Z20⁺名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2027届高三第一次学情诊断数学试题

(扣木0 Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2027届高三第一次学情诊断 数学试题卷 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟 2.答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸 规定的地方. 3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷 纸上答题一律无效， 4.考试结束后，只需上交答题卷. 第I卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知复数z=-2-i,则川z|为 A.1 B.2 C.√5 D.5 2.已知A,B,C是同一平面内不同的三点，且AB=2CB,若AC=1BC,则1= A.-1 B.-3 C.1 D.3 3.若以点(sin0,cos8),(cos6,sin0),(tan0,1)为元素构成的集合M有4个子集，则0可以是 A B. C. D. 121 4.己知数列{an}满足：a=5,an+1= a,当an为偶数， 则a10= 3an+1,当an为奇数. A.8 B.4 C.2 D.1 5.已知两个线性相关变量x,y的统计数据如下表所示，其经验回归方程为)=5x+5,则下列说法正 确的是 1 4 5 8 y 11 15 25 m 45 A.m=30 B.样本相关系数r<0 C.经验回归直线必过点(4,25) D.当x=5时，残差为1 6.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线1与x轴的交点为B,过抛物线上一点A作准线 I的垂线，垂足为H,若HF为线段AB的中垂线，且|AB=4V2,则P= A.1 B.2 C.4 D.8 7.已知函数f=x+-2,g)=e+(aeR),若曲线y=f)上存在点P,使得点P关于y轴 的对称点在曲线y=g(x)上，则a的最大值为 1 A.- B.-1 e c.I D.1 e 8.现有红、黄、蓝、白4种颜色的颜料可供使用，给四棱锥 P-ABCD(如图)的各侧面及底面涂上颜色，要求相邻（有一 条公共边)的两面不同色，则恰有两个面涂了红色的概率为 A. 1 B. 1 B 12 6 C. 第8题图 D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9已蜘2) 的展开式共有6项，则 A.n=5 B.展开式的二项式系数之和为32 C.展开式中存在常数项 D.展开式的各项系数之和为1 10.己知点P为圆C:(x-a)2+0y-a)2=1上的一个点，点A(1,0),B(4,0),则 A.过点A一定存在两条直线与圆C相切 B.存在实数a,使得|PB=2 C.存在实数a,使得PA.PB=0 D.存在实数a,使得|PA=2|PB 11.如图，在平面四边形ABCD中，AB=AC=CD=1, ∠ADC=30°，∠DAB=120°，将△ACD沿对角线AC翻折至 △ACP,在翻折过程中， A.存在某个位置，使得AP⊥BC 第11题图 B.存在某个位置，使得平面PBC⊥平面ABC C.存在某个位置，使得点B到直线PC的距离为1 D.当三棱锥P-ABC体积最大时，该三棱锥的外接球表面积为5π 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.双曲线x2-2y2=1的焦距为▲一. 13.已知函数f(x)=sin2x-V3cos2x,实数x,x2满足xx2<0,f(x)+f(x2)=0.若|x-x2>m恒 成立，则实数m的最大值为▲ 14.己知数列{a},{bn}的通项公式分别为an=2n-l,bn=2，数列{cn}满足c2-1=ak,c24=b,(k∈N'), 记，为数列{c,}前n项和，则使得S。>100 成立的最小正整数n为▲ Sn+1101 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,BC/IAD,AB⊥AD, AD=2BC=2AB=2,E是PD的中点， (1)证明：CE//平面PAB: (2)若直线CE与平面PAD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积. E 第15题图 16.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知cos2A+cos2B-cos2C=1-2 sin Asin B. (1)求C: (2)若a+b =4,求△ABC周长的最大值. sin A+sin B 17.（15分)已知甲盒中有3个红球，1个黑球，乙盒中有2个红球，2个白球（各球除颜色外完全 相同)·现进行如下操作：先从甲盒中取出两个球放入乙盒中，再从乙盒中取出两个球放入甲 盒中 (1)求甲盒中红球个数不变的概率： (2)在“甲盒中红球个数不少于乙盒中红球个数”的条件下，求“黑球仍在甲盒中”的概率： (3)记X为操作后甲盒中红球的个数，求X的分布列及数学期望. 18.（17分)已知椭圆C号+茶=1a>6>0的左、右顶点分别为1B.且11B上4，离心率为日 (1)求椭圆C的方程： (2)设直线1与椭圆C交于M,N两点. ①若I过点P(4,1),求I PM IIPNI的最大值： ②设直线AM,BN的斜率分别为k,k2,且k=2k2.问直线1是否过定点？若是，求出该定 点的坐标：若不是，请说明理由， 19.(17分)己知函数∫(x)=1og。x(a>1)与g(x)=x2(L>0)的图象相交于点P,O为坐标原点. (1)求函数y=f()图象在M(a,1)处的切线方程： (2)若直线OP与y=(x)图象相切于点P,求a的值： (3)若直线OP与y=(x)图象交于另一点Q,且IOQ22|OP|,求a的取值范围. Z20名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2027届高三第一次学情诊断 数学参考答案 一、单项选择题 1 2 3 4 5 6 8 C A B B C C D 二、多项选择题 10 11 ABD BC BCD 三、填空题 12.6 14.24 四、解答题 图所赤，取P4中点F,连结驴，BF,由题意可知，EFI1D 且BC1AD,BC=方4D.故aC/1BF且BC=EBF,故四边形BCEF为平行四边形 ∴.CE/IBF. …3分 CE/IBF,CEE平面PAB,BFC平面PAB,.CEI/平面PAB6分 (2)(法一)取AD中点O,连结EO,CO,AD=2,BC=1,AD/1BC .CO/IAB由题意可知，PA⊥平面ABCD,因此PA⊥AB, 而AD⊥AB,PA∩AB=A,AB⊥平面PAD. 故CO⊥平面PAD,则∠CEO为直线CE与平面PAD所成 角 …8分 即∠CE0=45,故c0=E0=l,而60-PA, 故PA=2. …11分 四校锥P-ABCD的体积0=S%=×1+2x1x2=l …13分 3 32 (法二)由题意可知，PA⊥平面ABCD且AD L AB,以点A 为坐标原点，AB,AD,AP为x,y,:轴正方向建立空间直角坐标 系.则各点坐标A(0,0,0),B(1,0,0),C(11,0),D(0,2,0), (C.0)>)o …9分 平面PAD法向量为万=，0,0，C正=（-1,0，号 设直线CE 与平面PAD所成角为日， 则sin8=1方.CE1 √2 ,解得1=2， …11分 CE 2 2 Z20°名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟)2027届高三第一次学情诊断数学参考答案第1页共4页 同理m兮8劲-写 11+2 ×1×2=1. …13分 16.(1)cos24+cos2B-cos2C=1-2sin2 4-2sin2 B+2sin2C=1-2sin Asin B …2分 由正弦定理得：a2+b2-c2=ab, …4分 金弦定理得：a2+b-C=ab=2 abcosC,即cosC三，C= =3 …6分 (2)由正弦定理得， a+b =2R,其中R为△ABC外接圆半径.R=2 sin A+sin B 由正弦定理得，c=2 RsinC=2√3 …8分 由余弦定理得：c2=a2+b2-2 abcosC,∴.(a+b)2-12=3ab, …11分 由基本不等式可知：(a+b2-12=3abs3(a+b} …13分 a+b≤4V3,当且仅当a=b时取等号.此时△ABC的周长为6√5 …15分 17.（1)记事件A=“甲盒中红球个数不变”，其情况有：甲盒中取出2个红球，乙盒中取出2个 红球或者甲盒中取出1红1黑，乙盒中取出1红1黑1红1白. 则0号受8 …3分 (2)记事件B=“甲盒中红球个数不少于乙盒中红球个数”，记事件C=“黑球仍在甲盒中” 则P(CIB)=PB)1 _P(BC,事件B情况有：甲盒中取出2个红球，乙盒中取出2个红球或者甲 盒中取出1红1黑，乙盒中至少取出一个红球：事件BC情况有：甲盒中取出2个红球， 乙盒中取出2个红球或者甲盒中取出1红1黑，乙盒中取出1红1黑 …5分 …7分 故P(CIB)= P(BC)1 …8分 P(B)2 (3)由题意可知X可取1,2,3,4 …9分 当X=1时，其事件情况有：甲盒中取出2个红球，乙盒中取出的2个都不是红球 政小8器司 …10分 当X=2时，其事件情况有：甲盒中取出2个红球，乙盒中取出1红1白或者甲盒中取出 1红1黑，乙盒中取出的两个都不是红球， 故P(X=2)= 景2器号对过 …11分 当X=3时，即为第(1)间，故P(X=列= …12分 当X=4时，其事件情况有：甲盒中取出1红1黑，乙盒中取出2个红球， 故pK=4=gx9-T1D *C。2*510 …13分 Z20°名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟)2027届高三第一次学情诊断数学参考答案第2页共4页 因此X的分布列为 1 2 3 4 P 1 11 30 30 2 1 …14分 数学期望(0)-1可+2品+3x+4x0骨 18 …15分 18. (1)由题意可得2a=4,2c=a,故b=V5,因此椭圆方程为 +上 =1: …4分 43 (2)(i)若直线1斜率为0，此时1：y=1,解得M,N两点坐标为 o 此时 IPMI-IPNE42-8_40 …5分 33 若直线斜率不为0，不妨设直线1：x=my+1,M(x,y),N(x2,y2),与椭圆方程联立可得： -2,3m+4P+6m0+3r-12=0(※)其中※式：△>0) -6l =3-12,1过点P(4,),故4=m+1(*)…7分 为+为=3m+434=3m+4 此时1PMPW卡V1+m21以-1川V1+m212-1,其中-l,为-1正负号一致， 40 PMPN作(1+m)yy-(+)+) 40(1+m）_40 < 3m2+43+ 1 3 m2+1 综上所述，IPMI-IPNI的最大值为4 …10分 (）(法-）利用椭圆的第三定义可知，太w=一子得aw=是 …12分 4 81 此时kkav=片。乃 2 -2本-2(my+1-2(m,+1-2=-8 42 my+m(-2)(y+⅓2)+(-2)2 P一8，代入整理，化简可得 3-4-4=0,解得1=2或 2 …16分 当1=2时，直线经过点B,不符合要求，舍去：此时1=-，即直线1恒过定点 且定点（号0 在椭圆内部，直线1与椭圆恒有两个交点，经检验成立.…17分 (法二)k=2k,由斜率的坐标公式可得：”。=2业 x1+2x2-2 Z20'名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟)2027届高三第一次学情诊断数学参考答案第3页共4页 即出 =2 …12分 my,+1+2my2+1-2 整理可得：(1-2)y=my+2(1+2)y①， 由韦达定理可知：2，即m=任引0+小 …14分 +y-6mt 代入①中，化简可得： --2=++44@, 3 1- 2-2=0 由于动直线与椭圆的交点会变化，若@式恒成立，则 t 3 2 1+二+4=0 2 解得1=子 即直线1恒过定点 …17分 19. (1)f)=1 ∴f'(a)= 1 …2分 xIna a.Ina 所以切线方程为y-1=,bx-a)即y=1 +1 …4分 a.Ina a.Ina Ina (2)设P(x,),则，1=lO8,当=nx …6分 x Ina x xIna .Inx=1,x=e …8分 又y=x2=log∴1=x2yx=anad=(a")r=(x)r=e…10分 (3)设Q(x22)由|00P21OP1得x2≥2x, …12分 令m=(m≥2)由当=业得l血五=1n玉 X X1 X2X x2 h五=nm+ln,即1nx= …14分 mxy nm(m≥2 m-1 1-1-Inm 令hm)=n，h'(m=” (m-1)2 <0(m≥2) 所以h(m)在2，+o)上单调递减，∴.lnx∈(0，ln2] …16分 由（2)知a=(x)=en (x)=x2.Inx,o'(x)=2xInx+x=x(2Inx+1)>0 所以p(x)=x2.lnx在x∈(，2]上单调递增∴a∈(，16] …17分 Z20°名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2027届高三第一次学情诊断数学参考答案第4页共4页