2.1 函数及其表示 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以考点-考法为框架，系统整合函数概念、表示、性质及创新应用，提炼17种解题方法，培养数学抽象与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数的概念与定义域|4题|常规求法、复合/抽象函数定义域分析|从具体到抽象，构建定义域求解逻辑链| |函数的值域与最值|2题|分离常数法、特殊模型（取整函数）值域分析|代数变形与特殊函数模型结合，强化转化思想| |函数的表示与解析式|3题|方程赋值法、待定系数法、性质构造法|通过性质约束逆向构建函数，发展数学建模| |分段函数及其综合应用|15题|直接/嵌套求值、逆向求参、方程与不等式求解|从基础运算到综合应用，培养分类讨论能力| |抽象函数的性质与应用|10题|赋值法、递推关系分析、单调性应用|通过符号语言推理函数性质，提升逻辑思维| |函数新定义与创新探究|6题|算法复杂度分析、新定义函数性质判断|结合现实情境创新应用，发展创新意识|

2027届高三数学一轮复习专项训练 2.1 函数及其表示 解析卷 答案速查表 1 考点一：函数的概念与定义域 1 考法1：具体函数定义域的常规求法 1 考法2：复合函数与抽象函数定义域 3 考点二：函数的值域与最值 3 考法3：代数变形与分离常数法求值域 3 考法4：取整函数与特殊模型的值域 3 考点三：函数的表示与解析式 4 考法5：方程赋值法与待定系数法求解析式 4 考法6：性质约束下的函数解析式构造 5 考点四：分段函数及其综合应用 6 考法7：分段函数的直接求值与嵌套求值 6 考法8：已知分段函数值逆向求参 8 考法9：分段函数方程求解 9 考法10：分段函数不等式及参数范围求解 10 考点五：抽象函数的性质与应用 11 考法11：赋值法与特殊值计算 11 考法12：递推关系与函数值大小比较 12 考法13：利用抽象函数单调性解不等式 13 考法14：抽象函数性质的多选题综合判断 14 考点六：函数新定义与创新探究 17 考法15：算法复杂度与增长模型新定义 17 考法16：新定义运算与函数性质综合判断 18 考法17：新定义函数与集合关系探究 20 2.1 函数及其表示 方法总结 21 答案速查表 1 2 3 4 5 ABD C ； 6 7 8 9 10 D （答案不唯一） （答案不唯一） ；（答案不唯一） B 11 12 13 14 15 A D B B 16 17 18 19 20 B D 8 21 22 23 24 25 B D B A B 26 27 28 29 30 C D B C ABD 31 32 33 34 35 ACD BCD ABD ABD ABD 36 37 38 39 40 C D AC ①是“上域函数”，②③是“下域函数” （1）；（2）见解析 考点一：函数的概念与定义域 考法1：具体函数定义域的常规求法 1.（2026·湖北随州·联考）（多选）下列四个函数，定义域和值域相同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【思路】分别求出各选项中函数的定义域与对应法则下的值域，比对两个数集是否为同一集合即可. 【解析】对 A，函数 的定义域和值域都是 . 对 B，易得函数 的定义域为 ，当 时，；当 时，，故函数的值域为 . 对 C，函数 的定义域为 ，值域为 . 对 D，因为函数 ，所以函数的定义域为 ，值域为 . 故选 ABD. 2.（2026·贵州毕节·一模）函数 的定义域为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】对数函数的真数必须严格大于零，解一元二次不等式即可求出定义域. 【解析】令 ，解得 或 ，即 . 因此函数 的定义域为 . 故答案为 . 3.（2025·河南金科·联考）已知函数 的定义域和值域相同，求 的值. 【答案】 【思路】根号下式子大于等于零确定定义域，根据被开方数的范围确定值域，利用集合相等列方程求解. 【解析】若 ，则 的定义域为 ，值域为 ，不符合题意. 若 ，则 的定义域为 ，值域为 ，则有 ，解得 . 综上所述，. 考法2：复合函数与抽象函数定义域 4.（2026·安徽合肥一六八中·一模）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】由复合函数定义域的性质，先求外层函数 中自变量 的取值范围，再令 处于该范围内，并结合分母不为零和对数真数大于零列出不等式组. 【解析】由 的定义域为 ，得 的定义域为 . 所以 或 . 综上， 的定义域为 . 故选 C. 考点二：函数的值域与最值 考法3：代数变形与分离常数法求值域 5.（2025·河南创新联盟·模拟）函数 的定义域为＿＿＿＿＿＿，值域为＿＿＿＿＿＿. 【答案】； 【思路】先保证真数大于零求定义域，再将真数部分分子分母同除以 转化为换元配方法求最值. 【解析】因为 ，所以 恒成立.由 ，得 . ，故 的值域为 . 故答案为 ；. 考法4：取整函数与特殊模型的值域 6.（2026·湖北黄冈·一模）高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号. 称为高斯函数，其中， 表示不超过 的最大整数，例如 ，则下列说法正确的是（　　） A. 在 上单调递增 B. C. 若 ，则 的值域为 D. 若 ，则 的值域为 【答案】D 【思路】结合特殊值法排除 A、B；通过基本不等式及三角函数有界性确定被取整函数的值域范围，再进行区间分段取整. 【解析】对于 A：由题意 ，故 A 错. 对于 B：因为当 时，，所以 ，故 B 错. 对于 C：，，，.当 时，；当 时，.所以 的值域为 ，故 C 错. 对于 D：，，.当 时，；当 时，.所以 的值域为 ，故 D 正确. 故选 D. 考点三：函数的表示与解析式 考法5：方程赋值法与待定系数法求解析式 7.（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式＿＿＿＿＿＿. ①； ②，且 ，有 ； ③，且 ，有 ； ④. 【答案】（答案不唯一） 【思路】由条件①知函数为偶函数，条件②知在正半轴单调递减，条件③知在正半轴为下凸函数，条件④对应幂函数的性质，设 匹配指数即可. 【解析】由条件①知 为偶函数； 由条件②知 在 上单调递减； 由条件③知 在 上为下凸函数； 由条件④知 满足幂函数性质，可设 . 取 ，则 满足上述所有条件. 故答案为 （答案不唯一）. 考法6：性质约束下的函数解析式构造 8.（2026·安徽省十·模拟）写出一个满足下列条件的函数 的解析式：＿＿＿＿＿＿. ①； ②对任意正数 ； ③； ④. 【答案】（答案不唯一） 【思路】条件④指向对数型函数运算，条件①要求偶函数，条件②③分别对应正半轴单调递增及上凸性，利用绝对值构造对数函数即可. 【解析】条件①表明函数为偶函数； 条件②表明函数在 上的单调递增函数； 条件③表明函数图象上任意两点连接的弦在函数图象下方； 条件④表明函数的运算特征.在学过的函数中，底数大于 1 的对数函数具有类似于②③④的特征，但单纯的对数函数不具有奇偶性，故 可以是由对数函数构造的一类函数，比如 或 等都符合条件. 故答案为 （答案不唯一）. 9.（2026·湖南雅礼中学·一模）写出一个满足“若 ，且 ，则 ＿＿＿＿＿＿；若 ，且 ，则 ＿＿＿＿＿＿”. 【答案】；（答案不唯一） 【思路】分别识别柯西方程加法型与乘法型对应的正比例模型与指数模型，代入初始值确定解析式. 【解析】若 ，可设 ，代入 得 ，故 ； 若 ，可设 ，代入 得 ，故 . 故答案为 ；（答案不唯一）. 考点四：分段函数及其综合应用 考法7：分段函数的直接求值与嵌套求值 10.（2026·广东广州·一模）已知函数 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】由内向外逐步代入计算，注意每次判断自变量所处的定义域区间分支. 【解析】因为 ，所以 ， 所以 . 故选 B. 11.（2026·江苏南通·检测）已知函数 ，则 的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】先代入 进第二段求得函数值，再将该函数值代入第一段完成嵌套求解. 【解析】由题意，函数 ，可得 ， 所以 . 故选 A. 12.（2026·四川仁寿一中·二模）若函数 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】先计算 ，再根据其大小选择分段区间求出外层函数值. 【解析】由题意得 ， 则 . 故选 D. 13.（2026·河北名校协作体·一模）已知函数 ，若 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】对 和 所在的分支区间进行讨论解得参数 ，进而计算复合函数值. 【解析】若 ，则 ，因为函数 在 单调递增，且 ，所以方程 无解； 若 ，则 ，得到 ，即 ，整理得 ，解得 （舍）或 ； 若 ，因为函数 在 单调递减，且 ，所以方程 无解. 综上，，，所以 . 故选 B. 14.（2026·重庆二外·检测）已知函数 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】按定义域直接计算内层函数值后代入外层求解. 【解析】因为函数 ，所以 ， 所以 . 故选 B. 15.（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数 ，且 ，则 的值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】先根据各段值域判断 中 所在的分支，解得 后代入计算目标函数值. 【解析】函数 ，当 时，，当 时，.由 ，得 ，则 ，解得 . 所以 . 故答案为 . 16.（2026·吉林吉林·检测）已知函数 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】先代入 求解内层值，再根据该值的符号选择相应分支计算. 【解析】因为 ，所以 . 因为 ，所以 . 故答案为 . 考法8：已知分段函数值逆向求参 17.（2026·浙江精诚联盟·二模）已知函数 ，若 ，则实数 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】对参数 的正负进行分类讨论，分别代入相应区间的解析式解方程，并检验解是否在对应区间内. 【解析】当 时，，即 ，解得 或 （舍）. 当 时，，即 ，方程无实数解. 综上 . 故选 B. 18.（2026·内蒙古包头·二模）设函数 ，若 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】分段解方程求出 的值，进而求出 的函数值. 【解析】当 时，，即 ，无解； 当 时，，解得 ， 所以 . 故选 D. 19.（2025·福建厦门·模拟）已知函数 ，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】8 【思路】先计算 ，得到关于 的方程，再根据解析式逆向求参数. 【解析】，所以 . 因为 时，，所以 ，解得 . 故答案为 8. 20.（2026·重庆南开中学·模拟）已知 ，若存在实数 ，满足有且仅有三个不同的实数 使得下列关于 的方程 在 等于 时均无解，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【思路】先求出 的值域，再将方程化为 ，方程无解等价于右端的值不属于 的值域，进而转化为关于 的方程恰有三个非零实根，构造函数研究极值. 【解析】当 时，；当 时，.则 值域为 . 若 ，则方程化为 ，方程恒无解. 若 ，则 可化为 . 则要使得该方程无解，需使 ，即 ，即关于 的方程 必须恰有两个不同的非零实根. 令 . 当 或 时，，由对勾函数性质可得 在 、 上单调递增，在 上单调递减，有 ； 当 时，，则 在 上单调递减，此时 . 故要使得关于 的方程 恰有两个不同的非零实根，此时 的取值范围是 . 故答案为 . 考法9：分段函数方程求解 21.（2025·江西十校联盟·二模）已知函数 ，若 ，则 的值为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【思路】按自变量 与 0 的大小关系分类代入解析式解方程. 【解析】当 即 时，，解得 ，满足条件； 当 即 时，代入得对应解为 . 故选 B. 考法10：分段函数不等式及参数范围求解 22.（2026·江西南昌·一模）已知 ，则不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】将不等式在各自分段区间内拆开求解，最后取并集. 【解析】当 时，，此时无解； 当 时， 或 ，结合 ，得 或 . 综上，不等式 的解集为 . 故选 D. 23.（2025·福建福州一中·模拟）若函数 的定义域和值域的交集为空集，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】求出分段函数定义域 ，并分析各段值域的范围，利用交集为空列出不等式求解. 【解析】由题意，函数的定义域为 . 当 时，； 当 时，. 若定义域和值域的交集为空集，则值域中的所有数必须大于 ，且定义域中的数不能落在值域中. 当 时，对于 ，，且 ，此时值域为 ，定义域 ，两集合交集为空集，满足题意. 故选 B. 24.（2026·江西三新·检测）已知函数 ，若 ，则 的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】设 ，先解不等式 得到 的范围，再解关于 的分段不等式组. 【解析】由 ，令 ， 当 时，； 当 时， 无解. 因此 或由图象分析结合各分支可得： 由 ，可得 或 ； 由 ，可得 或 . 综上， 的取值范围为 . 故选 A. 考点五：抽象函数的性质与应用 考法11：赋值法与特殊值计算 25.（2026·福建福州·检测）已知函数 的定义域为 ，且 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】多次合理赋值，由 依次递推计算 . 【解析】在 中，且 ， 令 ，得 ， 令 ，得 ， 令 ，得 . 故选 B. 26.（2025·江西三新·模拟）已知定义在 上的函数 满足对任意的 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】通过赋值消元得到 为定值，代入特殊值确定 . 【解析】令 ，得 ，再令 ，得 . 令 ，得 ，则 . 因为 ，所以 ， 当 时，，得 . 故选 C. 考法12：递推关系与函数值大小比较 27.（2026·山东淄博·一模）已知函数 的定义域为 ，且 ，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】构造辅助函数 化为经典柯西方程求解解析式，再利用基本不等式求最值. 【解析】令 ，由 得 . 又 ，所以 ，即 . 则 ，当且仅当 即 时等号成立. 故选 D. 28.（2024·全国·检测）已知函数 的定义域为 ，且当 时 ，则下列结论中一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】由初始条件计算 ，再根据斐波那契型不等式递推放缩比较大小. 【解析】因为当 时 ，所以 . 又因为 ， 则 ， ， ， ， ， ，则依次下去可知 ，则 B 正确； 且无证据表明 ACD 一定正确. 故选 B. 考法13：利用抽象函数单调性解不等式 29.（2025·河北衡水中学·检测）定义在 上的函数 满足 且 ，有 ，且 ，则不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】由题意得出单调递增性，利用抽象方程求出 ，将不等式转化为同侧单调性脱去函数符号，并结合定义域列不等式组. 【解析】， ，即 . . ，可转化为：， 即 ，即 . 满足 且 ，有 ， 在 上单调递增， 即 ，解得 . 即不等式 的解集为 . 故选 C. 考法14：抽象函数性质的多选题综合判断 30.（2025·江西九师联盟·检测）（多选）已知定义在 上的函数 满足：，且 ，则（　　） A. B. 可能是偶函数 C. 的图象不可能关于点 对称 D. 若 ，则 在 上单调递增 【答案】ABD 【思路】令 确定 ；构造辅助函数 ，将其转化为积性函数 ，再结合特殊函数 等进行逐项判断. 【解析】法1：因为 ，令 ，得 ，即 .因为 ，所以 ，故 A 正确； 满足已知条件，故 B 正确； 满足已知条件，且其图象关于点 对称，故 C 错误； 当 时，，则 .由 ，得 ，所以 .又 ，所以当 时，. 设 ，则当 时，.且 .若 ，则存在 ，使得 ，所以 ，当 时，；因为 ，所以 ，所以 ，故 D 正确. 故选 ABD. 31.（2026·重庆育才中学·一模）（多选）已知函数 的定义域为 ，且对于任意实数 ，恒有 ，当 时，有 ，函数 满足 ，则（　　） A. B. 是 的充分不必要条件 C. D. 任意 【答案】ACD 【思路】由 知 为指数型函数，求出 并判断其单调性；将 用 表示，化简分式并结合指数函数性质判断其取值范围和加法公式. 【解析】对于 A：令 ，得 .若 ，则 ，与 时 矛盾，故 ，A 正确. 对于 B：设 ，则 ，，，故 在 上单调递增.由 得 ，故 是必要不充分条件，B 错误. 对于 C：由 ，又 ，得 .因为 ，所以 ，可得 ，C 正确. 对于 D：，变形即得原式成立，D 正确. 故选 ACD. 32.（2026·山师大附中·检测）（多选）函数 满足 ，都有 ，且 ，则（　　） A. B. 数列 单调递减 C. D. 【答案】BCD 【思路】令 探究非负性及解析式，令 得递推关系，用数学归纳法或通项公式计算前 项和与不等式. 【解析】对于 A 选项：令 ，则 ，即 ，则 .所以 ，A 错. 对于 B 选项：令 ，可得 ，所以 ，且 ，所以数列 是首项为 1，公比为 的等比数列，所以 .所以 ，即 ，故数列 单调递减，B 对. 对于 C 选项：对任意的 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，C 对. 对于 D 选项：令 （其中 ），利用错位相减法求和化简得 ，D 对. 故选 BCD. 33.（2026·湖南A佳教育·检测）（多选）定义在 上的函数 满足：，若 为偶函数，且 恒大于 0，则下列选项正确的是（　　） A. 为奇函数 B. C. D. 若 ，则 【答案】ABD 【思路】由双曲函数或三角函数结构特征进行赋值推导：令 求出 ，结合偶函数性质确定 的奇偶性，相加相减得出递推关系. 【解析】法一：令 ，得 ，因为 且 ，则 . 令 ，得 ，故 ，则 为奇函数，故选项 A 正确； 令 ，得 ，因为 ，则 .令 ，得 ，故选项 B 正确； 用 代替 ，得 ，两式相乘得 ，故选项 C 错误； 令 ，相加得 ，递推得 ，代入 ，结合 ，解得 ，故选项 D 正确. 故选 ABD. 34.（2026·河北T8联盟·联考）（多选）已知 ，则（　　） A. 当 时， 为增函数 B. 当 时， 的值域为 C. 当 时，图象上存在关于原点对称的两点 D. 若 ，使得 恒为常数 【答案】ABD 【思路】分别研究两段函数的单调性与端点值，结合交点方程和不动点理论进行综合判断. 【解析】对于 A：，当 时，，且 与 分别在各自定义域内为增函数， 选项 A 正确； 对于 B：在区间 上， 的值域为 ；在区间 上， 的值域为 ，当 时，并集为 ， 选项 B 正确； 对于 C：当 时， 关于原点对称的图象的解析式为 ，令 ，则 ， 在区间 上单调递增，且 ， 在区间 上无零点，故无公共点， 选项 C 错误； 对于 D： 时， 与 有公共点，设为 ，则 ，， 选项 D 正确. 故选 ABD. 考点六：函数新定义与创新探究 考法15：算法复杂度与增长模型新定义 35.（2025·河北衡水·联考）（多选）数据处理过程中常常涉及复杂问题，此时需要利用符号 来衡量某个操作的复杂度.设定义在全体正整数上的函数 与 ，若存在正常数 ，同时存在常数 ，使得任意 时，，则称 是 的复杂函数，则下列函数中，满足 是 的复杂函数有（设 均为非零实数）（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【思路】根据定义，实质是考察当 时， 是否有上界. 【解析】存在常数 ，同时存在常数 ，使任意 时，，故 是 的复杂函数，故 A 正确； 同时存在常数 ，使任意 时，，故 是 的复杂函数，故 B 正确； 易知 均为正数，故令 ，解得 对于充分大的 均成立，但函数 值域为 ，故不存在正常数 恒成立，故 C 错误； 存在常数 ，同时存在常数 ，使任意 时，，故 是 的复杂函数，故 D 正确. 故选 ABD. 考法16：新定义运算与函数性质综合判断 36.（2026·浙江湖衢丽·二模）已知函数 的定义域为 ，对于任意给定 ，都存在 ，使得 ，则称函数 为“倍增友好函数”，则下列函数中不是“倍增友好函数”的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】逐项代入新定义方程 ，检验是否存在满足条件的自变量 . 【解析】对于 A 选项， 的定义域为 ，对于任意给定 ，任取 ，都有 ，满足“倍增友好函数”定义； 对于 B 选项， 的定义域为 ，对于任意给定 ，取 ，满足“倍增友好函数”定义； 对于 C 选项， 的定义域为 ，对于任意给定 ，取 ，，要使 成立，则 ，解得 ，这意味着对于任意的 的正整数，不存在 满足条件，所以该函数不满足“倍增友好函数”定义； 对于 D 选项， 的定义域为 ，对于任意给定 ，令 ，即 ，当 时解得 ，当 时任意 均满足. 故选 C. 37.（2026·浙江金华十校·二模）若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义域内的任意 ，当 时，都有 ，则称该函数为“阶梯形函数”.下列选项中，不是“阶梯形函数”的是（　　） A. （不超过 的最大整数） B. C. D. 【答案】D 【思路】把握“有界性（夹在两条平行直线之间）”和“单调不减”两个核心特征进行逐项甄别. 【解析】对于选项 A，若 ，单调递增，由已知 ，故图象夹在平行直线 和 之间，满足定义； 对于选项 B， 在 上单调递增且值域为 ，图象夹在 和 之间，满足定义； 对于选项 C， 恒成立，函数单调递增，且 ，图象夹在 和 之间，满足定义； 对于选项 D，，易知函数在 上单调递增，但当 时，三次项 增长速度远快于任何一次项 ，无法被任意两条平行直线 与 夹住，不满足定义. 故选 D. 38.（2026·湖南长沙·一模）（多选）已知函数 的定义域为 ，且 .当 时，，则（　　） A. B. 是偶函数 C. 当 时， D. 为 的极值点 【答案】AC 【思路】利用赋值法研究特殊值、奇偶性，并通过倒数关系结合已知符号确定指定区间内的正负性. 【解析】令 ，则 ，解得 ，故 A 正确； 令 ，则 ，解得 ； 令 ，则 ，可得 为奇函数，故 B 错误； 当 时，令 ，则 ，所以 ，故有 ，结合 ，则 ，可得 ； 而 是奇函数，则 时，，故 C 正确； 两边同乘 得 ，可设 ，则 ，当 时，，在 上递增，在 上递减，此时 不是极值点，故 D 错误. 故选 AC. 39.（2026·浙江北斗星盟·联考）对于定义在区间 上的函数 ，若对 ，都有 ，则称 为 在区间 上的“上域函数”；若对 ，都有 ，则称 为 在区间 上的“下域函数”. 试判断以下函数中，哪些是 在 上的“上域函数”？哪些是 在 上的“下域函数”？（直接写出结论，无需证明） ①；②；③. 【答案】①是“上域函数”，②③是“下域函数” 【思路】利用切线放缩与对数不等式 直接得出结论. 【解析】①是“上域函数”，②③是“下域函数”. 考法17：新定义函数与集合关系探究 40.（2026·湖南师大附中·模拟）已知 是给定的正整数，设 是以满足下列条件①②③的函数 为元素构成的集合： ①定义域为 ； ②； ③，其中 . 对给定的整数 （其中 ），记 . （1）当 时，求集合 ； （2）若 且 不是 3 的倍数，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【思路】（1）根据定义直接计算 时各斜率下的函数表达式；（2）由题意计算 的值，将其表示为斜率贡献的代数和，通过同余特性说明无解. 【解析】（1）当 时，，此时条件①为 的定义域为 ，条件②为 ， 条件③当 时， 或 . 若 ，则 ，满足条件； 若 ，则 ，不满足条件，舍去. 综上，. （2）若 ，则所求结论显然成立； 若 ，则对任意的 . 由题意得 ， 则 . 设 中有 个等于 ，有 个等于 2， 则 . 因此 . 所以若 不是 3 的倍数，则 ，即 . 2.1 函数及其表示 方法总结 1. 求解具体函数的定义域，需紧扣四大基本原则：分母不为零、偶次根号下大于等于零、对数真数严格大于零、零次幂底数不为零.复合函数遵循“内层函数的值域为外层函数的定义域”以及“同处于 括号内的整体范围相同”的对应原则.（第1、2、4题） 2. 分段函数求值应严格贯彻“由内向外、逐层定位”策略；逆向求参问题则须先对自变量所处的区间分支进行分类讨论，解出参数后务必进行区间范围的“回代检验”，严防增根与漏解.（第10、11、12、13、14、17、18、19题） 3. 抽象函数的核心分析工具为“方程赋值法”.常通过令自变量取 等特殊值，结合奇偶性、周期性定义进行消元与递推.对于具备柯西方程特征的抽象函数，可联想线性函数、对数函数或指数函数模型作为破题指引.（第25、26、27、28、30、31、32、33题） 4. 处理取整函数及新定义函数时，关键在于将抽象符号剥离为常规的“不等式夹逼”、“图象区域界定”或“数列递推关系”，紧扣定义给出的充要条件，化陌生为熟悉.（第6、20、35、36、37、38、40题） 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习专项训练 2.1 函数及其表示 练习卷 考点一：函数的概念与定义域 1 考法1：具体函数定义域的常规求法 1 考法2：复合函数与抽象函数定义域 1 考点二：函数的值域与最值 2 考法3：代数变形与分离常数法求值域 2 考法4：取整函数与特殊模型的值域 2 考点三：函数的表示与解析式 2 考法5：方程赋值法与待定系数法求解析式 2 考法6：性质约束下的函数解析式构造 2 考点四：分段函数及其综合应用 3 考法7：分段函数的直接求值与嵌套求值 3 考法8：已知分段函数值逆向求参 4 考法9：分段函数方程求解 4 考法10：分段函数不等式及参数范围求解 4 考点五：抽象函数的性质与应用 5 考法11：赋值法与特殊值计算 5 考法12：递推关系与函数值大小比较 5 考法13：利用抽象函数单调性解不等式 6 考法14：抽象函数性质的多选题综合判断 6 考点六：函数新定义与创新探究 7 考法15：算法复杂度与增长模型新定义 7 考法16：新定义运算与函数性质综合判断 8 考法17：新定义函数与集合关系探究 9 考点一：函数的概念与定义域 考法1：具体函数定义域的常规求法 1.（2026·湖北随州·联考）（多选）下列四个函数，定义域和值域相同的是（　　） A. B. C. D. 2.（2026·贵州毕节·一模）函数 的定义域为＿＿＿＿＿＿. 3.（2025·河南金科·联考）已知函数 的定义域和值域相同，求 的值. 考法2：复合函数与抽象函数定义域 4.（2026·安徽合肥一六八中·一模）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A. B. C. D. 考点二：函数的值域与最值 考法3：代数变形与分离常数法求值域 5.（2025·河南创新联盟·模拟）函数 的定义域为＿＿＿＿＿＿，值域为＿＿＿＿＿＿. 考法4：取整函数与特殊模型的值域 6.（2026·湖北黄冈·一模）高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号. 称为高斯函数，其中， 表示不超过 的最大整数，例如 ，则下列说法正确的是（　　） A. 在 上单调递增 B. C. 若 ，则 的值域为 D. 若 ，则 的值域为 考点三：函数的表示与解析式 考法5：方程赋值法与待定系数法求解析式 7.（2026·山东东营·一模）写出一个满足下列条件的函数解析式＿＿＿＿＿＿. ①； ②，且 ，有 ； ③，且 ，有 ； ④. 考法6：性质约束下的函数解析式构造 8.（2026·安徽省十·模拟）写出一个满足下列条件的函数 的解析式：＿＿＿＿＿＿. ①； ②对任意正数 ； ③； ④. 9.（2026·湖南雅礼中学·一模）写出一个满足“若 ，且 ，则 ＿＿＿＿＿＿；若 ，且 ，则 ＿＿＿＿＿＿”. 考点四：分段函数及其综合应用 考法7：分段函数的直接求值与嵌套求值 10.（2026·广东广州·一模）已知函数 ，则 （　　） A. B. C. D. 11.（2026·江苏南通·检测）已知函数 ，则 的值为（　　） A. B. C. D. 12.（2026·四川仁寿一中·二模）若函数 ，则 （　　） A. B. C. D. 13.（2026·河北名校协作体·一模）已知函数 ，若 ，则 （　　） A. B. C. D. 14.（2026·重庆二外·检测）已知函数 ，则 （　　） A. B. C. D. 15.（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数 ，且 ，则 的值为＿＿＿＿＿＿. 16.（2026·吉林吉林·检测）已知函数 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 考法8：已知分段函数值逆向求参 17.（2026·浙江精诚联盟·二模）已知函数 ，若 ，则实数 （　　） A. B. C. D. 18.（2026·内蒙古包头·二模）设函数 ，若 ，则 （　　） A. B. C. D. 19.（2025·福建厦门·模拟）已知函数 ，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 20.（2026·重庆南开中学·模拟）已知 ，若存在实数 ，满足有且仅有三个不同的实数 使得下列关于 的方程 在 等于 时均无解，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 考法9：分段函数方程求解 21.（2025·江西十校联盟·二模）已知函数 ，若 ，则 的值为（　　） A. 或 B. 或 C. D. 考法10：分段函数不等式及参数范围求解 22.（2026·江西南昌·一模）已知 ，则不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 23.（2025·福建福州一中·模拟）若函数 的定义域和值域的交集为空集，则 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 24.（2026·江西三新·检测）已知函数 ，若 ，则 的取值范围为（　　） A. B. C. D. 考点五：抽象函数的性质与应用 考法11：赋值法与特殊值计算 25.（2026·福建福州·检测）已知函数 的定义域为 ，且 ，则 （　　） A. B. C. D. 26.（2025·江西三新·模拟）已知定义在 上的函数 满足对任意的 ，则 （　　） A. B. C. D. 考法12：递推关系与函数值大小比较 27.（2026·山东淄博·一模）已知函数 的定义域为 ，且 ，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 28.（2024·全国·检测）已知函数 的定义域为 ，且当 时 ，则下列结论中一定正确的是（　　） A. B. C. D. 考法13：利用抽象函数单调性解不等式 29.（2025·河北衡水中学·检测）定义在 上的函数 满足 且 ，有 ，且 ，则不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 考法14：抽象函数性质的多选题综合判断 30.（2025·江西九师联盟·检测）（多选）已知定义在 上的函数 满足：，且 ，则（　　） A. B. 可能是偶函数 C. 的图象不可能关于点 对称 D. 若 ，则 在 上单调递增 31.（2026·重庆育才中学·一模）（多选）已知函数 的定义域为 ，且对于任意实数 ，恒有 ，当 时，有 ，函数 满足 ，则（　　） A. B. 是 的充分不必要条件 C. D. 任意 32.（2026·山师大附中·检测）（多选）函数 满足 ，都有 ，且 ，则（　　） A. B. 数列 单调递减 C. D. 33.（2026·湖南A佳教育·检测）（多选）定义在 上的函数 满足：，若 为偶函数，且 恒大于 0，则下列选项正确的是（　　） A. 为奇函数 B. C. D. 若 ，则 34.（2026·河北T8联盟·联考）（多选）已知 ，则（　　） A. 当 时， 为增函数 B. 当 时， 的值域为 C. 当 时，图象上存在关于原点对称的两点 D. 若 ，使得 恒为常数 考点六：函数新定义与创新探究 考法15：算法复杂度与增长模型新定义 35.（2025·河北衡水·联考）（多选）数据处理过程中常常涉及复杂问题，此时需要利用符号 来衡量某个操作的复杂度.设定义在全体正整数上的函数 与 ，若存在正常数 ，同时存在常数 ，使得任意 时，，则称 是 的复杂函数，则下列函数中，满足 是 的复杂函数有（设 均为非零实数）（　　） A. B. C. D. 考法16：新定义运算与函数性质综合判断 36.（2026·浙江湖衢丽·二模）已知函数 的定义域为 ，对于任意给定 ，都存在 ，使得 ，则称函数 为“倍增友好函数”，则下列函数中不是“倍增友好函数”的是（　　） A. B. C. D. 37.（2026·浙江金华十校·二模）若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义域内的任意 ，当 时，都有 ，则称该函数为“阶梯形函数”.下列选项中，不是“阶梯形函数”的是（　　） A. （不超过 的最大整数） B. C. D. 38.（2026·湖南长沙·一模）（多选）已知函数 的定义域为 ，且 .当 时，，则（　　） A. B. 是偶函数 C. 当 时， D. 为 的极值点 39.（2026·浙江北斗星盟·联考）对于定义在区间 上的函数 ，若对 ，都有 ，则称 为 在区间 上的“上域函数”；若对 ，都有 ，则称 为 在区间 上的“下域函数”. 试判断以下函数中，哪些是 在 上的“上域函数”？哪些是 在 上的“下域函数”？（直接写出结论，无需证明） ①；②；③. 考法17：新定义函数与集合关系探究 40.（2026·湖南师大附中·模拟）已知 是给定的正整数，设 是以满足下列条件①②③的函数 为元素构成的集合： ①定义域为 ； ②； ③，其中 . 对给定的整数 （其中 ），记 . （1）当 时，求集合 ； （2）若 且 不是 3 的倍数，证明：. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $