山东潍坊市寿光市第一中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

**基本信息** 高三数学10月月考卷以函数、导数、数列、概率等核心知识为载体，融入环保技术应用（第6题）等现实情境，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，适配高三一轮复习阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、导数几何意义等|第6题以废水净化为背景，考查指数不等式求解，体现数学眼光观察现实世界| |多选题|3/18|统计量、数列递推、函数性质|第10题结合数列递推关系判断等比性，考查逻辑推理能力| |填空题|3/15|幂函数、条件概率、不等式|第14题两空设计，先求最值再解恒成立问题，层次分明| |解答题|5/77|函数极值、概率分布列、数列证明等|第19题导数综合题含切线、恒成立及证明，第16题以乒乓球比赛为情境，凸显数学思维与语言的应用价值|

高三数学10月份月考数学测试题 一、单选题（40分） 1．设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 2．已知复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 3．已知函数f(x)的导函数为 ,若，则=（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2 4．已知条件，则使得条件成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．或 D． 5．函数在处取得极大值9，则（ ） A. 3 B. C. 或3 D. 0 6.倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降，某造纸企业引进了一种新的废水净化技术，已知净化前所排放的废水中含有的污染物的浓度为，首次净化后所排放的废水中含有的污染物的浓度为，第次净化后所排放的废水中的污染物的浓度（单位：），依据当地环保要求，企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过，为了使该企业所排放的废水中含有的污染物的浓度达标，则废水净化的次数至少为（    ） （参考数据：） A．4 B．5 C．6 D．7 7．已知的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含的项的系数为（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 8. 设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（18分） 9．下列选项正确的是（    ） A．若随机变量，且，则 B．一组数据88，90，90，91，92，93，95，96，98，99的第50百分位数为92 C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为8 D．已知回归直线方程为，若样本中心为，则样本点处残差为 10．已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．为等比数列 B． C．的前项和 D．的前项和 11．已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在单调递增 D．函数有两个零点 三、填空题 12．幂函数在上单调递增，则的图象过定点 ． 13. 盒子里装有大小相同的1个红球和1个白球，每次从中有放回取1个球，连续取2次，已知有一次取到红球，则两次都是红球的概率是 ． 14．已知正数满足，则的最小值为          ：当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围为          . 四、解答题（77分） 15. 已知函数． （1）求的单调区间和极值； （2）求在区间上的最值． 16. 某高中学校组织乒乓球比赛，经过一段时间的角逐，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取7局4胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立． （1）求比赛结束时恰好打了5局的概率； （2）若前三局比赛甲赢了两局，记还需比赛的局数为X，求X的分布列及数学期望． 17. 若数列的前项和满足：. (1)证明：数列为等比数列并求出通项公式； (2)设，数列的前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围. 18.已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝. (1)当n∈N*时，求f(n)的表达式； (2)设an＝n·f(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an<2； (3)设 ，n∈N*，Sn为{bn}的前n项和，当Sn最大时，求n的值． 19. 已知函数． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）证明：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学10月份月考数学测试题 参考答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A A B D B D ACD ACD ACD 二、填空题 12. 13. 1/3 14. 5 ， 1．D【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为.故选：D. 2．B 3．A 4．A【详解】由题意得，解得或， 故使得条件成立的一个充分不必要条件应为或的真子集， 其中满足要求，其他选项不满足.故选：A 5．B【详解】由题意，函数，可得， 因为在处取得极大值9，可得，解得或， 检验知，当时，可得， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以在处取得极小值9，与题意矛盾，故不符题意； 当时，可得， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值9，故符合题意； 所以.故选：B. 6．D【详解】因为，， 所以，解得， 即， 设第次净化后企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过， 则，即，， 所以， 因为，所以废水净化的次数至少为次. 7.B【详解】所有项的系数之和为64，∴，∴ ，展开式第项， 时，，， 时，，，，故选：B． 8.D【详解】当时，令，则，所以在上单调递增，当时，，即， 当时，，即， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以当时，，当时，， 所以不等式的解集为.故选：D. 9．ACD 【详解】对于A，若随机变量，且，又， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以第50百分位数（中位数）为：.故选项B错误；对于C，若样本数据的方差，设数据的平均数为，则数据的平均数为， 方差，故C正确； 对于D，样本中心为代入回归方程，得，解得，则， 当时，，故样本点处的残差为， 故D正确；故选：ACD. 10．ACD 【详解】由得，化简得，即， 所以，因为，所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，A正确；由是以2为首项，以2为公比的等比数列，可得， 求得，， 可知恒正，且随着的增大而增大，所以随着的增大而减小，所以B错误； 由可得，所以C正确； 由， 得， 所以D正确；故选：ACD. 11．ACD 【详解】函数定义域为，又， 令，，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增，故选项C正确； 因为， 所以函数的对称中心为对称，故选项B错误，选项A正确； 因为，所以函数，函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，又函数在上为增函数， 则函数与函数在平面直角坐标系中的图象如下图所示： 故函数与函数在区间上有两个交点，即函数有两个零点，故D正确. 故选：ACD． 12. 13. 【详解】由题意可得共有（红，红），（红，白），（白，红），（白，白）共四种情况， 记两次均为红球为事件，有一次为红球为事件， 所以，，所以. 14. 5 【分析】由已知有，应用基本不等式求最小值，注意取值条件，进而有恒成立，问题化为在上恒成立，应用导数求右侧的最大值，即可得参数范围. 【详解】由题设，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为5，此时不等式化为恒成立， 所以，即 令且，则， 时，时，所以在上单调递减，在上单调递增，故， 则因此可得在上，恒成立，令且， 所以， 令，， 在单调递增，且， 则时，，函数在单调递减， 时，，函数在单调递增， 因此可得，即，则当，，则在单调递增，当，，则在单调递减，所以，故只需. 故答案为：5， 15. （1）函数的定义域为, ． 令得,或（舍去）,当时,,函数单调递减； 当时,,函数单调递增,所以函数单调递减区间为,函数单调递增区间为． 函数的极小值为,无极大值． （2）由（1）知,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增, 所以,,, 又因为,所以函数在区间的最小值为,最大值为2． 16. （1）比赛结束时，恰好打了5局，甲获胜的概率为， 恰好打了5局，乙获胜的概率为， 所以比赛结束时恰好打了5局概率为； （2）由题意可知，X取值范围是． ， ， ， 所以X的分布列如下： X 2 3 4 P 数学期望． 17. （1），① 当， 当，② ①－②：，即： 又对都成立，所以是等比数列，； （2）， 对都成立 实数的取值范围为． 18.(1)解　令x＝n，y＝1， 得f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝f(n)，∴{f(n)}是首项为，公比为的等比数列，[来源:Zxxk.Com]∴f(n)＝()n. (2)证明　设Tn为{an}的前n项和， ∵an＝n·f(n)＝n·()n，∴Tn＝＋2×()2＋3×()3＋…＋n×()n， Tn＝()2＋2×()3＋3×()4＋…＋(n－1)×()n＋n×()n＋1， 两式相减得Tn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n×()n＋1， ＝1－()n－n×()n＋1， ∴Tn＝2－()n－1－n×()n<2. (3)解　∵f(n)＝()n，∴bn＝(9－n) ＝(9－n)＝. ∴当n≤8时，bn>0；当n＝9时，bn＝0；当n>9时，bn<0.学-科网 ∴当n＝8或n＝9时，Sn取得最大值． 19. （1）当时，，所以， 所以，， 所以函数在处的切线方程为即； （2）若在上恒成立，则在上恒成立， 设，，所以， ， ①当时，，当时，， 所以在上单调递减，所以，即在不恒成立． ②当时，， 当时，，在上单调递增，又，此时， 综上所述，所求m的取值范围是； （3）由（2）知，当时，在上恒成立， 取，得即，当且仅当时等号成立， 令，， 则， 所以， 所以 ， 所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $