16.3.1 平方差公式 课前预习2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本练习围绕平方差公式，通过基础认知、技能应用到综合拓展的三层设计，实现从概念理解到实际应用的知识巩固，培养几何直观、运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|公式概念与直接运算|以图形解释公式（第1题）、辨析公式结构（第2题），夯实抽象能力| |技能应用|公式变形与几何关联|结合图形面积（第16题）、求完全平方式系数（第6题），发展推理意识| |综合拓展|规律探索与实际应用|通过数字规律（第7题）、园区面积计算（第18题），提升应用意识与创新意识|

16.3.1 平方差公式 课前预习2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．如图可以解释的乘法公式是（    ） A． B． C． D． 2．下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．运用完全平方公式计算，则公式中的对应的是（   ） A． B． C．x D． 5．已知，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 6．如果是一个完全平方式，那么k 的值是 （     ） A． B． C． D．无法确定 7．的个位数是（    ） A．6 B．8 C．4 D．2 8．如图，点，，在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为，．若阴影部分的面积为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．有依次排列的2个整式：，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作， ①第二次操作后整式串为：； ②第二次操作后，当时，所有整式的积为正数； ③第四次操作后整式串中共有19个整式； ④第2023次操作后，所有的整式的和为．下列结论正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 二、填空题 10．计算的结果为___________． 11．若是一个完全平方式，则m＝________ ． 12．若，则________． 13．如图，有正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形甲与正方形乙．若甲、乙中阴影部分的面积分别12，30，则正方形B的面积为________． 14．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出的展开式，则的值是 ________ ． 三、解答题 15．计算： (1) (2) (3) (4)． 16．如图，图为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形． (1)设图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积为，请用含、的代数式表示：______，______（只需表示，不必化简）； (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______； (3)运用（2）中得到的公式，计算：． 17．如图，将一个边长为a的正方形图形分割成四部分，请认真观察图形，解答下列问题： (1)请用两种方法表示该图形阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）①______；②______； (2)若图中满足，求的值． 18．某植物园中有、两个园区，已知园区为长方形，其长为米，宽为米；园区为正方形，边长为米． (1)请用代数式表示、两个园区的面积之和并化简； (2)现在根据实际情况需要对园区进行改造，将其改造成长方形，宽保持原长度不变，长比原边长增加米，用代数式表示改造后园区的面积并化简． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D B B C C A D D 1．【答案】B 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【详解】解：图形的面积可表示为，也可以表示为， 即可以解释的乘法公式是． 2．【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】平方差公式为，只有两个二项式相乘时，存在一项完全相同，另一项互为相反数，才能用平方差公式计算，据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项，式子中不存在完全相同的项和互为相反数的项，不能用平方差公式计算，不符合题意． B选项，两项均互为相反数，只能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，不符合题意． C选项，两项均互为相反数，只能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，不符合题意． D选项，式子中相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，可以用平方差公式计算，符合题意． 3．【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】由完全平方差公式：，直接展开即可得到答案． 【详解】解：． 4．【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查完全平方公式，根据完全平方公式，确定a和b的值，直接计算即可． 【详解】∵在公式中，对应，有，， ∴， 故公式中的对应的是， 故选B． 5．【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．设，，则，，利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：设，， 则，， ∴ ． 故选：C． 6．【答案】C 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】根据完全平方式的结构特征，通过对比完全平方公式的展开式，确定中间项系数与首尾两项的关系，进而求出k的值． 【详解】解：∵完全平方公式为， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．【答案】A 【知识点】有理数的乘方运算、数字类规律探索、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 原式中的3变形为，反复利用平方差公式计算得到结果为，再求出2的幂的个位数的规律，即可解答． 【详解】解： … ， ∵，，，，，末尾是2，4，8，6四个一组循环， ， ∴的个位数是6， 即的个位数是6， 故选：A． 8．【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，根据阴影面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，再减去两个直角三角形的面积，由此可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形与正方形的边长分别为，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 9．【答案】D 【知识点】整式的加减运算、整式的混合运算 【分析】本题考查整式的加减，整式的乘法，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）和平方差公式是解题关键． 先根据前面几次操作后整式串的整式个数，所有整式的和，得出规律，即可完成全部判断． 【详解】解：第一次操作后整式串为：，整式个数为3个，所有整式的和为； 第二次操作后整式串为：，整式个数为（个），所有整式的和为； 第三操作后整式串为：，整式个数为（个），所有整式的和为； 第四操作后整式串为，，，整式个数为（个），所有整式的和为； ……， 第n次操作后整式串中所有整式和为： 由上知，①正确； 第二次操作后，当时，所有整式的积为非负数， 故②错误； 由上知，第四次操作后整式串中共有17个整式，故③错误； 当时，第2023次操作后整式串中所有整式和为：故④正确； 综上，正确的有①④； 故选：D． 10．【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查平方差公式，掌握平方差公式是解本题的关键． 识别表达式符合平方差公式的形式，直接应用公式计算． 【详解】解：给定表达式为，符合平方差公式，其中，， 代入公式得， 故答案为：． 11．【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】完全平方式是能写成的形式，对比完全平方式的结构特征，即可确定的取值． 【详解】解：是完全平方式， 根据完全平方公式，可得， 展开得， 对比等式两边同类项系数，得， 解得． 12．【答案】2 【知识点】运用平方差公式进行运算、整式的混合运算 【分析】先利用平方差公式化简，再求解平方根，即可. 【详解】解： ， ， ， ， ， . 故答案为：2. 【点睛】本题考查了数的平方根，平方差公式，正确化简是解题的关键. 13．【答案】3 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 设正方形A的边长为，正方形B的边长为，用代数式表示图甲、图乙中阴影的面积，整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：设正方形A的边长为，正方形B的边长为， 由题意得：图甲中阴影的面积为， ； 图乙中阴影的面积为， ， ， ， 正方形B的面积为， 故答案为：． 14．【答案】192 【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算 【分析】读懂题意并根据所给的式子寻找规律,将展开，即可求解． 【详解】解：观察发现，， ， ∴， ， ∴． 15．【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】同底数幂相乘、运用平方差公式进行运算、同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式的运算和数字计算，涉及幂的运算、整式的乘法、平方差公式和完全平方公式的应用． 解题时需熟练掌握相关公式和运算法则． （1）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，再计算同底数的除法，最后合并同类项，即可求解； （2）计算幂的乘方以及单项式乘以多项式，最后合并同类项，即可求解； （3）根据平方差公式变形即可求解； （4）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 16．【答案】(1)，； (2)； (3)1． 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，利用面积公式表示出图形阴影部分面积是解题的关键． （1）图1中阴影部分面积用大正方形面积减去小正方形面积表示即可，图2中阴影部分面积用长方形面积公式表示即可； （2）根据（1）的结果，即可得到答案； （3）运用（2）中得到的公式计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：由图形可知，图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积， 故答案为：，； （2）解：以上结果可以验证乘法公式为：， 故答案为：； （3） ． 17．【答案】(1)，； (2) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释，解决问题的关键是熟练运用完全平方公式． （1）依据正方形和长方形的面积公式，即可得到该图形阴影部分的面积； （2）由（1）可得：，即可得出的值； 【详解】（1）解：①该图形阴影部分的面积， ②该图形阴影部分的面积； （2）由（1）可得：， ，， ， ， ； 18．【答案】(1)=平方米 (2)=平方米 【知识点】列代数式、整式的混合运算、多项式乘多项式与图形面积、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）根据题中的图形，由矩形面积公式、正方形面积公式表示出园区面积，再由整式混合运算法则求解即可得到答案； （2）根据题意，由矩形面积公式、正方形面积公式表示出园区面积，再由整式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解：、两个园区的面积之和为 平方米； （2）解：改造后园区的面积为 平方米． 【点睛】本题考查列代数式及整式混合运算，涉及平方差公式、完全平方和公式、去括号法则、整式乘法运算及整式加减运算等知识，数学结合用代数式表示出图形面积，熟练掌握整式混合运算法则化简是解决问题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $