北京市中国人民大学附属中学2027届高三暑假自主复习检测练习数学试题

人大附中2027届高三暑假自主复习检测练习 数学 说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题纸上填写个人 信息，并将条形码贴在答题纸的相应位置上， 第一部分（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位 置.) 1.已知集合A=y∈N|y2+y-6≤0)，B=t>1),则A∩B为() A. B.2 C.{2,3} D.{2) 2.已知z=3-4i,则在复平面上，复数z所对应的点在（) A第-象限 B.第二象限 C第三象限 D.第四象限 3.下列函数中，是奇函数并且经过函数图像上任意两点的直线斜率均为负的是（) A./(x)=1 1+x B.fx)=lg(-x+√+1) c./ D.f(x)=-xcosx 4.已知实数a,b满足a>b,则（) A.d>b B.a>6 C.5+a>3+b D.5a>3b 5.已知直线1：4x+3y=0和圆C:(x-4)2+U-3)2=4,点P在直线1上，点在圆C上，则 |P最小值为() A.I B.3 C.6 D.9 第1页/供6页 6.在下列双曲线中，离心率最大的是（) A上 =1 B.xy =1 45 56 D.yx -=1 67 ”78 2.设函数f闪=as血ax++bcosox,.(，么beR,ab+0,@>0,若f)2f孕对任意实数x均 成立，则下列结论中一定不成立的是() A.x∈R,总有f(x)=f(-x) B.x∈R,总有f(x)=-f(-) C.xeR,总有f尼x+刘=f-刘 DxeR,总有f+列=-水-网 8.已知{a,}是各项均为正数的无穷数列，记集合T=t=马-0，i=l2,,n-1n+1…小， i-n 则“数列{an}是等差数列”是“对于任意正整数n,集合T,都是单元素集，且该元素为正 数”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 9.激活函数在神经网络中的核心作用是引入非线性变换，使得神经网络可以学习和模拟复杂 函数关系，从而解决线性模型无法处理的非线性问题 一个常见的激活函数为Tam因-二二知果Tnk)-Tnh:)1,则与5-5最小值 最接近的数为() (参考数据：ln2=0.69,n3=1.10,n5=1.61) A.0.42 B.0.55 C.0.69 D.1.10 10.已知向量a=L,0),|b=√5，ab=0,若向量c满足|c|=2且|c-b-c-a上2，则 符合条件的向量c的个数为() A.0 B.2 C.4 D.6 第2页/共6页 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把结果填在答题纸上 的相应位置.) 11.抛物线y=2x的准线上一点到其焦点的最小距离为 12.在(x-a)°的展开式中，若xX的系数为12，则a的值为 13.中国古代以“三分损益法”确定十二律管的长度，从“黄钟”出发，交替进行“损一” 和“益一”操作，依次生得十二律管.记“黄钟”长度为a=1,第n次损益后得到的律管长 [2 3 n,n为奇数 度为a+1(n=l1,2,,1),己知损益规则为：a1= 则 ,n为偶数 3 4+%+a5+a,+a,+a1= 14.如图，五面体ABC-DEF满足AD∥BE∥CF,且三条平行线 两两间距离均为2若AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积 为一 -x2+2r+l,x≤-a 15.函数f(x)= “,a∈R,给出下列四个结论： In(x+a),x>-a ①函数∫(x)的值域为R; ②a=0时，存在区间（⊙，），使得f(x)在(s,)上单调递减： ③a<0时，f(☒)至少有一个极值点； @若关于x方程产的解集有5个元素，则a的取值范围为0，学 其中正确结论的序号是 第3页/共6页 三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证 明过程.请在答题纸上的相应位置作答.) 16.已知△ABC中，c=6,a=5,C=2A (1)求cosC的值： (2)求△MBC的面积 17.四棱锥B-AACC中，底面A4CC是正方形，D是棱BC上 一个点，平面ABC⊥平面A4CC. (I)若AD⊥BC,求证：AD⊥BC; (2)若AB=AC=A4=2,D是BC中点，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选 择一个作为已知，使得四棱锥B-A4CC存在且唯一确定.求直线AD与平面BCC成角的正 弦值. 条件O:BD=BC; 条件②：BC=2W2; 条件③：∠BCC=∠BC4. 第4页/共6页 18.甲、乙两人进行飞碟射击比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，两人得分 (单位：分)情况统计如下： 场次 2 3 5 6 7 10 甲 9 13 12 14 11 9 12 10 8 11 10 12 8 8 10 10 13 用频率估计概率. (1)从上述10场比赛中随机选择一场，在甲获胜的前提下，求分差超过3分的概率： (2)从这10场比赛中任选3场，设X表示抽到的3场中甲获胜的场数，求X的分布列和数 学期望； (3)记一次飞碟比赛成绩满分为15分，设n名运动员的得分分别为4,42，，an, (4∈N,1≤i≤n),b,Q≤k≤15)为n名运动员中得分至少为k分的人数. 记M为n名运动员的平均成绩，N=+2+…+b5,直接写出M,N的大小关系（结论不 用证明) 9已知椭圆5兰+茶=0>60的左右顶点分别为40，a0,右焦点R6, |FA=3引FB|,AB=8.动点T,S均在椭圆C上.（不同于顶点），直线AS交y轴于点M,直 线BT交y轴于点N, (1)求椭圆E的方程和离心率； (2)若点M,N满足3OM=-5ON,试判断直线TS是否经过定点.如果是，求出该定点坐 标，如果不是，说明理由 第5页/共6页 20.已知函数∫(x)=xe. (1)a=-1时，求曲线y=f(x)与x轴平行的切线方程： (2)已知函数g()=2x2-x (i)当a<0时，求曲线y=f(x)与曲线y=g(x)的交点个数： ()如果存在实数1，使得两条曲线在x=t处有公共点，且两条曲线在x=1处的导数 也相同，则称这两条曲线相切求a的值，使得曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相切 21给定正整数n23,集合M={(x,y)川x∈，2，n川，y∈，2，，n},从M中选取不同的m个 元素组成一个向量序列(：，y),(:2,y2),…,(xm,ym)，若该序列同时满足如下两条性质： ①(3，)=1,1)，xm=n: ②a=(x,y)，元41-∈{1,0)，(0,10，(0，-l1,i=1,2,3,m-1, 则称该序列为S列. (1)当n=3时，分别判断向量序列： A:(1,),(2,1),(2,2),(3,1),B:1,1),(1,2),(2,2),(2,1),(3,1)是否是S列（结论无需证明）. (2)当n=4时，是否存在一个由M的全部元素组成的S列，满足(xm,ym)=(n,),并说明 理由； (3)若S列：（名，），（名2,2）…，(xmym)满足条件：y,i=1,2,,m=L,2,,,求这样的 S列的个数， 第6页共6页 人大附中2027届高三暑假自主复习检测练习 数学参考评标 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） (1)D (2)A (3)B (4)C (5)B (6)A (7)D (8)B (9)D (10)B 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） aD (12)-2 (13)91-( ) (其他形式亦可) (14)2W5 (15)①③④ 三、解答题（共6小题，共85分） 16.(共13分) 解：(1)由题意，sinC=sin2A=2 sinAcosA, …1分 所以9-sin =2c0sA= a sinA 5 …3分 所以eA-号 …4分 所以cosC=c0s2A=2c0s2A-1=- 25 …6分 (2)在△4BC中，b2+a2-2 abcosC=c2 …7分 所以+25-26-子-36，整理得6+兰6-1=0. …8分 解得6-号或5（会负）。 10分 由a4-号，AeQ动知血A=一os-号 11分 所以SAc= Ibcsin A= 2 64-132 250525 …13分 第1页/共6页 17.(共14分) 解：(1)在正方形AA,CC中，4⊥AC. 因为平面ABC⊥平面AACC,平面ABC∩平面AAC,C=AC, AAc平面AACC, 所以AA⊥平面ABC. .2分，（条件1分，结论1分） 因为BCC平面ABC,所以AA⊥BC 又AD⊥BC,AD∩AA=A,AD,AAC平面AAD, 所以BC⊥平面AAD. …4分（条件1分，结论1分） 又ADc平面AAD,所以AD⊥BC. …5分 (2)选条件②：BC=2√2 6分 由AB=AC=2,BC=2√2，所以AB2+AC2=BC2 所以AB⊥AC,所以AB,AC,A4三条直线两两垂直，建立空间直角 坐标系如图， 8分（证明垂直1分，系1分） 则4(0,0,2)，B(0,2,0),C(2,0,0),C(2,0,2),由D是BC中点，有D1,1,1) 所以BC=(2,-2,0),CC=(0,0,2),AD=(41,-10 设平面B0G的法向量n=么%，则xBC=2x-2y=0,令x=1解得=10. n-CC=2x=0 …11分（法向量方程2分，结果1分） 第2页/共6页 设所求角为0，则sin0时0s<m4DH”:2 3 14分（线面角公式1分，余弦求夹角1分，结果1分） 选条件③：∠BCC=∠BAC,由4C=CC,知△ABC兰ACBC,所以AB=CB,又 AB=AC=AA=2,所以△AAB=△CAB. 所以AB⊥AC.(下同条件②)8分（选条件1分，垂直1分，建系1分） 18.(共13分) 解：(1)记“甲获胜前提下，分差超过3分”为事件A, …1分 10场比赛中，甲获胜6场，其中，超过3分的有1场 .2分 则P(0=石 1 3分（用条件概率计算正确亦可) (2)X可能取值为：0,1,23. …4分 P(X=0)= C101 ·,8分（每个1分） 分布列为： 0 2 3 1 p 3 30 10 1-6 数学期塑为：Bx=0x+1号+2×3 3 ,19 65 …10分（分布列，期望各1分） 10 2 (3)M=N 13分 第3页/共6页 19.(共15分) 2a=8 解：(1)由题意 a+c=3a-g解得a=4,c=2,所以2=12 即E:24 1612 1,离心率e=9=1 a 2 …4分 (2)由图形的对称性知，若直线TS经过定点，这个定点只能在x轴上 设直线TS:x=y+n, …5分 联立椭圆方程有： 3x2+4y2=48 X=少+m 即(32+4)y2+6my+3m2-48=0, .6分 △=3612m2-4(3r2+4)(3m2-48)=48(122-m2+16)>0 …7分 -61m T边Xh*0,则%+A马hm 32+4 .9分 直线4S:x=+4y-4,B7:X=当-4y+4, 故M0年40 .11分 +4 由0，熟路 12分 即22+5(m+4)2-3(m-4)M=0, 由%=6+分 有m2-3m-4男+m2-5m-4为=0，即牛4-m%+(m+4)=0 .14分 -m 故当m=-1时，3OM=-5ON恒成立，所以直线ST经过定点(-1,0) …15分 第4页/共6页 20.(共15分) 解：(1)a=-1时，f)=xe,fx)=(x+10e .1分 令f'(x)=(x+)e州=0，有x=-1, …2分 此时f(x)=xe=-1≠0 …4分（含有检验1分，写在别处亦可) 即切线方程为：y=-1,符合题意 …5分 (2)(D构造函数F以=f树-g闭=x-产+x,原命题等价于F)的零点个数 2 …6分 由F)=xe-x+1),所以0是Fx)的零点. …7分 2 又a<0时，。-x+1>c-x+1,令G闭=-x+1,则G)=- 令Gx)=0,有x=-ln2,列表得： x （-∞，-ln2) -In2 (-ln2,+oo) G'(x) 0 + G(x) 递减 极小值点 递增 所以c2G-in2)=3+n2>0, 2 .9分 所以一-方x+1>0,即心闭只有-个零点0，也即两条曲线只有1个交点。10分 (i)若两条曲线相切，则F0=F'0=0,即F0=1e~-+1=0 2 由F(x)=(x+)e*-o-x+1,有F'()=(t+1)e°-t+1=0 11分 t=-1时，F(t)=2≠0 12分 1时，-分代入0=0有编+1=0 13分 1+1 若t=0,则e°=-1，矛盾； 若#0，则分+1=0，解=3，代入号有a=3+2…15分 综上所述，曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相切时，a=3+n2. 第5页/共6页 21.(共15分) 解：(1)A序列不是S列，B序列是S列： 4分 (2)若存在一个由M的全部元素组成的S列，考虑该向量序列中每一项x,y的和。 一方面，由性质②，a41-G∈{1,0)，(0,1)，(0，-}，所以(+y)-(g+y)上1， 所以相邻两项的x,y的和奇偶性不同，故(x6,y6)(:,y)间隔15项，它们的和奇偶性不同. 另一方面n=4时，M集合共有42=16项元素，故m=16, 所以(6+y6)-(:+)上6，两者奇偶性相同. 矛盾，所以n=4时，不存在一个由M的全部元素组成的S列. 9分 (3)注意到S列满足元1-∈{(1,0)，(0,1)，(0，-1}，即y分量上的变动步长为0或者1，且 第一项为(L,),所以任一S列各项的y分量组成的集合为连续正整数集(，2，，k),1≤k≤n. 同样的，由1-元∈{《1,0)，(0,1)，(0，-1)》，可知x分量是单调不减的，且x分量组成的集合为 (L,2,nm。 我们考虑一个n列k行的方格阵，并将一个向量序列的每一项(x,y,)对应成第x列第y行的 方格。则一个S列对应一个从左上角格子出发，每步向右，向下或者向上移动一格，最终结 束于最后一列某一个格子的路径。 用符号F(P,9)表示从左上角出发，到达第p列第g行的格子的方法数。 则由移动规则知，F(1,)=1,1=1,2,,k 以第p列任意一个格子向右移动1步后，都恰有唯一的方法可以抵达第p+1列第g行的格 子，所以F(p+l,g)=F(n,1)+F(p,2)+…+F(p,k) 结合这两条算式可知F(2,)=k,F(3,)=k2,,F(n,)=k"-,i=1,2,k。 由于S列可以以第n列任一方格为终点，所以对于一个n列k行的方格阵，对应可行的S列个 数为F(n,1)+F(n,2)++F(n,k)=k"。 所以对于各项的y分量组成的集合为L,2,,n)的向量序列，只需从总的n列n行的方格阵对 应的S列个数减去n列n-1行的方格阵对应的S列个数，即为n”-(n-1)”. .15分 第6页/供6页