16.3.1 平方差公式 同步练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本练习以平方差公式为核心，通过基础计算、灵活应用到综合探究的三层设计，覆盖公式理解、运算深化及实际应用，适配新授课分层教学，培养数学思维与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|公式直接应用、结构辨析|单选题直接计算（如第1题）、填空题基础运算（如第1题多小题），夯实公式记忆| |提升层|公式逆用、错误辨析、条件求值|单选题结合已知求代数式值（如第9题）、解答题简便计算（如第4题），培养灵活应用能力| |拓展层|规律探究、实际应用、新定义问题|解答题几何面积验证（如第24题）、实际问题（如第21题儿童区域），发展数学思维与模型意识|

平方差公式 一、单选题 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 3．下列式子中，不能用平方差公式运算的是（　　） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（     ） A． B． C． D． 6．化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 7．若，则的值为（     ） A．－5 B．0 C．5 D．7 8．课堂上老师出了一道题：计算．嘉嘉和琪琪的计算过程如下，下列说法正确的是（    ） 嘉嘉： = = = = 琪琪： = = = = A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．嘉嘉错误，琪琪正确 C．两个同学都正确 D．两个同学都错误 9．若，，则的值为（    ） A． B．12 C． D．7 10．若，则值为（） A．1 B．2 C．3 D．0 11．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，有如下结论： ①； ②是8的倍数； ③m，n为正整数，且，若是“和谐数”，则， 其中正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．计算的结果是（     ） A． B．0 C．1 D． 13．将正方形的一边增加，另一边缩短，则改造后的长方形面积与原来相比（     ） A．减少 B．增加 C．保持不变 D．无法确定 14．定义，若，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 15．一大一小两个正方形的位置如图所示，其中，要求阴影部分的面积，只需知道（     ） A．大正方形的面积 B．小正方形的面积 C．两个正方形的面积的和 D．两个正方形的面积的差 16．下列图形中，不能借助图形面积验证正确性的是（     ） A． B． C． D． 17．在“综合与实践”活动中，同学们利用相关图形中面积的等量关系得到了某些数学公式，借助图形面积探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 1.计算。 ； ；（-x+2y）（-x-2y）= ． （2x+3）(2x-3)= ；（x+5）（x﹣5）= ； ． ；（﹣x﹣2y）（﹣x+2y）＝ ； ； （-2a-3b）(2a-3b)= ； ；(2x-3y)(2x+3y)= ； ； ；(a+b)(-b+a)= ； (-2ax-3by)(2ax-3by)= ； ； ； ； ； =___________； ； ； (ab﹣2)(ab+2)＝ ； ；______________． 2．若，，则__________． 3．若，，则_______． 4．计算：________． 5．广场内有一块边长为米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短2米，东西方向要加长2米．改造后的长方形草坪面积减小了______平方米． 6．如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形并将剩余部分（阴影部分）沿虚线剪开，得到两个梯形，再将这两个梯形拼成一个长方形，利用这两个图，通过表示阴影部分的面积，能解释一个等式是____________． 三、解答题 1．利用平方差公式计算： (1)； (2)； (3)； (4) ； (5)； (6)； (7) ； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 2．利用平方差公式计算： (1)； (2)． (3)． (4)； (5)； （6）20 3计算 （1） （2） （3） （4）． (5)； (6)； 4．简便计算： （1）； （2） ； (3) 5.先化简，再求值： （1） ，其中． （2），其中． （3），其中． （4），其中，． （5），其中，．（6），其中． （7），其中，． （8），其中，． （9），其中，． 6．已知：▇． (1)求▇所表示的代数式； (2)求当，时，▇所表示的代数式的值． 7．已知，求代数式的值． 8．计算并观察下列各式： (1)___________； ___________； ___________； (2)根据上面的规律可得：___________； (3)利用该规律求的值． 9．探索题 阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写的结果为_________； (2)利用上面所提供的解法，请化简：． 10．学习了平方差公式：，小明发现对于某些多项式的运算进行适当的变形后可以出现平方差公式的结构，从而解决问题． 例如：计算． 解：原式， ， ， ． 根据上面的方法，解决以下的问题： (1)__________． (2)计算的值． (3)计算的值（，为正整数）． 11．定义一种新运算：，例如：． (1)求的值； (2)若，化简并求代数式的值． 12．王老师在黑板上写下了四个算式： ①； ②； ③； ④； 认真观察这些算式，并结合你发现的规律，解答下列问题： (1)________；________． (2)嘉嘉发现上述算式的规律可以用文字语言概括为：“两个连续偶数的平方差一定能被整除”，如果设两个连续偶数分别为和（为非负整数），请你用含有的算式验证嘉嘉发现的规律． 13．观察下面的等式： ， ， (1)写出的结果； (2)按照上面的规律，试写出第个等式（用含的等式表示，为正整数），并证明． 14．用运算律或乘法公式可以简化运算，例如： ． (1)证明，并用以上方法计算； (2)计算：． 15．阅读下列材料： 某同学在计算时，把3写成4－1后，发现可以连续运用平方差公式计算： ． 回答下列问题： (1)请借鉴该同学的方法，计算：； (2)借用上面的方法，再逆用平方差公式计算： ． 16．小明在化简时，解答过程如下： 解：原式 ① ② ③ (1)小明的解答过程是从第___________步（填写序号）开始出错，其错误原因是___________； (2)请你写出正确的解答过程． 17．按要求完成下列各题： (1)填空： ______； ______； ______． (2)猜想： ______（其中为正整数，且）． (3)利用（2）猜想的结论计算：． 18．发现：任意两个连续奇数的平方差是8的倍数； (1)探究   设为整数，写出两个连续奇数的平方差，并说明是8的倍数； (2)延伸   仿照（1）的探究思路，判断：任意两个连续偶数的平方差能否被6整除，请说明理由． 19．对于命题“两个连续偶数的平方差是4的倍数”，完成下列问题： (1)验证：的结果是4的倍数； (2)证明：设为整数，用含的代数式写出两个连续偶数的平方差，并说明它是4的倍数． 20．综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板的长为，宽为； 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板分割为两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形割补到长方形的下方． (1)①图2中的阴影部分的面积是________； ②观察图1、图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积，可以验证恒等式________； 【实践应用】 (2)如图3，点是线段上的点，在的同侧作正方形和正方形，点在线段上，，连接，已知正方形的边长为，正方形的边长为，求阴影部分的面积．（用含的式子表示，结果化到最简） 21．为适应儿童健康成长与发展需求，推动城市儿童友好空间建设，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区和绿化休息区，其中，游戏娱乐区和绿化休息区均为长方形，文化体验区是边长为的正方形． (1)求绿化休息区的面积；（用含a，b的式子表示） (2)该公园计划为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米25元．若，，求铺设塑胶地面所需的费用． 22．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是________．（请选择正确的选项） A．    B． C．    D． (2)用你选的等式进行简便计算： ①； ②． 23．若一个自然数能表示成两个自然数的平方差，那么称这个自然数为“智慧数”． 例如：，因此3是一个“智慧数”．某数学学习小组对“智慧数”做了如下探究： 【初步感知】寻找“智慧数” 小深的枚举法 ； ； ； ； ； ； ； … 小圳的代数推理法通过观察发现0，4，8是“智慧数”，因此他猜想4的倍数都是“智慧数”，并给出如下证明： 设是自然数，则 表示自然数中所有4的倍数，因此4的倍数都是“智慧数”． (1)下列自然数中， 是“智慧数”（填序号）；             【猜想验证】 (2)小圳通过观察小深的枚举法，猜想自然数中所有的奇数都是“智慧数”，请你参考小圳的方法证明他的猜想． 【迁移应用】 (3)某数学社团为了筹备成果展，要在一块正方形空地右上角布置一个正方形舞台（如阴影所示），剩下L型区域作为观展走廊．如图，现社团采购了一块长为米，宽为米的地胶（其中，为自然数），通过裁切，恰好能铺满这条L型走廊．请问这条L型走廊的面积是“智慧数”吗？请说明理由，并求出舞台的边长． 24．如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 ． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 25．如图，有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在对角两块长为米，宽为米的长方形区域修建两座雕塑，剩余地方进行绿化． (1)求绿化区域的面积（用含，的式子表示，结果化到最简）； (2)当，时，求绿化区域的面积． 26．秦腔是四大声腔中最古老、最丰富的声腔体系，近期秦腔的爆火，让更多人了解了这一古老剧种．如图，某市有一个用于表演秦腔的长方形演艺厅，其长为米，宽为米，演艺厅内有一个长为米，宽为米的长方形舞台，现要对该演艺厅内除舞台以外的地方（图中阴影部分）进行装修． (1)求装修部分的面积；（结果用含、的代数式表示，并化为最简） (2)当，时，求装修部分的面积． 27．如图，图1为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，请用含、的代数式表示：_____，_____（只需表示，不必化简）； (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式_____； (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 28．如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形． (1)图1，阴影面积______； (2)图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，其面积是______（写成多项式乘法的形式）； (3)由上图可以得到乘法公式______； (4)运用得到的公式，计算：． 29．在平方差公式这一节中，我们从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图2）． 【公式推导】 (1)课堂上我们用两种不同的方法计算图②中拼合后的大长方形的面积，并用多项式乘多项式法则推导，得到的乘法公式是________； 【基础应用】 (2)应用所得公式简便计算：； 【拓展应用】 (3)应用你在（1）中得到的乘法公式，计算：． 30．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：，，，则8，16，24这三个数都是“奇特数”． (1)按照上述规律，设两个连续正奇数为，（其中n为正整数），试说明它们的平方差是8的倍数； (2)如图所示，拼接的正方形边长是从1开始的连续正奇数，按此规律拼叠到正方形，其边长为43，求阴影部分的总面积． 《平方差公式》参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C C C C C B A 题号 11 12 13 14 15 16 17 答案 C C A C D D B 1．B 【分析】直接套用初中平方差公式即可计算出结果． 【详解】解：． 2．D 【分析】平方差公式为，只有两个二项式相乘时，存在一项完全相同，另一项互为相反数，才能用平方差公式计算，据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项，式子中不存在完全相同的项和互为相反数的项，不能用平方差公式计算，不符合题意． B选项，两项均互为相反数，只能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，不符合题意． C选项，两项均互为相反数，只能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，不符合题意． D选项，式子中相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，可以用平方差公式计算，符合题意． 3．C 【分析】根据平方差公式依次判断即可． 【详解】解：A选项，可用平方差公式，不符合题意； B选项，可以用平方差公式，不符合题意； C选项，因此不能用平方差公式，故符合题意； D选项，可以用平方差公式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平方差公式，掌握两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差是解题关键． 4．C 【分析】根据同底数幂乘法、合并同类项、平方差公式、积的乘方的法则，逐一判断选项的运算是否正确即可． 【详解】解： A、，故选项不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； C、，运算正确，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意 5．C 【分析】通过题意，分别表示出图（甲）和图（乙）中阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：图（甲）中边长为的正方形变换到图（乙）位置成为阴影部分的小长方形， 图（乙）中阴影部分的长方形长为、宽为，则面积为； 图（甲）中阴影部分的面积是边长为的大正方形面积减掉边长为的小正方形面积，则面积为； 由于两个阴影部分面积相等，则得． 6．C 【分析】利用平方差公式逐步计算多项式乘积，再去括号合并同类项即可得到化简结果． 【详解】解： ． 7．C 【分析】用平方差公式把所求式子化简为含的形式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 8．C 【详解】解：嘉嘉和琪琪的计算过程都正确． 9．B 【分析】利用平方差公式分解所求多项式，直接代入已知条件计算，无需分别求解，的值，简化运算过程． 【详解】解：由平方差公式可得，， ，， 代入得． 10．A 【分析】本题可利用平方差公式分解原式，再结合已知条件化简求值，用到整式乘法的平方差公式知识点． 【详解】解：∵， ∴． 11．C 【分析】①根据 “和谐数”的定义，观察规律，即可得到的值； ②根据①中找出的规律进行计算即可判断此结论的正误； ③将整理为，把代入，求出原式的值0，然后根据“和谐数”的定义即可判断． 【详解】解：① 观察“和谐数”可知，设下标为，则被减数的底数为，减数的底数为， 即； ． 故①正确； ②根据①找出的规律知： ， 是8的倍数． 故②正确； ③ 若，则原式， 而0不是正整数，故不可能是“和谐数”． 故③错误. 12．C 【分析】观察算式中三个数的特点，可将2027和2025变形为含2026的式子，运用平方差公式简化计算，即可得到结果． 【详解】解： 原式 ， ， ． 13．A 【分析】设出原正方形边长，分别表示出改造前后的面积再比较大小． 【详解】解：设原正方形的边长为，则原正方形的面积为， 改造后长方形的宽为，长为， ∴改造后长方形的面积为， ∵， ∴改造后的长方形面积比原来减少． 14．C 【分析】根据题目给出的运算法则，将原式转化为一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴将变形得， 展开多项式得 ， 化简得 ， 移项合并同类项得， 解得． 15．D 【分析】阴影部分是两个梯形，其上底与下底分别为一小一大两个正方形的边长，两梯形高之和为大正方形边长减去小正方形边长，据此可求阴影部分面积． 【详解】解：一大一小两个正方形的位置如图所示，其中， 故， 设小正方形边长为a，大正方形边长为b， ； ∴只需知道两正方形面积差即可求阴影部分面积． 16．D 【分析】根据平方差公式的几何意义，即大正方形面积减去小正方形面积等于拼成的长方形或平行四边形的面积，逐一分析各选项图形即可． 【详解】A． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故A不符合题意； B． 左图大正方形面积减去小正方形面积为，右图平行四边形底为，高为，面积为，能验证，故B不符合题意； C． 左图大正方形面积减去小正方形面积得，右图长方形长为，宽为，面积为，能验证，故C不符合题意； D． 左图表示完全平方公式，右图表示面积为，不能验证平方差公式，故D符合题意． 17．B 【分析】分别求出两个图中阴影部分的面积，根据题意建立等量关系即可． 【详解】解：第一个图阴影部分的面积为：， 第二个图阴影部分的面积为：， 根据题意，第一个图和第二个图阴影部分的面积相等， ∴． 二、填空题 1．（1）/ （2） （3）x2-4y2 （4）4－9 （5）x2﹣25 （6）/ （7）/ （8）x2﹣4y2 （9） （10）9b2-4a2 （11） （12） （13）/ （14）/ （15）a- b （16） b2 y2-4 a2 x2 （17） （18） （19） （20）/ （21）． （22） （23） （24）/ （25）a2b2﹣4 （26） （27） ． 2． 【分析】利用平方差公式分解，代入已知条件求出，再计算最终结果． 【详解】解：； ∵， ， 解得， 则． 3． 【分析】利用平方差公式分解，代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 4． 【详解】解： ． 5． 【分析】先计算原正方形草坪的面积，再根据题意得到改造后长方形草坪的长和宽，计算出改造后的面积，用原面积减去改造后的面积，即可得到面积减小的值，计算过程运用平方差公式化简． 【详解】解：原正方形草坪的边长为米，原面积为：， 改造后，长方形草坪的长为米，宽为米， 因此改造后的面积为：， 面积减小的值为：． 6． 【分析】分别表示两个图形的面积，根据图形的面积相等，列出等式即可． 【详解】解：第一个图形的面积为， 第二个图形的面积为， ∵两个图形的阴影部分面积相等， ∴． 三、解答题 1.（1）解：； （2）解：． （3）解 ； （4）解： （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：； （9）解：； （10）解：． （11）解：； （12）解： ． 2.利用平方差公式计算 （1）解：； （2）解： ． （3）解：． （4）解：原式． （5）解：原式 （6）解：原式=（20+ ）（20 - ）=400 - =399 3计算 （1）解：原式． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ； （6）解： ． 4. 简便计算 （1）解：原式． （2）解：原式 （3）解：原式． 5．化简，再求值 （1）解： ， 当时，原式． （2）解：原式 当时，原式 （3）解：原式 ． 当时， 原式． （4）解： ； 当，时， 原式. （5）解：， 当，时，原式． （6）解： ， 当时，原式． （7）解：原式 ， 当，时， 原式． （8）解：原式 ， 当，时， 原式 （9）解： ， 当，时， ． 74．(1) (2) 6.（1）解：由题意得：▇ ； ∴▇所表示的代数式是； （2）解：当，时，▇． 7.解： ， ， 得 ， 将代入化简后的式子， 得原式． 8.（1）解：， ， ； （2）解：根据上面的规律可得：； （3）解： ． 9．（1）解：； （2）解： ． 10．（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：分两种情况讨论： 当时， 原式 ； 当时， 原式 ． 11．（1）解：； （2）解：， ， ， 当时，原式． 80．(1)（1）解：， ； (2)解：， 为非负整数， 为非负整数 两个连续偶数的平方差一定能被整除 12.（1）解：由规律可知，， ，， ∴， ∴． (2)， 证明：左边 ， 右边， ∴左边右边，等式成立． 13．(1) 证明：∵右边左边， ∴， ∴ ； （2） ． 14．（1）解： ； （2）解： ． 15．(1)②，去括号时，括号里面的各项没有完全变号 (2)解：原式= 16．（1）解：， ， ； （2）解：由（1）可得：； （3）解：设， 对应公式， 令，，括号内恰好是， ∴， 即， ∴． 17．(1)设为整数，任意连续的奇数为，，则 ， 为整数， 是8的倍数； (2)任意两个连续偶数的平方差不一定能被6整除， 理由如下， 设为整数，任意连续的偶数为，，则 任意两个连续偶数的平方差不一定能被6整除． 18．(1)∵， ∴的结果是4的倍数； (2)两个连续偶数的平方差为； 设两个连续偶数为，， ∵ ， 为整数， ∴为整数， 两个连续偶数的平方差是4的倍数． 19．（1）解：①根据题意，是长为、宽为的长方形， 阴影部分是一个边长为的正方形，则其面积为； ②图1的面积为，图2的面积为， 则由题意可得； （2）解：由题意得， ． 20．（1）解：由题意得：绿化休息区是一个长为，宽为的长方形， 则绿化休息区的面积为 ， 答：绿化休息区的面积为． （2）解：铺设塑胶地面的面积为 ， ∵，， ∴， ∵塑胶地面的造价为每平方米25元， ∴（元）， 答：铺设塑胶地面所需的费用为11300元． 21（1）解：上述操作能验证的等式是； （2）解：① ； ② ． 22．（1）解：，所以9是“智慧数”； ，， ，，无法找到两个自然数的平方差是，所以不是“智慧数”； ，根据小圳的结论，4的倍数都是“智慧数”．验证：，所以是“智慧数”；    是偶数，但不是4的倍数， ，，无法找到两个自然数的平方差是，所以不是“智慧数”． (2)证明：设是自然数，                                   表示自然数中所有的奇数， 自然数中所有的奇数都是“智慧数” (3)舞台的边长为5米，走廊的面积是“智慧数”，理由如下：                  23．（1）解：∵图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形， ∴图2、图1中的阴影部分面积相等， ∴． （2）解： ． 24．（1）解：绿化区域的面积 平方米； （2）解：当，时， 绿化区域的面积平方米． 25．（1）解：由题意知： ， （平方米）， 所以装修部分的面积为平方米． （2）解：当，时，（平方米）， 所以装修部分的面积为460平方米． 26．（1）解：由图形可知，图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积； （2）解：以上结果可以验证乘法公式为：； （3）解： ． 27．（1）解：． （2）解：原式． （3）解：原式 ． 28．（1）解：由题意可得，图1的阴影面积为． （2）解：由题意可得，图2梯形的面积为 ． （3）解：由题意，图1和图2的阴影面积相等， 因此可得平方差公式． （4）解： ． 29（1）解：由图1可得，阴影部分的面积是， 由图2可得，阴影部分的宽是，长是，面积是， ∴可以得到公式或； （2）解：①， ， ， ， ； ② ． 30．(1)解：， ∵n为正整数， ∴是8的倍数， 即两个连续正奇数为，（其中n为正整数），它们的平方差是8的倍数； (2) 解： ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $