第十五章 轴对称 单元检测提高卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级上册数学轴对称提高卷，120分钟100分，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖轴对称性质、等腰三角形等核心知识，考查抽象能力、推理能力与应用意识，适配单元复习提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/30|等腰三角形三线合一、轴对称坐标、垂直平分线性质|基础巩固如第1题；能力提升如第15题规律探究| |填空题|4/8|角平分线与平行线、等腰三角形周长分类|条件开放如第18题腰长多解| |解答题|8/62|动点问题（第25题）、新定义“巧等线”（第27题）|综合应用如第25题结合等边三角形运动；创新探究如第27题新定义推理|

人教版八年级上册数学单元检测卷 第十五章 轴对称（提高卷） 时间：120分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________ 得分：__________ 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，若∠BAC＝40°，则∠BAD的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．80° 第1题图 第3题图 2．在平面直角坐标系中，若点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称，则a+b的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 3．如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC＝12，CD＝7，则BD的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC于点P，EP交AB于点F，若AB＝5，AE＝2，则BF的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 第4题图 第5题图 5．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N，分别交BC于点D，E，若∠BAC＝120°，则∠DAE的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，AE平分∠BAC，∠B＝30°，DE＝3，则BC的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 第6题图 第8题图 7．等腰三角形的周长为16，若一条边长为4，则另两边的长是（　　） A．4与4 B．6与6 C．4与8 D．6与6或4与8 8．如图是由3个相同的小正方形组成的图形，若再补画一个相同的小正方形，使补画后的图形是轴对称图形，则不同的补画方法一共有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 第9题图 第10题图 10．五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，则该五角星中∠ABC的度数为（　　） A．72° B．98° C．100° D．108° 11．已知△ABC是等腰三角形，若∠A＝80°，则△ABC的底角度数为（　　） A．80° B．50° C．20° D．80°或50° 12．如图，已知△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠CBD＝70°，则∠1的度数是（　　） A．85° B．80° C．75° D．70° 第12题图 第13题图 13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC．则下列等式成立的是（　　） A．BD＝3DC B．AD＝2DC C．AB＝4DC D．BD＝2AC 14．如图，在△ABC中，P是三条角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，点P，O均在△ABC的内部，∠BOC＝124°，则∠BPC的度数为（　　） A．121° B．122° C．123° D．124° 第14题图 第15题图 15．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作MN∥BC分别交AB，AC边于点M、N，△AMN的周长为18，△ABC的周长为25，那么边BC的长为　 　． 第16题图 第17题图 17．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝48°，则∠ABC的度数是　 　 ． 18．等腰三角形一腰上的中线，将三角形的周长分成两部分，分别是12与15，则腰长为　 　 ． 19．定义：有两个内角的差为90°的三角形叫作“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点P为边BC上一点，若△ABP为“反直角三角形”，则∠PAC的度数为　 　 ． 第19题图 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（本题6分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AC、AB的四等分点，连接BD、CE．求证：∠DBC＝∠ECB． 21．（本题7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（2，2），（1，﹣3），（4，﹣2）．△ABC与△EFG关于x轴对称，点A，B，C的对称点分别为E，F，G． （1）请在图中画出△EFG，并写出点E，F，G的坐标； （2）若点M（m+2，n﹣2）是△ABC内的一点，其关于x轴的对称点为M′（3﹣n，2m），求m，n的值． 22．（本题7分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在边AB上，且BD＝DE，EF垂直平分AC，交AC于点F，连接CE． （1）求证：AE＝BC； （2）若△ABC的周长为21，AC＝8，求△BCE的周长． 23．（本题7分）如图，点D是△ABC的边BC的中点，且恰好在∠A的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）若∠EDB＝30°，EB＝3，求AE的长． 24．（本题8分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE． （1）如图1，若∠BAC＝90°，D为BC中点，则∠2的度数为 　 　 ； （2）如图2，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并给予证明． 25．（本题8分）如图，△ABC是边长是16cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，其中点P运动的速度是3cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）在点P与点Q的运动过程中，当t为何值时，△BPQ是等边三角形？ （2）在点P与点Q的运动过程中，当t为何值时，∠BQP是直角？ 26．（本题8分）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ＝OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB． （1）如图1，当P，Q两点都在射线ON上时，则线段AB与PB的数量关系是 　 　 ． （2）如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由； 27．（本题12分）【引入概念】引入概念1：如果一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，那么称这两个三角形互为一对“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中其中一个是等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧等线”． 【理解概念】： （1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，请写出图中你找到的1对“等角三角形”：　 　 ； （2）如图②，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，请说明CD是△ABC的“巧等线”； 【应用概念】： （3）在△ABC中，若∠A＝40°，CD为△ABC的“巧等线”，请直接写出所有可能的∠B度数． 答案与解析 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 一．选择题（共15小题） 1．解：由条件可知AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）， ∴， 又∵∠BAC＝40°， ∴． 故选：A． 2．解：∵点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于x轴对称， ∴a＝2，b＝3， ∴a+b＝2+3＝5． 故选：C． 3．解：∵AC＝12，CD＝7， ∴AD＝AC﹣CD＝12﹣7＝5， ∵D在AB的垂直平分线上， ∴BD＝AD＝5． 故选：C． 4．解：在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F， ∴∠B＝∠C，∠BPE＝∠EPC＝90°， ∴∠B+∠BFP＝90°，∠C+∠E＝90°， ∴∠BFP＝∠E， 又∵∠BFP＝∠EFA， ∴∠E＝∠EFA， ∴AE＝AF＝2， 又∵AB＝5， ∴BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3， 故选：C． 5．解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC， ∴DA＝DB，EA＝EC（线段垂直平分线的性质）， ∴∠B＝∠DAB，∠EAC＝∠ECA， ∵∠BAC＝120°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠EAC＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝120°﹣60°＝60°， 故选：C． 6．解：∵DE垂直平分AB，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC， ∴EC＝ED＝3， ∵DE垂直平分AB， ∴∠BDE＝90°． 在△BDE中， ∵∠BDE＝90°．∠B＝30°． ∴BE＝2DE＝6． ∴BC＝BE+EC＝6+3＝9， 故选：D． 7．解：根据等腰三角形的性质，当边长为4的边为腰时，三角形的底边为16﹣4﹣4＝8， 但4+4＝8，不能构成三角形，不符合题意； 当边长为4的边为底边时，则等腰三角形的腰长为（16﹣4）÷2＝6； 综上所述，另两边的长是6与6；只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 8．解：小正方形的位置有4种．如图： 故选：C． 9．解：∵AB＝AC，∠A＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）（180°﹣30°）＝75°， ∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D， ∴BC＝BD， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠CBD＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×75°＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝75°﹣30°＝45°． 故选：B． 10．解：如图， ∵△ABD是等腰三角形， ∴AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵∠A＝36°， ∴∠ABD＝∠ADB72°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣72°＝108°， 故选：D． 11．解：由题意知，分两种情况： （1）当这个80°的角为顶角时，则底角＝（180°﹣80°）÷2＝100°÷2＝50°； （2）当这个80°的角为底角时，则另一底角也为80°； 综上所述，△ABC的底角的度数为50°或80°． 故选：D． 12．解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝60°， ∵∠CBD＝70°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝130°， ∵BC＝BD， ∴AB＝BD， ∴∠BAD＝∠ADB（180°﹣130°）＝25°， ∴∠2＝180°﹣∠ADB﹣∠CBD＝180°﹣25°﹣70°＝85°， ∴∠1＝∠2＝85°． 故选：A． 13．解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°， ∴BC＝2AC，∠C＝60°， ∵AD⊥BC， ∴∠DAC＝30°， ∴AC＝2DC， ∴B不符合要求； ∴BC＝4DC， ∴C不符合要求； ∴BD＝3DC， ∴A符合要求； ∵AC＝2DC，BC＝4DC ∴BDAC， ∴D不符合要求； 故选：A． 14．解：连接AO， ∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB， ∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC， ∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）， ∴∠BOC＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC）， ∴∠BOC＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC ∵∠BOC＝124°， ∴∠BAC＝62°， ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB） ∴∠BPC＝180°﹣（∠ABC∠ACB）， ∴∠BPC＝180°， 故选：A． 15．解：∵△A1B1A2为等边三角形， ∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2， ∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°， ∴∠A1B1O＝∠MON， ∴A1B1＝OA1， ∴A1B1＝A1A2＝OA1， 同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1， ∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22•OA1， A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23•OA1， … ∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1•OA1＝2n， ∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB． ∵MN∥BC， ∴∠NOC＝∠OCB，∠MOB＝∠OBC， ∴∠NOC＝∠NCO，∠MBO＝∠MOB， ∴MO＝MB，NO＝NC． ∴△AMN的周长为18， 即AM+MN+AN＝AM+MO+AN+ON＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝18． ∵△ABC的周长为 25， ∴AB+AC+BC＝25， ∴BC＝25﹣（AB+AC）＝25﹣18＝7． 故答案为：7． 17．解：∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABD， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， ∵∠ACF＝48°， ∵BC的中垂线交BC于点E， ∴BF＝CF， ∴∠FCB＝∠FBC， ∴∠ABC＝2∠FCE， ∴3∠FCE＝120°﹣48°＝72°， ∴∠FCE＝24°， ∴∠ABC＝48°， 故答案为：48°． 18．解：①若腰长和腰长的一半的和是12，则腰长为8， 底边长为158＝11， 能组成三角形， ②若腰长和腰长的一半的和是15，则腰长为10， 底边长为1210＝7， 能组成三角形， 综上所述，该等腰三角形的腰长是8或10． 故答案为：8或10． 19．解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴∠B＝∠Cx（180°﹣100°）＝40°， 当∠PAB﹣∠B＝90°时，∠PAB＝130°， ∵∠PAB＞∠BAC， ∴不存在这样的△PAB是反直角三角形； 当∠APB﹣∠B＝90°时，∠APB＝130°， ∴∠PAC＝∠APB﹣∠C＝90°； 当∠APB﹣∠PAB＝90°时， ∵∠APB+∠PAB＝180°﹣40°＝140°， ∴∠APB＝115°， ∴∠PAC＝∠APB﹣∠C＝75°； 当∠PAB﹣∠APB＝90°时， ∵∠PAB+∠APB＝180°﹣40°＝140°， ∴∠PAB＝115°， ∵∠PAB＞∠BAC， ∴不存在这样的△PAB是反直角三角形， ∴当△PAB是反直角三角形时，∠PAC＝75°或90°． 故答案为：75°或90°． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（本题6分） 证明：∵AB＝AC， ∴∠DCB＝∠EBC， ∵D、E是AC、AB的四等分点， ∴CDAC，BEAB， ∴CD＝BE， ∵BC＝CB ∴△DCB≌△EBC（SAS）， ∴∠DBC ＝∠ECB． 21．（本题7分） 解：（1）△ABC关于x轴对称的△EFG，如图即为所求； 由图可知，点E（2，﹣2），F（1，3），G（4，2）； （2）由题意得：， 解得：． 22．（本题7分） （1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝CE， ∵CD⊥AB，BD＝DE， ∴CD是线段EB的垂直平分线， ∴CE＝BC， ∴AE＝BC； （2）解：∵△ABC的周长为21， ∴AB+BC+AC＝21， ∵AC＝8， ∴AB+BC＝21﹣8＝13， ∴△BCE的周长为：BE+CE+BC＝BE+AE+BC＝AB+BC＝13． 23．（本题7分） （1）证明：∵点D在∠A的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∵点D是△ABC的边BC的中点， ∴BD＝CD， 在Rt△ABD与Rt△ACD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）， ∴∠B＝∠C， ∴△ABC是等腰三角形； （2）解：连接AD， ∵△ABC是等腰三角形，点D是△ABC的边BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝∠ADB＝90°， ∵∠BDE＝30°，BE＝3， ∴∠B＝60°，BD＝2BE＝6， ∴∠BAD＝30°， ∴AB＝2BD＝12． 24．（本题8分） 解：（1）∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD， ∵AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE， ∵∠B＝∠C，∠BAC＝90°，D是BC中点， ∴∠BAD＝45°， ∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE， 即∠BAD＝2∠CDE， ∴∠2＝22.5°； 故答案为：22.5°． （2）∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD， ∵AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE， 即∠BAD＝2∠CDE，∠1＝2∠2． 25．（本题8分） 解：（1）∵△ABC为等边三角形， 根据题意得AP＝3tcm，BQ＝2tcm， ∴BP＝（16﹣3t）cm， ∴∠B＝60°． ∴BP＝BQ时，△BPQ为等边三角形， ∴16﹣3t＝2t， 解得； （2）根据题意得AP＝3tcm，BQ＝2tcm， ∴BP＝（16﹣3t）cm， ∵∠PBQ＝60°，∠BQP＝90°， ∴∠BPQ＝30°， ∴， 即， 解得； 当时，∠BQP是直角． 26．（本题8分） ：（1）AB＝PB． 理由：如图1中，连接BQ． ∵BC垂直平分OQ， ∴BO＝BQ， ∴∠BOQ＝∠BQO， ∵OF平分∠MON， ∴∠AOB＝∠BQO， ∵OA＝PQ， ∴△AOB≌△PQB（SAS）， ∴AB＝PB， 故答案为：AB＝PB． （2）存在， 理由：如图2中，连接BQ． ∵BC垂直平分OQ， ∴BO＝BQ， ∴∠BOQ＝∠BQO， ∵OF平分∠MON，∠BOQ＝∠FON， ∴∠AOF＝∠FON＝∠BQC， ∴∠BQP＝∠AOB， ∵OA＝PQ， ∴△AOB≌△PQB（SAS）， ∴AB＝PB． 27．（本题12分） 解：（1）根据“等角三角形”的定义可知△ABC、△ACD、△BCD都是“等角三角形”； 故答案为：△ABC与△ACD或△ABC与△BCD或△ACD与△BCD. （2）证明：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°， ∵CD为角平分线， ∴∠ACD＝∠DCB∠ACB＝40°， ∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A， ∴CD＝DA， 在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°， ∴∠BDC＝∠ACB， ∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A， ∠B＝∠B， ∴CD为△ABC的巧等线； （3）当△ACD是等腰三角形，如图2， DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝40°， ∴∠ACB＝∠BDC＝40°+40°＝80°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝60°； 当△ACD是等腰三角形，如图3， DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝70°， ∠BCD＝∠A＝40°， ∴∠ACB＝70°+40°＝110°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝30°； 当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在， 当△BCD是等腰三角形，如图4， DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴∠B（）°， 当△BCD是等腰三角形，如图5， DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD， 设∠BDC＝∠BCD＝x， 则∠B＝180°﹣2x， 则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x， 由题意得，180°﹣2x+40°＝x， 解得x＝（）°， ∴∠B＝180°﹣2x＝（）°， 当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在， 综上，∠B的度数为60°；30°；（）°；（）°． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $