第2章 第1讲 函数的概念及其表示 课后达标检测(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

**基本信息** 聚焦函数核心概念与性质，以题载法构建从基础辨析到综合应用的逻辑体系，渗透抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数概念与表示|4题|相同函数判断、解析式求解、定义域|从定义域与对应关系切入，构建函数定义理解框架| |分段函数应用|4题|分段求值、方程根、不等式求解|以分类讨论为核心，衔接函数图象与代数运算| |函数性质综合|5题|周期性、奇偶性、狄利克雷函数|通过抽象函数与特殊函数，深化性质应用与逻辑推理| |复合函数|1题|符号函数与复合求值|结合新定义，提升数学抽象与数学表达能力|

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列各组函数中表示相同函数的是(　　) A．f(x)＝和g(x)＝()2 B．f(x)＝1和g(x)＝x0 C．f(t)＝和g(x)＝ D．f(x)＝x＋1和g(x)＝ 解析：选C.对于A，f(x)＝的定义域为R，g(x)＝()2＝x的定义域为[0，＋∞)，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；对于B，f(x)＝1的定义域为R，g(x)＝x0＝1的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；对于C，f(t)＝＝|t|＝函数f(t)，g(x)的定义域都是R，且对应关系相同，是相同函数；对于D，f(x)＝x＋1的定义域为R，g(x)＝＝x＋1的定义域为{x|x≠1}，两个函数的定义域不相同，不是相同函数． 2．已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝(　　) A．x2－1(x≥1) B．x2－1 C．x2＋1(x≥1) D．x2＋1 解析：选A.令t＝＋1，t≥1，则x＝(t－1)2，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)＝x2－1(x≥1). 3．(2026·茂名模拟)已知函数f(x)＝ 则f(－1)＋f(1)＝(　　) A． B．3 C． D． 解析：选C.因为f(x)＝ 所以f(1)＝log39＝2，f(－1)＝3-1＝， 所以f(－1)＋f(1)＝＋2＝. 4．已知函数f(x)＝的定义域是R，则m的取值范围是(　　) A．(0，4] B．[0，4) C．[4，＋∞) D．[0，4] 解析：选D.因为函数f(x)＝ 的定义域是R，所以不等式mx2＋mx＋1≥0对任意x∈R恒成立，当m＝0时，1＞0，对任意x∈R恒成立，符合题意；当m≠0时，即解得0＜m≤4，综上，0≤m≤4，即实数m的取值范围是[0，4]. 5．(2026·南昌模拟)已知f(x)＝则方程f(x)＝8的所有根的和为(　　) A．1 B．2 C．5 D．7 解析：选A.当x<0时，由x2－2x＝8，得(x＋2)(x－4)＝0，所以x＝－2；当x≥0时，由2x＝8，得x＝3.因为－2＋3＝1，所以方程f(x)＝8的所有根的和为1. 6．(多选)(2025·河南九校联考)若函数f(x)满足关系式f(x)＋2f(1－x)＝，则(　　) A．f(－2)＝ B．f(3)＝－ C．f(－)＝f() D．f(2)＋2f(－1)＝ 解析：选ABD.用x替换1－x代入计算，得到f(1－x)＋2f(x)＝，结合f(x)＋2f(1－x)＝，两式联立解得f(x)＝－.对于A，令x＝－2，则f(－2)＝－＝，故A正确；对于B，令x＝3，则f(3)＝－＝－，故B正确；对于C，令x＝，则f()＝－＝2，令x＝－，则f(－)＝－＝，所以f(－)≠f()，故C错误；对于D，令x＝2，代入原已知式子，则f(2)＋2f(1－2)＝，即f(2)＋2f(－1)＝，故D正确． 7．已知函数y＝g(x)的对应关系如表所示，函数y＝f(x)的图象如图所示，则g(f(2))的值为__________． x 1 2 3 g(x) 4 3 －1 解析：由题图可知f(2)＝1，所以g(f(2))＝g(1)＝4. 答案：4 8．已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－2)的定义域为________． 解析：函数f(x)的定义域为(－1，1)，则对于函数g(x)＝f＋f(x－2)， 有解得1<x<2， 故函数g(x)的定义域为(1，2). 答案：(1，2) 9．(13分)已知f(x)＝ (1)求f(f(－2))的值；(4分) (2)若f(x0)＝2，求x0的值；(4分) (3)解不等式f(x)<1.(5分) 解：(1)因为f(x)＝ 所以f(－2)＝－(－2)2－2×(－2)＋1＝1， 所以f(f(－2))＝f(1)＝1. (2)当x0>0时，f(x0)＝x0，又f(x0)＝2，所以x0＝2； 当x0≤0时，f(x0)＝－x－2x0＋1， 又f(x0)＝2， 所以－x－2x0＋1＝2，故x0＝－1， 综上，x0的值为－1或2. (3)当x>0时，f(x)＝x<1，所以0<x<1， 当x≤0时，f(x)＝－x2－2x＋1<1，所以x<－2， 综上，原不等式的解集为(－∞，－2)∪(0，1). 10．(2026·长沙模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且对任意x∈R，满足f(x＋1)－f(x)≥x－1，f(x＋3)－f(x)≤3x，且f(1)＝0，则f(52)＝(　　) A．675 B．1 275 C．1 276 D．676 解析：选B.因为f(x＋1)－f(x)≥x－1，所以f(x＋2)－f(x＋1)≥x，f(x＋3)－f(x＋2)≥x＋1，以上三个不等式相加得，f(x＋3)－f(x)≥3x，又因为f(x＋3)－f(x)≤3x，所以f(x＋3)－f(x)＝3x，即f(4)－f(1)＝3×1，f(7)－f(4)＝3×4，f(10)－f(7)＝3×7，…，f(52)－f(49)＝3×49，以上等式相加，得f(52)－f(1)＝3×(1＋4＋7＋…＋49)＝1 275，又因为f(1)＝0，所以f(52)＝1 275. 11．(多选)(2026·绵阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)＝且f(－1)＝9，则(　　) A．a的值可以为－1 B．a的值可以为2 C．若f(a)＝81，则a＝1 D．若m>n，且f(m)＝f(n)，则m的最大值为a＋3 解析：选ACD.对于A，当a＝－1时，f(x)＝f(－1)＝f(2)＝32＝9，符合题意，故A正确；对于B，当a＝2时，f(x)＝f(－1)＝f(2)＝f(5)＝35≠9，不符合题意，故B错误；对于C，f(a)＝f(a＋3)＝3a+3＝81，则a＋3＝4，即a＝1，故C正确；对于D，当x≤a时，f(x)＝f(x＋3)，则函数的周期为3，由m>n，f(m)＝f(n)，要使m最大，则m>a，n≤a，因为f(n)＝f(n＋3k)，k∈N，当n＋3k>a时，令m＝n＋3k，k取满足n＋3k>a的最小正整数，当k＝1时，m取得最大值n＋3，又n≤a，则m的最大值为a＋3，故D正确． 12．已知符号函数sgn (x)＝f(x)＝[x－sgn (x)·(2x2＋x)]，若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________． 解析：由sgn (x)＝则f(x)＝[x－sgn (x)·(2x2＋x)]＝ 所以f(x)的图象如图所示，由分段函数可知， 当f(a)<0时， 由f(f(a))≤2可得 [f(a)]2＋f(a)≤2， 即[f(a)＋2][f(a)－1]≤0，解得－2≤f(a)<0； 当f(a)＝0时，由f(f(a))≤2可得0≤2恒成立； 当f(a)>0时，由f(f(a))≤2可得－[f(a)]2≤2恒成立． 综上可得f(a)≥－2. 若a<0，则有a2＋a≥－2，即(a＋)2≥－恒成立； 若a＝0，则有0≥－2恒成立； 若a>0，则有－a2≥－2，解得0<a≤， 综上，实数a的取值范围是(－∞，]. 答案：(－∞，] 13．(15分)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－5f(－x)＝x＋. (1)求f(x)的解析式；(5分) (2)设函数g(x)＝ax2＋2ax＋1(a>0)，若对任意的x1∈[－1，3]，总存在x2∈[－1，2]，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．(10分) 解：(1)已知f(x)－5f(－x)＝x＋，用－x替换x得f(－x)－5f(x)＝－x＋，联立 解得f(x)＝. (2)若对任意的x1∈[－1，3]，总存在x2∈[－1，2]，使得f(x1)＝g(x2)成立，可得f(x)在[－1，3]上的值域是g(x)在[－1，2]上的值域的子集， 由(1)可得f(x)＝，当x∈[－1，3]时，f(x)∈； g(x)＝ax2＋2ax＋1(a>0)为二次函数，图象开口向上，对称轴为直线x＝－1，所以g(x)在[－1，2]上单调递增，所以g(x)在[－1，2]上的最小值为g(－1)，最大值为g(2)， 可得即 解得a≥，所以实数a的取值范围为. 14．(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝被称为狄利克雷函数．则下列说法正确的是(　　) A．F(F(x))＝0 B．对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立 C．任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立 D．存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形 解析：选BD.依题意，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，因此F(F(x))＝1恒成立，A错误； 当x是有理数时，F(x)＝1＝F(－x)，当x是无理数时，F(x)＝0＝F(－x)，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，B正确； 若T是无理数，当x是有理数时，则x＋T是无理数，有F(x＋T)＝0，而F(x)＝1，此时F(x＋T)≠F(x)，C错误； 取x1＝－，x2＝0，x3＝，得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，则A(－，0)，B(0，1)，C(，0)，此时|AB|＝|BC|＝|AC|＝，即△ABC为等边三角形，D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $