所围成的三角形是直角三角形. 3分 (2)如图，点为所求的点. 8分 （作垂直2分，作得1分，作垂直平分线得2分） (3)法一： 设正方形的边长为，所以， 因为，所以， 9分 所以， 10分 因为， 所以， 11分 所以， 所以， 12分 因为、都是有理数， 即正方形的边长也是有理数 13分 法二： 设正方形的边长为， 因为，所以，所以， 即：， 9分 又因为正方形的面积等于正方形和正方形的面积之和， 所以， 10分 所以， 所以， 11分 所以， 所以， 所以， 12分 因为， 所以， 因为、都是有理数， 即正方形的边长也是有理数． 13分 说明：本参考答案仅给出一种解法供参考． 25.（13分） 解：(1)∵四边形是正方形， ∴，， 1分 由轴对称的性质得， ∴， 2分 ∴，， ∴，即， 3分 在和中， ∴≌， 5分 ∴. 6分 (2)由(1)得， 由轴对称的性质得，，， ∴， 7分 ∵，， ∴， ∴， 8分 又∵， ( (第 25 题 图1) ) A D B C E F G H Q )∴， ∴. 9分 设，由得， 1 当点在边上时，如图1，连接， ∵，， ∴， 在和中，由勾股定理得，， ( A D B C E F H G (第 25 题 图2) ) )∴， ∴， 10分 解得(舍负)，∴. 11分 2 当点在边的延长线上时，如图2，连接， ∵，， ∴，， 在和中，由勾股定理得，， ∴， ∴， 12分 解得(舍负)，∴. 综上，的长为8或4. 13分 说明：本参考答案给出一种解法供参考． 初中数学（华师大版）八年级上册第13章《勾股定理》练习卷参考答案及评分标准　　　第 5 页 （共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 $