1.1 探索勾股定理 同步练习 2026-2027学年 北师大版八年级上册数学

**基本信息** 聚焦勾股定理，通过基础巩固、中档综合到拓展应用的三层设计，实现从概念理解到实际问题解决的能力进阶，培养数学抽象与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|勾股定理直接应用|单选1（两边求斜边）、填空11（构造直角三角形），夯实计算基础，培养抽象能力| |中档层|结合几何图形与变换|单选3（斜边中线）、填空14（斜拉桥模型），融入图形直观，发展空间观念| |综合层|跨知识与实际应用|解答23（全等与勾股综合）、解答18（航海方位角），联系生活情境，提升推理意识与应用能力|

1.1探索勾股定理 同步练习 一、单选题（每题3分，共30分） 1．若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边长是（　　） A．13 B．13或 C． D．12或13 2．如图，已知钓鱼竿 的长为 ，露在水面上的鱼线 长为 ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿 转动到 的位置，此时露在水面上的鱼线 为 ，则 的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，连接CD，若AC=4，BC=3，则CD的长度是（　　) A．1.5 B．2 C．2.5 D．5 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（　　） A．5 B．6 C．12 D．13 5．如图，在长方形ABCD中，分别按图中方式放入同样大小的直角三角形纸片．如果按图①方式摆放，刚好放下4个；如果按图②方式摆放，刚好放下3个．若BC＝4a，则按图③方式摆放时，剩余部分CF的长为（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（　　） A．25 B．175 C．600 D．625 7．如图，RtΔABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将ΔABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　） A． B． C．4 D．5 8．我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝2，BC＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A． B．8 C． D． 9．设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则 的值是（　　） A．3 B．2.5 C．2 D．6 10．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作方形，面积分别为S1，S2，S3；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为S4，S5，S6，其中S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，则S3+S4＝（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 二、填空题（每题3分，共18分） 11．设x>0，若以x+1，x+2，x+3为边长的三角形是直角三角形，则x的值为　 　． 12．如图，在 ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝7，则点A到BC的距离是　 　. 13．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C=90° ，AC=2，若Rt△ABC是“好玩三角形”，则AB=　 　． 14．如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，则固定点B、C之间的距离为　 　米. 15．如图是一机器人比赛行走的路径，机器人从A处先往东走8m，又往北走3m，遇到障碍后又往西走4m，再转向北走9m往东拐，仅走1m就到达了B．问A、B两点之间的距离为　 　m． 16．一长方体容器（如图1），长，宽均为4，高为16，里面盛有水，水面高为10，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则 的长为　 　． 三、解答题（共8题，共52分） 17．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，AC＝，BD＝2．求线段DF的长度． 18．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少． 19．已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝5，CD＝3，求BC的长． 20．已知，如图，在△ABC中，∠C＝ 90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E． （1）求证：AE＝DE； （2）如果AC＝3，，求AE的长． 21．如图：已知ABCD，BC⊥CD，且CD＝2AB＝12，BC＝8，E是AD的中点. （1）请你用直尺（无刻度）作出一条线段与BE相等，并证明之； （2）求BE的长. 22．如图直角三角形纸片中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AC＝6，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD. （1）求△ADE的周长； （2）求DE的长. 23．如图，△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE． （1）将△ADE旋转，使得D、E、B三点在一条直线上时，求证：BD＝CE； （2）在（1）的条件下，当BC＝10，BE＝6时，求DE的长． 24． （1）如图①，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm，另一直角边BC长为6cm，求AC的长． （2）拓展：如图②，在图①的△ABC的边AB上取一点D，连接CD，将△ABC沿CD翻折，使点B的对称点E落在边AC上． ①AE的长． ②求DE的长． 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：①当12为斜边时，它的斜边长是12； ②当12是直角边时，它的斜边长==13. 故答案为：D. 【分析】分12为斜边和直角边两种情况讨论，再利用勾股定理求解即可. 2．【答案】B 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：∵AC=10m，BC=6m，∠ABC=90°， ∴AB= m， ∵AC′=10m，B′C′=8m，∠AB′C′=90°， ∴AB′= m， ∴BB′=AB-AB′=2m； 故答案为：B． 【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用勾股定理求出AB′的长；然后根据BB′=AB-AB′，代入计算可求解. 3．【答案】C 【知识点】勾股定理；直角三角形的性质 【解析】【解答】解：∵△ABC 中， ∠ACB=90° ， AC=4，BC=3， 由勾股定理得：AB=， ∵点D是AB的中点 ， ∴CD=AB=×5=2.5， 故答案为：C. 【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半即可求出CD长度. 4．【答案】D 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：∵∠C=90∘， ∴AB2=AC2+BC2=32+22=13， ∴正方形面积S=AB2=13， 故答案为：D. 【分析】利用勾股定理即可得出答案。 5．【答案】A 【知识点】勾股定理；线段的和、差、倍、分的简单计算 【解析】【解答】解：∵BC=4a， ∴图①中，BE=a，图②中，BE=a， ∴小直角三角形的斜边长为， ∴图③中纸盒底部剩余部分CF的长为4a-2×a=a； 故答案为：A． 【分析】由BC=4a，可得图①中，BE=a，图②中，BE=a，利用勾股定理求出图③中BE=a，由于图③中纸盒底部剩余部分CF=BC-图③中BE，据此计算即可. 6．【答案】D 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：在 中， ， 由勾股定理得： ， ， ． 故答案为：D． 【分析】根据勾股定理可得，再根据正方形的面积计算方法可得，可得答案。 7．【答案】C 【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；线段的中点 【解析】【解答】解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9－x， ∵D是BC的中点， ∴BD=3， 在Rt△BDN中，x2+32=（9－x）2， 解得x=4. 故线段BN的长为4. 故答案为：C. 【分析】设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9-x，由中点的概念可得BD=3，然后在Rt△BDN中，运用勾股定理求解即可. 8．【答案】D 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：如图，将CB延长至点D，使 ， ∵ ， ， ∴ ， ， 一共有4个这样的长度， ∴这个风车的外围周长是： ． 故答案为：D． 【分析】由题意角ACB为直角，利用勾股定理求的外围中一条边，由AC延伸一倍，从而求的风车的一个轮子，进而求的4个这样的长度，即可得出周长。 9．【答案】A 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：∵三角形的周长为6，斜边长为2.5， ∴a+b+2.5=6， ∴a+b=3.5， ∵a、b是直角三角形的两条直角边， ∴a2+b2=2.52， ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=2.52， ∴3.52-2ab=2.52， ab=3， 故答案为：A． 【分析】根据三角形的周长公式可以得到a+b=3.5，再利用三角形勾股定理可以得到a2+b2=2.52，再利用完全平方公式可以得到a2+b2=(a+b)2-2ab=2.52，将数据代入计算即可。 10．【答案】A 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：如图， ∵ ， ， ∴ ， 同理可得， ， ∵S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4， ∴S3+S4＝（1+3）+（2+4）=10， 故答案为：A ． 【分析】从条件出发通过数形结合，结合勾股定理、正方形和圆的面积公式可以得到，，最后求出S3+S4即可。 11．【答案】2 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：由题意得斜边为x+3， ∴ (x+1)2+(x+2)2=(x+3)2， ∴x2=4， 解得x=2或-2（舍去）. 故答案为：2. 【分析】首先判断出斜边为x+3，然后根据勾股定理建立方程求解，即可解答. 12．【答案】12 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：过A作AD⊥BC交BC的延长线于D， ∴∠D=90°， ∴AB2 BD2=AD2=AC2 CD2， ∵AB=20，AC=15，BC=7， ∴202 （7+CD）2=152 CD2， ∴CD=9， ∴ ， ∴点A到BC的距离是12； 故答案为：12. 【分析】过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，根据勾股定理可得AB2 BD2=AD2=AC2 CD2，据此建立方程，求出CD，从而求出AD. 13．【答案】或 【知识点】勾股定理；定义新运算 【解析】【解答】解：当AC边上的中线BD等于AC时，如图， ∵∠C=90°，AC=2， ∴CD=1，BD=2 ∴， ∴ 当BC边上的中线AE等于BC时， ∵AC2=AE2−CE2， ∴BC2−（BC）2=22， 解得，BC2=， ∴， 综上所述，AB=或AB=， 故答案为或. 【分析】分两种情况：当AC边上的中线BD等于AC时，当BC边上的中线AE等于BC时，分别画出图形利用勾股定理即可解决问题。 14．【答案】21 【知识点】垂线的概念；勾股定理 【解析】【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AB、AC长分别为13米、20米，AD的高度为12米， ∴BD＝（米），DC＝（米） ∴BC＝BD+DC＝5+16＝21（米）， 故答案为：21. 【分析】由垂直的定义得∠ADB＝∠ADC＝90°，利用勾股定理求出BD、BC的长，根据BC＝BD+DC即可求解. 15．【答案】13 【知识点】勾股定理 【解析】【解答】解：过点B作BC垂直A所在水平直线于点C，如图， ， 根据题意可得，A处与B处水平距离为8-4+1=5，竖直距离为3+9=12， ∴AC=5，BC=12， ∴AB= =13， 故答案为：13． 【分析】过点B作BC垂直A所在水平直线于点C，根据题意可得，A处与B处水平距离为8-4+1=5，竖直距离为3+9=12，得出 AC=5，BC=12再利用勾股定理得出AB的值即可。 16．【答案】 【知识点】勾股定理；一元一次方程的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：如图所示， 设DE=x，则AD= 16- x， 根据题意得： ， 解得：x=12， ∴DE= 12， ∵∠E= 90°， 由勾股定理得： ． 即：CD的长为 ． 故答案为： ． 【分析】设DE=x，则AD= 16- x，由出风头容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD即可。 17．【答案】解：∵AD和BE是△ABC的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90°． ∴∠C＋∠DAC＝90°；∠C＋∠DBF＝90°． ∴∠DAC ＝∠DBF． ∵∠ABC＝45°， ∴∠DAB＝45°． ∴∠ABC＝∠DAB． ∴DA＝DB． 在△ADC与△BDF中， ∴△ADC≌△BDF（ASA）． ∴AC＝BF＝． 在Rt△BDF中，∠BDF＝90°， ∴BD2＋DF2＝BF2． ∵BD＝2，BF＝， ∴DF＝1 【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-ASA 【解析】【分析】先利用“ASA”证明△ADC≌△BDF，再利用全等三角形的性质可得AC＝BF＝，再利用勾股定理求出DF即可。 18．【答案】解：根据题意，得∠CAB=180°-40°-50°=90°， ∵AC=16×3=48（海里），BC=60海里， ∴在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB= =36（海里）． 则乙船的速度是36÷3=12海里/时． 【知识点】钟面角、方位角；勾股定理 【解析】【分析】利用平角的定义及方位角可求出 ∠CAB=180°-40°-50°=90°，再利用勾股定理求出AB的长，利用速度=路程÷时间即可求解. 19．【答案】解：在Rt△CDA中， ∵AC=AB=5，CD=3， ∴AD= ∴BD=AB-AD=5-4=1， 在Rt△CBD中，BC= 【知识点】勾股定理 【解析】【分析】先利用勾股定理求出AD的长，再利用线段和差求出BD的长，最后利用勾股定理求出BC的值即可。 20．【答案】（1）证明：∵DE∥AC， ∴∠CAD＝∠ADE． ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠EAD． ∴∠EAD ＝∠ADE． ∴AE＝DE． （2）解：过点D作DF⊥AB于F． ∵∠C ＝ 90°，AC＝3，， ∴在Rt△ACD中，由勾股定理得 ． ∴． ∵AD平分∠BAC， ∴DF＝DC＝． 又∵AD＝ AD，∠C ＝ ∠AFD ＝ 90°， ∴Rt△DAC ≌Rt△DAF． ∴AF＝AC＝3． ∴Rt△DEF中，由勾股定理得 ． 设AE＝x，则DE＝x，， ∴， ∴x＝2． ∴AE＝2． 【知识点】平行线的性质；勾股定理；角平分线的概念 【解析】【分析】（1）先求出 ∠CAD＝∠ADE，再求出∠CAD＝∠EAD，最后证明即可； （2）利用勾股定理求出，再求出 Rt△DAC ≌Rt△DAF ，最后计算求解即可。 21．【答案】（1）解：延长交于点F，如下图： ∵ ∴ ∵E是AD的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ （2）解：由（1）得，∴ ∵CD＝2AB＝12， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ， 【知识点】平行线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA 【解析】【分析】（1）延长BE交CD于点F， 根据平行线的性质得出∠A=∠D，由中点的定义得出AE=DE，利用ASA证明△AEB≌△DEF，即可得出EF=BE； （2）根据全等三角形的性质得出AB=DF，结合CD=2AB求出CF的长，最后在Rt△BFC中，根据勾股定理求出BF长，即可解答. 22．【答案】（1）解：由折叠的性质可知，BE=BC=8，DE=CD， ∴AE=AB-BE=2， ∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+DE+AE=AC+AE=8； （2）解：设CD=DE=x，则AD=AC-CD=6-x， 由折叠的性质可知∠DEB=∠C=90°， ∴∠DEA=90°， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ∴ . 【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】（1）由折叠的性质得BE=BC=8，DE=CD，可求AE的长，再证明△ADE的周长=AC+AE，代入计算可求出△ADE的周长； （2）设CD=DE=x，可表示出AD的长，利用折叠的性质可证得∠DEB=∠C=90°，再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值. 23．【答案】（1）解：∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC＋∠EAB＝∠DAE＋∠EAB， 即∠DAB＝∠EAC， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴DB＝EC； （2）解：由（1）知△DAB≌△EAB， ∴∠DBA＝∠ECA， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC＋∠ACB＝90°， 即∠ABC＋（∠BCE＋∠ACE）＝90°， ∴∠ABC＋∠DBA＋∠BCE＝90°， 即∠DBA＋∠BCE＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∵BC＝10，BE＝6， ∴EC2＝BC2−BE2＝102−62＝64， ∴EC＝8， ∴DE＝DB−BE＝DB−CE＝8−6＝2． 【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质，利用SAS即可得出△DAB≌△EAC，即可得出结论； （2）由（1）知△DAB≌△EAB，得出∠DBA＝∠ECA，利用勾股定理得出EC2＝BC2−BE2＝102−62＝64，推出EC的值，即可得出DE的值。 24．【答案】（1）解：设AB＝x cm，则AC＝（x＋2）cm， ∵AC2＝AB2＋BC2， ∴（x＋2）2＝x2＋62， 解得x＝8， ∴AB＝8cm， ∴AC＝8＋2＝10（cm）； （2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm， ∴AE＝AC−EC＝4cm； ②设DE＝DB＝ycm，则AD＝AB−BD＝（8−y）cm， 在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2， ∴（8−y）2＝42＋y2， 解得：y＝3， ∴DE＝3cm． 【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题） 【解析】【分析】（1）设AB＝x cm，则AC＝（x＋2）cm，由AC2＝AB2＋BC2，得出（x＋2）2＝x2＋62，解得出x的值，即可得出答案； （2）①由折叠的性质可得∠DEC＝∠DBC＝90°，DE＝DB，EC＝BC＝6cm，得出AE＝AC−EC＝4cm；②设DE＝DB＝ycm，则AD＝AB−BD＝（8−y）cm，在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，得出（8−y）2＝42＋y2，解出y的值即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $