25.2 一元二次方程的解法 分层强化训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 分层强化一元二次方程解法，系统整合直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，融合数学思想与创新解法 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法分层训练|8组（3星/4星难度）|各解法步骤规范，强调判别式应用与根的判断|从直接开平方到公式法，构建解法进阶逻辑| |自主拓展应用|8题（含十字相乘法等创新方法）|提炼换元法、分类讨论等思想，培养转化能力|从单一解法到综合选择，形成“方法-变式-思想”完整链条|

第二十五章一元二次方程解法分层强化训练 1.用直接开平方法解方程（难度指数***）： (1)x2-16=0 (2)4x2=1 (3)x2+6x+9=7; (4)(x+22=2 (5)9x2+5=2: (6)(2x-1)2=49 (7）9x2-100=0 (8)3x+22=25 2.用直接开平方法解方程（难度指数****）： (1)(x+32-121=0: (2)32x-62=18 第1页，共1页 (32(x+42=18; 413x*1- (5(2x-32-1=0: (6)3(x-52-15=0: (7)(x-1)2=(2x+32: (8)(y+22=(3y-12: 3.用配方法解下列方程（难度指数***）： (1)x2-4x=5: (2)x2+6x=-5 第2页，共1页 (3)x2+2x-4=0 4)x2-2x-5=0 (5)x2+10x+8=0 (6)2x2+4x-6=0: (7）4n2-8n=1: (8)2x-x-1=0, 4.用配方法解下列方程（难度指数****）： (1)3y2-3y-6=0 (2)x2-5x-6=0 (3)x2-6x+1=4x-8 (4)x(x-5)=x-10 第3页，共1页 (5)-3x2+2x+1=0: (6)(2x-1)=4x+9: (7)3(x-1)(x+2)=x-7: 82x-3x+0, 5:用公式法解下列方程（难度指数***）： (1)x2+x-6=0 (2)x2+x+1=0 (3)x2-3x+2=0 4)3x2-6x+4=0 (5)2x2-3x=0 (6)2x2+5x=0: 第4页，共1页 T并‘丝S瑞 :S-xZ=(8-x)(I+x)(9) :X8-S=(b-xZ)x(S)】 是X-x-火 ‘乙-xZ=b+TI-X9(E) :IT+xt=8+xt+x(Z) xS个Z=0I+X(T) :(****鼎赵)旺拇字平7出9 0=7-xg-0) :0=L+XL-xZ(6) :0=8L-xL-X(8 0=I+x8-x8(L) (7)2(x2-1)=3x-1 (8)2xx+3)=x2+2 7.用因式分解法解方程（难度指数**）： (1)(2x-12-4=0 (2)x(x-3)=2x-6: (3)2x(x-4)=12-3x (4)3xx-1)=2-2x (5)4x-32=x(x-3) 6)5(x+22=x2-4 第6页，共1页 (7)(x-12-2(x-1)=0: (8)2(x-3}2=x2-9 8.用因式分解法解方程（难度指数****）： (1)(3y+22-(2y-12=0: 2)4(x-1)2-25x2=0 (3)(x-32-4(x-22=0: (4)(x+4)(x2+1)=2x4+x2): (5)(2x+12-6(2x+1)+9=0 (6)(x2-12-6(x2-1)+9=0 第7页，共1页 自主练习 1.用指定方法解方程： (1)2x-32=8直接开平方法)： (2)4x2-6x-3=0(配方法： (3)(2x-3P=5(2x-3)(分解因式法)： (4)(x+8)(x+1)=-12(运用适当的方法， 第8页，共1页 2.用指定方法解方程： (1)(3x+22=4(x-32直接开平方法： (2)x2-2x-4=0配方法： (3)x2-43x+10=0(公式法)： (4)3x2x-9)=2(9-2x)(因式分 解法. 3.用适当方法解方程： (1)(3x+22=25 (2)x2+2x-5=0 第9页，共1页 (3)2x2+5x+1=0 (4)(2x+3P=(3x+22: (5)(2x+12=3(2x+1): (6)2x(x+3)=x2-9 4.用适当方法解方程： (1)2(x-3)2=18 (2)x2-4x-4=0 (3)2x2-2V2x+1=0 (4)x(3x-5)=6x-12: 5.(1)将x-2x-3分解因式时，我们可以按下面的方法解答： 第10页，共1页 解法步骤：①竖分二次项与常数项：x=x·,-3=-3×1. ②交叉相乘，验中项： -3x+x=-2x ③横向写出两因式：X2-2x-3=(x-3)(x+1): 我们把这种因式分解的方法叫作“十字相乘法”，用式子表示为 x2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b) (2)根据乘法原理：若ab=0:则a=0或b=0 依照上面的方法和原理，解下列方程： (1)x2+5x+6=0; (2)x2-7x+10=0; (3)x2-x-12=0; (4)3x2-2x-1=0 第11页，共1页 6.阅读下面的例题与解答过程： 例解方程：x-x-2=0 解：当x≥0时，原方程可化为x-x-2=0,解得x1=2,x2=-1(不合题意，舍去： 当x<0时，原方程可化为x+x-2=0,解得x=1,x2=-2(不合题意，舍去： :原方程的解是x,=2'X,=-2 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值这是解决数学问题的一种重要思 想--分类讨论请仿照上述例题的解答过程，解下列方程： (1)x2-2|x|=0（2)x-2x-4|x-1-4=0 7.阅读材料，解答问题. 解方程：（4x-12-10(4x-1)+24=0. 解：把4x-1视为一个整体，设4x-1=y, 则原方程化为y-10y+24=0, 第12页，共1页 解得y1=6,y2=4. 4x-1=6或4x-1=4 7 .X14 5 ，X4 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想. 请仿照材料解下列方程： (1)x4-x2-6=01 (2)〔x2-2x2-5x2+10x-6=0· 8.【提出问题】在某次周测应用题中，出现了一个方程，很多同学解不出来. 50-2x)(40-2x)=936 【问题探究】李老师发现有这样一种解法，很适合解此类方程. 如：解方程x(x+4)=6. 第13页，共1页 解：原方程可变形，得[(x+2)-2][(x+2)+2]=6,（x+22-22=6,(x+22=6+2,（x+22=10. 直接开平方并整理，得x,=-2+10'x,=-2-0 我们称这种解法为“平均数法”· (1)下面是用“平均数法”解方程(x+2川x+6)=5时写的解题过程. 解：原方程可变形，得 [(x+▣)-O][(x+▣)+O]=5 (x+▣2-O2=5'（x+▣2=5+O2. 直接开平方并整理，得x=☆，X2=⑧. 上述过程中的“口”，“O”,“☆”，“⑧”表示的数分别为， (2)【牛刀小试】请用“平均数法”解方程：(x+3(x-1)=5 (3)【问题解决】请用“平均数法”解方程：(50-2x)(40-2x)=936 第14页，共1页 答案和解析 1.【解析】 (1)整理，得x2=16, ∴.X1=4’X2=-4. (2)整理，得x=1 (3)写成平方的形式，得x+3)2=7, ∴.x+3=±V71 x1=-3+V7?X,=-3-V7: (4)解：x+2=±V2. ∴.x=-2±V2. ∴.X1=-2+V2'X2=-2-V2 (5)整理，得9x2=-3. 号 :.方程无实数解 (6)2x-1=±7. .2x-1=7或2x-1=-7. .X1=4'X2=-3 第15页，共1页 (7)9x2-100=0,移项，得9x2=100, 系数化为1，得x2=100, 9 解得x=±10 (8)开方，得3x+2=±5， 为子 2.【解析】 (1)(x+3)2-121=0 移项，得x+32=121, 直接开平方，得x+3=±11， 解得X1=8,X2=-14 (2)3(2x-62=18,整理，得(2x-62=6, 直接开平方，得2x-6=±V6, 有x-66火66 2 (3)(x+42=9. .X+4=±3. .∴.x=-4±3. .X1=-1’X2=-7 第16页，共1页 (40x+1=写x*1=±号 2 31 62x-3y-号 2x-3=±2 (6)3(x-52=15,(x-5=5, x-5=±5， x-5=V5或x-5=-5. ∴.x1=V5+5’X2=-V5+5 (7)两边开平方，得x-1=±(2x+3), 即x-1=2x+3或x-1=-2x-3, =4号 (8)y+2=±(3y-1 ∴y+2=3y-1或y+2=-(3y-1) 3.【解析】 (1)解：配方，得x-4x+4=5+4, 第17页，共1页 (x-22=9' ∴.X-2=±3 ∴.X1=5’X2=-19 (2)解：配方，得x+6x+9=-5+9, (x+32=4' ∴.X+3=±2 .X1=-1’X2=-5 (3)X2+2X=4x2+2x+12=4+12 即(x+1P=5. ∴.x+1=±V5 .x1=5-1'x2=-V5-1 (4)解：移项，得x2-2x=5, 配方，得x2-2x+1=5+1, (x-12=6” .x-1=±V6' ∴.x1=1+V6,x2=1-√6 (⑤)解：移项，得x+10x=-8, 第18页，共1页 配方，得x2+10x+25=-8+25, (x+5)2=17' .x+5=±V17, ∴.x1=-5+V17'x2=-5-17 (6)(x+12=4, .x+1=±2’ .X1=1’X2=-3; n-1P- n-1=t5, nm=1+5,m,=1-5 (8)原方程可化为x-2x-2=0, .(x-12=3' .x-1=±V3' ∴.x1=1-V3;x2=1+V3; 4.【解析】 第19页，共1页 (1)原方程可化为y-y=2. y y .3 ∴.y1=2’y2=-1 (2)x2-5x=6' x2-5x+( =6+, 4 ∴.x1=6X2=-1 (3)x2-10x=-9' x2-10x+25=-9+25' 即(x-52=16. .∴.x-5=±4 ∴.X1=9’X2=1 (4)x-5x=x-10' x2-6x=-10' x2-6x+9=-10+9' 第20页，共1页 即(x-32=-1. .-1<0' :.原方程无实数根. 6x号”-号 X1=1,X2=-3 1 (6)(x-12=3' ∴.x-1=±V31 .X1=1+V3’X2=1-3; (7)3x2+3x-6=x-7, 3x2+2x+1=0 :.原方程无实数根. (⑧)原方程变形为X-3x -41 4 32-5, 开方，得~寻±项 41 第21页，共1顶 x=3±5 4 x3+5%=35. 4 4 5.【解析】 (1)解：x2+x-6=0, .a=1'b=1’c=-6' ∴.b2-4ac=1+24=25' x=-1±25 X1=)5=-3,X,=5=2 2 2 (2)解：a=1,b=1,c=1,△=12-4×1×1=-3<0， ·原方程没有实数根 (3)解：.a=1,b=-3,c=2, ∴.△=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1>0· :.方程有两个不相等的实数根. x=3±1-3±1 22 .X1=2’X2=1 (4)3x2-6x+4=0, .a=3’b=-6’c=4' 第22页，共1页 ∴.b2-4ac=36-4×3×4=-12<0' :原方程无实数根. (5)2x2-3x=0, .a=2’b=-3’c=0' ∴.b2-4ac=9' ∴.X= 3±3 2×2’ 6X1=0,x3 (6).a=2,b=5,c=0, ∴.△=b2-4ac=52-4×2×0=25>0 :.方程有两个不相等的实数根. x=-5±25-5±5 2×2 4 .5 X1=0,x2=-2: (7)a=8'b=-8'c=1' 4=(-82-4×8×1=32' x=--8±32， 2×8 x=2+2,x=2=2 4 4 (8).a=1,b=-7,c=-18, 第23页，共1页 .4=(-72-4×1×(-18)=121>0' x=-b±b-4ac--7±217生， 2a 2×1 2 即X1=9,X2=-2. (9).a=2,b=-7,c=7, ∴.△=(-72-4×2×7=-7<0 方程没有实数根。 a0x-3x-40, :a=1,b=-3,c=- 4 6-4ac=3-4x1×个=4 .:x=3±2 2 x32,x,-3+2 2 2 6.【解析】 (1)x2-2V5x+10=0, .a=1'b=-2V5'c=10' ∴.△=b2-4ac=(-2V5)}2-4×1×10=-20<0 .此方程无实数根 第24页，共1页 (2)x+4x+8=4x+11'x2-3=0' .a=1’b=0'c=-3' ∴.b2-4ac=12' x=0±12 2 x1=3′x2=-V3 (3)解：原方程化为一般形式为6x2-13x+6=0,a=6,b=-13,c=6. △=(-13)2-4×6×6=25' ∴：x=13±V25 2×6 3 2 (4)x2-5x+25=0, 4 ·a=1,b=-5,c=25 ， 4=b2-4ac=(-5P-4×1×25=0. 4 :.方程有两个相等的实数根 x=5±0 2 x=% (5)原方程化为一般形式为2x+4x-5=0,a=2,b=4,c=-5. △=42-4×2×(-5)=56’ 第25页，共1页 .x=4±V56 2×2 X=2+4,x=-24; 2 2 (6)原方程化为一般形式为x-4x+2=0,a=1,b=-4,c=2. △=(-42-4×1×2=8' x=二4±8， 2×1 ∴.X1=2-V2’X2=2+V2 (7)原方程化为一般形式为2x-3x-1=0,a=2,b=-V3,c=-1, △=(-V3)2-4×2×(-1)=11' x=--3±i, 2×2 x-B+X-5-近 4 4 (8)方程整理得x+6x-2=0, ∴.a=1’b=6’c=-2' ∴.△=62-4×1×(-2)=44>0” x=btb-4ac-6t4-3±T 2a 2 ∴.X1=-3+V11’X2=-3-√11 第26页，共1页 7.【解析】 (1)原方程可化为2x-1)2-2=0, 因式分解，得2x-1+2)(2x-1-2)=0, 即(2x+1)(2x-3)=0, 所以2x+1=0或2x-3=0, 解得%克飞是 3 (2)移项，得x(x-3)-2x+6=0, 因式分解，得x(x-3)-2(x-3)=0, 即(x-3)(x-2)=0, ∴x-3=0或x-2=0 .X1=3’X2=2: (3)解：2xx-4)+3(x-4)=0, (x-4)(2x+3)=0 x-4=0或2x+3=0? 舒得x4,无=号 (4)移项，得3x(x-1)+2x-2=0, 整理，得3x(x-1)+2(x-1)=0, 第27页，共1页 因式分解，得x-1)(3x+2)=0, 所以x-1=0或3x+2=0, 解得x,=1,X=3 2 (5)移项，得4(x-3)2-x(x-3)=0, 提取公因式，得x-3[4(x-3)-x]=0, 即x-3)3x-12)=0, 所以x-3=0或3x-12=0, 解得1=3，X2=4. (6)解：5(x+22-(x2-4)=0, 因式分解，得(x+2:[5(x+2)-(x-2]=0, ∴.x+2=0或5(x+2)-(x-2)=0? ∴.X1=-2’X2=-3 (7).(x-12-2(x2-1)=0, .(x-12-2(x+1)(x-1)=0' ∴.（x-1[(x-1)-2(x+1]=0' 即(x-1)(-x-3)=0, ∴x-1=0或-x-3=0: 第28页，共1页 解得x1=1,x2=-3 (8)2(x-32-(x+3)(x-3)=0, (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0' (x-3)(x-9)=0: x-3=0或x-9=0: 解得x1=3,X2=9 8.【解析】 (1)解：[3y+2+(2y-1)][3y+2-(2y-1)]=0, (5y+1)(y+3)=0' 5y+1=0'或y+3=0: y=房⅓3 (2)因式分解，得[2(x-1)+5x][2(x-1)-5x]=0, 即(7x-2)(-3x-2=0, .7X-2=0或-3x-2=0: (3)解：因式分解，得[(x-3)+2(x-2][(x-3)-2(x-2)]=0, .(x-3)+2(x-2)=0或(x-3)-2(x-2)=0 第29页，共1页 x子 (4(x2+4)(x2+1)=2x(4+x2), ∴.(x2+4)(x2-2x+1)=0’ .x2-2x+1=0' 即(x-12=0, 解得x1=x2=1. (5)因式分解，得(2x+1-32=0, 即2x-22=0, .∴.2x-2=0' .X1=X2=1 (6)原方程可化为[(x2-1)-3=0, 即(x2-42=0, .x2=4' 解得x1=2,X2=-2. 自主练习 1.【解析】 第30页，共1页 解：(1).2(x-32=8, ∴.（x-3)2=4' .X-3=±2' .x1=1’X2=5 (2).4x2-6x-3=0 23、 4 4 x器 x=3+见1，x=3=2, 4 4 (3).(2x-32=5(2x-3)' ∴.(2x-32-5(2x-3)=0' ∴.（2x-3)2x-3-5)=0 .2x-3=0或2x-8=0' 3 X=2′=4. 第31页，共1页 (4).(x+8)(x+1)=-12 ∴.x2+9x+20=0' ∴.(x+4)(x+5)=0 x+4=0或x+5=0 X=-4或x=-5 2.【解析】 解：(1)3x+2=±2(x-3)】 即3x+2=2(x-3),或3x+2=-2(x-3), 3x+2=2x-6?或3x+2=-2x+6? 解得-8，-号 第32页，共1页 (2)解：x2-2x=4, x2-2X+1=5’ (x-12=5' x=1±V5' ∴.x1=1+V5’x2=1-V5 (3)解：a=1,b=-4V3,c=10. .b2-4ac=(-4V32-4×1×10=8>0' x=-b±yD-4ac_43±22-2v3±v2 2a 2×1 ∴.x1=2V3+V2'X2=23-V2 (4)解：3x(2x-9)+2(2x-9)=0, (2x-9)(3x+2)=0' 第33页，共1页 2x-9=0,或3x+2=0 3.【解析】 解：(1)对3x+22=25两边开平方， 得3x+2=±5， 解方程3x+2=5,得x=1, 解方程3x+2=-5,得x=-子， 一方程的解为x=1或x,=-7 3 (2)解：x2+2x-5=0, x2+2x+1-1-5=0' x2+2x+1=6' (x+1}=6 ∴.x+1=±V6 .x=-1±V6' ∴.X1=-1+V6’x2=-1-V6 第34页，共1页 (3)解：在方程2x2+5x+1=0中， a=2'b=5'c=1'△=b2-4ac=52-4×2×1=17' x=5±17 4 x=-57Xg=5+亚， 4 4 (4)解：(2x+32=(3x+22, (2x+3)2-(3x+22=0' [(2x+3)+(3x+2)][(2x+3)-(3x+2)]=0' (5x+5)(-x+1)=0' .5x+5=0或-x+1=0: .X1=-1’X2=1 (5)解：原方程可变形为：(2x+12-3(2x+1)=0, 则2x+1)(2x+1-3)=0, .∴.（2x+1)(2x-2)=0' X=-7X=1 第35页，共1页 (6)解：原方程移项得2x(x+3)-(x+3)(x-3)=0, (x+3)(2x-x+3)=0' (x+3)(x+3)=0' .X1=X2=-3 4.【解析】 解：(1)2(x-3)2=18. (x-32=9. x-3=±3. .x-3=3’x-3=-3. ∴.X1=6’X2=0. (2)x2-4x-4=0. x2-4x=4. x2-4x+4=4+4. (x-22=8. x-2=±2V2 第36页，共1页 ∴.x-2=2V2’X-2=-2V2. ∴.X1=2+2V2’X,=2-2V2. (3)2x2-2V2x+1=0. (V2x2-2V2x+1=0. (2x-12=0. V2x-1=0” 二x=x (4)x(3x-5)=6x-12. 3x2-5x-6x+12=0. 3x2-11x+12=0. .4=b2-4ac=121-4×3×12=-23<0' 此方程无解。 5.【解析】 解：(1)(x+2(x+3)=0. .x+2=0或x+3=0: 第37页，共1页 ∴.X1=-2’X2=-3 (2)x-5)(x-2)=0 x-5=0或x-2=0 ∴.X1=5’X2=2 (3)(x-4)(x+3)=0 .x-4=0或x+3=0 .X1=4’X2=-3 (4)(x-1)(3x+1)=0 .x-1=0或3x+1=0: 名山=子 6.【解析】 解：（1)当x<0时，x2+2x=0, 解得x3=-2,x4=0(舍去： 当x≥0时，x2-2x=0, 解得x1=0,x2=2; :原方程的解为x,=0:X=2x3=-2: (2)当x21时，X2-2x-4x+4-4=0 第38页，共1页 即x2-6x=0, 解得x=0(舍去)，x2=6, 当x<1时，x2-2x+4x-4-4=0, 即x2+2x-8=0, 解得x3=-4,x4=2(舍去)， ·原方程组的解为x,=6?x,=-4· 7.【解析】 解：(1)设x=y,则原方程化为y-y-6=0, 解得y1=3,y2=-2. 当y=3时，x2=3, ∴.x=tV3 当y=-2时，x=-2,无实数解. :原方程的解为x=3，X=-3· (2)设x2-2x=y,则原方程化为y2-5y-6=0, 解得y1=6,y2=-1. 当y=6时，x-2x=6, 解得x=1+7x=1-7 第39页，共1页 当y=-1时，x2-2x=-1, 解得x3=x4=1. 综上所述，原方程的解为x,=1+7:X,=1-7?x=x4=1 8.【解析】 解：(1)原方程因式分解可得[(x+4)-2][(x+4)+2]=5, ∴.（x+42-4=5’ ∴.(x+42=9' x+4=3或x+4=-3, 解得X1=-1,X2=-7. 上述过程中的“口”，“0”，“女”，“⑧”表示的数分别为42.-1卫-7： 故答案为4,2.-1，-7： (2原方程分解因式可得：[(x+1)+2[(x+1)-2=5' ∴.(x+12-4=5' ∴.（x+12=9' .x+1=3’X+1=-3' 第40页，共1页 解得X1=2,X2=-4； (3)(50-2x)(40-2x)=936' ∴.(2x-50)2x-40)=936' ∴.[2x-45)-5][(2x-45)+5]=936' ∴.(2x-452-25=936' ∴.(2x-452=961' .∴.2x-45=31’2x-45=-31' 解得x1=38,x2=7. 第41页，共1页