第2章 第8讲 对数函数 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦对数函数核心性质，通过分类讨论、复合函数分析、换元转化等方法，系统构建从概念到综合应用的解题体系，培养逻辑推理与数学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-8题|分类讨论底数、定义域优先、单调性判断|从对数函数定义出发，结合单调性、奇偶性形成性质应用链| |性质综合|9-12题|复合函数“同增异减”、值域与最值转化|连接函数性质与图象特征，构建性质综合应用逻辑| |拓展提升|13-14题|换元法、恒成立问题转化、新定义迁移|整合函数与方程思想，实现知识向复杂情境迁移|

1．已知函数f(x)＝logax＋2(a＞0，且a≠1)在区间上的最大值为4，则a的值为(　　) A． B．2 C． D．2或 解析：选D．当a＞1时，f(x)在[，4]上单调递增，则f(x)max＝f(4)＝loga4＋2＝4，所以a＝2；当0＜a＜1时，f(x)在[，4]上单调递减，则f(x)max＝f()＝loga＋2＝4，所以a＝. 2．函数f(x)＝log2(2x)与g(x)＝2－在同一平面直角坐标系下的图象大致是(　　) 解析：选B．因为f(x)＝log2(2x)＝1＋log2x为定义域上的增函数，g(x)＝2－()x为定义域上的增函数，故A，C不成立；又f(1)＝1，且g(0)＝2－()0＝1，故D不成立． 3．(2026·南京模拟)已知a＝log23，b＝log43，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 解析：选D．a＝log23＞log2＝，即a＞c＞1；b＝log43＜1，所以b＜c＜a. 4．(2026·漳州段考)设函数f(x)＝lg (x2＋1)，则使得f(2x－1)＞f(x＋1)成立的x的取值范围为(　　) A．(0，2) B．(0，2] C．(－∞，2) D．(－∞，0)∪(2，＋∞) 解析：选D．由题知f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，因为f(2x－1)＞f(x＋1)，所以|2x－1|＞|x＋1|，即4x2＋1－4x＞x2＋1＋2x，所以3x2－6x＞0，所以x＜0或x＞2. 5．已知函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，且g(－1)＝，则函数y＝loga(x2－2x)的单调递减区间是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，0) D．(2，＋∞) 解析：选C．因为函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)与g(x)的图象关于直线y＝x对称， 所以g(x)＝ax(a＞0，a≠1)，因为g(－1)＝，所以＝a-1，解得a＝3. 所以y＝loga(x2－2x)＝log3(x2－2x)， 由x2－2x＞0，可得y＝log3(x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)， 令t＝x2－2x，x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)，则t＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，而y＝log3x在定义域上单调递增，由复合函数的单调性可知，y＝log3(x2－2x)的单调递减区间是(－∞，0). 6．(多选)关于函数f(x)＝ln ，下列结论正确的是(　　) A．若函数g(x)＝ln (x－3)－ln (x＋1)，则f(x)与g(x)是同一个函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x)的图象关于点(1，0)对称 D．f(x)在(3，＋∞)上单调递增 解析：选CD．对于A，B，g(x)＝ln (x－3)－ln (x＋1)的定义域为(3，＋∞)，f(x)＝ln 的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，f(x)的定义域不关于原点对称，故A，B错误；对于C，f(x)的定义域关于点(1，0)对称，且f(1＋x)＋f(1－x)＝ln ＋ln ＝ln 1＝0，故C正确；对于D，f(x)＝ln ＝ln (1－)，因为y＝ln u在定义域内单调递增，u＝1－在(3，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知，f(x)在(3，＋∞)上单调递增，故D正确． 7．已知函数f(x)＝log2(2x－1)，若x∈，则函数f(x)的值域是________．　 解析：令t＝2x－1，易知t＝2x－1在[1，]上单调递增，而y＝log2t在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝log2(2x－1)在[1，]上单调递增，所以f(1)≤f(x)≤f()，所以0≤f(x)≤3，故函数f(x)的值域为[0，3]. 答案：[0，3] 8．已知实数a>0，且满足53a+2>54a+1，则不等式loga(3x＋2)<loga(8－5x)的解集为________． 解析：由实数a>0，且满足53a+2>54a+1，根据指数函数的单调性，可得3a＋2>4a＋1，解得0<a<1，所以函数y＝logax为减函数． 由不等式loga(3x＋2)<loga(8－5x)， 可得　解得<x<， 即不等式的解集为(，). 答案：(，) 9．(13分)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3). (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(7分) (2)若f(x)的最小值为0，求实数a的值．(6分) 解：(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1， 因此a＋5＝4，即a＝－1， 所以f(x)＝log4(－x2＋2x＋3). 由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3， 即函数f(x)的定义域为(－1，3). 令g(x)＝－x2＋2x＋3，x∈(－1，3)，则g(x)在(－1，1]上单调递增，在[1，3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1，1]，单调递减区间是[1，3). (2)若f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，因此应有 解得a＝.经检验a＝时满足题意，故实数a的值为. 10．已知函数f(x)＝log2(x＋2)，若a>b>c>0，则(　　) A．<< B．<< C．<< D．<< 解析：选A．，，可分别看作函数y＝f(x)图象上的点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))与坐标原点O(0，0)连线的斜率．作出函数y＝f(x)的图象如图所示， 由图象可知，当a>b>c>0时，<<. 11．已知函数f(x)＝ln (x2－ax－a－1)，下列说法正确的有(　　) A．存在实数a，使得f(x)的定义域为R B．若函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(－∞，1) C．对任意正实数a，f(x)的值域为R D．函数f(x)一定有最小值 解析：选C．对于A，函数f(x)＝ln (x2－ax－a－1)的定义域为R时，x2－ax－a－1＞0对x∈R恒成立，所以Δ＝a2＋4a＋4＝(a＋2)2＜0，无解，A错误； 对于B，因为y＝ln x是增函数，函数f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增，所以y＝x2－ax－a－1在区间(2，＋∞)上单调递增且x2－ax－a－1＞0在x∈(2，＋∞)上恒成立，所以解得a≤1，B错误； 对于C，要使f(x)＝ln (x2－ax－a－1)的值域为R，则函数y＝x2－ax－a－1的值域M需满足(0，＋∞)⊆M，所以Δ＝a2＋4a＋4＝(a＋2)2≥0，得a∈R，故对任意正实数a，f(x)的值域为R，C正确； 对于D，由C可知，当a＞0时，f(x)的值域为R，不存在最小值，D错误． 12．(2025·西北师大附中期末)已知函数f(x)＝log3(3x＋3－x)，设a＝f(log32)，b＝f(log53)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c 解析：选A．f(x)的定义域为R，由f(－x)＝log3(3－x＋3x)＝f(x)，得f(x)为偶函数， 则c＝f(ln )＝f(－1)＝f(1). 又0＜log32＜log33＝1，0＜log53＜log55＝1， log32＝log323＝log38＜log39＝， log53＝log533＝log527＞log525＝， 所以0＜log32＜log53＜1. 当x∈(0，1]时，3x∈(1，3]，令t＝3x∈(1，3]， 则由对勾函数性质可得y＝t＋，t∈(1，3]在(1，3]上单调递增，则f(x)＝log3(3x＋3－x)在(0，1]上单调递增，则f(log32)＜f(log53)＜f(1)，即a＜b＜c. 13．(15分)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(5分) (2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()＞k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．(10分) 解：(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x ＝2－2(log2x－1)2. 因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]， 故函数h(x)的值域为[0，2]. (2)由f(x2)·f()＞k·g(x)， 得(3－4log2x)(3－log2x)＞k·log2x， 令t＝log2x，因为x∈[1，4]， 所以t∈[0，2]，所以(3－4t)(3－t)＞kt对一切t∈[0，2]恒成立， ①当t＝0时，k∈R； ②当t∈(0，2]时，k＜恒成立， 即k＜4t＋－15，因为4t＋≥12， 当且仅当4t＝，即t＝时取等号， 所以4t＋－15的最小值为－3. 所以k＜－3. 综上，实数k的取值范围为(－∞，－3). 14．(新定义)已知函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在[m，n]⊆D，使得f(x)在[m，n]上的值域为[2m，2n]，那么就称函数f(x)为“二倍函数”．若函数f(x)＝loga(ax＋3t)(a>0且a≠1)是“二倍函数”，则实数t的取值范围为(　　) A． B． C． D． 解析：选A．根据题意可知当a>1时，由复合函数的单调性可得f(x)＝loga(ax＋3t)单调递增，当0<a<1时，由复合函数的单调性可得f(x)＝loga(ax＋3t)单调递增，因此可知f(x)为增函数， 则 即可得因此可得方程a2x－ax－3t＝0有两个不相等的实根m，n. 令ax＝p(p>0)，可得关于p的一元二次方程p2－p－3t＝0有两个不相等的正根p1，p2，因此解得－<t<0.可得实数t的取值范围为(－，0). 学科网（北京）股份有限公司 $