2.1 函数及其表示【10大考点】专题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数表示核心模块，以10大考点为纲，构建从具体到抽象、从概念到应用的知识逻辑链，题型覆盖选择、填空、解答，强化基础能力训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义域|12题|具体/抽象函数定义域、已知定义域求参数|从具体函数到抽象函数，从正向求解到逆向参数问题，培养抽象能力| |解析式|12题|待定系数法、换元法、方程组法求解析式|按方法类型分层设计，强化不同情境下解析式求解的推理能力| |值域|8题|求值域、利用值域求参数|从直接求解到逆向应用，构建值域与参数问题的逻辑联系| |分段函数|10题|求值、求参数范围|结合函数性质考查分段函数处理，提升数学语言表达能力|

2.1 函数及其表示 10大考点汇总 考点01 具体函数的定义域 考点02 抽象函数定义域 考点03 已知函数的定义域求参数 考点04 判断两个函数是否相等 考点05 待定系数法求解析式 考点06 换元法求解析式（整体换） 考点07 方程组法求解析式 考点08 求函数值域 考点09 利用值域求参数或范围 考点10 分段函数求值以及求参数 题型专练 考点01 具体函数的定义域 1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，即， 解得，即函数的定义域为. 2．函数的定义域是______． 【答案】 【详解】函数有意义，等价于，解得且， 故函数的定义域为. 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使函数有意义，需使，解得， 则函数的定义域为. 4．函数的定义域为___________． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为零的约束条件列不等式组，求解后取交集得到定义域. 【详解】要使函数有意义， ，解得 故答案为：. 考点02 抽象函数定义域 5．若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 6．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 7．已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可. 【详解】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. 8．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抽象函数定义域结合二次函数不等式即可求解 . 【详解】函数的定义域为，则，所以函数的定义域为； 若函数有意义，则，解得． 则函数的定义域为. 考点03 已知函数的定义域求参数 9．已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次项系数是否为零分情况讨论，当系数为零时验证一次函数是否满足要求，当系数不为零时利用二次函数图象在横轴上或上方得出判别式不大于零且开口向上，再综合两种情况解出参数范围. 【详解】因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，即解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：D. 10．已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若定义域为，由恒成立求解； （2）若定义域为，则-6，2是一元二次方程的两根，由韦达定理求解； 【详解】（1）若定义域为，则恒成立， 则，或， 解得：； （2）若定义域为， 则-6，2是一元二次方程的两根， 由韦达定理得，解得：； 11．已知函数.若的定义域为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】将问题转化为在上恒成立，分、讨论，并结合一元二次函数的性质求解. 【详解】由题意可知， 在上恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 12．若幂函数的定义域为R，则m=______________． 【答案】1 【分析】根据幂函数的定义，可得m值，代入检验，结合定义域，即可得答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为R，符合题意； 当时，，定义域为，不符合题意. 故 考点04 判断两个函数是否相等 13．下列函数中哪个与函数是同一个函数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域是, 值域是, A.    函数的定义域是，所以A错误； B.    函数的定义域是，所以B错误； C.    函数与的对应法则不同，所以C错误； D.    函数，与函数是同一个函数, 所以D正确. 14．（多选）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】结合同一函数的定义，逐一判断两个函数的定义域与对应关系是否一致即可得. 【详解】选项A：和的定义域都是全体实数，对应法则相同，是同一函数； 选项B：的定义域是；要求分母不为0，定义域是，二者定义域不同，不是同一函数； 选项C：，定义域是；的分段表达式即为，定义域也是，定义域和对应法则都相同，是同一函数； 选项D：的定义域满足，即， 化简得：， 与的对应法则不同，不是同一函数. 15．（多选）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于选项A： ∵ 的定义域为，，定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项B： ∵ 的定义域为，化简后为，而的定义域为，二者定义域不同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 对于选项C： ∵ 的定义域为，的定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项D： ∵ ，定义域为；的定义域为，化简后为，二者定义域和对应法则均不相同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 综上，正确选项为A、C. 16．（多选）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ACD 【详解】对于A：，定义域为，而，定义域也是，两个函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一个函数，故A正确； 对于B：，定义域为，而，定义域为，定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于C：，需满足，即，而，需满足，即， 且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故C正确； 对于D：，定义域为，而，定义域为，且，所以两个函数的定义域和对应法则相同，为同一个函数，故D正确. 考点05 待定系数法求解析式 17．已知函数是一次函数，若，则______． 【答案】或 【详解】设，则. 又，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 18．若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法可求答案. 【详解】令，则， 即为， 所以. 故选：C. 19．已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为______________. 【答案】 【分析】根据题意，假设出二次函数的顶点式，再将点代入即可得解. 【详解】因为的对称轴为，函数在上最小值为， 所以可设， 将代入，得，解得， 故. 故答案为：. 20．（1）已知是二次函数，且满足，求解析式; （2）已知，求的解析式; （3）已知一次函数满足，求的解析式. 【答案】（1），（2），（3） 【分析】利用待定系数法计算即可求解（1）（3）；利用换元法计算即可求解（2）. 【详解】（1）设， 因为，所以，则. 由题意可知:， 对照系数可得，解得. 所以. （2）令，则， 所以. 所以. （3）设， 因为，所以， 对照系数可得，解得， 所以. 考点06 换元法求解析式（整体换） 21．已知 ，则函数的解析式为_________. 【答案】， 【分析】使用换元法求解即可，设，那么，再代入即可求得函数的解析式. 【详解】设，那么，则 ， 所以，. 22．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 23．已知，则的解析式是__________. 【答案】， 【分析】把看成一个整体，用配凑方法化简即可得出结果，再利用基本不等式求出定义域范围即可. 【详解】因为，则， 当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，. 故答案为：，. 24．若函数，则________；______. 【答案】 【分析】利用换元法求解析式，再求的值. 【详解】因为函数， 设，则， 所以， 所以，则. 故答案为：； 考点07 方程组法求解析式 25．已知且，求函数的解析式． 【答案】且 【分析】利用解方程组法，分别用，代换题设式子中的，得到方程组求解即可. 【详解】，① 将①中的用代换得② 再将①中的用代换得③ 则由得且． 26．是定义在上的函数，满足对都成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，依次代入特殊值，，，联立方程组，即可求出. 【详解】令，则①， 令，则②， 令，则③， 令，则④， 联立③④，解得，，将代入②，解得， 再将代入①，解得. 27．已知函数的定义域为，且对定义域内任意的满足，则_____. 【答案】 【分析】用代替构造方程组求解. 【详解】用代替，得， 与联立得，. 故答案为： 28．已知函数满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以代x，利用解方程组法求解即可. 【详解】以代x，由①，得②， 则①②，得，则． 故选：A 考点08 求函数值域 29．函数的值域为_____． 【答案】 【详解】使用二倍角公式 ，将原函数化为 ， 整理为关于 的二次函数， 令 ，可知 ， 因此， 易知该抛物线的对称轴为， 因此函数 在区间 上是单调递减的， 所以函数最大值在 处取得，即 ， 最小值在 处取得，即 ， 因此，该函数的值域为 ． 30．下列函数中，定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用函数的图象性质结合图象变换，分别求各个选项中函数的定义域与值域并比较即可求解. 【详解】对于A，的定义域为，值域为， 定义域与值域相同，故A正确； 对于B，的定义域为，值域为， 定义域与值域不同，故B错误； 对于C，的定义域为，值域为， 定义域与值域不同，故C错误； 对于D，的定义域为，值域为， 定义域与值域不同，故D错误； 31．已知函数的值域为，求，的值． 【答案】 【分析】去分母，并整理成关于的一元二次方程的形式，当时，根据一元二次方程有实数根的条件列式，并结合一元二次不等式和一元二次方程的关系列方程组求解，并验证时也符合题意，从而可得最终结果. 【详解】将式子变形为； 当时，；即； 所以1，9是方程的两个根，代入得：；解得； 将代入，当时，方程化为，有实数解，故在值域内，符合题意. 综上，． 32．（1）若函数在上的值域是，则实数a的值为______． （2）函数的最小值为______． （3）函数的最大值为______． 【答案】 【分析】（1）利用函数在给定区间单调递增的性质，由区间端点对应值域端点列方程组，求解参数的值； （2）通过配凑分式结构变形函数，运用基本不等式求函数最小值并确定取等条件； （3）换元将根式函数转化为关于的函数，借助对勾函数单调性求出最值，进而得到原函数最大值. 【详解】（1）因为函数在区间上是增函数，值域为. 所以，，即，解得． （2）. 当且仅当，即时，． （3）令，则，所以，所以. 设，则在单调递增. 所以，所以（时取等号），即的最大值为． 考点09 利用值域求参数或范围 33．已知函数的值域为，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】分别求出在和的值域，根据集合包含关系可得，解不等式即可求解. 【详解】因为当时，，此时，即， 所以在时，的值域为， 函数为，令，则在时为，且增大时减小， 在时单调递增，所以单调递减， 因此在上单调递增， 此时：当时，，当时，， 所以在时，的值域为， 所以要使函数的值域为，则， 解得：，则a的取值范围是 34．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用单调性求出在上的函数值集合，由已知可得在上的值域包含，再利用导数探讨函数在上的函数值集合即可求出范围. 【详解】当时，函数在上单调递增，函数值集合为， 由函数的值域为R，得函数在上的值域包含， 当时，函数，求导得，而， 当时，，函数在上单调递增，函数值集合为， 而恒成立，则； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 函数值集合为，于是，解得，则， 所以a的取值范围是. 故选：A 35．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，整理函数解析式后利用基本不等式，即得的取值范围，当时，利用导数求得的取值范围，再由的值域为R，得到不等式，解之即得. 【详解】当时， ， 当且仅当，即时取等号， 即时，； 当时，，则， 令，解得或， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，为， 又当时，所以时，， 由的值域为，可得，即，解得. 故选：A 36．已知函数． (1)若，函数都有意义，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围； (3)求函数的定义域． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据题意转换为被开方数大于等于0在上恒成立，然后得到参数的不等式，然后换元构造二次函数，由对称得到单调区间，然后求出最大值即可得到参数的取值范围； （2）根据题意转化为能取遍，讨论和，由二次函数开口向上且有零点即可求得参数的取值范围； （3）根据题意转化为求不等式的解集，由判别式可知通过的值与0和的关系讨论分别得到对应不等式的解，即为函数定义域. 【详解】（1）根据题意得在上恒成立， 即，令， 由此可得在上恒成立， 所以问题可以转换为， 又的对称轴为，所以在单调递减， 所以当且仅当． 综上：的取值范围是． （2）根据题意得能取遍， 当时，，当时，； 当时，有，解得． 综上所述， （3）求函数的定义域等价于求不等式的解集， 当且时，即或时， 方程的根为 分类讨论的临界值为0和 当时，定义域为； 当时，定义域为； 当时，定义域为； 当时，，定义域为． 【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，本题中参数是最高次项系数，对参数的讨论是解决本题的关键.当时，借助一次不等式求解；当，借助二次不等式求解. 考点10 分段函数求值以及求参数 37．已知函数，则_____． 【答案】 【详解】因为， 所以 38．定义在上的函数满足，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先根据递推关系推导函数周期为6，再计算2026模6的余数，对应周期内的函数值即可求解. 【详解】当时，， 因此，. 当时，递推关系为 ①， 将替换为得 ②， 将①+②可得，即， 因此，故函数在具有周期性，周期为. 因为，所以， 因为， ， ， . 因此. 39．已知，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题得或，解得，故选项D正确． 40．已知为偶函数，若，则的值为______． 【答案】 【详解】因为为偶函数，所以， 当时，，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为，结合单调性知，可得， 因为时，，结合为偶函数， 由，可得，且， 又，所以，所以，解得 故的值． 41．已知函数，若，都有，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】以，和分段求解，分离参数后构造函数，用导数求出函数最值求解. 【详解】当时，，符合题意； 当时，恒成立，即，随着的增大而减小，当时，，； 当时，恒成立，即， 令，，令，即，解得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的最大值为，， 综上，，即实数a的取值范围是. 42．已知函数，则满足的实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论，当时，根据解不等式，当时，即时根据函数的单调性求解, 【详解】当时，即时，， 故满足题意； 当时，即时，令，则+1在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 所以由可得，解得， 又，故. 综上，实数a的取值范围为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 函数及其表示 10大考点汇总 考点01 具体函数的定义域 考点02 抽象函数定义域 考点03 已知函数的定义域求参数 考点04 判断两个函数是否相等 考点05 待定系数法求解析式 考点06 换元法求解析式（整体换） 考点07 方程组法求解析式 考点08 求函数值域 考点09 利用值域求参数或范围 考点10 分段函数求值以及求参数 题型专练 考点01 具体函数的定义域 1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是______． 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为___________． 考点02 抽象函数定义域 5．若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 7．已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点03 已知函数的定义域求参数 9．已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 11．已知函数.若的定义域为，则实数的取值范围为______. 12．若幂函数的定义域为R，则m=______________． 考点04 判断两个函数是否相等 13．下列函数中哪个与函数是同一个函数（   ） A． B． C． D． 14．（多选）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 15．（多选）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 16．（多选）下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 考点05 待定系数法求解析式 17．已知函数是一次函数，若，则______． 18．若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 19．已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为______________. 20．（1）已知是二次函数，且满足，求解析式; （2）已知，求的解析式; （3）已知一次函数满足，求的解析式. 考点06 换元法求解析式（整体换） 21．已知 ，则函数的解析式为_________. 22．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 23．已知，则的解析式是__________. 24．若函数，则________；______. 考点07 方程组法求解析式 25．已知且，求函数的解析式． 26．是定义在上的函数，满足对都成立，则（    ） A． B． C． D． 27．已知函数的定义域为，且对定义域内任意的满足，则_____. 28．已知函数满足，则（    ）． A． B． C． D． 考点08 求函数值域 29．函数的值域为_____． 30．下列函数中，定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 31．已知函数的值域为，求，的值． 32．（1）若函数在上的值域是，则实数a的值为______． （2）函数的最小值为______． （3）函数的最大值为______． 考点09 利用值域求参数或范围 33．已知函数的值域为，则a的取值范围是____________． 34．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 36．已知函数． (1)若，函数都有意义，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围； (3)求函数的定义域． 考点10 分段函数求值以及求参数 37．已知函数，则_____． 38．定义在上的函数满足，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 39．已知，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．已知为偶函数，若，则的值为______． 41．已知函数，若，都有，则实数a的取值范围是________. 42．已知函数，则满足的实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $