函数的最值问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数最值问题，通过图象特征识别、直接求解、参数反求三模块递进训练，系统整合导数、奇偶性、不等式等方法，构建“识别-求解-应用”逻辑链条，培养数学思维与表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数的最值与函数图象的特征|8题|图象分析法、导数判断极值点|从直观图象到代数特征，建立最值与单调性、奇偶性的关联| |求函数的最值|8题|导数法、基本不等式、奇函数性质|综合应用导数、不等式等工具，强化不同函数类型的最值求解策略| |由函数的最值求解函数或参数|8题|参数分类讨论、最值存在性分析|通过最值反求参数，深化函数性质与参数范围的逻辑推导|

函数的最值问题专练 一．函数的最值与函数图象的特征（共8小题） 1．（2025秋•莆田校级期末）函数f（x）＝ax﹣bex+1在x＝0处取最大值﹣1，则a+b＝（　　） A．﹣5 B．﹣4 C．3 D．4 2．（2025秋•潮州校级月考）已知函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，5]，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．f（x）的单调递减区间为（0，2） B．f（x）的最大值为3 C．f（x）的最小值为﹣1 D．f（x）的单调递增区间为（﹣1，0）∪（2，5） 3．（2024秋•同步）函数f（x）在[﹣2，+∞）上的图象如图所示．则此函数的最大值、最小值分别为（　　） A．3，0 B．3，1 C．3，无最小值 D．3，﹣2 4．（2023秋•三明期中）已知函数，当x∈[﹣3，3]时，f（x）的最大值为M最小值为m，则M+m＝（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 5．（2023•湘阴县校级开学）如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤0 C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤0 （多选）6．（2024秋•雁塔区校级期中）我们定义一种新函数，形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论，其中正确的结论是（　　） A．图象与y轴的交点为（0，3） B．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1 C．当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大 D．当x＝1时，函数的最大值是4 7．（2023秋•温岭市校级期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x，现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示． （1）请将函数f（x）的图象补充完整，并求出f（x）（x∈R）的解析式； （2）求f（x）在区间[a，0]上的最大值． 8．（2024•沙坪坝区校级开学）已知函数． （1）当x＞﹣1时，函数值y随x的增大而增大．求a的取值范围； （2）若a＝1，求x∈[0，2]时，函数值y的取值范围． 二．求函数的最值（共8小题） 9．（2026•高州市模拟）已知函数在定义域内有最大值，则实数a的取值范围是（　　） A．[6，+∞） B．（﹣∞，﹣6] C．（﹣∞，3] D．[3，+∞） 10．（2026春•长治校级期末）已知函数在区间[﹣2025，2025]上的最大值为M，最小值为N，则（M+N﹣1）2025的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．22025 D．0 11．（2026春•沧州期末）已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+5）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减，若正实数a，b满足a+b＝m，则的最小值为（　　） A．5 B．4 C． D． 12．（2026春•海口期末）以下函数中最小值为2的是（　　） A． B．y＝2x+2 C．y＝4sinxcosx D．y＝x2+2x+3 13．（2026春•大兴区期末）已知函数，则f（x）（　　） A．有最大值无最小值 B．有最大值也有最小值 C．无最大值有最小值 D．无最大值也无最小值 14．（2026•昌平区二模）设a∈R，函数，有最大值的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C．a∈[﹣1，0） D．a∈[﹣2，0） 15．（2026•南京模拟）若函数f（x）＝（ex+e﹣x）x3+2在区间[﹣1，1]的最大值为M，最小值为n，则M+n＝　 　 ． 16．（2026•南京模拟）函数在x∈[1，2]上的最大值与最小值之和为7，则实数a＝　 　 ． 三．由函数的最值求解函数或参数（共8小题） 17．（2026春•株洲期末）若函数的最小值为﹣2，则正实数a的值为（　　） A． B． C． D． 18．（2026•香坊区校级四模）已知函数，若函数f（x）有最小值，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B． C． D． 19．（2026•南昌模拟）已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．（﹣∞，4] D．[4，+∞） 20．（2026•招远市校级模拟）已知函数存在最小值，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣e2] B．（﹣e2，+∞） C．（﹣∞，e﹣2] D．（e﹣2，+∞） 21．（2025秋•金华月考）已知函数，函数，若任意的x1∈R，均存在x2∈[1，8]，使得f（x1）≤g（x2），则实数a的取值范围为（　　） A．（4，+∞） B．[2，+∞） C．[﹣2，+∞） D．（﹣4，+∞） 22．（2025秋•东城区期末）设函数，若f（x）在区间（﹣3，3）上的最大值为9，则a＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D． 23．（2026春•东港区期末）已知函数在定义域内有最小值，则实数a的取值范围是　 　 ． 24．（2026春•昌平区期末）设函数若a＝﹣3，则f（x）的最小值为　 　 ；若f（x）有最小值，则a的取值范围是　 　 ． 参考答案与试题解析 一．函数的最值与函数图象的特征（共8小题） 1．【分析】对函数求导，结合导数与最值关系即可求解． 【解答】解：由题意得f′（x）＝a﹣bex， 因为函数f（x）在x＝0处取最大值﹣1，所以， 解得a＝b＝2，所以a+b＝4． 故选：D． 2．【分析】利用函数f（x）的图象逐项判断即可． 【解答】解：对于A，已知函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，5]，由图象可知：f（x）的单调递减区间为（0，2），故A正确； 对于B，当x＝0时，f（x）max＝f（0）＝3，故B正确； 对于C，当x＝2时，f（x）min＝f（2）＝﹣1，故C正确； 对于D，由图象可知：f（x）的单调递增区间为（﹣1，0）和（2，5），但并非严格单调递增，不能用“∪”连接，故D错误． 故选：D． 3．【分析】由函数图象可知，函数的最小值、最大值． 【解答】解：由函数图象可知，当x＝0时，函数有最大值，最大值为3，无最小值， 故选：C． 4．【分析】设g（x）＝f（x）﹣1，证明g（x）是奇函数，则g（x）的最大值与最小值互为相反数，可求M+m． 【解答】解：， 设，x∈[﹣3，3]， ，则g（x）是[﹣3，3]上的奇函数， g（x）的最大值为M﹣1，最小值为m﹣1，则有（M﹣1）+（m﹣1）＝0， 所以M+m＝2． 故选：B． 5．【分析】根据题意，结合二次函数的性质找到最大值和最小值差刚好等于5的m的值，则m的范围可知，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，其顶点坐标为（1，﹣4）， 当x＝0时，y＝﹣3，即该函数与y轴的交点为（0，﹣3），设A（0，﹣3）， 当x＝4时，y＝5，设C（4，5）， 直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象， 分3种情况讨论： ①如图1，当m＝0时，D（4，﹣5），此时最大值为0，最小值为﹣5； ②如图2，当m＝1时，此时最小值为﹣4，最大值为1， ③当1＜m＜5时，最大值与最小值之差大于5，不合题意； 综上所述：0≤m≤1，即m的取值范围为0≤m≤1． 故选：C． 6．【分析】代入检验函数图象上的点判断选项A；观察图象结合二次函数对称轴公式求解选项B；观察图象变化情况判断选项C；由函数图象得最值情况判断选项D． 【解答】解：对于A，点（0，3）的坐标满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，所以函数图象与y轴的交点为（0，3），A选项正确； 对于B，观察图象可知，图象具有对称性，对称轴用二次函数对称轴公式求得是直线x＝1，故B选项正确； 对于C，根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，故C选项正确； 对于D，由图象可知，当x＜﹣1时，函数值y随x值的减小而增大，当x＞3时，函数值y随x值的增大而增大， 均存在大于顶点纵坐标的函数值，故当x＝1时，函数值4并非最大值，D选项不正确． 故选：ABC． 7．【分析】（1）根据函数的奇函数的对称性，即可根据对称作出函数图象，进而可利用奇函数的定义求解解析式； （2）根据二次函数的性质，结合函数图象即可求解． 【解答】解：（1）作出函数f（x）的图象，如图所示： 当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）＝（﹣x）2+2（﹣x）＝x2﹣2x， ∵f（x）为奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+2x． ∴； （2）由图可知f（﹣2）＝f（0）＝0． 当a＜﹣2时，f（x）在x＝a处有最大值f（a）＝a2+2a； 当﹣2≤a＜0时，f（x）在x＝0处有最大值f（0）＝0． 8．【分析】（1）将变形为，根据反比例函数的性质可求出a的取值范围； （2）将a＝1代入到函数，根据函数单调性即可求出函数的值域． 【解答】解：（1）根据题意，， 因为当x＞﹣1时，函数值y随x的增大而增大， 根据反比例函数性质可知a﹣2＜0，即a＜2， 所以a的取值范围是（﹣∞，2）； （2）因为a＝1，所以， 因为当x∈[0，2]时，函数值y随x的增大而增大， 所以当x＝0时，y有最小值；当x＝2时，y有最大值， 所以当a＝1，x∈[0，2]时，函数值y的取值范围是[1，]． 二．求函数的最值（共8小题） 9．【分析】根据分段函数的解析式，讨论函数f（x）的单调性，从而求函数f（x）在定义域内有最大值时a的取值范围． 【解答】解：当x＜0时，x[（﹣x）]≤﹣6， 当且仅当﹣x，即x＝﹣3时等号成立． 由对勾函数的性质得，f（x）在（﹣∞，﹣3]上单调递增，在[﹣3，0）上单调递减． 当x＞0时，函数f（x）＝﹣x+a单调递减，f（x）＜a． 因为f（x）在定义域内有最大值，所以a≤﹣6， 即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6]． 故选：B． 10．【分析】结合函数的奇偶性即可求． 【解答】解：1， 令g（x），则g（x）为奇函数， 所以g（x）max+g（x）min＝0， 则M+N＝g（x）max+g（x）min+2＝2， 所以（M+N﹣1）2025＝1． 故选：A． 11．【分析】根据幂函数定义与性质可得m＝1，再利用“1”代换结合基本不等式运算求解． 【解答】解：因为幂函数f（x）＝（m2﹣5m+5）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减， 所以根据幂函数的定义与性质可得，解得m＝1， 可得正实数a，b满足a+b＝1， 则根据“1”的代换和基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：D． 12．【分析】逐一分析各选项函数的值域与最值，判断是否存在最小值且最小值等于2即可． 【解答】解：A，当x＜0时，y＜0，故A错误； B，由2x＞0得y＞2，函数y＝2x+2没有最小值，故B错误； C，y＝4sinxcosx＝2sin2x，由﹣1≤sin2x≤1，得﹣2≤y≤2，故C错误； D，y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，因为（x+1）2≥0，所以y≥2，即当x＝﹣1时，y＝2，故D正确． 故选：D． 13．【分析】先对函数f（x）求导，根据导数的正负判断函数的单调性，再结合函数的定义域来确定函数的最值情况． 【解答】解：求导数可得． 令f′（x）＝0，即，解得x＝2或x＝﹣1． 当x＜﹣1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当﹣1＜x＜2时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞2时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增． 当x＝﹣1时，； 当x＝2时，； 当x→+∞时，（分子最高次幂低于分母最高次幂）； 当x→﹣∞时，． 因为，所以函数f（x）有最大值1，有最小值． 故选：B． 14．【分析】根据二次函数与一次函数性质，按a的正负加以讨论，分别研究f（x）的最大值情况，求出f（x）有最大值的充分必要条件，然后找出该条件对应集合的一个真子集，即可得到本题的答案． 【解答】解：①当a＞0时，， 当x→﹣∞或x→+∞时，f（x）→+∞，故f（x）不存在最大值． ②当a＝0时，f（x），f（x）在定义域内的最小值为1，不存在最大值． ③当a＜0时，若f（x）存在最大值，则f（x）在（﹣∞，a]上的最大值大于等于a2+1， 二次函数f（x）＝ax2﹣2x+1， 在（﹣∞，]上为增函数，在[，+∞）上是减函数， （i）若a≤﹣1，则，f（x）在（﹣∞，a]上的最大值为f（a）＝a3﹣2a+1， 故a3﹣2a+1≥a2+1，整理得a（a+1）（a﹣2）≥0，结合a≤﹣1，解得a＝﹣1； （ii）若﹣1＜a＜0，则，f（x）在（﹣∞，a]上的最大值为）＝1， 故，即，该不等式在﹣1＜a＜0时恒成立，故﹣1＜a＜0． 由（i）（ii），可得﹣1≤a＜0． 综上所述，函数f（x）有最大值的充分必要条件是﹣1≤a＜0，即a∈[﹣1，0）． 对照各选项，只有是[﹣1，0）的真子集， 即是f（x）有最大值的一个充分不必要条件． 故选：A． 15．【分析】设g（x）＝（ex+e﹣x）x3，x∈[﹣1，1]，得到其为奇函数，g（x）max+g（x）min＝0，从而得到答案 【解答】解：设g（x）＝（ex+e﹣x）x3，x∈[﹣1，1]，g（x）的定义域关于原点对称， g（﹣x）＝（e﹣x+ex）（﹣x）3＝﹣（ex+e﹣x）x3＝﹣g（x），故g（x）为奇函数， 设g（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值为g（x）max，最小值为g（x）min， 则g（x）max+g（x）min＝0， 则M+n＝g（x）max+2+g（x）min+2＝4． 故答案为：4． 16．【分析】分a≤0，0＜a≤1，1＜a＜4，a≥4四种情况讨论，结合条件，利用的单调性，即可求解． 【解答】解：若a≤0，易知在区间[1，2]上单调递增， 由题知，解得a，不合题意， 若，即0＜a≤1时，在区间[1，2]上单调递增， 由题知，解得a，不合题意， 若，即1＜a＜4时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又f（1）＝1+a，，， 当，即2≤a＜4时， 由题有，解得，又，则，所以满足题意， 当，即1＜a＜2时，由题有，解得， 又，则，不合题意， 若，即a≥4时，在区间[1，2]上单调递减， 由题知，解得，不合题意， 综上所述，实数． 故答案为：8﹣2． 三．由函数的最值求解函数或参数（共8小题） 17．【分析】先对函数f（x）求导，根据导数判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，再结合已知最小值为﹣2，求出正实数a的值． 【解答】解：因为， 则， 因为a＞0，e﹣x＞0，（1+ae﹣x）2＞0， 所以f'（x）的正负性由分子1+e﹣x（a+ax）决定， 令g（x）＝1+e﹣x（a+ax）， 对g（x）求导，g'（x）＝﹣e﹣x（a+ax）+ae﹣x＝e﹣x（a﹣a﹣ax）＝﹣axe﹣x， 令g'（x）＝0，即﹣axe﹣x＝0， 因为e﹣x＞0，所以x＝0， 当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增； 当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 所以g（x）在x＝0处取得最大值g（0）＝1+a， 因为a＞0，所以g（0）＝1+a＞0， 又因为当x→﹣∞时，e﹣x→+∞，a+ax→﹣∞， 但1+e﹣x（a+ax）→+∞；当x→+∞时，e﹣x→0，1+e﹣x（a+ax）→1， 所以存在x0＜0，使得g（x0）＝0，即f'（x0）＝0， 当x＜x0时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 当x0＜x＜0时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增； 当x＞0时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增； 所以f（x）在x＝x0处取得最小值， 又因为， 即，， 将代入中， 得到， 即，， 所以1+x0＝﹣2，解得x0＝﹣3， 将x0＝﹣3代入中， 得到e3， 解得a． 故选：A． 18．【分析】先求出f（x）在（﹣∞，a）上的范围，再结合函数的最值分﹣a≤a、﹣a＞a两种情况讨论． 【解答】解：当x＜a时，a＜ex+a＜ea+a， 所以若f（x）有最小值，则最值必在[a，+∞）上取得，且其最小值小于等于a， 若﹣a≤a，即a≥0时，f（x）在[a，+∞）上递增， 则为满足题意，f（a）＝a2+2a2＝3a2≤a，得， 若﹣a＞a，即a＜0时，则f（x）在[a，﹣a）上递减，在[﹣a，+∞）上递增， 则为满足题意，f（﹣a）＝﹣a2≤a，得a≤﹣1， 综上，实数a的取值范围是． 故选：D． 19．【分析】由已知结合分段函数性质及最值取得条件即可求解． 【解答】解：当x＞0时，f（x）＝x4，当且仅当x＝2时，函数取得最小值4， 当x＜0时，y＝a﹣x单调递减，没有最值， 若函数在定义域内有最小值，则a≥4． 故选：D． 20．【分析】根据分段函数分别应用复合函数单调性及导数求解单调性，分段求解函数值域，即可得答案． 【解答】解：当x＜2时，函数f（x）＝e﹣x，单调递减， 所以f（x）＞e﹣2，无最小值； 当x≥2时，函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣2）2+a， 当x≥2时，函数f'（x）＝（x﹣2）2+2（x﹣2）（x﹣1）＝（x﹣2）（3x﹣4）， 所以x∈[2，+∞），f'（x）≥0，f（x）单调递增， 当x＝2时，， 要使函数f（x）存在最小值，只需a≤e﹣2． 故选：C． 21．【分析】分别计算出f（x）在R上的值域及g（x）在[1，8]上的值域，则可得f（x）max≤g（x）max，计算即可得解． 【解答】解：因为， 又因为y＝3x∈（0，+∞）， 所以1+3x＞1，02， 则， 当x∈[1，8]时，则log2x∈[0，3]， 则， 由任意的x1∈R，均存在x2∈[1，8]，使得f（x1）≤g（x2）， 则有1≤a+3，即a≥﹣2， 所以实数a的取值范围为[﹣2，+∞）． 故选：C． 22．【分析】分别令|x+2|＝9，（x﹣2）2＝9，可得所有解中只有﹣1∈（﹣3，3），从而得﹣1∈[a，+∞），a≤﹣1，即可得答案． 【解答】解：令|x+2|＝9，解得x＝﹣11或x＝7， 因为﹣11，7∉（﹣3，3）， 即当x∈（﹣3，3）时，y＝|x+2|＝9不成立； 令（x﹣2）2＝9， 解得x＝﹣1或x＝5， 又因为﹣1∈（﹣3，3），5∉（﹣3，3）， 即当x＝﹣1时，f（x）＝（x﹣2）2， 所以﹣1∈[a，+∞）， 所以a≤﹣1， 故只有A选项符合． 故选：A． 23．【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可． 【解答】解：当x＞0时，， 当且仅当x，即x＝2时取等号． 即f（x）≥4， 当x＜0时，f（x）＝a﹣x在（﹣∞，0）上单调递减， 此时f（x）＞a， 因为f（x）在定义域内有最小值，所以a≥4． 故实数a的取值范围为[4，+∞）． 故答案为：[4，+∞）． 24．【分析】第一空，分段分别求值域，对比两段取值得到全局最小；第二空，利用指数函数下界，约束二次函数最小值小于等于该下界，解参数范围． 【解答】解：第一空：当a＝﹣3时， 若x＜﹣3，则f（x）＝3x﹣1， 函数在区间（﹣∞，﹣3）单调递增，则值域为； 若x≥﹣3，则f（x）＝x2﹣3， 函数在区间（﹣3，0）单调递减，在区间（0，+∞）单调递增，则值域为[﹣3，+∞）； 综上，函数f（x）在定义域内最小值为﹣3； 第二空，当a≥0时，函数右段最小值，不满足要求； 当a＜0时，函数右段最小值f（x）min＝f（0）＝a，则a≤﹣1， 综上所述，a的取值范围是（﹣∞，﹣1]． 故答案为：﹣3；（﹣∞，﹣1]． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/29 15:16:57；用户：Scary；邮箱：17851029270；学号：30697016 学科网（北京）股份有限公司 $