2.2 基本不等式 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册（河南专用）

**基本信息** 河南专用基本不等式同步练，以“基础+拔高”分层设计（11:5题量配比），通过从公式直接应用到几何情境探究的进阶路径，适配新授课知识巩固与思维提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|基本不等式应用条件、求最值（和定积最大/积定和最小）|单选1-6直接考查公式应用，填空12-13对应教材例题，夯实运算能力与模型意识| |拔高|几何情境转化、参数范围、充要条件证明|★7结合半圆几何图形培养几何直观，★16证明题发展推理能力，选用河南期中/阶段检测真题适配区域教学测评|

2.2基本不等式同步练（河南专用） 教材知识梳理 1．基本不等式 （1）基本不等式________应用条件：一正、二定、三相等． （2）几个重要的不等式 ①（）． ②（a，b同号）． ③（）． ④（）． （3）利用基本不等式求最值问题 已知，，则 ①如果积xy是定值p，那么有最小值，当且仅当时取得．（简记：积定和最小） ②如果和是定值p，那么xy有最大值，当且仅当时取得.（简记：和定积最大） 【答案】 2．对于正数a，b，有：_______，其中： ：调和平均数（HM）； ：几何平均数（GM） ：算术平均数（AM）； ：平方平均数（QM） 当且仅当a=b时，所有等号同时成立. 【答案】 【分析】利用基本不等式及其变形比较即可. 【详解】因为，根据基本不等式得，当且仅当时等号成立； 因为，根据基本不等式得，所以， 当且仅当即时等号成立； 因为，由可得，所以，即，当且仅当时等号成立. 综上，，当且仅当a=b时，所有等号同时成立. 同步练（最新河南同步考题，题号前加“★”的为拔高题目） 一、单选题 1．（25-26高一下·河南信阳·期中）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 2．（25-26高一上·河南新乡·期中）若，且，则的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D．1 【答案】D 【分析】利用基本不等式中常数代换技巧求解最小值即可. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为1. 故选：D. 3．（25-26高三上·河南南阳·期中）若，则恒成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求得的最小值，即得的取值范围，根据充分不必要条件定义即可确定正确选项. 【详解】因为当时，，当且仅当时等号成立， 则恒成立等价于， 结合各选项知恒成立的一个充分不必要条件为. 故选：D 4．（25-26高一上·河南南阳·期中）已知正数a，b满足，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】D 【分析】展开要求解得表达式，利用基本不等式即可求得. 【详解】由，可得，因为，则，所以，，所以,当且仅当时等号成立. 的最大值为9. 故选：D 5．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】将展开，利用基本不等式求解. 【详解】因为， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4， 故选：A 6．（2026高一上·河南安阳·开学考试）函数在x＝t处取得最小值，则t等于（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将函数变形为，利用基本不等式，即可进行求解，并检验取等条件，即可得答案. 【详解】， 当且仅当，即x＝2时，等号成立， 所以t=2. 故选：B ★7．（24-25高一上·河南南阳·阶段检测）如图，是半圆的直径，点C在上，点F在半圆上，且，设，，请你利用写出一个关于a，b的不等式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先表示出，，进而结合勾股定理可得，进而判断即可. 【详解】， ， 而， 则由，可得，当且仅当时等号成立. 故选：A. ★8．（2026高三上·河南驻马店·阶段检测）若对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将化为，进而结合基本不等式求出它的最值，然后求得答案. 【详解】由题意，对任意有 当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为﹒ 又由对任意时，恒成立，，即的取值范围是. 故选：B. 二、多选题 9．（2026高一上·河南郑州·阶段检测）已知正数m，n满足，若恒成立，则a的可能取值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，m，n是正数，所以当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号， 要想恒成立，只需， 故选：ABC ★10．（25-26高一上·河南·阶段检测）若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对A，由及判断；对B，由判断；对C：由判断；对D，取判断. 【详解】对于A：因为，所以，又， 所以，A正确； 对于B：因为，B正确； 对于C：，C正确； 对于D：令，则， 不满足，D错误. 故选：ABC. 11．（25-26高一上·河南安阳·期中）若a，，且，则下列说法正确的是（ ） A．有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最小值 【答案】AB 【分析】根据均值不等式及“”的妙用求解判断各选项. 【详解】对于A：，当且仅当时等号成立， 所以有最大值，A正确； 对于B：， 当且仅当，即时等号成立，所以有最小值4，B正确； 对于C：， 当且仅当时等号成立，所以有最小值，C错误； 对于D：， 当且仅当时等号成立，所以有最大值，D错误； 故选：AB 三、填空题 12．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数，满足，则的最大值为______. 【答案】8 【分析】将已知等式变形为，利用基本不等式建立与的关系，从而求得的最大值. 【详解】因为，为正数，所以， 根据基本不等式可得，(当且仅当16，即时等号成立)； 则，即16， 因为16，所以，可得. 即的最大值为8. 故答案为：8 13．（25-26高一上·河南郑州·期末）若都是正数，且，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】对目标式结合题意合理变形，再利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，又都是正数，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 故答案为： ★14．（25-26高三上·河南驻马店·开学考试）已知，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】解法一：应用基本不等式计算和为定值即可得出最大值；解法二：应用二次函数单调性得出二次函数的最大值即可. 【详解】解法一：， 当且仅当，即时等号成立． 解法二： ， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值． 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·河南·期中）已知，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据基本不等式即可求解； （2）根据“1”的代换结合基本不等式即可求解； （3）由题设可得，再根据“1”的代换结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由，且， 则，即， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. （2）由，且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. （3）由，且，则， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． ★16．（25-26高一上·河南信阳·阶段检测）已知实数a，b，c满足． (1)证明：“”是“”的充要条件； (2)若且，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据充分性、必要性的定义进行证明即可； （2）根据不等式的性质，结合基本不等式进行证明即可. 【详解】（1）充分性：因为，所以，即“”是“”的充分条件； 必要性：因为，且，所以有， 即“”是“”的必要条件； （2）由且，，得， 所以有， 当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号， 由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2.2基本不等式同步练（河南专用) 教材知识梳理 1.基本不等式 ab≤ (1)基本不等式 应用条件：一正、二定、三相等. (2)几个重要的不等式 ①a2+b≥2ab（a,beR）· b+9≥2(a,b同号)· ②ab ③bs/ a+b a2+b2、 a+b)2 2 (a,b,∈R). ④22 (a,bER). (3)利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0,则 O如果积w是定值P,那么x+y有最小值2D,当且仅当=y时取得。《简记：积定和 最小) ②如果和x+y是定值D,那么w有最大值4，当且仅当x=y时取得.（简记：和定积最 大) 2.对于正数a,b,有： ,其中： 2 11 :调和平均数(HM; ：几何平均数(GM a b Vab a+b a2+b2 2:算术平均数(AM; :平方平均数(OM) 当且仅当b时，所有等号同时成立 同步练（最新河南同步考题，题号前加“★”的为拔高题目） 一、单选题 1.(25-26高一下河南信阳期中)y=X+1x>2的最小值为() x-2 试卷第1页，共3页 A.1 B.2 C.4 D.5 2.（25:26高-上：河南新乡期中)若a>0,b>0,且a+b=4,则2+ +后的最小值为( A.2 B.4 C. 5 D.1 3.(25-26高三上河南南阳期中)若x>0,则X+2025≥a恒成立的一个充分不必要条件 X 是() A.a≥90 B.a>90 C.a≤90 D.a<90 4.(25-26高一上河南南阳期中)己知正数a,b满足a+b=4,则(1+a)(1+b)的最大 值为() A.4 B.5 C.8 D.9 5.(2526高一上河南南阳阶段检测)已知1<x<2,则己+2的最小值为() 9x-12-x A.4 B.5 C.6 D.8 6.(2026高一上河南安阳开学考试)函数y--X+1x1)在=1处取得最小值，则 x-1 t等于() A.1+V2 B.2 C.3 D.4 ★7.(24-25高一上河南南阳·阶段检测)如图，AB是半圆O的直径，点C在AB上，点 F在半圆O上，且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,请你利用FC≥OF写出一个关于a,b 的不等式为() A.atba+b2 2≤2 a>0,b>0 B.a2+b2≥2aba>0,b>0 试卷第2页，共3页 29生1a>0,b0 c. D.a+b≥Vabla>0,b>0l 2 X ★8.(2026高三上河南驻马店阶段检测)若对任意X>0, x2+5x+1 ≤a恒成立，则实 数a的取值范围是() eo D. 01 二、多选题 9.(2026高一上河南郑州阶段检测)已知正数m,n满足m+n=1,若a≤m1恒成立， mn 则a的可能取值为() A.3 B.3+2V2 c.3V2 D.3+2/3 ★10.(25-26高一上河南阶段检测)若x∈R,y∈R,x2+y2=4且y≠0，则() A.0<x<2 B.x+y≤2V2 C.xy≤2 1+12 D.xy 11.(25-26高一上·河南安阳·期中)若a,b>0,且a+b=1,则下列说法正确的是 () A.b有设大值好 上+上有最小值4 B. a b C.a2+b有最小值2 D.√ā+Vb有最小值V2 三、填空题 12.(2026河南南阳·模拟预测)已知正数m,n满足16m+mn=64,则mn的最大值为 2+1+9 13.(25-26高一上·河南郑州期末)若a,b都是正数，且ab=3,则二 abQ+2b的最小 值为 .1 1 ★14.(25-26高三上河南驻马店开学考试)已知0<x<2则y=2X1-2x的最大值 试卷第3页，共3页 为 四、解答题 15.(25-26高一上·河南·期中)已知a>0,b>0,且a+2b=2. (1)求ab的最大值： ②求之+的最小值： a b ®味品+名辰小收。 ★16.(25-26高一上河南信阳阶段检测)已知实数a,b,c满足a+b+C=0, (1)证明：“a=b=c=0”是“ab+bc+ac=0”的充要条件： (2)若a>b≥c且abc=1,证明：a≥4. 试卷第4页，共3页