21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 学案 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系这一核心知识点，前承一元二次方程的一般形式、判别式及求根公式，通过特殊方程试算、一般形式推导建立“方程系数→两根和、积”的联系，后接不解方程求代数式值等应用，构建完整知识脉络。 资料以“特殊到一般”探究为主线，通过试算具体方程、推导一般形式培养推理意识，分层作业（必做基础计算、选做代数式变形、综合拓展几何应用）提升运算能力，融入韦达定理历史增强文化认同。课中助力教师引导学生构建模型，课后帮助学生分层巩固，查漏补缺。

分课时学案 课题 21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 单元 21 学科 数学 年级 九年级 学习 目标 1. 逻辑推理：经历根与系数关系的探究与严谨推导过程，理解公式的由来与适用条件，掌握从特殊到一般的推理方法，培养严谨的代数推理与归纳总结能力。 2. 数学运算：熟练运用根与系数的关系进行代数式求值、参数计算，规范运算步骤，规避符号、公式记错等错误，提升代数运算的灵活性与准确性。 3. 模型观念：建立“方程系数→两根和、两根积→代数式求值”的数学模型，能快速套用模型解决各类基础问题，形成系统化解题思维。 重点 1. 理解并熟记一元二次方程根与系数的关系公式； 2. 能运用根与系数的关系，不解方程求两根和、两根积及简单代数式的值。 难点 1. 理解根与系数关系的推导过程，明晰公式的适用条件； 2. 将所求代数式灵活变形为含两根和、两根积的形式。 教学过程 导入新课 【思考】1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.一元二次方程根的判别式是什么？ 3.一元二次方程的求根公式是什么？ 4.一元二次方程的根的情况怎样确定？ 新知讲解 探究：一元二次方程的根与系数的关系 【试一试】求出一元二次方程x2+3x-4=0的两根x1和x2，并计算x1+x2和x1x2的值. x1+x2和x1x2的值与方程的系数有什么关系? 对于任何一个二次项系数为1的一元二次方程，是否都有这样的结果呢? 【探索】我们来考察方程x2+px+q=0 ( p2-4q≥0 ). 概括： 二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系： 设一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1、x2， 那么x1+x2=-p，x1x2=q . 【例8】不解方程，求出下列方程的两根之和与两根之积： (1)x2+3x -5=0； (2)2x2 -3x -5=0. 【例9】试探索一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)的根与系数的关系. 总结归纳 如果x1，x2是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根，那么 这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系，前面概括的结论是它的特例(二次项系数为1). 拓展提高 法国数学家韦达是16世纪最有影响的数学家之一，他是第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进的数学家. 一元二次方程的根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达发现的，习惯上也称为韦达定理. 巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1. 不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)x2＋2x－1＝0：x1＋x2＝____，x1x2＝____； (2)－x2＋6x－2＝0：x1＋x2＝____，x1x2＝____； (3)(x＋1)(x－2)＝2：x1＋x2＝____，x1x2＝____． 2. 已知m，n是一元二次方程x2－2x－4＝0的两个根，则m＋n－mn的值为（ ）. A. -3 B. -6 C. 6 D. 4 3. 已知关于x的方程x2－5x＋k＝0的一个根为1，则方程的另一个根为( )． A. 2 B. 5 C. 4 D. -2 4. 已知一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1，x2，且x1＋x2＝3，x1x2＝2，则b，c的值分别是( ). A．b＝3，c＝2 B．b＝－3，c＝2 C．b＝－3，c＝－2 D．b＝3，c＝－2 【知识技能类作业】选做题： 5. 已知a，b是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则a2b＋ab2的值是(　　). A．-1 B．-6 C．-5 D．6 6.兰兰和笑笑分别解一道关于x的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程的两根为－2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程的两根为3和4，则原方程可能是(　　). A．x2＋7x－12＝0 B．x2－7x－12＝0 C．x2＋7x＋12＝0 D．x2－7x＋12＝0 【综合拓展类作业】 7. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长． 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是( ). A. x1+x2=-4 B. x1+x2=3 C. x1x2 =4 D. x1x2=3 2. 方程x2+3x-6=0与x2-6x+10=0的所有实数根的乘积等于( ). A.-60 B.3 C.-6 D. 10 3.小明和小红一起做作业，在解一个关于x的一元二次方程(二次项系数为1)时，小明在化简过程中写错了常数项，得到两个根分别是2和5；小红在化简过程中写错了一次项系数，得到两个根分别是2和6，则此方程正确的解可以为( ). A.x1=x2=2 B.x1=5，x2=6 C.x1=3，x2=4 D.此方程无解 【知识技能类作业】选做题： 4. 已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（　　）. A．x1≠x2 B．x12-2x1=0 C．x1+x2=2 D．x1•x2=2 【综合拓展类作业】 5.已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，求m2－2mn－2n＋1的值． 答案： 引新 【思考】1.一元二次方程的一般形式是什么？ ax2＋bx＋c＝0(a≠0)； 2.一元二次方程根的判别式是什么？ b2－4ac 3.一元二次方程的求根公式是什么？ 4.一元二次方程的根的情况怎样确定？ b2-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根； b2-4ac=0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； b2-4ac＜0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根. 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1. 不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)x2＋2x－1＝0：x1＋x2＝__-2__，x1x2＝__-1__； (2)－x2＋6x－2＝0：x1＋x2＝__6__，x1x2＝__2__； (3)(x＋1)(x－2)＝2：x1＋x2＝__1__，x1x2＝__-4__． 2. 已知m，n是一元二次方程x2－2x－4＝0的两个根，则m＋n－mn的值为（ C ）. A. -3 B. -6 C. 6 D. 4 3. 已知关于x的方程x2－5x＋k＝0的一个根为1，则方程的另一个根为( C )． A. 2 B. 5 C. 4 D. -2 4. 已知一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1，x2，且x1＋x2＝3，x1x2＝2，则b，c的值分别是(　B　). A．b＝3，c＝2 B．b＝－3，c＝2 C．b＝－3，c＝－2 D．b＝3，c＝－2 【知识技能类作业】选做题： 5. 已知a，b是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则a2b＋ab2的值是(　B　). A．-1 B．-6 C．-5 D．6 6.兰兰和笑笑分别解一道关于x的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程的两根为－2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程的两根为3和4，则原方程可能是(　B　). A．x2＋7x－12＝0 B．x2－7x－12＝0 C．x2＋7x＋12＝0 D．x2－7x＋12＝0 【综合拓展类作业】 7. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长． 解：当腰长为7时，则x＝7是一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的一个根，记x1＝7， 把x1＝7代入方程，得49－14(m＋1)＋m2＋5＝0， 整理，得m2－14m＋40＝0，解得m1＝10，m2＝4. 当m＝10时，x1＋x2＝2(m＋1)＝22， 解得x2＝15，而7＋7<15，故舍去； 当m＝4时，x1＋x2＝2(m＋1)＝10， 解得x2＝3，此时符合三角形的三边关系，所以这个三角形的周长为3＋7＋7＝17. 当7为等腰三角形的底边长时，x1＝x2，所以m＝2， 方程可化为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3， 而3＋3<7，故舍去．所以这个三角形的周长为17. 作业设计 【知识技能类作业】必做题： 1.一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是( D ). A. x1+x2=-4 B. x1+x2=3 C. x1x2 =4 D. x1x2=3 2. 方程x2+3x-6=0与x2-6x+10=0的所有实数根的乘积等于( C ). A.-60 B.3 C.-6 D. 10 3.小明和小红一起做作业，在解一个关于x的一元二次方程(二次项系数为1)时，小明在化简过程中写错了常数项，得到两个根分别是2和5；小红在化简过程中写错了一次项系数，得到两个根分别是2和6，则此方程正确的解可以为( C ). A.x1=x2=2 B.x1=5，x2=6 C.x1=3，x2=4 D.此方程无解 【知识技能类作业】选做题： 4. 已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（　D　）. A．x1≠x2 B．x12-2x1=0 C．x1+x2=2 D．x1•x2=2 【综合拓展类作业】 5.已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，求m2－2mn－2n＋1的值． 解：因为m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，所以m＋n＝－2，mn＝－5，n2＋2n－5＝0，所以n2＋2n＝5. 所以m2－2mn－2n＋1＝m2－2mn＋n2－n2－2n＋1＝(m－n)2－(n2＋2n)＋1＝(m＋n)2－4mn－(n2＋2n)＋1＝(－2)2－4×(－5)－5＋1＝20. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $