第2章 图形的相似（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册第2章相似三角形单元复习卷，以能力提升为目标，覆盖相似判定、位似、比例应用等核心知识，通过基础题巩固概念，综合题发展推理能力与应用意识，融入《孙子算经》等文化素材，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|矩形相似判断、三角形相似判定|基础概念辨析，考查几何直观| |填空题|6/18|比例线段计算、格点三角形相似|结合网格情境，培养空间观念| |解答题|7/72|位似作图、测量高度、旋转综合|分层设计，如20题镜面反射测高（应用意识）、23题动态探究（推理能力与创新意识），融入传统文化|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第2章 相似三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）现有甲、乙、丙三个矩形，矩形甲的一组邻边长为4与9，矩形乙的一组邻边长为3与2，矩形丙的一组邻边长为与2，那么三个矩形间相似关系判断正确的是（   ）． A．甲、乙相似 B．乙、丙相似 C．丙、甲相似 D．甲、乙、丙都不相似 2．（本题3分）观察下列每组三角形，根据标出的条件，不能判定两个三角形相似的是（　　） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 5．（本题3分）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 8．（本题3分）如图，在中，，，，为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，三角形是等腰三角形，，三角形与三角形是位似图形，其中对应点和坐标分别是，则位似中心坐标是（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）若，则分式的值为 ________． 12．（本题3分）如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 13．（本题3分）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 14．（本题3分）在长，宽的矩形中截去一个矩形（阴影部分），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为____． 15．（本题3分）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的试验如图①，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”在如图②所示的小孔成像试验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 16．（本题3分）如图，已知，若，，则_____. 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）如图，各顶点坐标分别为：，，． (1)画出关于原点O为中心对称的； (2)以O为位似中心，在x轴下方将放大为原来的2倍形成； (3)请写出下列各点坐标：________，：__________，：__________； (4)观察图形，若中存在点，则在中对应点的坐标为： __________ 18．（本题8分）如图，在中，是边的延长线上一点，连接交边于点，交对角线于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 19．（本题10分）完成以下问题 (1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； (2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 20．（本题10分）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 21．（本题10分）如图，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，，连接，交于点F，交于点G，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)连接，求证：． 22．（本题12分）如图，在中，，，，为的中点．动点从点开始沿边以的速度运动，过点作，垂足为．设点的运动时间为（）． (1)当为何值时，四边形为矩形？ (2)设四边形的面积为，写出与的关系式； (3)是否存在某一时刻，使四边形与的面积比为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (4)当为何值时，的值最小？ 23．（本题14分）在中与中，，，将绕点顺时针旋转，连接，点分别是的中点，连接． （1）观察猜想 如图1，当点与点重合时，与的数量关系是__________，位置关系是__________； （2）类比探究 当点与点不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由． （3）问题解决在旋转过程中，请直接写出的面积的最大值与最小值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第2章 相似三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）现有甲、乙、丙三个矩形，矩形甲的一组邻边长为4与9，矩形乙的一组邻边长为3与2，矩形丙的一组邻边长为与2，那么三个矩形间相似关系判断正确的是（   ）． A．甲、乙相似 B．乙、丙相似 C．丙、甲相似 D．甲、乙、丙都不相似 2．（本题3分）观察下列每组三角形，根据标出的条件，不能判定两个三角形相似的是（　　） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 5．（本题3分）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 8．（本题3分）如图，在中，，，，为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，三角形是等腰三角形，，三角形与三角形是位似图形，其中对应点和坐标分别是，则位似中心坐标是（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）若，则分式的值为 ________． 12．（本题3分）如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 13．（本题3分）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 14．（本题3分）在长，宽的矩形中截去一个矩形（阴影部分），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为____． 15．（本题3分）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的试验如图①，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”在如图②所示的小孔成像试验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 16．（本题3分）如图，已知，若，，则_____. 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）如图，各顶点坐标分别为：，，． (1)画出关于原点O为中心对称的； (2)以O为位似中心，在x轴下方将放大为原来的2倍形成； (3)请写出下列各点坐标：________，：__________，：__________； (4)观察图形，若中存在点，则在中对应点的坐标为： __________ 18．（本题8分）如图，在中，是边的延长线上一点，连接交边于点，交对角线于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 19．（本题10分）完成以下问题 (1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； (2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 20．（本题10分）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 21．（本题10分）如图，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，，连接，交于点F，交于点G，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)连接，求证：． 22．（本题12分）如图，在中，，，，为的中点．动点从点开始沿边以的速度运动，过点作，垂足为．设点的运动时间为（）． (1)当为何值时，四边形为矩形？ (2)设四边形的面积为，写出与的关系式； (3)是否存在某一时刻，使四边形与的面积比为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (4)当为何值时，的值最小？ 23．（本题14分）在中与中，，，将绕点顺时针旋转，连接，点分别是的中点，连接． （1）观察猜想 如图1，当点与点重合时，与的数量关系是__________，位置关系是__________； （2）类比探究 当点与点不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由． （3）问题解决在旋转过程中，请直接写出的面积的最大值与最小值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第2章 相似三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．（本题3分）现有甲、乙、丙三个矩形，矩形甲的一组邻边长为4与9，矩形乙的一组邻边长为3与2，矩形丙的一组邻边长为与2，那么三个矩形间相似关系判断正确的是（   ）． A．甲、乙相似 B．乙、丙相似 C．丙、甲相似 D．甲、乙、丙都不相似 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的判定，掌握好相关知识是关键． 判断矩形相似需比较长宽比是否相等，通过计算各矩形的长宽比进行判断． 【详解】解：矩形甲的长宽比为，矩形乙的长宽比为，矩形丙的长宽比为， ∵，且矩形各内角都是， ∴甲、丙相似，和乙不相似． 故选：C． 2．（本题3分）观察下列每组三角形，根据标出的条件，不能判定两个三角形相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，能判定相似，故不符合题意； B中，，能判定相似，故不符合题意； C中，只有一组角相等不能判定相似，故符合题意； D中，且对顶角相等，能判定相似，故不符合题意； 故选：C． 3．（本题3分）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、由位似图形可知， ， ，故选项A正确，不符合题目要求； B、由位似图形可知，故选项B正确，不符合题目要求； C、由位似图形可知，相似比为， ， 、、三点共线， ，故选项C错误，符合题目要求； D、由位似图形可知，相似比为， ，故选项D正确，不符合题目要求． 4．（本题3分）如图，在四边形中，，，，点H，F分别在边上移动（不与端点重合），连接，则下列为定值的是（    ） A．的大小 B．四边形的周长 C．线段的长 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作，首先得到，然后利用四边形的面积求解即可. 【详解】解：如图所示，设梯形的高为h，连接，过点H作，过点F作， ∵， ∴， ∴四边形的面积． ∴四边形的面积为定值. 5．（本题3分）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 6．（本题3分）如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得出相似比，进而求出与的面积比，利用面积差求出四边形的面积，最后计算比值即可； 【详解】解：，且， ， ， ， ， ， ． 7．（本题3分）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长的标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】将实际问题转化为几何模型，过C作，分别交标杆、树于点、，证明，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：设树高为尺， 如图，过C作，分别交标杆、树于点、， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知（尺），步，（步），尺， ∴， 解得， 故树高为尺． 8．（本题3分）如图，在中，，，，为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形性质得出为中点且，由垂线段最短可知当时最小，利用相似三角形性质计算即可 ． 【详解】解：四边形为平行四边形， 为中点，， ， 当时，最短，即最小， 如图， 在中，，， ， ，， ， ，即， ， ， 即的最小值为． 9．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，三角形是等腰三角形，，三角形与三角形是位似图形，其中对应点和坐标分别是，则位似中心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，求一次函数解析式；先确定位似中心为点P，然后用待定系数法求出直线的解析式为：，再求出直线与x轴的交点坐标，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵A与是对应点，与为对应点， ∴与的交点P为位似中心， ∵与都在x轴上， ∴点P在x轴上， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得： ∴位似中心坐标是， 故选：A． 10．（本题3分）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】C 【分析】延长交于点G，可证，得，得出，可证，求出，则的值可求． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则． 二、填空题：（本大题共 6题，每题3分，共18 分.） 11．（本题3分）若，则分式的值为 ________． 【答案】 【分析】根据得，代入解答即可． 本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（本题3分）如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 【答案】6 【分析】根据网格结构得出为直角三角形，且两直角边，，比值为．由相似三角形的性质可知也应为直角三角形，且两直角边之比为．已知且在竖直格线上，分和两种情况讨论，结合分别对应短直角边或长直角边计算或的长度，确定点的位置并验证是否在网格范围内． 【详解】如图所示： 设小正方形的边长为，在中，，，，． ∵与相似， ∴是直角三角形，且两直角边之比为． 由图可知，在同一条竖直格线上，．若，则在以为直径的圆上，此时为等腰直角三角形，与不相似， 故排除． ∴直角顶点为或． 当时，，即在水平格线上．若对应，则， 解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 当时，，即在水平格线上．若对应，则，解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 综上所述，符合条件的点E共有个． 13．（本题3分）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 【答案】 9 【分析】根据位似图形的性质得到，由求出位似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解： ， ， 与是以点为位似中心的位似图形， ，， ∴， ∴， ， 的面积是4， ， ． 14．（本题3分）在长，宽的矩形中截去一个矩形（阴影部分），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为____． 【答案】8 【分析】原矩形的长宽之比为，根据相似多边形的性质可知，留下的矩形长宽之比也为，据此即可求解． 【详解】解：原矩形的长宽之比为， ∵留下的矩形与矩形相似， ∴留下的矩形长宽之比为， 由图可知，留下的矩形的长为， ∴留下的矩形的宽为， ∴留下的矩形的面积为． 15．（本题3分）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的试验如图①，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端．”在如图②所示的小孔成像试验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质进行求解． 【详解】解：根据题意得，利用相似三角形的性质可得，设蜡烛火焰的高度为， ∴， 解得， ∴蜡烛火焰的高度是． 16．（本题3分）如图，已知，若，，则_____. 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质； 根据，可得，，根据，，即可求解； 【详解】解：由， 可得，， 故，， 故， 即， 解得 故答案为： 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分，共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题8分）如图，各顶点坐标分别为：，，． (1)画出关于原点O为中心对称的； (2)以O为位似中心，在x轴下方将放大为原来的2倍形成； (3)请写出下列各点坐标：________，：__________，：__________； (4)观察图形，若中存在点，则在中对应点的坐标为： __________ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，， (4) 【分析】本题考查了在坐标网格图中作中心对称图形，在坐标网格图中作位似图形，熟练掌握中心对称图形及位似图形的性质是关键． （1）由与关于原点O中心对称，得到，，，连接，，即可； （2）与的位似比是2，根据图形位似的性质，可得，，，连接，，即可； （3）由（2）可知，根据图形位似的性质求解即可； （4）与的位似比是2，根据图形位似的性质求解即可． 【详解】（1）解: 如图，就是所求作的三角形； （2）解：如图，就是所求作的三角形； （3）解：由（2）可知，根据图形位似的性质可得，，． 故答案为：，，． （4）解：与的位似比是2，根据图形位似的性质可得． 故答案为：． 18．（本题8分）如图，在中，是边的延长线上一点，连接交边于点，交对角线于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 四边形是平行四边形 ， ， (2) 【分析】（1）由四边形是平行四边形得，.根据“两角对应相等，两个三角形相似”得. （2）设，根据“相似三角形对应边成比例”列比例式得，则.同（1）证，根据“相似三角形对应边成比例”即可求出的值. 【详解】（1）略 （2）四边形是平行四边形 设 由（1）得 ， 四边形是平行四边形 ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质.熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键. 19．（本题10分）完成以下问题 (1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； (2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形相似的判断推导即可； （2）证明，设，则，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：M为中点， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ，解得， ． 20．（本题10分）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 21．（本题10分）如图，已知四边形是矩形，点E在的延长线上，，连接，交于点F，交于点G，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)连接，求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴． (2) (3)证明：如图，在线段上取点P，使得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，即可得证； （2）证明，进而利用相似三角形的性质解答即可； （3）在线段上取点P，使得，证明，得出，证得为等腰直角三角形，可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∴，即． 由（1）知， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得，（舍去）． ∴． （3）略 22．（本题12分）如图，在中，，，，为的中点．动点从点开始沿边以的速度运动，过点作，垂足为．设点的运动时间为（）． (1)当为何值时，四边形为矩形？ (2)设四边形的面积为，写出与的关系式； (3)是否存在某一时刻，使四边形与的面积比为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (4)当为何值时，的值最小？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例，可得，即可求解； （2）根据，可得，再由，即可求解； （3）根据题意可得，即可求解； （4）过点D作于点F，延长至点M，使，过点M作于点E，交于点P，则，由垂线段最短得，的最小值为的长，证得，可得，再根据，可得，然后根据，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵为的中点， ∴， 即， ∴， 即当t的值为时，四边形为矩形； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ， 即； （3）解：根据题意得：， 即， 解得：（舍去）或4， 故存在某一时刻，使四边形与的面积比为； （4）解：如图，过点D作于点F，延长至点M，使，过点M作于点E，交于点P，则， 此时， 由垂线段最短得，的最小值为的长， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 即当时，的值最小． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短性质的应用，轴对称性质，求函数解析式，关键是构造直角三角形和应用相似三角形解决问题． 23．（本题14分）在中与中，，，将绕点顺时针旋转，连接，点分别是的中点，连接． （1）观察猜想 如图1，当点与点重合时，与的数量关系是__________，位置关系是__________； （2）类比探究 当点与点不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由． （3）问题解决在旋转过程中，请直接写出的面积的最大值与最小值． 【答案】（1）CG=CF，CF⊥CG；（2）成立，CG=CF，CF⊥CG；（3）△CFG的面积最大值，最小值． 【分析】（1）观察猜想 由直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半再结合30°直角三角形三边比即可证明； （2）类比探究 先证明△BCD∽△ACE，再证明△ACG∽△BCF，可得结论； （3）问题解决 延长BC至H，使BC=CH=1，连接DG，由三角形中位线定理结合三角形面积公式可求△CFG的面积=，求出DH最小值即可． 【详解】（1）观察猜想 ∵在Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=， ∴AE=2DC=2，AC=BC=，AB=2BC，∠CDE=60°， ∴BC=1，AB=2， ∵点F，G分别是BD，AE的中点， ∴CG=AE=，CG=AG，CF=AB=1，CF=AF， ∴CG=CF，∠GDC=∠GCD=60°，∠ACF=∠FAC=30°， ∴∠FCG=90°， ∴CF⊥CG， 故答案为：CG=CF，CF⊥CG； （2）类比探究 仍然成立， 理由如下： ∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=， ∴∠BCD=∠ACE，AC=BC，CE=CD， ∴， ∴△BCD∽△ACE， ∴ ，∠CAE=∠CBD， ∵点F，G分别是BD，AE的中点， ∴BF=BD，AG=AE， ∴ ∴△ACG∽△BCF， ∴，∠BCF=∠ACG， ∴CG=CF，∠ACB=∠FCG=90°， ∴CF⊥CG； （3）问题解决 如图，延长BC至H，使BC=CH=1，连接DH， ∵点F是BD中点，BC=CH=1， ∴CF=DH， 由（2）可知，CF⊥CG， ∴△CFG的面积=×CF×CG=CF2， ∴△CFG的面积=， ∴当DH取最大值时，△CFG的面积有最大值，当DH取最小值时，△CFG的面积有最小值， ∵CD=， ∴点D在以点C为圆心，为半径的圆上， ∴当点D在射线HC的延长线上时，DH有最大值为+1， ∴△CFG的面积最大值=， ∴当点D在射线CH长线上时，DH有最小-1， ∴△CFG的面积最小值=． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形面积公式，证明△ACG∽△BCF是本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第2章相似三角形·能力提升（参考答案） 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的， 选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.) y 2 3 5 个 8 10 C C 0 0 A C 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 12.6 13.9 14.8 15.4cm 8 16. 三、解答题：（本大题共7题，第17-18每题8分，第19-21每题10分，第22题12分，第23题14分， 共72分·解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本题8分) 【详解】(1)解：如图，△4BG就是所求作的三角形： (2分) A (2)解：如图， △4，B,C就是所求作的三角形：(4分) 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：由(2)可知，根据图形位似的性质可得4（⑧-8），8，(2,4).G(0,-2) 故答案为： (8-8)(24).(0,-2）.7分) (4)解： △4，B,C与△4BG的位似比是2，根据图形位似的性质可得 B(2m,2n) (2m,2n) 故答案为： (8分) 18. (本题8分) 【答案】() ~四边形ABCD是平行四边形 B D ..BC∥AD ∴.∠GAE=∠GCB.∠GEA=∠GBC .△BGC∽△EGA(3分) (2)~四边形ABCD是平行四边形∴.BC=AD 设BC=AD=2x 由(I)得△BGC∽△EGA .BC CG 2 AE AG3 .AE=3x, ..DE=x ~四边形ABCD是平行四边形 BC∥AE ∴.∠EDF=∠BCF,∠DEF=∠CBF ∴.△DEF∽△CBF DF DE x 1 “CFBC2x2(8分) 19.(本题10分) 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(I)解：AD·AB=AE·AC, AD AE AC AB :∠DAE=∠CAB. .△ABC△ADE:(2分) (2)解：M为AD中点， .DM-4D ·四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,AD=BC, OB=OD=1BD ,∠MDN=∠CBN, ..DM=-BC ∠DWM=∠BNC, ∴.△DMN∽△BCN, DM DN 1 BC BN 2' 设OB=OD=x,则BD=2x, ON=1, .BW=x+1,DN=x-1, ，x-11 “x+12,解得x=3 .BD=6.(10分) 20.(本题10分)【详解】(1)解：根据光的反射的性质，∠ACB=∠ECD, 又~∠ABC=∠EDC, .△MBC∽△EDC, BCAB CD DE' 将AB=1.6m,BC=0.8m,CD=5m,代入上式， 0.81.6 得5=DE, 解得DE=10m, 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故旗杆ED的高度为l0m;(5分) (2)解：∠BGD=∠B=∠C=90°」 四边形BCDG为矩形， ~目测点D到地面的距离DC为1.6米，到旗杆的水平距离DG为18米， ..BG=CD=1.6m.BC=GD=18m. ∠ADG=∠EDF,∠AGD=∠EFD=90°， .ADGA∽aDFE, AG EF DG DE DF=0.8米，EF=0.4米， AG0.4 180.8 解得AG=9, AB=AG+BG=9+1.6=10.6(m) 答：旗杆AB的高度10.6米.(10分) 21.(本题10分) 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.∠EAF=∠DAB=90° ,∠E+∠AFE=90°， ,BD⊥EC, ∴.∠FDG+∠DFG=90° ,∠AFE=∠DFG. ∴，∠E=∠ADB 又，AE=AD, △AEF≌△ADB(ASA ∴.AF=AB.(3分) (2)解：，四边形ABCD是矩形， ∴.AECD,AB=CD 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠E=∠DCF,∠EAF=∠CDF .△AEF∽ADCF AE AF CDDF,即AEDF=AFDC 由(1)知AF=AB, AF=CD. 设F=4B=CD=aa>0) .AE =AD=2, .DF=2-a, :22-a)=a 解得4=-1+5.4=-1-5 (舍去)· :B=-1+5 ,(7分) (3)证明：如图，在线段EG上取点P,使得EP=DG, O G B ·AE=AD,∠E=∠ADG,EP=DG △AEP≌AADG(SAS) ∴AP=AG∠EAP=∠DAG. ∴.∠PAG=∠PAD+∠DAG=∠PAD+∠EAP=∠DAE=90°， ∴.△PAG为等腰直角三角形， PG-VAP+AG=AG 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EG-DG=EG-EP=PG=2A .(10分) 22.(本题12分) 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm,BC=3cm, .AB-AC+BC-sem :四边形PECD为矩形， ,PD∥CA, D为BC的中点， BP_BD=1. :AP CD 即AP=BP=AB=3c 1 cm 2 2 5 ∴1=2=2.5s, 1 即当1的值为2.5s时，四边形PECD为矩形；(3分) (2)解：：∠C=90°，PE⊥AC, ∴.PE∥BC, ∴，△AEP△ACB. PE AE AP BC AC AB' PE AE t 即3=4=5， PEE-41 5 y=SABC -S.AEP-S.PBD -号BCAC-PE,AE-BD-CE 44到 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 62+21+3, 3 25 3 即y= 6+31+30<1<5):(6分) 25 5 6+2+313 255 (3)解：根据题意得： x3×4 50, 2 即212-5t-12=0, 3 解得：1=-2（舍去）或4， 13 故存在某一时刻1=4s,使四边形PECD与。4BC的面积比为50：(8分) (4)解：如图，过点D作DF⊥AB于点F,延长DF至点M,使FM=DF,过点M作ME⊥AC于点 E,交AB于点P,则PD=PM, C 0 B M 此时PD+PE=PM+PE=ME, 由垂线段最短得，PD+PE的最小值为ME的长， ∠BFD=∠C=90,∠B=∠B △BDF∽△BAC, BF BD DF BF 1.5 DF BC=BAAC,即3=5=4， .BF=0.9,DF=1.2 .MF=1.2, PE∥BC, 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△AEP AACB. PE AE AP PE AE BC=AC=AB,即343+4， :PE-,4B=4 3 5 59 :∠PFM=∠PEA,∠MPF=∠APE. ∴.△PMF∽aPAE, 5-0.9-t1.2 .PFMF, 即 4 t, PE AE 解得：t=3.2, 即当1=3.2s时，PD+PE的值最小.(12分) 23.(本题14分) 【详解】(1)观察猜想 :在Rt△ABC中与R△DCE中，∠ACB∠DCE-90,∠BAC-∠DEC-30,AC=DC-V5 AB-2DC-25 AC-V5 BC-V5 AB2BC,∠CDE60, BC-1,AB=2, 点F,G分别是BD,AE的中点， ..CG-2AE-3,CG=AG,CF-2AB-1,CF-AF, ..CG=V CF,∠GDC-∠GCD=60°，∠ACF=∠FAC-30°， .∠FCG=90°， ∴CF⊥CG, 故答案为：CG=V CF,CF⊥CG:(2分) (2)类比探究 仍然成立， 理由如下： 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ZACB=∠DCE90,∠BAC-∠DEC=30,AC-DC-5 BCD-ACE.AC-5BC.CE-V5CD. :BC =3=CE AC CD' ∴.△BCD∽△ACE AEAC=3 ∴.BDBC ,∠CAE=∠CBD, 点F,G分别是BD,AE的中点， 1 ∴BF=2BD,AG=2AE, AE =3= BC ∴.△ACG∽△BCF, N5 BCr-ACC, :cG5cg,∠ACB∠CG0, ∴.CF⊥CG(8分) (3)问题解决 如图，延长BC至H,使BC-CH=1,连接DH, D 图3 E 点F是BD中点，BCCH-1, 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴，CF=2DH, 由(2)可知，CF1CG, 3 ∴，△CFG的面积=2×CF×CG2CF2, 5 DH2 ∴.△CFG的面积=8 ,当DH取最大值时，△CFG的面积有最大值，当DH取最小值时，△CFG的面积有最小值， :'CD=V3 3 ∴点D在以点C为圆心， 为半径的圆上， ÷当点D在射线HC的延长线上时，DH有最大值为3+1， △CG的面积最大值8×(5+少2=25+3 4, 当点D在射线CH长线上时，DH有最小5L, :ACG的面积最小值=8×3-)223-3 4.(14分) 10/10