8 22.3.4 相似三角形的应用（Word导学案）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“相似三角形的应用”，涵盖测量物体高度、宽度及三角形重心内容。以泰勒斯测量金字塔的历史案例导入，衔接相似三角形判定与性质，搭建从理论到实际应用的学习支架，引导学生理解测量原理。 资料通过真实问题驱动学习，典例精析结合归纳总结培养数学思维，针对训练与当堂检测强化模型应用，发展数学眼光和应用意识，助力学生提升综合运用能力与创新意识，适合课堂教学与自主探究。

22.3 相似三角形 4. 相似三角形的应用 学习目标： 1.理解并掌握运用相似三角形测量物体高度和宽度的方法.（重点） 2.相似三角形的性质和判定的综合应用.（难点） 3.了解三角形的重心，掌握相似与几何的综合应用. 自主学习 一、探究过程 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度. 你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？ 合作探究 一、新知预习 探究点1：利用相似三角形测量高度 【典例精析】 例1如图，身高为1.6m的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，正好站在旗杆影子的顶端处，已测得该同学在地面上的影长为2m，旗杆在地面上的影长为8m，那么旗杆的高度是多少呢？ 【归纳总结】同一时刻，对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的高度之比等于它们的影长之比，即物体的高度之比与其影长之比相同. 【针对训练】 1.赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为__________米． 探究点2：利用相似三角形测量宽度 【典例精析】 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和点C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=120米，DC=80米，EC=50米，求河的宽度AB. 【归纳总结】测量不能直接到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. 【针对训练】 2.如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是(　　) A．24m B．25m C．28m D．30m 探究点3：三角形的重心 【探究活动】 如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G. 求证：. 【探究】如果在图中，取AC的中点F，假设BF与AD交于G′，那么我们同理有，所以有，即两图中的点G与G′是重合的.于是，我们有以下结论：　 【归纳总结】三角形三条边上的_____交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的_____. 【针对训练】 3.如图，△ABC中，D是△ABC的重心，连接AD并延长，交BC于点E．若AD=8，则DE=（　　） A．3 B．3.5 C．4 D.4.5 二、课堂小结 相似三角形的应用 基本图形 测量高度 测量宽度 三角形的重心 三角形三条边上的_____交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的. 当堂检测 1.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 2.如图，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处之间的距离，在AB外选一适当的点C，分别取线段AC，BC的中点E，F，测得EF＝20m，则AB＝__________m. 第1题图 第2题图 3.如图，CD是一个平面镜，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为α(入射角等于反射角)，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D.若AC＝3，CE＝4，ED＝8，则BD＝________. 4.如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树CD的高度. 5.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图(1)，乙设计方案如图(2)．你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由(加工损耗忽略不计，计算结果可保留分数)． 　 (1)　　　 　　　　(2) 参考答案 自主学习 一、新知预习 ∵太阳光线是平行线，∴∠OAB=∠FDE，∠BOA=∠EFD=90°.∴△OAB∽△FDE. （两角分别相等的两个三角形相似）. 合作探究 一、探究过程 【典例精析】 例1 解：由题意得△DEC∽△ACB，∴．∴AB=6.4m，即旗杆的高度为6.4 m. 【针对训练】 1. 10 【典例精析】 例2 解：∵∠ADB=∠CDE，∠ABD=∠ECD=90°， ∴△BAD∽△CED，∴，∴AB=75（米）． 答：两岸间的宽度AB为75米. 【针对训练】 2.D 【探究活动】 证明: 如图，连接ED.∵　D、E分别是边BC、AB的中点. ∴　DE∥AC，（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）. ∴△DEG∽△ACG.∴　. ∴　. 【归纳总结】中线 【针对训练】 3.C 二、课堂小结 中线 当堂检测 1.A 2.40 3.6 4.解：如图，过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面， 所以∠ABF＝∠EFD＝∠CDF＝90°，所以AB∥EF∥CD，所以∠EMA＝∠CNA. 因为∠EAM＝∠CAN，所以△AEM∽△ACN，所以＝. 因为AB＝1.6 m，EF＝2 m，BD＝27 m，FD＝24 m， 所以＝，所以CN＝3.6（m），所以CD＝3.6＋1.6＝5.2（m）. 故树的高度为5.2 m. 5.解：由AB＝1.5 m，S△ABC＝1.5 m2，可得BC＝2 m. 　 　 　　(1)　　　　　　　(2) 由图(1)，若设甲设计的正方形桌面边长为xm.由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA， 所以＝，即＝，所以x＝ m. 由图(2)，过点B作Rt△ABC斜边上的高BH交DE于P，交AC于H. 由AB＝1.5，BC＝2，得AC＝＝＝2.5 (m)． 由AC·BH＝AB·BC，可得BH＝＝＝1.2 (m)． 设乙设计的桌面的边长为y m. 因为DE∥AC，所以Rt△BDE∽Rt△BAC， 所以＝.即＝，解得y＝ m. 因为＝＞，所以x2＞y2. 故甲同学设计的方案较好． 学科网（北京）股份有限公司 图24.4.4 $