专题03 分段函数问题综合（考点清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦分段函数问题综合专题，通过知识脑图搭建核心脉络，分基础梳理与高阶思维分层突破，涵盖分段函数定义、零点个数、求参问题等核心考点。 清单采用考点深研与题型解法结合的方式，如将求参问题细化为单调性、最值、值域三类重难点，标注“分段单调+交界比端点”等关键技法，培养学生数学思维与几何直观素养。配套新题对点练和优题精练，助力学生自主夯实基础，教师可据此精准突破高频考点。

专题03分段函数问题综合 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 ▶基础梳理・自主夯基 考点01分段函数的定义 考点02根据分段函数零点个数 ▶高阶思维・探究拓展 难点解读01 分段函数求参问题 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 ▶考点聚焦・解法深研 题型01 求分段函数的解析式及值 题型02 根据分段函数值求参 题型03 分段函数解不等式 题型04 分段函数的零点问题 ▶重难攻坚・考法深研 重难点01根据分段函数单调性求参 重难点02根据分段函数是否存在最值求参 重难点03根据分段函数的值域求参 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 分段函数的定义 1、分段函数的定义 对于一个自变量 ，在不同的取值范围内，对应着不同的解析表达式，这样的函数就叫分段函数，即一个函数，多种算法，分范围计算。 2、已知自变量求函数值 先看自变量在哪个区间，代入对应解析式。若遇 ，从内层往外一层层算，每算一步都重新判断区间。 3、已知函数值求自变量 （1）对每一段分别假设  在该区间内，代入解析式解方程，解出的  必须落在当初假设的区间内才保留，否则舍去。 （2）画出函数值的图像，找出对应的每段函数的值域，直接找出所属区间，从而求得值 【新题对点练】（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数，且，则的值为__________. 【答案】/ 【分析】根据给定的函数式及函数值求出，再判断代入求出目标值. 【详解】函数，当时，， 当时，，由，得，则，解得， 所以. 故答案为： 考点02 根据分段函数零点个数 根据分段函数零点个数求参问题，需要结合图像的形状或位置，通过分类讨论，确保各段零点的数量之和恰好等于题目要求。通常可以讨论图像的零点的个数或者转换成两个图像交点个数的讨论。 对分段函数问题，关键在于画图，在画图时需注意： （1）分段点归属：是实心点还是空心点？ （2）无穷趋势：各段在  处趋向哪里？ （3）特殊点：与坐标轴交点、顶点、渐近线是否画准确？ 【新题对点练】（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若函数仅有一个零点，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质以及利用导数确定函数单调性，继而得到的图象，结合图象得出的取值范围． 【详解】为二次函数，对称轴为， 所以时，单调递减， 令，， 所以在单调递增， 则函数的图象如下： 函数仅有一个零点，即只有一个交点， ． 难点解读01 分段函数求参问题 1、根据分段函数的单调性求参 针对分段函数单调性求参数的问题，关键在每段都是单调性以及交接处函数值也满足。 （1）分段单调：先忽略分段点，分别保证每一段在其区间内是单调的。 （2）交界比端点：这是最容易出错的地方，必须保证在分段点处的函数值也满足单调性中的大小关系。 2、根据分段函数的值域求参 （1）要求值域为：各段值域拼接后，不能有“空洞”，且两端必须延伸到正负无穷。 （2）要求值域为某特定区间: 这类题更苛刻，要求并集恰好等于目标区间，不能多也不能少。 1. 各段值域必须都落在目标区间内（不能有超出部分）。 2. 各段值域的并集必须完整覆盖该区间（不能有缺漏）。 3. 通常需要分类讨论各段的最值是否等于区间的端点。 3、根据分段函数是否存在最值求参数 （1）分段函数的最值，要么在分段点处产生，要么在各段的极值点处产生。关键方法先定趋势，再看端点。 （2）开闭区间与最值：开区间端点值取不到，不能作为最值（除非另一段在同一点闭区间取到相同值）。 （3）无穷趋势：只要某段趋向 +∞，必无最大值；趋向 -∞，必无最小值。这是最快的排除法。 难点破解（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 当时，在上单调递减，此时的值域为， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 素养进阶·答题技法突破 题型01求分段函数的解析式及值 求分段函数值：先判断自变量所属区间，再代入对应解析式，分段点按题设归属（一般“左闭右开”）确定。注意解析式要保证每段区间不重不漏，函数值需验证分段点处是否按规则处理。 求分段函数解析式：根据奇偶性或者周期性求分段函数的解析式，将未知区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再代入已知表达式变形，即可得到该区间上的解析式。 【典例1】（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【详解】由题意得：当时，， 所以， 则. 【典例2】（2026·上海·模拟预测）设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是__________． 【答案】 【详解】当时，，所以， 展开式中，的系数为. 【变式1】（2026·山东东营·三模）定义在上的函数满足，则的值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先根据递推关系推导函数周期为6，再计算2026模6的余数，对应周期内的函数值即可求解. 【详解】当时，， 因此，. 当时，递推关系为 ①， 将替换为得 ②， 将①+②可得，即， 因此，故函数在具有周期性，周期为. 因为，所以， 因为， ， ， . 因此. 【变式2】（2026·安徽·模拟预测）若为偶函数，则=（     ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】B 【详解】∵为偶函数，∴， 又， ∴. 题型02 根据分段函数值求参 1、对每段函数直接求解然后再检验  是否在该区间内。 2、可以通过函数的图像，找出对应的每段函数的值域，直接找出所属区间，从而求得值 【典例1】（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】图像如图． 设 则． 所以， ，， 设 ，则．所以在上单调递增． ， ． 所以时，． 【典例2】（2026·河北·一模）已知函数，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据分段函数的定义，分情况讨论和的符号，由求出参数 ，再代入更新后的函数，从内到外依次计算和. 【详解】若，则，因为函数在单调递增， 且，所以方程无解； 若，，则， 得到，即， 整理得，解得（舍）或； 若，因为函数在单调递减， 且，所以方程无解； 综上，，， 所以，. 故选：B. 【变式1】（2026·河北沧州·三模）函数若，则________． 【答案】 【详解】已知分段函数，且. 结合分段函数性质可得或. 当时： 若，则，解得； 若，则，解得. 当时： 若，则，方程无解； 若，则，解得. 因此满足条件的的值为，，. 【变式2】（2026·江苏·模拟预测）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，故，故, 所以或, 故． 题型03 分段函数解不等式 分段函数解不等式：先确定自变量所在区间，将不等式转化为各段内的代数不等式，分别求解，最后将各段解集合并。注意分段点处需单独验证是否满足原不等式（因开闭区间可能影响取值）。 【典例1】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数奇偶性与单调性，再解不等式. 【详解】由已知得，当时，， 所以，当时，同理有，可知是奇函数． 又当时，，所以在上单调递增， 从而可得在上单调递增． 不等式即， 所以有，解得． 【典例2】（2026·河北邢台·三模）已知函数 则满足 的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 当时，为单调递增函数，当时，，所以此时. 当时，为单调递增函数，也为单调递增函数， ∴ 在上单调递增，且. ∴ 函数是定义域为的单调递增函数. 令，当时，有. 设（），则，整理得. 解得或，∵ ，∴ 不符合题意，舍去. ∴ ，即. ∵ 在上单调递增， ∴ 等价于，解得. ∴ 实数的取值范围为，故选A. 【变式1】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，即为，利用函数和的图像求解不等式；当时，即为，利用函数和函数的图象求解不等式，两类结果取并集即为所求. 【详解】当时，，即为， 画出函数和在上的图象如图所示， 当时，，所以的解为； 当时，不满足； 当时，，即为， 画出函数和函数的图象如图所示， 当时，，所以的解为. 综上，的解为. 故选：A 【变式2】（25-26高三上·陕西商洛·期末）设函数，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，根据单调性和定义域求解不等式即可. 【详解】令，则. 因为是减函数，是增函数，所以函数在上单调递减； 因为是减函数，所以在上单调递减. 因为，，所以函数在上单调递减。 因为，所以，所以，解得． 故选：A. 题型04 分段函数的零点问题 将  改写为 ，分别画出两函数图象，交点横坐标即为零点。分段函数需按区间分别绘图，注意分段点处归属。含参时（如动直线）讨论参数变化对交点个数的影响，从而确定零点个数或参数范围。 【典例1】（2026·河北秦皇岛·二模）已知函数，有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需先将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，即 与 有三个不同交点；再分 和 两种情况，结合分段函数分析交点个数，确定 的取值范围. 【详解】解： 有三个零点，则 有三个不相等的根， 即函数 与 有三个不同的交点． 当 时， ①当时， ，联立方程为：， 该方程在有解的条件是： 时，有1个解； 时， 无解； ②当 时， ，分 和 讨论： 当时：方程为 ，判别式 ，两根乘积为 ， 因此有且仅有 1 个正根，且正根 恒成立，方程有1 个解； 当时：方程为 ， 若 ，则判别式 ，方程无实根， 此时可知，函数的总零点个数为个，不符合要求； 若 ，方程为 ，得 ， 此时仅有1个重根，函数的总零点个数为 个，不符合要求； 若 ， ，方程有两个不相等正根， 且最小根 ， 因此两个根都满足 ，即有2个解； 此时函数的总零点个数为3个，符合三个零点的要求； 当 时， 与 有一个交点， 分别与 各有一个交点，需满足 ； 即 在 区间与 有 2 个交点，故； 综上所述，实数 的取值范围是 ． 【典例2】（2026·河南郑州·模拟预测）（多选）已知函数，若方程有四个不同的零点，，，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用分段函数零点问题转化为方程的解的问题，再利用数形结合，来分析四个零点的分布，再结合对数运算即可判断各选项. 【详解】当时，令，得； 当时，令，解得或； 画出函数的大致图象如图所示. 若方程有四个不同的零点，，，，且， 则由图象可知，故A错误． 由图象可知，且， 所以，故，故B正确. 因为，所以，又， 由，根据对勾函数的单调性可知：在上单调递减， 则， 所以，故C错误． 由的两根为，，且， 则， 又因为，所以，故D正确. 【变式1】（2026·山东泰安·三模）对于正整数n，函数定义如下：，存在实数t，使得方程有四个不同实数解的所有正整数n的和为（   ） A．26 B．27 C．28 D．29 【答案】B 【分析】对和时的函数根据的范围分析单调性，进而判断出方程的实数解的个数. 【详解】当时，， 所以当时，先减后增， 则存在实数，方程有两个不同的实数解； 当时，单调递减， 方程至多有一个实数解； 当时，， 所以当时，先减后增， 则存在实数，方程有两个不同的实数解； 当时，单调递增， 方程至多有一个实数解； 综上，当时，存在实数，方程有四个不同的实数解， 又为正整数，所以可取，和为. 【变式2】（2026·天津·模拟预测）已知函数，集合．若对任意，都有，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】当时，，当时，，进而根据与的大小分类讨论，由数形结合求解即可. 【详解】当时，， 当时， 所以当，即，作出函数的图象，如图， 当，都有，且，所以满足题意； 当，即时，作出函数的图象，如图， 当或，都有，且对任意， 都有，所以满足题意； 当，即时，作出函数的图象，如图， 当，且对任意都有， 则需满足，即，解得，所以. 综上，的取值范围为. 重难点01 根据分段函数单调性求参 先确保各段在其对应区间内单调（利用一次/二次函数性质得参数范围），再保证分段点处函数值满足整体单调趋势——增函数需左段最大值≤右段最小值，减函数则相反。最终取各段参数范围的交集，并验证分段点处开闭区间对取值条件的影响。若含参数同时影响区间和解析式，需分类讨论。 【典例1】（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数在两段函数上分别单调递减及分界处函数值大小，列出不等式求解即可. 【详解】由在上单调递减知； 由在上单调递减知： 当，即满足题意； 当，，所以， 由在上单调递减，得，所以， 综上，a的取值范围是. 【典例2】（2026·山西吕梁·三模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的性质及导数分析分段函数单调性及最值，再利用单调递增条件构造不等式，从而求出的取值范围． 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， 在上单调递增，最大值为； 当时，，求导得， 要使在上单调递增，需对所有恒成立， 即，则， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得最大值，， ， 在上单调递增， ，解得， 综上可得，． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数若对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，在上是增函数， 所以在上单调递增，则①， 又时，， 时，，故②， 联立①②，解得． 【变式2】（2026·山东济宁·三模）设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性可得,再由函数的单调性可得出 ，将参数m分离,即可求出的取值范围. 【详解】因为函数和均是增函数， 所以是上的增函数，只需要满足， 即，解得. 由得 ，即 恒成立. 因为，即. 所以实数的取值范围是. 重难点02 根据分段函数是否存在最值求参 根据分段函数是否存在最值求参，先确定各段单调性及端点极限，若存在最值则需单调趋势使极值落在某段端点（如增函数在右端点取最大），且值域有上界或下界；若不存在最值，则函数需在某方向趋于无穷或分界处值无法取到。结合分段点处开闭区间与连续性判断端点值能否取到，列不等式组求交集。注意含参时需分类讨论参数对单调区间和值域覆盖的影响。 【典例1】（2026·北京昌平·二模）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数有最大值的充要条件，再判断哪个选项是其充分不必要条件. 【详解】当时：，当时，单调递减，；当时，，无最大值. 当时：时，单调递增，当时，，无最大值. 当时：时，单调递减，故； 时，，开口向下，对称轴为. 若时，即时，在上的最大值为， 则，解得； 若时，即时，在上单调递增，最大值为， 则即，因为， ，不等式无解，函数此时无最大值； 综上有最大值的充要条件为. 因为， 所以有最大值的一个充分不必要条件是. 【典例2】（2026·山东滨州·一模）若函数有最大值，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】当时， 有最大值，最大值为2， 因为函数有最大值， 若在内的上确界大于，则该上确界将无法在函数的定义域内取到，导致函数无最大值， 故必有在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 因为当时，， 所以单调递减，当时，， 所以， 所以的取值范围为. 【变式1】（2026·河北邢台·一模）若函数有最小值，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】讨论函数在区间内的值域，求最小值存在的条件. 【详解】当时，，， 时，函数单调递减，且； 时，函数单调递增， 可得函数在上最小值为，最大值为. 当时，， 若，函数在上单调递增，， 在上有最小值，有，即； 若，当时，在上有最小值； 若，函数在上单调递减，时， 在上没有最小值. 综上，的取值范围为. 【变式2】（25-26高三上·云南普洱·期末）已知函数的最小值为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式确定当时的最小值为，再利用当时的最小值为并结合分离参数法求解参数范围即可. 【详解】由题意得，当时，， 由基本不等式得， 当且仅当时取等号，此时解得， 此时的最小值为，符合题意，当时，可得， 由题意得的最小值为，则，即恒成立， 可得恒成立，令，解得， 令，解得，令，解得， 当时，可得恒成立，令， 则恒成立，可得在上单调递增， 此时，得到， 当时，恒成立，符合题意，此时， 当时，恒成立，由已知得， 则在上单调递增，当时，，此时， 综上，可得，即的取值范围为，故C正确. 故选：C 重难点03 根据分段函数的值域求参 根据分段函数的值域求参，需先分析各段在对应区间上的值域（考虑单调性、端点值及趋势），再取并集，令并集等于已知值域（如R或某区间）。若参数影响单调性、端点值或区间划分，需分类讨论各段值域覆盖情况，特别注意分段点处开闭导致端点值是否能取到，最终列方程或不等式组解参数交集。若值域要求为R，则各段值域并集需覆盖全体实数，通常需一次项系数不为0且函数无界。 【典例1】（2026·江西南昌·三模）设且，函数的值域为的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别分析函数在不同区间上的单调性和值域，再根据函数的值域为确定的取值范围，最后根据充分不必要条件的定义判断选项. 【详解】当时，，因为函数在上单调递增，则在上单调递增， 所以，即在上的值域为； 当时，，且. ①当时，在上单调递减，所以， 即在上值域为，值域存在上界，整个函数值域无法延伸到正无穷，不满足值域为，不合题意； ②当时，在上单调递增，所以， 即在上值域为， 因为整个函数值域为，所以，解得或， 又因为，所以，即. 所以函数的值域为的一个充分不必要条件对应的的取值范围应为的真子集，所以B正确. 【典例2】（2026·山西晋中·三模）已知且，若函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，单调递增，则， 当时，，要使函数的值域为， 则需在时的值域包含，故需满足， 解得. 【变式1】（25-26高三上·河北唐山·期中）已知函数的值域为，实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求出，函数的值域，在由条件可得出答案． 【详解】当时，，故， 令，得 当时，，得函数在上单调递增， 当时，，得函数在上单调递减， 故得最大值为，当时，； 当时，，因此当时，， 当时，函数， 由题意可得此时的的范围是的子集，对进行分类讨论： （1）．若，则， 当时，，不符合范围是的子集的要求， 因此不满足题意； （2）．若，函数的图象是开口向下的抛物线， 且对称轴为 故当时，函数在对称轴处取得最大值： 且 由题意得 因为，解得：； （3）若，函数的图象是开口向上的抛物线， 且对称轴为，     故在上单调递减，且 故，这不符合范围是的子集的要求； 综上，的取值范围是． 故选：A． 【变式2】（2026·安徽芜湖·一模）若函数（且）的值域是，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出时的值域，可知要使的值域是，则当时的值域为的子集，求解即可. 【详解】当时，单调递减，此时， 要使的值域是，则当时，的值域为的子集， 所以，解得， 即实数a的取值范围为， 故选：A 优题精练·专题实战通关 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 2．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数若存在最大值，则实数的最大值为___________． 【答案】 【详解】若存在最大值，根据一次函数的单调性可知，分类讨论， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数，则，解得， 故， 当，时，的最大值为， 而在区间上为单调递增函数， 则，即，解得， 故， 综上所述可得的取值范围为，故的最大值为． 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解法1：令得．由题意可知函数的图象与直线有三个交点，由图可知． 解法2：当时，． 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除B、D选项． 当时，， 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除C选项，故选A． 4．（2026·河南周口·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，，，四种情况讨论，结合一次函数与对数函数的单调性以及值域即可求解. 【详解】若，则在上单调递减，在上单调递减， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得； 若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 的值域不可能为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递增， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得， 综上所述，实数的取值范围为. 5．（2026·山西晋城·三模）若函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，. 6．（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论：分，，，四种情况讨论即可. 【详解】当时，的对称轴在轴的右边，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，结合得，； 当时，，恒成立，满足条件； 当时，在上单调递减，所以，解得， 所以只需考虑的情况，的对称轴为， 若，即时，的最小值为，，解得，故满足条件； 若，即时，在上单调递减， ，解得，所以满足条件； 综上所述，a的取值范围是. 7．（2026·广东茂名·二模）已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 由对勾函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减. 当时，函数单调递减，. 函数在定义域内有最大值，则，即实数的取值范围是. 8．（2025·四川绵阳·模拟预测）设函数则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对的取值范围分，，三种情况进行分类讨论，分别求解对应的不等式即可得到最终结果. 【详解】当，则， ，， 成立， 当时，， ， ，解得：. . 当时， ，， 成立， 综上所述：. 故选：C 9．（2026·河北保定·二模）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，求导得， 在上单调递增； 当时，，函数单调递增，则， 当时，，当时，， 则，解得， ，即． 10．（2026·河北张家口·二模）已知，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数，二次函数与分段函数的单调性列式解不等式即可求得答案. 【详解】因为函数在上单调递增，， 所以，解得 又在上单调递增，即 ； 函数在上单调递增，即，解得， 综上，的取值范围是. $学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03分段函数问题综合 ---------◆》)◆---- 目录导航 @知识脑图•核心脉络搭建一一梳理专题框皋，搭建知识体集 @2考点深研知能分层突破一一深挖高频考点，分层突破重唯点 基础梳理·自主夯基 高阶思维·探究拓展 考点01分段函数的定义 难点解读01分段函数求参问题 考点02根据分段函数零点个数 @素养进阶•答题技法突破一一提炼解题范式，提升答题素养 厅考点聚焦·解法深研 重难攻坚·考法深研 题型01求分段函数的解析式及值 重难点01根据分段函数单调性求参 题型02根据分段函数值求参 重难点O2根据分段函数是否存在最值求参 题型03分段函数解不等式 重难点O3根据分段函数的值域求参 题型04分段函数的零点问题 @4优题精练•专题实战通关一一着选优质沈题，强化实战应用 --◆铃◆+--- 1/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识脑图核心脉络搭建 定义：不同自变量取值范围对应不同解析式 考点一：分段函数 求函数值：先判断自变量所在区间，再代入对应解析式；复合函数从 的定义 内向外逐层计算 已知函数值求自变量：分段假设解方程，解必须在假设区间内才保留 将f(x)=0转化为g(X)=h(X),画图求交点 分段函数 考点二：分段函数 分段绘图注意分段点归属（实心/空心） 问题综合 的零点问题 含参时讨论参数变化对交点个数的影响 解不等式：分段转化分别求解，再合并，分段点单独验证 考点三：分段函数 单调性求参：各段分别单调，且分段点处满足整体单调趋势 单调性与值域问题 值域求参：各段值域并集等于目标区间，不能多也不能少 最值求参：先定趋势，再看端点；开区间端点值取不到 考点深研知能分层突破 基础梳理·自主夯基一一核心必记 。考点01分段函数的定义 1、分段函数的定义 对于一个自变量X,在不同的取值范围内，对应着不同的解析表达式，这样的函数就叫分段函数，即一 个函数，多种算法，分范围计算。 2、已知自变量求函数值 先看自变量在哪个区间，代入对应解析式。若遇(f(α)，从内层往外一层层算，每算一步都重新判断 区间。 3、已知函数值求自变量 (1)对每一段分别假设x在该区间内，代入解析式解方程，解出的x必须落在当初假设的区间内 才保留，否则舍去。 (2)画出函数值的图像，找出对应的每段函数的值域，直接找出X所属区间，从而求得x值 2/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2-1-2,x≤1 【新题对点练 】(2026安徽马鞍山一模)已知函数)= log2(x+1),x>1,且f(a)=3,则f(7-a)的 值为 。考点02根据分段函数零点个数 根据分段函数零点个数求参问题，需要结合图像的形状或位置，通过分类讨论，确保各段零点的数量之和 恰好等于题目要求。通常可以讨论图像的零点的个数或者转换成两个图像交点个数的讨论。 对分段函数问题，关键在于画图，在画图时需注意： (1)分段点归属：分段处是实心点还是空心点？ (2)无穷趋势：各段在±0处趋向哪里？ (3)特殊点：与坐标轴交点、顶点、渐近线是否画准确？ x2-2x-1,x≤0 【新题对点练】(2026广东深圳模拟预测)已知函数/()x-)e+,x>0,若函数 g()=()水仅有一个零点，则人的取值范围（） A.10] B.【1,0) c.（-4,0] D.（1,0) 高阶思维·探究拓展一一思想解码 《。难点解读01分段函数求参问题 1、根据分段函数的单调性求参 针对分段函数单调性求参数的问题，关键在每段都是单调性以及交接处函数值也满足。 (1)分段单调：先忽略分段点，分别保证每一段在其区间内是单调的。 (2)交界比端点：这是最容易出错的地方，必须保证在分段点X处的函数值也满足单调性中的大小关系。 2、根据分段函数的值域求参 (1)要求值域为R:各段值域拼接后，不能有“空洞”，且两端必须延伸到正负无穷。 (2)要求值域为某特定区间：这类题更苛刻，要求并集恰好等于目标区间，不能多也不能少。 1.各段值域必须都落在目标区间内（不能有超出部分）。 2.各段值域的并集必须完整覆盖该区间（不能有缺漏）。 3/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.通常需要分类讨论各段的最值是否等于区间的端点。 3、根据分段函数是否存在最值求参数 (1)分段函数的最值，要么在分段点处产生，要么在各段的极值点处产生。关键方法先定趋势，再看端 点。 (2)开闭区间与最值：开区间端点值取不到，不能作为最值（除非另一段在同一点闭区间取到相同值）。 (3)无穷趋势：只要某段趋向+∞，必无最大值；趋向-∞，必无最小值。这是最快的排除法。 a-x,x<0 。难点破解(2026江西南昌二模)已知函数 (x)= x>0在定义域内有最小值，则实数，的取 4 x+- 值范围是() A.（-0,2] B[2,+o) c.（-∞，4 D.[4,+o) 素养进阶•答题技法突破 考点聚焦·解法深研一一核心归纳 。题型01求分段函数的解析式及值念 悟解题关健 求分段函数值：先判断自变量所属区间，再代入对应解析式，分段点按题设归属（一般“左闭右开”） 确定。注意解析式要保证每段区间不重不漏，函数值需验证分段点处是否按规则处理。 求分段函数解析式：根据奇偶性或者周期性求分段函数的解析式，将未知区间上的自变量转化到已知解 析式的区间上，再代入己知表达式变形，即可得到该区间上的解析式。 2-1,x≤0 【典例1】(2026山东烟台模拟预测)已知函数(： f(x-1)+1,x>0,则f(2026)=() A.2025 B.2026 C.2027 D.2028 x3,x≥1 【典例2】(2026上海模拟预测)设函数f(冈) -x+2,x<1,当x<1时，f[f(x)]表达式的二项展开式 4/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中x的系数是 1og2(1-x),x≤0 【变式1】(2026山东东营三模)定义在R上的函数四满足闭- f(x-1)-fx-2),x>0,则 f(2026) 的值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 2-1,x≥0 【变式2】(2026安徽模拟预测)若8() f(x),x<0为偶函数，则f(-2)=() A.4 B.3 C.- 4 D.2 令题型02根据分段函数值求参◇ 悟解题关健 1、对每段函数直接求解然后再检验x是否在该区间内。 2、可以通过函数的图像，找出对应的每段函数的值域，直接找出X所属区间，从而求得X值 e,x>0 【典例】(2026广东深圳模拟预测)已知函数/儿)= 2x+e,x≤0，若m<n且f(m)=f(n),则2m-n 的取值范围为() A.（-e- B.[1-e,-1] c.（-l,e-] D.(-e- 【奥例2】(2025到北德)已知腾数-=0 -x+a,x<0,若f(2a=f(2a+8),则f(f(-6)= () 5 32 A.1 B.2 C.2 D.2 1-2,x≤0， 【变式山(2026闲造州三模)面数d)hx0者fUo小-0，则aE 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 log;x,x>0 f(x)= 【变式2】(2026江苏·模拟预测)已知函数 3,x≤0，若ffa》=log,f(a,则a的取值范围 是() A.（-oo,) B.（-o,] C.(-o,0)U(L,+o) D.(-oo,0]U(L,+o) ◇题型03分段函数解不等式® 悟 解题关健 分段函数解不等式：先确定自变量所在区间，将不等式转化为各段内的代数不等式，分别求解，最后将 各段解集合并。注意分段点处需单独验证是否满足原不等式（因开闭区间可能影响取值）。 e2r-e,x≥0 【典例1】(2026海南省直辖县级单位·模拟预测)已知函数 (x)=11 ee,x<0,若 f(2m-1)+f(m)>0 ,则实数的取值范围是() A.(1,+o) B.（-∞，-1y 【典例2】(2026河北邢台·三模)已知函数 9-g0起a小号的实黄u的 取值范围为() A.（-∞，2) B.（-∞，) c.（l,+∞) D.（-2,+o∞) 【变式1】(2026新疆乌鲁木齐·一模)已知函数 J因)20，测则少的解袋是 A.（.0UL+∞) B.（-o,-u(o1) 6/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 c.（-0U(0,1) D.（-0,-U(,+) (x)= og.0<x52 【变式2】(25-26高三上·陕西商洛·期末)设函数 -x+1,x>2，则满足f(x2-3)<f(2x)的x 的取值范围是() A.(3,+o) B 03 c.( D.(0,3) 。题型04分段函数的零点问题◇ 悟解题关健 将f(x)=0改写为g(x)=h(x),分别画出两函数图象，交点横坐标即为零点。分段函数需按区间 分别绘图，注意分段点处归属。含参时（如动直线）讨论参数变化对交点个数的影响，从而确定零点个 数或参数范围。 x2,x20 f(x)= 【典例1】(2026河北秦皇岛·二模)已知函数 -2x,x<0,g(x)=f(x)-|x-1川有三个零点，则实 数k的取值范围是() A.（-0,-2U(2,+w) B.（-2,0u2,tw）c.（-22)D.（2+o） [inx,x>0 【奥例2】（2026河南郑州模拟预测)（多选）已知西数/) x2+4x+L,x≤0，若方程f(x)=k有四 个不同的零点，五，考 ,且<五<西<，则下列结论正确的是() A.0<k<1 B.534=1 C.0<+5+5+x e D.0≤xx2xx4<1 2*3-n,x<0 【变式)（2026山东泰安三模)对打正整数以函数f冈定义如下：f(= log4(x+6)-n,x≥0，存 7/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在实数4，使得方程小= 有四个不同实数解的所有正整数n的和为() A.26 B.27 C.28 D.29 [x2-2x+i,x≤2 f(x)= 【变式2】(2026·天津·模拟预测)已知函数 -2*-1,x>2,集合 M=m≠名，f)=f()=m.若对任意m,meM,都有m-m<3,则'的取值范国为 重难攻坚·考法深研 一一要点提炼 。重难点01根据分段函数单调性求参◇ 悟 破解袂窍 先确保各段在其对应区间内单调（利用一次/二次函数性质得参数范围），再保证分段点处函数值满足整 体单调趋势一一增函数需左段最大值≤右段最小值，减函数则相反。最终取各段参数范围的交集，并验 证分段点处开闭区间对取值条件的影响。若含参数同时影响区间和解析式，需分类讨论。 a+3a,x>1 【臭例】(2025甘肃金昌三被)已知0>0：a小老函数代问{0-5022+5x≤1在R上单调 递减，则a的取值范围是() 34 A55 「23] 0, B 5 -x2+a2,x≤0 (x)= 【典例2】(2026山西吕梁·三模)已知函数 a心-x,x>0在。上单调递增，则。的取值范围是 2 R () A.(0, e 3"+2,x<2, 【变式1】(2026陕西西安模拟预测)已知函数f(: 1x2-(a-1)x+3,x之2，若对任意x,x2eR,且 8/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 f(x)-f(x)-0 x1≠x2,都有 龙-七2 成立，则实数a的取值范围是() A.(-∞，5 B.（-0,-刂 c.【ls D.L4] e-m,x≤0 【变式2】(2026山东济宁三模)设函数)- n(x+l),x>0是R上的增函数，且关于x的不等式 f(m+x)<f(:+2)恒成立，则实数m的取值范围是（） A)到 ◇重难点02根据分段函数是否存在最值求参◇ 悟破解袂窝 根据分段函数是否存在最值求参，先确定各段单调性及端点极限，若存在最值则需单调趋势使极值落在 某段端点（如增函数在右端点取最大），且值域有上界或下界；若不存在最值，则函数需在某方向趋于 无穷或分界处值无法取到。结合分段点处开闭区间与连续性判断端点值能否取到，列不等式组求交集。 注意含参时需分类讨论参数对单调区间和值域覆盖的影响。 x2-2x+l,x≤a 【典例1】(2026北京昌平·二模)设a∈R,函数f() +1,x>a 有最大值的一个充分不必要条 件是() B.cl-2.0 c.ae[-l,0) D.a∈[-2,0) ax+4lnx,0<x<I, 【典斜21(2035山未深州一)若政因如仔：君引21有冠大血，则，的服位泡为 9/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x-1)e,x≤2 【变式1】(2026河北邢台一模)若函数)= x-3k,x>2有最小值，则k的取值范围是 [alnx+a,0<x≤1 f(x)= 【变式2】(25-26高三上·云南普洱期末)已知函数 x+ 4-6,x>1的最小值为1则a的取值 x-1 范围为() A.（-∞，0 B.[-2,0] c.0 D.（o,l) 。重难点03根据分段函数的值域求参◇ 悟 破解袂窝 根据分段函数的值域求参，需先分析各段在对应区间上的值域（考虑单调性、端点值及趋势），再取并 集，令并集等于已知值域（如R或某区间）。若参数影响单调性、端点值或区间划分，需分类讨论各段 值域覆盖情况，特别注意分段点处开闭导致端点值是否能取到，最终列方程或不等式组解参数交集。若 值域要求为R,则各段值域并集需覆盖全体实数，通常需一次项系数不为0且函数无界。 2-ea-x,x≤a 【典例】(2026江西南昌三模)设a>0且a≠1，函数) log.(x+a)-l,x>a的值域为R的一个充 分不必要条件是() A.ae[v2,e B.ae[2,e] c.ae[v.) D.aE[2,+) 典例2】(2026山西晋中三模)已知且，若函数(x)=2),x 的值域为，则 a>0a≠1 loga(x+a)-1,x>a R a的取值范围为() B.[2,2] c.[2,+mj D.[2,+oo) Inx ,x>0 f(x)= 【变式1】(25-26高三上·河北唐山期中)已知函数 ar2-x,x≤0的值域为 实数a的取值 10/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 范围是() e 00, 4 B.(-00,0) e.可[ 「-2x+6,x≤2 【变式2】(2026安徽芜湖一模)若函数f()= 1+log。x,x>2（a>0且a≠1)的值域是[2，+oo),则实 数a的取值范围为() 4.(0,2] B.(,2) c.[2,+o) D.(2,+o) 优题精练•专题实战通关 -x2-2x-a,x<0 f(x)= 1.(2024新课标I卷·高考真题)已知函数 e+n(x+I),x≥0在R上单调递增，则a的取值范围 是() A.（-∞，0] B.[-1,0] C.[-1,] D.[0,+o) 2.(2026湖南邵阳三模)已知函 f()= [ax-2,x<a, 2x-x名，x之a,若f(x)存在最大值，则实数a的最大值为 log3x,0<x≤3， 3。（2026陕西榆林模拟预测)已知函数) 2-log3x,x>3,若函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零 点，则m的取值范围为() A.(0,) B.0) c.(0,1 D.0, [(2a-1)x+a,x<1 4.(2026河南周口模拟预测)若函数()= (a>0且a≠1) log x,x21 的值域为R,则实数a的取 值范围() B回 11/13 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a 。G》树 2026山西晋城三模)若函数/(x)=3-4x e4xx≥1，则f(-)=（） A. B.-2 C.Z D.2 2026河南一模)已知函数7四=+2+1-3≤x<] -ax,-1≤x<1 ，若f(x)≥-2，则a的取值范围是() A.（-0,-2] B.[I,+oo) c.【1,] D.[-2,3 f(x)= x+-,x<0 x 7.(2026广东茂名·二模)已知函数 -x+a,x>0在定义域内有最大值，则实数的取值范围是 () A.[6+o) B（-0,-6] c.（0,3] D.B3,+0) 发rg装a数内-0思生阳+-小1光 （ （引 a. D(2 x+1,x≤2 9.(2026:河北保定·二模)已知函数 二，x>2在上单调递增，则实数a的取值范围为（) R a.n. 12/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 02026河北张家二模)已知0>0.a1,若函数T可-+2x+1x≤1在卫上单调递增，厕 a的取值范围是() a层习 B.,2 。剧 13/13