2.2一元二次方程的解法（知识梳理+同步练习） 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学一元二次方程解法同步练，以“知识梳理+分层练习”构建从基础到综合的巩固路径，适配新授课学情，强化运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（单选）|单一解法适用条件与步骤|聚焦直接开平方法、判别式等基础考点，如根的情况判断，培养运算准确性| |提升（填空）|解法综合与变形应用|涉及配方变形、根与系数关系，如用配方法化方程形式，发展推理意识| |综合（解答）|实际问题与探究创新|结合赵爽弦图、定义新运算等情境，如几何法解方程，体现模型意识与创新思维|

2.2一元二次方程的解法（知识梳理+同步练习） 一、四大解法体系 一元二次方程共计四种标准解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。 二、解法一：直接开平方法 1. 适用题型 形如 或 的方程 2. 解题步骤 1. 将方程整理为：左边是完全平方，右边为常数； 2. 两边同时开平方，一定要加正负号±； 3. 解出两个一元一次方程的根。 3. 根的情况判断 · ：两个不相等的实数根 · ：两个相等的实数根（重根） · ：无实数根 三、解法二：配方法 1. 适用题型 所有一元二次方程通用，多用于：配方变形、求最值、证明恒成立问题。 2. 标准六步解题法 1. 移项：常数项移到等式右边 2. 化1：二次项系数化为1（方程两边同除a） 3. 配方：两边同时加上一次项系数一半的平方 4. 变形：左边写成完全平方形式，右边合并常数 5. 开方：直接开平方法求解 6. 写根：写出两个实数根 四、解法三：公式法（万能通用解法） 1. 求根公式来源 由配方法对 推导得出，所有一元二次方程都能用。 2. 求根公式 3. 判别式（超级重点） 用来判断根的个数 · ：两个不相等实数根 · ：两个相等实数根 · ：无实数根 4. 公式法标准步骤 1. 化为一般形式 2. 确定 （带符号取值） 3. 计算判别式 4. 代入公式求根； 直接写无实数根 五、解法四：因式分解法 1. 核心原理 若 ，则 或 2. 适用题型 方程可化为：十字相乘、平方差、完全平方、提公因式 3. 三种常用分解方式 · 提公因式法： · 平方差公式： · 十字相乘法：二次三项式快速分解（考试最高频） 4. 标准步骤 1. 移项，使方程右边为0 2. 左边因式分解成两个整式乘积 3. 令每个因式分别为0 4. 求出两个根 六、解法对比汇总表 解法 适用场景 优点 缺点 直接开平方法 平方型、无一次项 计算最快 适用范围窄 因式分解法 可分解整式方程 中考最优解、步骤少 不会分解则无法用 公式法 全部方程通用 万能保底解法 计算量大、易算错 配方法 指定题型、最值问题 可变形求最值 步骤繁琐 同步练习： 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）方程的根是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程中，根的判别式的值为（     ） A．8 B．12 C． D． 4．（25-26八年级下·河北张家口·期末）将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 5．（2026·甘肃嘉峪关·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D．且 6．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）小亮用配方法解方程的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得  第一步 二次项系数化为1，得①  第二步 配方，得②  第三步 ①②处应分别填入的数是（     ） A．， B．， C．， D．， 7．（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 8．（25-26八年级下·河北张家口·期末）已知甲方程为，乙方程为，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是（     ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 9．（2026·四川雅安·一模）如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，已知大正方形的边长为25，小正方形的边长为17，则的长为（  　  ）    A．5 B．6 C．7 D．8 10．（25-26八年级下·山东济南·期末）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论错误的是（   ） A．如果，那么这两个方程一定都有两个不相等的实数根 B．如果是的倒方程的解，则 C．如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解 D．如果是一元二次方程的根，则也是倒方程的根 二、填空题 11．（25-26八年级下·福建厦门·期末）若，该方程的解为______． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 13．（25-26八年级下·陕西西安·期末）用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 14．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 15．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若，则代数式的值为__________． 16．（25-26八年级下·广西崇左·期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 17．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）对于实数，现定义一种运算“”如下：若，则实数的值为___________． 18．（25-26八年级下·浙江舟山·期末）小若利用欧几里得的一元二次方程图解法解方程的过程如下：将方程配方得，以和为两直角边作（如图），再在斜边及其延长线上截取，发现方程的解，．若，则的值为__________． 19．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 20．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，在矩形中，点，分别在边，上，，，将四边形分成四个三角形，记，和的面积分别为，，．若，，，，则______． 三、解答题 21．（26-27九年级上·全国·课后作业）解方程． (1)（用直接开方法）； (2)（用配方法）； (3)（用公式法）； (4)（用适当的方法）． 22．（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读下列解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：…① …② …③ 或…④ ，…⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤________（填序号）； (2)请你写出正确的解答过程． 23．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 24．（26-27九年级上·全国·课后作业）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 25．（26-27九年级上·全国·单元复习）阅读下列材料，并解答问题： 赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是_______；（从序号①②③中选择） (2)请你结合上述问题的学习，在图2的网格中设计用几何法求解方程的构图（类比图1标明相关数据），并写出解答过程； (3)构图序号①对应的方程是_____________________． 试卷第6页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B A B C A C A 1．C 【详解】解：移项，得， 提取公因式，得， 或， 解得． 2．C 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 3．C 【详解】解：在方程中，，，， 故． 4．B 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 5．A 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 6．B 【详解】解： 把常数项移到方程的右边，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得． 因此①为，②为． 7．C 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 8．A 【详解】解：甲方程： ∴两边开平方得， 解得，因此甲有两个不相等的实数解； 乙方程：， ∵任意实数的平方都满足，不可能等于 ∴不存在实数使等式成立，因此乙无解； 综上，甲有两个不相等的解，乙无解． 9．C 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵小正方形的边长为17， ∴， ∴，即， ∵大正方形的边长为25，， ∴， ∴ ∴或（舍去）． 10．A 【详解】解：A、对于方程和， 其根的判别式均为， ∵， ∴， 又∵， ∴的取值不确定，故无法确定这两个方程一定都有两个不相等的实数根，选项A不正确，符合题意； B、是一元二次方程的倒方程， 将代入，解得，故选项B正确，不符合题意； C、∵一元二次方程无解， ∴，它的倒方程的根的判别式也为， ∴它的倒方程也无解，故选项C正确，不符合题意； D、若是一元二次方程的根， 则有， ∴， 即也是倒方程的根， 故选项D正确，不符合题意． 故选：A． 11． ， 【详解】解： 或 ∴，． 12． 【详解】解：， ∴或， 解得，， ∵方程的两个根分别是和， ∴． 13． 【详解】解：原方程为，一次项系数为，其一半的平方为， 方程两边同时加，可得， 由完全平方公式整理左边，得， 要求方程化为的形式， ． 14． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 15．4 【详解】解： 把代入，得 . 16． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 17．3 【详解】解：根据新定义，分两种情况讨论：当时，， 令， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ 本情况要求， ∴ 舍去，保留； 当时，， 令， 整理得， 解得， ∵ 本情况要求， ∴舍去 综上，实数的值为． 18． 【详解】解：由题意可得，，， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ． 19． 【详解】解：由得 ， 将代入得 ， 整理得 ， 两边同除以得 ， 因为为实数，所以关于的一元二次方程有实数根，判别式， 即 ， 因式分解得 ， 因为已知， 所以， 即 故的最小值为． 20． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形，， ∴， ∵记，和的面积分别为，，，， ∴， 由①得， 将代入②，得， 化简得， 解得或（不合题意，舍去）， 经检验， 是原方程的解， ∴， ∴． 21．(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：直接开平方，得， 或， ，； （2）解：移项，得， 配方，得， 直接开平方，得， ，； （3）解：移项，得． ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ，． 22．(1)② (2)解：配方，得 ， 即， 移项，得 ， 两边开平方，得 ， 即，或， ∴，． 23．(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 24．无论取何实数，二次三项式有最大值23 【详解】解： ， 无论取何实数，总有， ， ． ∴无论取何实数，二次三项式有最大值23． 25．(1)③ (2)解：如图， 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，解得． (3)或 【详解】（1）解：方程可变形为，即每个小矩形面积为21，观察图形①②③，三个图形中小矩形面积分别为12，12，21，再进一步进行验证，可得方程的正确构图为③； （2）略； （3）解：由图①可设对应的方程为或，其中， ∴图①对应的方程为或． $