第二章图形的相似单元测试 2026-2027学年青岛版九年级数学上册

**基本信息** 青岛版九年级数学“图形的相似”单元卷，以《墨经》小孔成像、测河宽等真实情境和梯度问题（基础到综合应用），培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|相似三角形判定、位似图形性质、相似多边形|结合三角板投影、花架抽象图形考基础| |填空题|5题|格点三角形位似中心、《孙子算经》测高、菱形动态问题|文化传承与几何直观结合| |解答题|8题|相似证明、测量旗杆/河宽、坐标系位似与旋转|综合应用（如镜面反射测高），体现模型意识|

2026-2027学年九年级上学期数学青岛版第二章图形的相似单元测试 一、单选题 1．如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（     ）． A． B． C． D． 2．图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）． A．30 B．36 C．45 D．56.25 3．如图，中，，直尺的一边与重合，另一边与分别交于两点，处的读数分别为（单位：）．若直尺的宽为，则的长度是（     ） A． B． C． D． 4．如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．下列图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 6．如图，与交于点，且．若，则的面积与的面积之间的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 7．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（ ） A． B． C． D． 8．如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点．若，则和的面积比是（     ） A． B． C． D． 9．如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 10．某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 二、填空题 11．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 12．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 13．如图，，，，则_______． 14．，且，则的长为___________． 15．如图，在菱形中，，，点E，F分别在，边上运动，连接，，，，则的最小值是____________． 三、解答题 16．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 17．已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为，． (1)把绕点O逆时针方向旋转得到，请在坐标系中作出； (2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为； (3)直接写出的面积． 18．如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 (1)请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)若，且，求的长． 19．某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 20．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，线段、的长是一元二次方程的两根（），，． (1)求点A、C的坐标； (2)求直线的解析式； (3)在x轴上是否存在点P，使以点C、E、P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 22．如图，是矩形的对角线，请解答以下问题： (1)尺规作图：将绕点旋转后，点的对应点落在线段上，点的对应点是，与交于点，作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的长度． 23．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点，点在线段上，满足，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿运动，两点同时出发，其中一点到达点时两点运动停止．设运动时间为秒． (1)分别求出的长； (2)求证：； (3)当是直角三角形时，求出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年九年级上学期数学青岛版第二章图形的相似单元测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C D B C C B C C 1．D 【分析】根据位似图形的性质可知，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵三角板与其投影的三角形是位似图形， ∴，且相似比为， ∴三角板的面积与其投影的三角形的面积比是． 2．B 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3．C 【分析】根据平行判定两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，求出线段的长度． 【详解】解：由题意可知：，，，， ∴， ∴，即， 解得：． 4．D 【详解】解：∵，， ∴相似三角形对应边成比例可得，故选项A错误； 相似三角形对应角相等可得，故选项B错误； 相似三角形面积比等于相似比的平方可得，故选项C错误； 相似三角形周长比等于相似比可得，故选项D正确． 5．B 【分析】根据相似图形的定义，即对应角相等、对应边成比例的图形相似，结合各类图形的性质，逐个判断选项即可． 【详解】解：选项A：∵两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，∴两个矩形不一定相似，A不符合题意． 选项B：∵等腰直角三角形的三个内角固定为，，，对应角一定相等，且对应边一定成比例，∴两个等腰直角三角形一定相似，B符合题意． 选项C：∵的角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，会导致两个三角形对应角不一定相等，∴两个三角形不一定相似，C不符合题意． 选项D：∵两个菱形的对应角不一定相等，∴两个菱形不一定相似，D不符合题意． 6．C 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴． 7．C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．B 【分析】先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线与平行线得到等腰三角形，求出线段的长度；再根据判定与相似，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出两个三角形的面积比． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 9．C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 10．C 【分析】本题考查了相似多边形的定义，理解并掌握相似多边形的定义是解题的关键． 根据相似多边形的定义“对应角相等，对应边成比例”进行分析即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，过点作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即 同理可得，， ∴， ∵，， ∴， 同理，， ∴， ∴； 如图所示，延长交于点，延长交于点，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是正方形，边长为，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，且对应角都是，都相等， ∴正方形∽正方形； 如图所示，矩形，， 计算方法同上述正方形， ∴矩形，， ∴， ∴矩形于矩形不是相似图形； 综上所述，新图形和旧图形是相似多边形的有2组， 故选：C ． 11． 【分析】对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 12． 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图，过作，分别交标杆、树于点， 设树高为尺，由题意可知（尺），步，（步），尺， ∵标杆、大树均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 解得． 13． 【分析】由得到，再由证明，得到，所以，即可求出的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，且四边形的面积为， ∴， ∴． 14． 【详解】解：， ， ∵， ， 解得： 15．/ 【分析】连接，过点作于点，先解直角三角形，得到，再由平行线分线段成比例得到，证明，求得，当时，有最小值， 有最小值，此时点与重合，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 在菱形中，， ， 在中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，有最小值，此时点与重合， 的最小值为， 的最小值是． 16．(1)证明：由题可知，， (2) 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． 17．(1) 如图，即为所求； (2)如图，即为所求； (3) 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，画旋转图形，在坐标系中画位似图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）按要求把绕点O逆时针方向旋转得到即可； （2）按要求作出位似图形即可； （3）根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）略 （2）如图，在y轴的左侧以O为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为，即为所求； （3）的面积为． 18．(1)对；对；错； (2)选择小星的方法： ，，有两组角对应相等， ； 选择小红的方法： ，，有两组边对应成比例且它们的夹角相等， ； (3)2 【分析】（1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）同（1）理证明即可； （3）设，则，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：若，且，有两个角对应相等，可判定，小星对； 若，且，有两边对应成比例且它们的夹角相等，可判定，小红对； 若，且，有两边对应成比例，且一组角对应相等，不能证明，小亮错； （2）证明：略； （3）解：设， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或（舍）， ． 19．旗杆的高度为12米． 【分析】先证明，由此求得，进而求得；再证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为12米． 20．(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 21．(1)A的坐标是，C的坐标是； (2)； (3)存在，P的坐标是和. 【分析】（1）首先解方程求得方程的根，则A和C的坐标即可求得； （2）根据三角函数求得B的坐标，作轴于点F，根据，利用相似三角形的性质求得和的长，即可求得E的坐标，利用待定系数法确定函数关系式； （3）根据题意可判断点P在x轴正半轴，设P的坐标是，则．分成和两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：（1）解方程，即， 即或， 解得：， 又， ，， 的坐标是，的坐标是． （2）解：， ，则B的坐标是． . ， . 过点作轴于点F． 则， . ， ，. 则，则点E的坐标是 . 设直线的解析式是， ，    解得： . 则直线的解析式是. （3）解：当时，， 即， . ， . ， . 根据题意可知点P在x轴正半轴，设P的坐标是，则． ①当时，， 即， 解得：， 则点P的坐标是； ②当时，， 则， 解得：， 则点P的坐标是． 综上可知，点P的坐标是和． 22．(1)解：如图，即为所求； (2) 【分析】（1）以为圆心，为半径画弧，交于，分别以，为圆心，，为半径画弧，两弧相交于，连接，则即为所求； （2）设与交于点，由作图可知，，，证明，所以，即，求出的长度，然后通过线段的和与差即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：设与交于点， 由作图可知，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 23．(1) (2)证明：由运动可得， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ； (3)或 【分析】（1）根据正方形，点，得到，再根据，得到，； （2）由运动可得，结合得到，再根据正方形，得到，即可证明； （3）过作于，于，则四边形是矩形，，当时，点到达，点到达，此时；当时，，此时，是钝角三角形；当时，，此时，，，然后根据和分类讨论，利用一线三垂直模型证明相似，代入列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形，点， ∴，， ∵点在线段上，满足， ∴，； （2）略 （3）解：由运动可得，，，则，， ∵是直角三角形， ∴或或， 过作于，于，则四边形是矩形，， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∵， ∴， 当时，点到达，点到达，此时； 当时，，此时，是钝角三角形； 当时，，此时，，， 当时，，， ∴， ∴， 代入数值得， 解得， 满足的只有； 当时，同理可得， ∴， 代入数值得， 整理得，方程无解； 综上所述，当是直角三角形时，或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $