2026-2027学年人教版数学九年级上册【一元二次方程四种解法】专项训练

**基本信息** 系统整合一元二次方程四种解法，构建“定义-原理-应用”逻辑链条，通过分层训练培养解法选择与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|4解法步骤+判别式|适用条件+核心步骤（如配方法“加一次项系数一半平方”）|定义→解法原理（配方法为公式法基础）→根的判别| |典例分析|4题型（各1例+3变式）|方法点拨（如直接开平方法“a(x-h)²=k形式”）|题型与解法对应，变式拓展难度| |综合训练|3层次11题|解法选择策略+综合应用（如判别式求参数）|基础巩固→能力提升→拓展探究（含根与系数关系）|

九年级上册一元二次方程四种解法专题练习 第一部分知识梳理 一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式为： ax2+bx+c=0(a≠0)】 其中，ax是二次项，bx是一次项，C是常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系 数、常数项 二、四种解法概述 解法名称 适用条件 核心思想 优点 直接开平方法 x2=p或ax+bP=p 两边直接开平方 最简单快捷 配方法 所有一元二次方程 将方程化为x+mP=n的形式 是公式法的基础 公式法 所有一元二次方程 使用求根公式 通用性强 X=-b±/6-4ac 2a 因式分解法 方程左边可因式分解 化为a1x+b1a2x+b2=0 计算量小 三、判别式与根的关系 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，判别式△=b2-4ac: △>0：方程有两个不相等的实数根； △=0：方程有两个相等的实数根（即一个重根）： △<0：方程无实数根. 第1页共19页 四、四种解法详细步骤 1.直接开平方法 步骤： (1)将方程化为x2=p或ax+b=p的形式： (2)两边同时开平方：x=±Vp或ax+b=士Vp: (3)求解X. 注意：当p<O时，方程无实数解 2.配方法 步骤： (1)将方程化为x2+bx+c=0的形式（二次项系数为1）； (2)移项：X2+bx=-C: (3)配方：两边同时加上( ,得x+2=-c (4)用直接开平方法求解。 3.公式法 步骤： (1)将方程化为一般形式ax2+bx+c=0: (2)计算判别式△=b2-4ac: (3)代入求根公式求解： 当△>0时，方程有两个不相等的实数根x= -b±Vb2-4ac 2a b 当△=0时，方程有两个相等的实数根x1=X2=- 2a÷ 当△<0时，方程无实数根. 4因式分解法 步骤： 第2页共19页 (1)将方程化为一般形式ax+bx+c=0: (2)将左边因式分解为a1x+b1)(a2x+b2)=0: (3)令每个因式为0：a1x+b1=0或a2x+b2=0: (4)分别求解 第二部分典例分析与变式训练 题型一：直接开平方法 方法点拨：当方程可化为x=p或(ax+b?=p的形式时，直接开平方即可.注意p≥0时有解， p<0时无实数解 例1解下列方程： (1)x2-16=0 (2)（x+3)2=25 解： (1)x2-16=0 x2=16 X=±4 .X1=4,X2=-4 (2)（x+3)2=25 X+3=±5 x+3=5或x+3=-5 .X1=2,X2=-8 变式1解下列方程： (1)4x2-49=0 (2)(2x-1)2=81 第3页共19页 (3)3(x+4)2-9=0 题型二：配方法 方法点拨：将二次项系数化为1后，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边成为 完全平方式，再利用直接开平方法求解 例2用配方法解方程：x2-6x+4=0 解： x2-6x=-4 x2-6x+9=-4+9 (x-32=5 x-3=±V5 .x1=3+V5,x,=3-V5 变式2用配方法解下列方程： (1)x2+8x-20=0 (2)x2-5x+2=0 (3)2x2-4X-3=0 题型三：公式法 方法点拨：任何一元二次方程都可以用公式法求解.先将方程化为一般形式，准确找出a、b、 C的值，计算判别式△，再代入求根公式. 第4页共19页 例3用公式法解方程：2x2-3x-5=0 解： a=2,b=-3,c=-5 △=b2-4ac=(-32-4×2×(-5)=9+40=49 x=-b±V☑_3±7 2a 4 X=3+7=5 4=5,x2=3二7=三-工 4 变式3用公式法解下列方程： (1)x2+5x-14=0 (2)3x+5x-2=0 (3)x2-4X+2=0 题型四：因式分解法 方法点拨：将方程右边化为0，左边因式分解，利用“若AB=0,则A=0或B=0”的原理求 解.常见分解方法有提公因式法、十字相乘法、公式法等 例4解下列方程： (1)x2-5x=0 (2)x+5x+6=0 (3)x2x+1)-3(2x+1)=0 解： (1)x2-5x=0 第5页共19页 xx-5)=0 x=0或x-5=0 ∴.X1=0,X2=5 (2)x2+5x+6=0 (x+2(x+3)=0 X+2=0或x+3=0 .∴.X1=-2,X2=-3 (3)（2x+1)(x-3)=0 2x+1=0或x-3=0 、1 x=2名=3 变式4解下列方程： (1)3x2-12x=0 (2)x2-9x+20=0 (3)(x-3)2-2x(x-3)=0 (4)5(x+22=10x+20 第三部分综合训练 一、基础训练 1.用直接开平方法解下列方程： (1)x2-81=0 第6页共19页 (2)(x-5)2=36 (3)9x2-16=0 2.用配方法解下列方程： (1)x2+6x+5=0 (2)x2-3x-1=0 (3)2x2+4x-1=0 3.用公式法解下列方程： (1)x2+3x-10=0 (2)2x2-7x+3=0 (3)x2-6x+7=0 4用因式分解法解下列方程： (1)x2-4x=0 (2)x2-7x+12=0 (3)(x-22-(x-2)=0 二、能力提升 5.选择适当的方法解下列方程： 第7页共19页 (1)（x-42=(5-2x)2 (2)x2+4x-12=0 (3)3x2-5x+1=0 (4)3(x-12=2(x-1) 6.已知关于X的方程x-4x+k=0有两个相等的实数根，求k的值. 7.不解方程，判断下列方程根的情况： (1)x2+2x-3=0 (2)2x2-x+1=0 (3)x2-6x+9=0 8.用配方法证明：无论x取何值，代数式x-6x+10的值总是正数. 第8页共19页 三、拓展探究 9.阅读材料，回答问题 材料：解方程x2-2x-3=0 解：当x≥0时，原方程化为x-2X-3=0 (x-3)(x+1)=0 x=3或x=-1(舍去) 当x<0时，原方程化为x+2x-3=0 (x+3)(x-1)=0 x=-3或x=1(舍去) .原方程的解为X1=3,X2=-3 请仿照以上方法，解方程x2-3x+2=0 10.观察下列方程及其解： 方程x2-2x-3=0的两根为X1=3,X2=-1,满足X1+X2=2,X1X2=-3, 方程x2+3x-4=0的两根为X1=1,X2=-4,满足X1+X2=-3,X1X2=-4: 方程x2-5x+6=0的两根为X1=2,X2=3,满足X1+x2=5,X1X2=6. (1)猜想：对于一元二次方程x+bx+C=0,若两根为X1,X2,则X1+X2=一一一一一-， X1X2=-------- (2)利用以上结论，已知一元二次方程x2-8x+15=0的一个根为3，求另一个根 第9页共19页 11.已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m2+m=0. (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边长b、C恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长 第10页共19页 第四部分答案与解析 题型一：直接开平方法 例1 (1)x2=16,X=±4，.x1=4,x2=-4 (2)X+3=±5，.∴.X1=2,X2=-8 变式1 (1)4X=49,X=49 ,=±，·三之 2 (2)2x-1=±9,2x=10或2x=-8,.∴.x1=5,x2=-4 (3)3(x+42=9,(x+42=3,x+4=±3，.x1=-4+/3,x2=-4-3 题型二：配方法 例2 x2-6x=-4 x2-6x+9=5 (x-3)2=5 x-3=±V5 ∴.x1=3+V5,x2=3-5 变式2 (1)x2+8x-20=0 x2+8x=20 x2+8x+16=36 (x+42=36 第11页共19页 X+4=±6 ∴.X1=2,X2=-10 (2)x2-5x+2=0 x2-5x=-2 x2-5x 25=-2+25 (x 2 x=5+17 2 —,x5-只17 2 (3)2x2-4x-3=0 X-2x-2-0 -2x X-2x+1=5 x-1号 术1=t0 2 V10 ∴.X1=1+ 2,=1 2 题型三：公式法 例3 a=2,b=-3,c=-5 第12页共19页 △=9+40=49 x=3±7 4 k-1 变式3 (1)a=1,b=5,c=-14 △=25+56=81 x=-5±9 2 ∴.X1=2,X2=-7 (2)a=3,b=5,c=-2 4=25+24=49 x=-5±7 6 名片%=-2 (3)a=1,b=-4,c=2 △=16-8=8 X=4±2V2 =2±V2 2 .x1=2+V2,x2=2-V2 题型四：因式分解法 例4 (1)x(x-5)=0,.X1=0,x2=5 (2)(x+2)(x+3)=0,∴.x1=-2,x2=-3 第13页共19页 变式4 (1)3x(x-4)=0,∴.1=0，x2=4 (2)（x-4)x-5)=0,∴.x1=4,x2=5 (3)(x-3)[(x-3)-2x]=0 即(x-3)(-x-3)=0,即(x-3)(x+3)=0 解得：X1=3,X2=-3 (4)5(x+22=10x+20 5(x+22=10x+2 5(x+2)[(x+2)-2]=0 即5(x+2)x=0 解得：X1=-2,X2=0 第三部分分层训练 一、基础训练 1.直接开平方法 (1)x2=81,X=±9，∴.X1=9,2=-9 (2)X-5=±6，.X1=11,x2=-1 9以-16,9x=±学∴x 34 2.配方法 (1)x2+6x+5=0 x2+6x=-5 x2+6x+9=4 (x+32=4 第14页共19页 X+3=±2 ..X1=-1,X2=-5 (2)x2-3X-1=0 x2-3x=1 x2-3x+9=13 44 x--￥ 2 x=3+03 _3-V13 2 X2= 2 (3)2x2+4x-1=0 +2x0 父+2x号 父+2x1-号 1x*1- 19 V 2,七=-1- V6 ∴.X1=-1+ 2 3.公式法 (1)a=1,b=3,c=-10 △=9+40=49 第15页共19页 X=-3±7 2 ∴.X1=2,X2=-5 (2)Q=2,b=-7,c=3 △=49-24=25 x=7±5 4 x=3 (3)a=1,b=-6,c=7 △=36-28=8 x=6±22-312 2 .x1=3+只2，x2=3-V2 4.因式分解法 (1)x(x-4)=0,.x1=0,x2=4 (2)（x-3)x-4)=0,∴.x1=3,x2=4 (3)(x-2[(x-2)-1]=0,即（x-2)(x-3)=0,x1=2,x2=3. 二、能力提升 5.选择适当方法 (1)(x-42=(5-2x)2 x-4=±(5-2x】 当X-4=5-2x时，3X=9,X=3 当X-4=-(5-2x)时，x-4=-5+2x,-x=-1,x=1 第16页共19页 .X1=3,X2=1 (2)x2+4X-12=0 (x+6)(x-2)=0 .∴.X1=-6,X2=2 (3)3x2-5x+1=0 a=3,b=-5,c=1 △=25-12=13 x=5±V13 6 x,=5+13 x-5-画 6 6 (4)(x-1)[3(x-1)-2]=0 即(x-1)(3x-5)=0 解得：名1，光号 6.方程有两个相等的实数根→△=0 △=(-42-4×1×k=16-4k=0 4k=16,k=4 7.判断根的情况 (1)x2+2x-3=0 △=4+12=16>0，方程有两个不相等的实数根 (2)2x2-X+1=0 △=1-8=-7<0，方程无实数根 (3)x2-6x+9=0 △=36-36=0，方程有两个相等的实数根 第17页共19页 8.配方法证明 x2-6x+10=x2-6x+9+1=(x-32+1 .(x-32≥0 .(x-32+1≥1>0 .无论x取何值，x-6x+10的值总是正数. 三、拓展探究 9.解方程x2-3x+2=0 当x≥0时，原方程化为x-3x+2=0 (x-1)(x-2)=0 x=1或=2（均满足x≥0） 当x<0时，原方程化为x+3X+2=0 (x+1)(x+2)=0 x=-1或x=-2(均满足x<0) .∴.原方程的解为X1=1,X2=2,X3=-1,X4=-2 10.根与系数的关系 (1)X1+X2=-b,X1X2=C (2)设另一个根为X2 X1+X2=8,且X1=3 ∴.3+X2=8,X2=5 ∴.另一个根为5 11.(1)证明： 4=[-(2m+1)]2-4×1×(m2+m) =4m2+4m+1-4m2-4m 第18页共19页 =1>0 ∴.无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)解方程：x2-(2m+1)x+m2+m=0 △=1 x=2m+1±1 ..X1=m+1,X2=m 当a=4为底时，b=c,但m+1≠m,不成立 当a=4为腰时： 若b=a=4,则m+1=4或m=4 m=3时，b=4,c=3,周长为4+4+3=11 m=4时，b=5,c=4,周长为4+5+4=13 ..△ABC的周长为11或13. 第19页共19页