《第二章一元二次方程第一节一元二次方程的概念》提优特训A·B卷 ·2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 苏科版九年级数学上《一元二次方程的概念》同步练，分A（基础）、B（提优）卷，通过基础巩固与综合拓展分层，构建从概念辨析到模型应用的知识路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A卷|定义四要素、一般形式、根的检验、简单实际问题|基础对比表格辨析方程类型，高频易错点汇总，侧重概念准确识别| |B卷|参数分类讨论、方程转化、新定义问题、复杂情境建模|含“友好方程”等创新题型，结合几何与增长率模型，提升推理与模型意识|

数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第二章一元二次方程第一节一元二次方程的概念》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1. 理解一元二次方程的概念，掌握整式、一元、最高次数为2、二次项系数不为0四大判定要素；能区分一元二次方程、分式方程、一元一次方程、高次方程，准确识别方程类型。 2.能够先化简再判定方程类型；掌握含参数方程的分类讨论，根据一元二次方程定义列出不等式求参数取值；能利用方程根的定义，代入数值完成推理求值。 3.熟练将方程整理为一般形式，准确识别二次项、一次项、常数项以及对应系数；能把实际问题中的等量关系转化为一元二次方程，规范列式。 4.能从面积、增长率、利润等简单实际情境中提取等量关系，建立一元二次方程模型，体会二次方程刻画变量关系的价值。 ) 二．知识梳理 ( （一） 一元二次方程定义 1.定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 如： 等都是一元二次方程. 2.理解： （ 1 ）一元二次方程属于整式方程，定义中的 “ 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 ” 这句话是指对方程 “ 整理合并 ” 之后而言的 . （2） 化简后同时满足4个条件的整式方程： ① 整式方程：分母不含未知数，无根号内含未知数； ② 一元：只含1个未知数（通常为x）； ③ 二次：未知数最高次数为2； ④ 二次项系数不能等于0。 （二） 一元二次方程一般形式 一元二次方程一般形式ax 2 +bx+c=0 (a ≠ 0) 1.ax 2 ：二次项，a为二次项系数（a ≠ 0）； 2.bx：一次项，b为一次项系数； 3.c：常数项（不含未知数）； 4.注意： （1） a 一定不能等于0，若a=0，方程最高次数变为1，就变成一元一次方程。 （2） 整理时必须移项使等式右侧为0，再判断各项。 （三）一元二次方程的根 1.定义：能够使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 2.检验方法：把数值代入方程左右两边，看数值是否相等。 例：判断x=5是不是方程 x 2 -3x-10=0 的根。左边=5 2 -3 × 5-10=25-15-10=0=右边，因此x=5是方程的根。 （四）根据实际问题列一元二次方程 1.常见模型：矩形面积、道路边框、正方形面积、增长率。 2.基本步骤： （1）审题，读懂题目； （2）设未知数； （3）找出题目中的等量关系； （4）根据等量关系列出方程； （5）把方程整理为整式形式（不需要求解）。 ) ( （五） 高频易错汇总 1.   不化简直接判定方程，忽略化简后二次项抵消的情况； 2.   忽略a ≠ 0这个隐含条件，含参数题型极易丢分； 3.   分式方程、无理方程误判为一元二次方程； 4.   写系数时漏掉负号（如-2x 2 +3x-1=0，二次项系数是-2，不是2）； 5.   混淆 “ 方程的根 ” 概念，代入计算出错。 （六） 基础辨析对比 对比项目 一元一次方程 一元二次方程 分式方程 定义 只含1个未知数，整式方程，未知数最高次数为1 只含1个未知数，整式方程，未知数最高次数为2 分母中含有未知数的方程（不属于整式方程） 标准形式 ax+b=0 （a ≠ 0） ax 2 +bx+c=0 (a ≠ 0) 示例： +1=5 关键点 整式、一元、一次； 整式、一元、二次；（高频坑） 不是整式方程，和次数无关；分母 ≠ 0（隐含限制） 解的个数 最多1个实数根 最多2个实数根 可能无解、1个或多个，必须验根 典型例子 3x-6=0 x 2 -5x+1=0 +x=5 易错反例 （2个未知数，不是） （分母含未知数，是分式方程，不是一元二次） （分母是常数，整式方程，不是分式方程） )A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025·盐城阜宁期末）下列方程属于一元二次方程的是（ ） A.x+5=0　 B.x2-2x=0　 C.+x=3　 D.x2+y=1 【答案】B 【解析】A是一元一次方程；C分母含未知数，分式方程；D含2个未知数；B满足整式、一元、最高次2次。 2.（2025·苏州吴中期末）一元二次方程2x2-5x+1=0的二次项系数是（ ） A.2　 B.-5　 C.1　 D.-2 【答案】A 【解析】一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，a=2为二次项系数。 3.（2025·泰州姜堰期末）若x=2是方程x2+mx-6=0的根，则m的值为（ ） A.-1　 B.1　 C.-2　 D.2 【答案】A 【解析】把x=2代入：4+2m-6=0，2m=2，m=-1。 4.（2026·南京鼓楼一模）方程(x+3)(x-2)=0化成一般形式后，常数项为（ ） A.6　 B.-6　 C.1　 D.-1 【答案】B 【解析】展开：x2+x-6=0，常数项是-6。 5.（2025·南通通州期末）关于x的方程(m-2)x2+3x-1=0是一元二次方程，则m满足（ ） A.m≠0　 B.m≠2　 C.m=2　 D.m>2 【答案】B 【解析】二次项系数不能为0，m-2≠0→ m≠2。 6.（2026·淮安清江浦一模）若x=1是x2-kx+3=0的根，则k=（ ） A.4 B.-4 C.2 D.-2 【答案】：A 【解析】：代入1-k+3=0 ⇒k=4。 7.（2025·盐城射阳县期末）下列关于x的方程，属于一元二次方程的是（ ） A.x+=3 B.2x2+y=1 C.3x2-2x=0 D.2x+5=0 【答案】：C 【解析】：A分母含未知数，不是整式方程；B含2个未知数；D最高次数1，一元一次方程；C满足全部4个条件。 8.（2024·扬州广陵区期末）方程(k-2)x2+3x-1=0是一元二次方程，则k的取值范围是（ ） A.k≠0 B.k≠2 C.k=2 D.k>2 【答案】：B 【解析】：一元二次方程二次项系数不能为0，k-2≠0 ⇒ k≠2。 9．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣2m+7的值是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】：C 【解析】：∵m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，∴m2﹣m﹣3＝0，∴m2﹣m＝3， ∴2m2﹣2m+7＝2（m2﹣m）+7＝2×3+7＝13．故选：C． 10.如图,在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路(图中的阴影部分),余下部分铺设草坪,若草坪的面积为300平方米,则可列方程为(　　) A.32×12-32x-12x=300 B.(32-x)(12-x)+x2=300 C.(32-x)(12-x)=300 D.2(32-x+12-x)=300 【答案】C　 【解析】由题图可知道路的宽均为x米,∴铺设草坪的面积等于长为(32-x)米、宽为(12-x)二．填空题（共30分） 11.（2025·扬州邗江期末）方程3x2=5x-1化为一般形式为________。 【答案】3x2-5x+1=0 【解析】移项整理，右侧化为0，按降幂排列。 12.（2025·镇江丹徒期末）一元二次方程x2-4x=0的一次项是______。 【答案】-4x 【解析】一次项包含前面符号，不要只写4x。 13.（2026·常州新北一模）若x=-1是方程x2-kx+2=0的根，则k=______。 【答案】-3 【解析】代入x=-1：1+k+2=0→ k=-3。 14.（2025·徐州铜山期末）方程(2x-1)2=4化简后，最高次数是______。 【答案】2 【解析】展开后含x2项，是二次方程。 15.（2025·连云港海州期末）矩形长为x，宽比长少3，面积为10，列方程________。 【答案】x(x-3)=10 【解析】面积=长×宽，直接根据题意列式（本节不需整理）。 16.（2026·河北长安区一模）若x=-1是一元二次方程x2-px+2=0的根，则p=________。 【答案】：-3 【解析】：代入x=-1，(-1)2‑p×(-1)+2=0，1+p+2=0，p=-3。 17.（2025·四川锦江区期末）方程(m+1)x|m|+1+3x=0是一元二次方程，则m=________。 【答案】：1 【解析】：|m|+1=2且m+1≠0，得|m|=1，m≠‑1，所以m=1。 18.（2024·镇江丹徒区期末）若x=2是方程x2+mx-6=0的根，则m=________。 【答案】：1 【解析】：代入x=2，22+2m-6=0 ⇒4+2m=6 ⇒m=1。 19.（2026·盐城亭湖区一模）矩形面积为30，长比宽多1，设宽为x，列出一元二次方程：________。 【答案】：x(x+1)=30（或x2+x-30=0） 【解析】：宽x，长x+1，面积=长×宽，直接列等式即可。 20.（2026南明区三模） 直角三角形两条直角边相差3，面积为9，设短直角边为x，列方程：________。 【答案】：x(x+3)=9（整理：x2+3x-18=0） 【解析】：长直角边x+3，利用三角形面积公式列式。 三．解答题（共60分） 21.（2025·南通通州区期末）关于x的方程(m+3)x|m|-1+5x-2=0 (1) 当m取何值时，方程是一元二次方程； (2) 当m=-3时，判断方程类型。 【答案】：(1)m=3；(2)一元一次方程 【解析】：(1)|m|-1=2并且m+3≠0⇒|m|=3，m≠-3 ⇒m=3； (2)m=-3时二次项系数为0，只剩一次项，为一元一次方程。 22.（2025贵阳市花溪区一模） 检验x=4和x=-2是不是方程x2-2x-8=0的根。 (1) 代入x=4判断； (2) 代入x=-2判断。 【答案】：两个数都是方程的根 【解析】：(1) 左边=16-8-8=0，等于右边，是根；(2) 左边=4+4-8=0，等于右边，是根。 23.把下列一元二次方程化成一般式，并指出方程中的各项与各项的系数. （1）； （2）. 解：（1）去括号合并同类项后得，所以二次项是，系数是4；一次项是，一次项系数是-2，常数项是-5. （2）去括号合并同类项得，所以二次项是，系数是；一次项是，系数是-1；常数项是 24.（2024·无锡惠山区期末）直角三角形两直角边相差3，面积为14，设短直角边为x。 (1) 写出长直角边代数式； (2) 列出一元二次方程并整理为一般形式。 【答案】：(1)x+3；(2)x(x+3)=14，一般形式x2+3x-28=0 【解析】：三角形面积=×直角边乘积，等式展开移项。 25．已知a＝－＋2. (1)求a，c的值． (2)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，有一个根是x＝1，求b的值． 解：(1)∵a＝－＋2，∴c－3≥0，3－c≥0，∴c＝3，∴a＝2. (2)由(1)可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0可化为2x2＋bx＋3＝0. ∵这个方程有一个根是x＝1，∴2＋b＋3＝0，∴b＝－5. 26.（2026·广西青秀区二模）已知x=m是方程2x2-3x-1=0的一个根。 (1)将x=m代入，写出得到的等式； (2)求代数式4m2‑6m的值； (3)求4m2-6m+2026的值。 【答案】：(1)2m2-3m-1=0；(2)2；(3)2028 【解析】：整体代入，2m2-3m=1，4m2-6m=2(2m2-3m)=2×1=2。 27．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴2a＝2b，∴a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形； （2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0， 即x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1． B卷·强化提优 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·苏州姑苏二模）下列说法正确的是（ ） A.ax2+bx+c=0一定是一元二次方程 B.方程x2=0不是一元二次方程 C.化简后二次项系数为0，则不是一元二次方程 D.+2x=1是一元二次方程 【答案】C 【解析】A缺少a≠0；B是一元二次方程；D是分式方程。 2.（2026·南通崇川二模）方程(m2-1)x2+2x-3=0是一元二次方程，则m取值（ ） A.m≠1　 B.m≠-1　 C.m≠±1　 D.m取任意实数 【答案】C 【解析】m2-1≠0→ m≠1且m≠-1。 3.（2025·无锡江阴期末）若x=a是方程x2-3x+1=0的根，则代数式a2-3a的值为（ ） A.1　 B.-1　 C.0　 D.3 【答案】B 【解析】代入得a2-3a+1=0，移项a2-3a=-1。 4.（2026·盐城盐都二模）将(x-2)2=3x化为一般形式，一次项系数为（ ） A.-7　 B.7　 C.-4　 D.4 【答案】A 【解析】x2-4x+4=3x→x2-7x+4=0，一次项系数-7。 5.（2026·扬州广陵二模）连续两个整数，较小数为x，两数乘积为42，列方程（ ） A.x(x+1)=42　 B.x(x-1)=42　 C.x2=42　 D.2x+1=42 【答案】A 【解析】连续整数，大数为x+1，乘积=42。 6．下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+﹣3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】：一元二次方程只有④，共1个，故选：A． 7．如果0是关于x的一元二次方程（a+3）x2﹣x+a2﹣9＝0的一个根，那么a的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2 【答案】A 【解析】：把x＝0代入一元二次方程（a+3）x2﹣x+a2﹣9＝0得a2﹣9＝0，解得a1＝﹣3，a2＝3，而a+3≠0，所以a的值为3．故选：A． 8．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣2m+7的值是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】：C 【解析】：∵m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，∴m2﹣m﹣3＝0，∴m2﹣m＝3， ∴2m2﹣2m+7＝2（m2﹣m）+7＝2×3+7＝13．故选：C． 9．若x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣1）2，q＝ac+1.5，则p与q的大小关系为（　　） A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定 【答案】A 【解析】：∵x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，∴ax12﹣2x1＝c，则p﹣q＝（ax1﹣1）2﹣（ac+1.5）＝a2x12﹣2ax1+1﹣ac﹣1.5＝a（ax12﹣2x1）﹣ac﹣0.5＝ac﹣ac﹣0.5＝﹣0.5，∴p﹣q＜0，∴p＜q．故选：A． 10. 定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a－b＋c＝0，那么我们称这个方程为“美好”方程．如果一元二次方程2x2＋mx＋n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，那么mn的值为(　　) A．2 B．0 C．－2 D．3 【答案】B 【解析】：根据“和谐”方程和“美好”方程的定义得2＋m＋n＝0，2－m＋n＝0，解得m＝0，n＝－2，所以mn＝0. 二．填空题（共30分） 11.（2026·镇江京口二模）方程x2-x=2的常数项是______。 【答案】-2 【解析】整理x2-x-2=0，常数项含负号。 12.（2025·常州武进期末）若方程(k-3)x|k|-1+2x-1=0是一元二次方程，则k=______。 【答案】-3 【解析】|k|-1=2且k-3≠0→|k|=3,k≠3→ k=-3。 13.（2026·徐州云龙二模）已知x=1是方程mx2-(m+2)x+2=0的根，则代数式m-(m+2)+2=______。 【答案】0 【解析】直接利用根定义，代入左边即为0。 14.（2025·连云港连云期末）正方形边长增加2，面积增加20，设原边长x，方程________。 【答案】(x+2)2-x2=20 【解析】新面积−原面积=增加的面积。 15.（2026·淮安淮阴二模）方程3x2-5=0，二次项系数、一次项系数、常数项之和为______。 【答案】-2 【解析】系数依次为3、0、-5，3+0-5=-2。 16．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2030﹣2a+2b的值为________。 【答案】：2026 【解析】：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣2＝0，则a﹣b＝2，所以原式＝2030﹣2（a﹣b）＝2030﹣2×2＝2030﹣4＝2026， 17. 若关于x的方程x2＋ax＋b＝0和x2＋bx＋a＝0(a≠b)只有一个相同的根，则a，b的关系是______________． 【答案】a＋b＝－1　 【解析】设两个方程相同的根为x＝m.根据题意，得m2＋am＋b＝0①，m2＋bm＋a＝0②.①－②，得m(a－b)＋(b－a)＝0.∵a≠b，∴a－b≠0，∴两边同除以(a－b)，得m＝1，∴12＋a＋b＝0，∴a＋b＝－1. 18．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为　 　． 【答案】﹣ 【解析】∵m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，∴m2﹣3m﹣5＝0，∴m2＝3m+5，＝m﹣（3m+5）＝m﹣m﹣＝﹣．故答案为﹣． 19．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，则m的值为　 　． 【答案】m＝1 【解析】把x＝n代入方程得：mn2﹣4n﹣5＝0，即mn2﹣4n＝5，代入已知等式得：5+m＝6，解得：m＝1． 20．已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2017m++9的值等于　 　． 【答案】2026 【解析】∵m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，∴m2﹣2018m+1＝0，∴m2＝2018m﹣1，m2+1＝2018m，∴m2﹣2017m++8＝2018m﹣1﹣2017m++9＝m++8＝+8＝+8＝2018+8＝2026．故答案为2026． 三．解答题（共60分） 21.（2025·盐城盐都期末）已知方程(n-2)xn2-2+nx-1=0 (1) n取何值，方程为一元二次方程； (2) n=2时，方程是什么类型？写出方程。 解：(1)∵n2-2=2并且n-2≠0⇒n2=4，n≠2 ⇒n=-2； (2)n=2二次项系数为0，原式2x-1=0，一元一次。 22.（2026·泰州高港一模）校园花圃长15m，宽10m，四周铺设等宽小路，小路宽x，花圃+小路总面积224m2。 (1) 写出含小路整体的长、宽； (2) 列出一元二次方程并整理为标准一般形式； (3) 判断常数项数值。 解：(1)长：15+2x，宽：10+2x； (2)(15+2x)(10+2x)=224，一般形式4x^2+50x-74=0； (3)常数项：-74 23.已知这样一道题目：把方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题． (1)下列式子中，有哪几个是方程x2－x＝2所化的一元二次方程的一般形式(只写序号)? ①x2－x－2＝0； ②－x2＋x＋2＝0； ③x2－2x＝4； ④－x2＋2x＋4＝0； ⑤x2－2x－4＝0. (2)方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？ 解：(1)①②④⑤. (2)把方程x2－x＝2化为一般形式x2－2x－4＝0，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有的关系为：二次项系数∶一次项系数∶常数项＝1∶(－2)∶(－4)． 24．根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x； （3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x． 解：（1）依题意得，4x2＝25，化为一元二次方程的一般形式得，4x2−25＝0． （2）依题意得，x（x−2）＝100，化为一元二次方程的一般形式得，x2−2x−100＝0． （3）依题意得，x·1=（1-x）2，化为一元二次方程的一般形式得，x2−3x+1＝0 25．阅读理解： 定义：如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2x2+b2x+c2=0（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　． （2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0， 故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0； （2）由﹣5x2﹣x＝1，移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0，∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程，∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，解得：m＝0，n＝﹣1，∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，答：（m+n）2的值是1． 26.定义:关于x的一元二次方程cx2+bx+a=0(其中a,b，c是常数，且ac≠0)是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a，b，c是常数，且ac≠0)的“友好”方程.例如:-2x2-x+1=0是x2-x-2=0的“友好”方程. (1)【概念感知】2x2-3x-2=0的“友好”方程是______________. (2)【问题探究】若关于x的一元二次方程 cx2+bx+a=0(其中a，b，c是常数，且ac≠0)的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好"方程的一个解?若是，请证明;若不是，请说明理由. 解:（1）原方程：a=2,b=-3,c=-2；友好方程：交换a,c，得 -2x2-3x+2=0。 （2）是，证明：∵ x=3 是 cx2+bx+a=0 的根，∴ c×32+b×3+a=0 ∴9c+3b+a=0，把 x=代入友好方程左边 ax2+bx+c：∴a×()2+b×+ca+b+c=(a+3b+9c)=×0=0，∴x=是ax2+bx+c=0的一个解． 27. 已知f（x）＝a1xn+a2xn﹣1+……+an﹣1x2+anx+c（其中a1，a2，…，an是各项的系数，c是常数项）；我们规定f（x）的伴随多项式是g（x），且g（x）＝na1xn﹣1+（n﹣1）a2xn﹣2+……+2an﹣1x+an．如果f（x）＝4x3﹣3x2+5x﹣8，则它的伴随多项式g（x）＝3×4x2﹣2×3x+1×5＝12x2﹣6x+5．请根据上面的材料，完成下列问题： （1）已知f（x）＝x5，则它的伴随多项式g（x）＝　 　； （2）已知f（x）＝5x2﹣3（9x﹣1），则它的伴随多项式g（x）＝　 　；若g（x）＝13，求x的值． （3）已知二次多项式f（x）＝（a+3）x2+16x+21，并且它的伴随多项式是g（x），若关于x的方程g（x）＝﹣2x有正整数解，求a的整数值． 解：（1）已知f（x）＝x5，则它的伴随多项式g（x）＝5x4；故答案为：5x4； （2）∵f（x）＝5x2﹣3（9x﹣1）＝5x2﹣27x+3，∴它的伴随多项式g（x）＝10x﹣27， 根据题意得：10x﹣27＝13，解得：x＝4；故答案为：10x﹣27； （3）∵二次多项式f（x）＝（a+3）x2+16x+21，∴它的伴随多项式是g（x）＝2（a+3）x+16，∵g（x）＝﹣2x有正整数解，且2（a+3）x+16＝﹣2x，即x＝﹣，∴a+4＝﹣1或a+4＝﹣2或a+4＝﹣4或a+4＝﹣8，解得：a＝﹣5或﹣6或﹣8或﹣12． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第二章一元二次方程第一节一元二次方程的概念》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1. 理解一元二次方程的概念，掌握整式、一元、最高次数为2、二次项系数不为0四大判定要素；能区分一元二次方程、分式方程、一元一次方程、高次方程，准确识别方程类型。 2.能够先化简再判定方程类型；掌握含参数方程的分类讨论，根据一元二次方程定义列出不等式求参数取值；能利用方程根的定义，代入数值完成推理求值。 3.熟练将方程整理为一般形式，准确识别二次项、一次项、常数项以及对应系数；能把实际问题中的等量关系转化为一元二次方程，规范列式。 4.能从面积、增长率、利润等简单实际情境中提取等量关系，建立一元二次方程模型，体会二次方程刻画变量关系的价值。 ) 二．知识梳理 ( （一） 一元二次方程定义 1.定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 如： 等都是一元二次方程. 2.理解： （ 1 ）一元二次方程属于整式方程，定义中的 “ 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 ” 这句话是指对方程 “ 整理合并 ” 之后而言的 . （2） 化简后同时满足4个条件的整式方程： ① 整式方程：分母不含未知数，无根号内含未知数； ② 一元：只含1个未知数（通常为x）； ③ 二次：未知数最高次数为2； ④ 二次项系数不能等于0。 （二） 一元二次方程一般形式 一元二次方程一般形式ax 2 +bx+c=0 (a ≠ 0) 1.ax 2 ：二次项，a为二次项系数（a ≠ 0）； 2.bx：一次项，b为一次项系数； 3.c：常数项（不含未知数）； 4.注意： （1） a 一定不能等于0，若a=0，方程最高次数变为1，就变成一元一次方程。 （2） 整理时必须移项使等式右侧为0，再判断各项。 （三）一元二次方程的根 1.定义：能够使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。 2.检验方法：把数值代入方程左右两边，看数值是否相等。 例：判断x=5是不是方程 x 2 -3x-10=0 的根。左边=5 2 -3 × 5-10=25-15-10=0=右边，因此x=5是方程的根。 （四）根据实际问题列一元二次方程 1.常见模型：矩形面积、道路边框、正方形面积、增长率。 2.基本步骤： （1）审题，读懂题目； （2）设未知数； （3）找出题目中的等量关系； （4）根据等量关系列出方程； （5）把方程整理为整式形式（不需要求解）。 ) ( （五） 高频易错汇总 1.   不化简直接判定方程，忽略化简后二次项抵消的情况； 2.   忽略a ≠ 0这个隐含条件，含参数题型极易丢分； 3.   分式方程、无理方程误判为一元二次方程； 4.   写系数时漏掉负号（如-2x 2 +3x-1=0，二次项系数是-2，不是2）； 5.   混淆 “ 方程的根 ” 概念，代入计算出错。 （六） 基础辨析对比 对比项目 一元一次方程 一元二次方程 分式方程 定义 只含1个未知数，整式方程，未知数最高次数为1 只含1个未知数，整式方程，未知数最高次数为2 分母中含有未知数的方程（不属于整式方程） 标准形式 ax+b=0 （a ≠ 0） ax 2 +bx+c=0 (a ≠ 0) 示例： +1=5 关键点 整式、一元、一次； 整式、一元、二次；（高频坑） 不是整式方程，和次数无关；分母 ≠ 0（隐含限制） 解的个数 最多1个实数根 最多2个实数根 可能无解、1个或多个，必须验根 典型例子 3x-6=0 x 2 -5x+1=0 +x=5 易错反例 （2个未知数，不是） （分母含未知数，是分式方程，不是一元二次） （分母是常数，整式方程，不是分式方程） )A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025·盐城阜宁期末）下列方程属于一元二次方程的是（ ） A.x+5=0　 B.x2-2x=0　 C.+x=3　 D.x2+y=1 2.（2025·苏州吴中期末）一元二次方程2x2-5x+1=0的二次项系数是（ ） A.2　 B.-5　 C.1　 D.-2 3.（2025·泰州姜堰期末）若x=2是方程x2+mx-6=0的根，则m的值为（ ） A.-1　 B.1　 C.-2　 D.2 4.（2026·南京鼓楼一模）方程(x+3)(x-2)=0化成一般形式后，常数项为（ ） A.6　 B.-6　 C.1　 D.-1 5.（2025·南通通州期末）关于x的方程(m-2)x2+3x-1=0是一元二次方程，则m满足（ ） A.m≠0　 B.m≠2　 C.m=2　 D.m>2 6.（2026·淮安清江浦一模）若x=1是x2-kx+3=0的根，则k=（ ） A.4 B.-4 C.2 D.-2 7.（2025·盐城射阳县期末）下列关于x的方程，属于一元二次方程的是（ ） A.x+=3 B.2x2+y=1 C.3x2-2x=0 D.2x+5=0 8.（2024·扬州广陵区期末）方程(k-2)x2+3x-1=0是一元二次方程，则k的取值范围是（ ） A.k≠0 B.k≠2 C.k=2 D.k>2 9．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣2m+7的值是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 10.如图,在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示的道路(图中的阴影部分),余下部分铺设草坪,若草坪的面积为300平方米,则可列方程为(　　) A.32×12-32x-12x=300 B.(32-x)(12-x)+x2=300 C.(32-x)(12-x)=300 D.2(32-x+12-x)=300 二．填空题（共30分） 11.（2025·扬州邗江期末）方程3x2=5x-1化为一般形式为________。 12.（2025·镇江丹徒期末）一元二次方程x2-4x=0的一次项是______。 13.（2026·常州新北一模）若x=-1是方程x2-kx+2=0的根，则k=______。 14.（2025·徐州铜山期末）方程(2x-1)2=4化简后，最高次数是______。 15.（2025·连云港海州期末）矩形长为x，宽比长少3，面积为10，列方程________。 16.（2026·河北长安区一模）若x=-1是一元二次方程x2-px+2=0的根，则p=________。 17.（2025·四川锦江区期末）方程(m+1)x|m|+1+3x=0是一元二次方程，则m=________。 18.（2024·镇江丹徒区期末）若x=2是方程x2+mx-6=0的根，则m=________。 19.（2026·盐城亭湖区一模）矩形面积为30，长比宽多1，设宽为x，列出一元二次方程：________。 20.（2026南明区三模） 直角三角形两条直角边相差3，面积为9，设短直角边为x，列方程：________。 三．解答题（共60分） 21.（2025·南通通州区期末）关于x的方程(m+3)x|m|-1+5x-2=0 (1) 当m取何值时，方程是一元二次方程； (2) 当m=-3时，判断方程类型。 22.（2025贵阳市花溪区一模） 检验x=4和x=-2是不是方程x2-2x-8=0的根。 (1) 代入x=4判断； (2) 代入x=-2判断。 23.把下列一元二次方程化成一般式，并指出方程中的各项与各项的系数. （1）； （2）. 24.（2024·无锡惠山区期末）直角三角形两直角边相差3，面积为14，设短直角边为x。 (1) 写出长直角边代数式； (2) 列出一元二次方程并整理为一般形式。 25．已知a＝－＋2. (1)求a，c的值． (2)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，有一个根是x＝1，求b的值． 26.（2026·广西青秀区二模）已知x=m是方程2x2-3x-1=0的一个根。 (1)将x=m代入，写出得到的等式； (2)求代数式4m2‑6m的值； (3)求4m2-6m+2026的值。 27．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． B卷·强化提优 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·苏州姑苏二模）下列说法正确的是（ ） A.ax2+bx+c=0一定是一元二次方程 B.方程x2=0不是一元二次方程 C.化简后二次项系数为0，则不是一元二次方程 D.+2x=1是一元二次方程 2.（2026·南通崇川二模）方程(m2-1)x2+2x-3=0是一元二次方程，则m取值（ ） A.m≠1　 B.m≠-1　 C.m≠±1　 D.m取任意实数 3.（2025·无锡江阴期末）若x=a是方程x2-3x+1=0的根，则代数式a2-3a的值为（ ） A.1　 B.-1　 C.0　 D.3 4.（2026·盐城盐都二模）将(x-2)2=3x化为一般形式，一次项系数为（ ） A.-7　 B.7　 C.-4　 D.4 5.（2026·扬州广陵二模）连续两个整数，较小数为x，两数乘积为42，列方程（ ） A.x(x+1)=42　 B.x(x-1)=42　 C.x2=42　 D.2x+1=42 6．下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+﹣3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如果0是关于x的一元二次方程（a+3）x2﹣x+a2﹣9＝0的一个根，那么a的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2 8．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣2m+7的值是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 9．若x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣1）2，q＝ac+1.5，则p与q的大小关系为（　　） A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定 10. 定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a－b＋c＝0，那么我们称这个方程为“美好”方程．如果一元二次方程2x2＋mx＋n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，那么mn的值为(　　) A．2 B．0 C．－2 D．3 二．填空题（共30分） 11.（2026·镇江京口二模）方程x2-x=2的常数项是______。 12.（2025·常州武进期末）若方程(k-3)x|k|-1+2x-1=0是一元二次方程，则k=______。 13.（2026·徐州云龙二模）已知x=1是方程mx2-(m+2)x+2=0的根，则代数式m-(m+2)+2=______。 14.（2025·连云港连云期末）正方形边长增加2，面积增加20，设原边长x，方程________。 15.（2026·淮安淮阴二模）方程3x2-5=0，二次项系数、一次项系数、常数项之和为______。 16．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2030﹣2a+2b的值为________。 17. 若关于x的方程x2＋ax＋b＝0和x2＋bx＋a＝0(a≠b)只有一个相同的根，则a，b的关系是______________． 18．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为　 　． 19．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，则m的值为　 　． 20．已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2017m++9的值等于　 　． 三．解答题（共60分） 21.（2025·盐城盐都期末）已知方程(n-2)xn2-2+nx-1=0 (1) n取何值，方程为一元二次方程； (2) n=2时，方程是什么类型？写出方程。 22.（2026·泰州高港一模）校园花圃长15m，宽10m，四周铺设等宽小路，小路宽x，花圃+小路总面积224m2。 (1) 写出含小路整体的长、宽； (2) 列出一元二次方程并整理为标准一般形式； (3) 判断常数项数值。 23.已知这样一道题目：把方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题． (1)下列式子中，有哪几个是方程x2－x＝2所化的一元二次方程的一般形式(只写序号)? ①x2－x－2＝0； ②－x2＋x＋2＝0； ③x2－2x＝4； ④－x2＋2x＋4＝0； ⑤x2－2x－4＝0. (2)方程x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？ 24．根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x； （3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x． 25．阅读理解： 定义：如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与a2x2+b2x+c2=0（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　． （2）关于x方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 26.定义:关于x的一元二次方程cx2+bx+a=0(其中a,b，c是常数，且ac≠0)是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a，b，c是常数，且ac≠0)的“友好”方程.例如:-2x2-x+1=0是x2-x-2=0的“友好”方程. (1)【概念感知】2x2-3x-2=0的“友好”方程是______________. (2)【问题探究】若关于x的一元二次方程 cx2+bx+a=0(其中a，b，c是常数，且ac≠0)的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好"方程的一个解?若是，请证明;若不是，请说明理由. 27. 已知f（x）＝a1xn+a2xn﹣1+……+an﹣1x2+anx+c（其中a1，a2，…，an是各项的系数，c是常数项）；我们规定f（x）的伴随多项式是g（x），且g（x）＝na1xn﹣1+（n﹣1）a2xn﹣2+……+2an﹣1x+an．如果f（x）＝4x3﹣3x2+5x﹣8，则它的伴随多项式g（x）＝3×4x2﹣2×3x+1×5＝12x2﹣6x+5．请根据上面的材料，完成下列问题： （1）已知f（x）＝x5，则它的伴随多项式g（x）＝　 　； （2）已知f（x）＝5x2﹣3（9x﹣1），则它的伴随多项式g（x）＝　 　；若g（x）＝13，求x的值． （3）已知二次多项式f（x）＝（a+3）x2+16x+21，并且它的伴随多项式是g（x），若关于x的方程g（x）＝﹣2x有正整数解，求a的整数值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $