2.2一元二次方程的解法（第4课时 因式分解法）同步练习2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 2.2一元二次方程的解法（第4课时）同步练习，聚焦初中数学新授课，通过基础巩固、能力应用与思维拓展三层设计，实现从单一知识点到综合问题解决的进阶，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|直接应用因式分解法解一元二次方程|如选择1-3题、填空9-13题，聚焦x²=2x等基础形式，强化概念理解与运算能力| |能力应用|结合几何情境、新定义问题综合应用|如选择7题菱形周长计算、填空14题“牵手方程”，体现数学与现实的联系，发展模型意识| |思维拓展|方法辨析与迁移应用|如解答19题错误解法分析、20题拆项分组法模仿，培养批判性思维与创新意识|

2.2一元二次方程的解法（第4课时）同步练习 一．选择题（共8小题） 1．方程x2＝2x的解为（　　） A．x1＝x2＝2 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝0，x2＝﹣2 D．x1＝2，x2＝﹣2 2．下列各选项是方程x2+2x+1＝0的解的是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 3．小聪在解方程x2＝3x时，只得到一个根x＝3，则被漏掉的一个根是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2 4．已知一元二次方程（x+1）2＝3x+3的两个根分别是点P的横坐标、纵坐标，则点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 5．已知一元二次方程2x2+px+q＝0的两个根是3、﹣4，则二次三项式2x2+px+q可分解为（　　） A．（x+3）（x﹣4） B．（x﹣3）（x+4） C．2（x+3）（x﹣4） D．2（x﹣3）（x+4） 6．新定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若（x﹣n）（x+3）＝0是“倍根方程”，则n的值为（　　） A．﹣1或﹣9 B．1 C．﹣9 D．1或9 7．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边AB的长为方程x2﹣8x+15＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　） A．24 B．12 C．20 D．12或20 8．已知方程（x﹣a）（x﹣b）＝0有M个解，方程（ax+2）（bx+2）＝0有N个解，a≠b，则（　　） A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N或M＝N+1 C．M＝N﹣1或M＝N+2 D．M＝N或M＝N﹣1 二．填空题（共6小题） 9．方程x（x﹣1）＝0的正数解为　 　 ． 10．已知关于x的一元二次方程（x﹣5）（x﹣a）＝0的两个根分别是5和1，则a的值为 　 　 ． 11．已知关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2，则该一元二次方程的解为　 　 ． 12．一元二次方程（x﹣4）2＝（5﹣2x）2的解是　 　 ． 13．我们学过用因式分解法解一元二次方程，请你根据经验写出方程（x﹣1）（x+2）（x﹣4）＝0的根：　 　 ． 14．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“牵手方程”，例如方程x2＝4和x2﹣2x＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“牵手方程”．若方程x2+2x﹣3＝0和（x﹣3）（x+m）＝0为“牵手方程”，则m的值为　 　 ． 三．解答题（共6小题） 15．用因式分解法解下列方程： （1）（x）（x）＝0； （2）4x2﹣3x＝0； （3）3（x+1）＝x（x+1）； （4）x2﹣6x﹣7＝0； （5）t（t+3）＝28； （6）（x+1）（x+3）＝15． 16． 解方程：x（x﹣2）＝﹣3（x﹣2）． 17． 解方程：x（2x﹣3）＝6﹣4x． 18．解下列一元二次方程： （1）x2﹣3x＝0； （2）2x2﹣4x﹣1＝0． 19．小明与小红两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框： 小明： 等号两边同除以（x﹣3）， 得3＝x﹣3， 则x＝6． 小红： 移项得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0． 请判断小明与小红的解法是否正确，如果不正确，请写出你的解答过程． 20．阅读后解答问题． 解方程：2x2﹣3x﹣2＝0 解：2x2﹣3x﹣2＝0， 拆项，分组得2x2﹣4x+x﹣2＝0， 提公因式，得2x（x﹣2）+（x﹣2）＝0， 再提公因式，得（x﹣2）（2x+1）＝0， 所以x﹣2＝0或2x+1＝0． 即x1＝2，x2． 运用以上因式分解法解方程6x2+7x﹣3＝0． 参考答案 一．选择题（共8小题） 1．【解答】解：x2＝2x， x2﹣2x＝0， x（x﹣2）＝0， ∴x＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝0，x2＝2， 故选：B． 2．【解答】解：x2+2x+1＝0， （x+1）2＝0， x1＝x2＝﹣1， 故方程x2+2x+1＝0的解的是﹣1． 故选：B． 3．【解答】解：原方程移项可得：x2﹣3x＝0， ∴x（x﹣3）＝0， ∴x＝0或x＝3． 小聪只得到x＝3，故被漏掉的根是x＝0． 故选：B． 4．【解答】解：（x+1）2＝3x+3， （x+1）2＝3（x+1）， （x+1）2﹣3（x+1）＝0， （x+1）（x+1﹣3）＝0， （x+1）（x﹣2）＝0， x+1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝2， ∴点P的坐标是（﹣1，2）或（2，﹣1）， ∴点P在第二象限或第四象限， 故选：D． 5．【解答】解：∵一元二次方程2x2+px+q＝0的两个根为3，﹣4， ∴二次三项式2x2+px+q＝2（x﹣3）（x+4）． 故选：D． 6．【解答】解：∵（x﹣n）（x+3）＝0， ∴x1＝n，x2＝﹣3， 又∵该方程是“倍根方程”， 有两种情况： 情况一：n＝3×（﹣3）＝﹣9， 情况二：﹣3＝3×n，解得n＝﹣1， 综上所述，n的值为﹣1或﹣9， 故选：A． 7．【解答】解：如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵x2﹣8x+15＝0， 因式分解得：（x﹣3）（x﹣5）＝0， 解得：x＝3或x＝5， 分两种情况： ①当AB＝AD＝3时，3+3＜8，不能构成三角形； ②当AB＝AD＝5时，5+5＞8， ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20． 故选：C． 8．【解答】解：由（x﹣a）（x﹣b）＝0得， x1＝a，x2＝b． 因为a≠b， 所以该方程有2个解， 所以M＝2． 由（ax+2）（bx+2）＝0得， 当a和b有一个是0时，该方程有1个解， 当a和b都不是0时，该方程有2个解， 所以N＝1或2， 所以M＝N或M＝N+1． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 9．【解答】解：x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， x1＝0，x2＝1， 故其正数解为x＝1， 故答案为：x＝1． 10．【解答】解：∵（x﹣5）（x﹣a）＝0， ∴x﹣5＝0或x﹣a＝0， 解得x1＝5，x2＝a， ∵关于x的一元二次方程（x﹣5）（x﹣a）＝0的两个根分别是5和1， ∴a＝1． 故答案为：1． 11．【解答】解：原方程整理得： x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， ∴（x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴（x﹣1）＝0或（x﹣2）＝0， ∴x1＝1，x2＝2． 故答案为：x1＝1，x2＝2． 12．【解答】解：（x﹣4）2＝（5﹣2x）2， （x﹣4）2﹣（5﹣2x）2＝0， [（x﹣4）+（5﹣2x）][（x﹣4）﹣（5﹣2x）]＝0， （﹣x+1）（3x﹣9）＝0， ﹣x+1＝0或3x﹣9＝0； 解得x1＝1，x2＝3． 故答案为：x1＝1，x2＝3． 13．【解答】解：由条件可得：x﹣1＝0或x+2＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝1，x2＝﹣2，x3＝4， 故答案为：x1＝1，x2＝﹣2，x3＝4． 14．【解答】解：若方程x2+2x﹣3＝0和（x﹣3）（x+m）＝0为“牵手方程”， x2+2x﹣3＝0， （x﹣1）（x+3）＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣3， 当相同的根是x＝1时， 代入方程（x﹣3）（x+m）＝0可得（1﹣3）（1+m）＝0， 解得：m＝﹣1； 此时方程为（x﹣3）（x﹣1）＝0，可得：x1＝3，x2＝1，符合题意； 当相同的根是x＝﹣3时， 代入方程（x﹣3）（x+m）＝0得（﹣3﹣3）（﹣3+m）＝0， 解得：m＝3， 此时方程为（x﹣3）（x+3）＝0，可得：x1＝3，x2＝﹣3，符合题意； 故答案为：3或﹣1． 三．解答题（共6小题） 15．【解答】解：（1）∵（x）（x）＝0， ∴x0或x0， ∴x或x． （2）∵4x2﹣3x＝0， ∴x（4x﹣3）＝0， ∴x＝0或x． （3）∵3（x+1）＝x（x+1）， ∴（x+1）（3﹣x）＝0， ∴x＝﹣1或x＝3． （4）∵x2﹣6x﹣7＝0， ∴（x﹣7）（x+1）＝0， ∴x＝7或x＝﹣1． （5）∵t（t+3）＝28， ∴t2+3t﹣28＝0， ∴（t+7）（t﹣4）＝0， ∴t＝﹣7或t＝4． （6）∵（x+1）（x+3）＝15， ∴x2+4x﹣12＝0， ∴（x+6）（x﹣2）＝0， ∴x＝﹣6或x＝2． 16．【解答】解：由题知， x（x﹣2）＝﹣3（x﹣2）， x（x﹣2）+3（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x+3）＝0， 则x﹣2＝0或x+3＝0， 所以x1＝2，x2＝﹣3． 17．【解答】解：原方程可化为：x（2x﹣3）+2（2x﹣3）＝0， （2x﹣3）（x+2）＝0， 2x﹣3＝0或x+2＝0， 解得，x2＝﹣2． 18．【解答】解：（1）x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， x＝0或x﹣3＝0， x1＝0，x2＝3； （2）2x2﹣4x﹣1＝0， x2﹣2x0， x2﹣2x， x2﹣2x+11， （x﹣1）2， x﹣1＝±±， x1＝1，x2＝1． 19．【解答】解：由题知， 小明和小红的解法都不正确，解答过程如下： 3（x﹣3）＝（x﹣3）2， 3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， （x﹣3）（3﹣x+3）＝0， （x﹣3）（6﹣x）＝0， 则x﹣3＝0或6﹣x＝0， 所以x1＝3，x2＝6． 20．【解答】解：6x2+7x﹣3＝0， 拆项，分组得6x2+9x﹣2x﹣3＝0， 提公因式3x（2x+3）﹣（2x+3）＝0， 再提公因式得（2x+3）（3x﹣1）＝0， 即2x+3＝0，3x﹣1＝0， x1，x2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/9 11:50:21；用户：阮燕；邮箱：yqsl66@xyh.com；学号：28230077 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $