第十五章 轴对称 单元检测题 2026-2027学年人教版八年级上册数学

**基本信息** 以蛇年春晚如意纹、《蝶几图》等文化素材及航海问题为情境，融合中考真题改编，考查轴对称、等腰三角形、垂直平分线等几何知识，体现数学眼光的几何直观与空间观念，数学思维的推理能力，适配新授课巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题（30/40分）|轴对称图形判定、等腰三角形性质、垂直平分线交点|第1题结合春晚如意纹考查轴对称，渗透文化传承| |填空题|8题（24/32分）|等腰三角形顶角计算、坐标对称、垂直平分线性质|第17题以《蝶几图》为背景，体现数学审美| |解答题|6题（66/78分）|轴对称作图、航海距离计算、几何推理证明|第20题航海问题培养应用意识，第23题改编绍兴中考题，贴合真题趋势|

第十五章检测题 1. D 2. D 3. A 4. B [解析]∵△OAB 与△ODC 都是等腰三角形,且它们关于直线l对称,∴△OAB≌△ODC,∴∠AOB=∠COD.∵点E,F 分别是底边AB,CD的中点,∴∠AOE= ∠COF =∠DOF = ∠COD,∴∠AOE =∠BOE =∠COF =∠DOF.∵OE⊥OF,∴∠BOE+∠BOF=90°.∵∠BOE=∠DOF,∴∠DOF+∠BOF=90°,∴OB⊥OD,故 A 正确;∵∠AOB 与∠BOC 的度数不能确定,∴无法证明∠BOC 与∠AOB 的关系,故 B错误;∵△OAB≌△ODC,点 E,F 分别是底边AB,CD 的中点,∴OE=OF,故 C正确;∵OB⊥OD,∴∠BOC+∠COD=90°①.∵OE⊥OF,∴∠COF+∠EOC=90°.∵∠COF=∠AOE,∴∠AOE+∠EOC=90°,∴OC⊥OA,∴∠AOB+∠BOC=90°②.①+②,得∠BOC+∠COD+∠AOB+∠BOC=180°,即∠BOC+∠AOD=180°,故 D正确.5. B 6. D 7. B [解析]∵∠C=90°,∠B=40°,∴∠BAC=90°-∠B= ,由作图知,AP 平分∠BAC,∴∠BAD= ∵∠ADC=∠B+∠BAD,∴∠ADC=40°+25°=65°. 8. C 9. D 10. B 11.100 12.(-3,2) 13.1 14.150 15.20 16.100°[解析]∵AC=AE,BC=BD,∴设∠AEC=∠ACE=x,∠BDC=∠BCD=y,∴∠A=180°-2x,∠B=180°-2y.∵∠ACB+∠A+∠B=180°,∠BDC+∠AEC+∠DCE=180°,∴∠ACB+(180°-2x)+(180°-2y)=180°,180°-(x+y)=∠DCE,∴∠ACB+360°-2(x+y)=180°,∴∠ACB+2∠DCE=180°.∵∠DCE=40°,∴∠ACB=100°. 17.21 [解析]由题易得四边形 ABCD 是正方形,∴CD=CB,∠DCB=90°.∵点 F 与点 B 关于直线CE 对称,∴CF=CB,∠FCE=∠BCE,∴CD=CF,∴∠CDF=∠CFD= 24°,∴∠DCF = 180°-24°-24°= 132°,∴∠FCB=132°-90°=42°, 18.5 19.(1)图略 (2)(2,3) (3,1) (-1,-2) 20.解:(1)根据题意得∠BAC=90°-75°=15°,∠CBE=90°-60°=30°,AB=15×2=30(海里),∴∠C=30°-15°=15°,∴∠BAC=∠C,∴BC=AB=30海里,答:B 处到灯塔C的距离为30海里. (2)过点C作CD⊥AB 交AB的延长线于点D,∵∠CBD=30°,BC=30海里,∴CD= 海里.∵15<16，∴若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险. 21.解：(1)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 等边对等角 等角对等边 (2)∵EB=AB=3.5,∴∠E=∠EAB.∵∠ABD 是△ABE 的一个外角,∴∠ABD=∠E+∠EAB=2∠E.∵∠ABD=2∠C,∴∠E=∠C,∴AE=AC.∵AD⊥BC,∴ED=DC=EB 学科网（北京）股份有限公司 +BD=3.5+1=4.5,∴DC的长为4.5. 22.(1)证明:∵DE∥AC,∴∠EDA=∠DAC.∵AD 平分∠BAC,∴∠EAD=∠DAC,∴∠EAD=∠EDA,∴AE=ED. (2)解:∠B=∠CAF.证明:∵AE=DE,EF⊥AD,∴EF 是AD 的垂直平分线,∴FA=FD,∴∠FAD=∠FDA. ∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD =∠CAD.∵∠FDA=∠B+∠BAD,∠FAD=∠CAF+∠CAD,∴∠B=∠CAF. 23.解:(1)∵∠ABC=80°,BD=BC,∴∠BDC=∠BCD= ×(180°-80°)= 50°. ∵∠A +∠ABC +∠ACB =180°,∠A=40°,∴∠ACB=180°-40°-80°=60°.∵CE=BC,∴△BCE 是等边三角形,∴∠EBC=60°,∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°. (2)∠BEC+∠BDC=110°.理由:设∠BEC=α,∠BDC=β,α=∠A +∠ABE=40°+∠ABE.∵CE=BC,∴∠CBE=∠BEC=α,∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=40°+2∠ABE.在△BDC中,BD=BC,∴∠BDC+∠BCD+∠DBC=2β+40°+2∠ABE=180°,∴β=70°-∠ABE,∴α+β=40°+∠ABE+70°-∠ABE =110°,∴∠BEC+∠BDC=110°. 24.解:(1)设点 M,N 运动t 秒后,可得到等边△AMN,则AM=t,AN=AB-BN=8-2t.∵△AMN 是等边三角形,∴t=8-2t,解得 ∴点M,N 运动 秒后，可得到等边△AMN. (2)设点 M,N 运动x秒后,M,N两点重合,则x×1+8=2x,解得x=8,∴点M,N运动8秒后，M，N两点重合. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章检测题 时间:90分钟 满分:120分 150分 分值说明：本卷两种计分方式，分别适用于满分120分或满分150分的地区，请根据实际情况自主选择. 题 号 一 二 三 总 分 得 分 一、选择题(每题 3分 4分,共 30分40分)) 1.2025年蛇年春晚主题“巳巳如意，生生不息”，设计了“巳巳如意纹”.如意纹是我国文化中的一种吉祥纹样，这种纹样被赋予了象征美好愿望和幸福的含义，以下四个如意纹样中，不是轴对称图形的是( ) 2.已知一个三角形的每一个角的平分线都垂直于这个角所对的边，则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.任意三角形 D.等边三角形 3.如图，三个洞口A，B，C构成△ABC，要想到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在( ) A.三条边的垂直平分线的交点 B.三个角的平分线的交点 C.三角形三条高的交点 D.三角形三条中线的交点 4.(福建中考)小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图.其中△OAB 与△ODC 都是等腰三角形，且它们关于直线l 对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF.下列推断错误的是( ) A. OB⊥OD B.∠BOC=∠AOB C. OE=OF D.∠BOC+∠AOD=180° 学科网（北京）股份有限公司 5.下列条件中，不能判定△ABC 是等腰三角形的是( ) A.a=3,b=3,c=4 B.a:b:c=2:3:4 6.已知点 A(4，3)和点 B 是坐标平面内的两个点，且它们关于直线x=-3对称,则点 B 的坐标为( ) A.(0,-3) B.(4,-9) C.(4,0) D.(-10,3) 7.(天津中考)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交AB 于点E，交AC 于点F；再分别以点E，F为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，两弧在∠BAC 的内部相交于点 P；画射线 AP，与 BC 相交于点D,则∠ADC 的大小为( ) A.60° B.65° C.70° D.75° 8.如图，把长方形纸片ABCD 沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD,有下列说法:①△EBD 是等腰三角形,EB=ED;②折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等；③折叠后得到的图形是轴对称图形；④△EBA 和△EDC'一定是全等三角形.其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O转动,C 点固定,OC=CD=DE,点 D,E 可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE 的度数是( ) A.60° B.65° C.75° D.80° 10.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,D 是AB 上的点,过点D作DE⊥AB 交BC 于点F,交AC 的延长线于点E,连 学科网（北京）股份有限公司 接CD,∠DCA=∠DAC,则下列结论正确的有( ) ①∠DCB=∠B;②CD= AB;③△ADC 是等边三角形;④若∠E=30°,则DE=EF+CF. A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 二、填空题(每题 3分4分 ,共24分32分) 11.(湖南中考)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 °. 12.如图是蜡烛的平面镜成像原理图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，若火焰顶部 P 点的坐标是(3，2)，则对应虚像火焰顶部Q 点的坐标是 . 13.如图所示,在 Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,将△ABC沿 MH 翻折,使顶点 A 与顶点 B 重合,已知AH =2,则BC等于 . 14.如图,点 P 为∠AOB 内任一点,E,F 分别为点 P 关于OA,OB 对称的点. 若∠AOB =30°,则∠E +∠F = 15.如图,在△ABC 中,AC 的垂直平分线分别交AC,BC 于E,D 两点,EC=4,△ABD的周长为12,则△ABC的周长为 . 16.(内江中考)如图,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB 的度数为 . 17.《蝶几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集.如图为某设计图，其中△ADC 和△ABC为两个全等的等腰直角三角形，且点 F 与点B 关于直线CE 对称，分别连接CF， 学科网（北京）股份有限公司 DF.若∠CFD=24°,则∠BCE 为 °. 18.如图,△ABC 是等边三角形,点D 为AC 边上一点,以BD为边作等边△BDE,连接CE,若CD=1,CE=4,则BC= . 三、解答题(共66分78分) 19.8分 10分在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的位置如图所示. (1)请画出△ABC 关于y轴对称的△A'B'C'.(其中A',B',C'分别是A，B，C的对应点，不写画法) (2)直接写出 A',B',C'三点的坐标: A' ,B' ,C' . 20.10分 12分如图,灯塔C 在海岛A 的北偏东75°方向,某天上午8时，一条船从海岛A 出发，以15 海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B 处，此时，测得灯塔C在 B 处的北偏东60°方向. (1)求B 处到灯塔C 的距离. (2)已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险? 学科网（北京）股份有限公司 21. 10分 12分 已知在△ABC 中,∠B 是锐角,AD⊥BC于点D,且∠B=2∠C,AB=3.5,BD=1,求 DC的长.小亮积极思考后向同学们展示了自己的解题过程： 证明:如图①,在DC 上取点E,使DE=DB,连接AE. ∵AD⊥BC,DE=DB,∴AD垂直平分BE, ∴AB=AE,(依据1) ∴∠B=∠AEB.(依据2) ∵∠B=2∠C,∴∠AEB=2∠C. 又∵∠AEB=∠EAC+∠C, ∴∠EAC=∠C, ∴AE=CE,(依据3) ∴AE=CE=AB, ∴DC=DE+CE=BD+AB=1+3.5=4.5. (1)上述解题过程中的依据分别指的是什么? 依据1: . 依据2: . 依据3: .(2)看完小亮的解题过程，小明提出了自己的想法： 证明:如图②,延长DB 到点E,使BE=AB,连接AE……请根据小明的思路写出完整的解题步骤. 22. 12分 14分 如图,在△ABC 中,AD平分∠BAC交BC于点D,DE∥AC交AB 于点E,过点E作EF⊥AD,垂足为点 H，并交BC 的延长线于点 F. 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证:AE=ED. (2)请猜想∠B 与∠CAF 的大小关系，并证明你的结论. 23. 12分 14分(绍兴中考)如图,在△ABC 中,∠A=40°,点D,E 分别在边AB,AC 上,BD=BC=CE,连接CD,BE. (1)若∠ABC=80°,求∠BDC,∠ABE 的度数. (2)写出∠BEC 与∠BDC 之间的关系,并说明理由. 24.14分 16分 如图,△ABC 是边长为8 的等边三角形,现 有两点 M，N分别从点A，点B 同时出发，沿三角形的边 运动，已知点 M 的速度为每秒1个单位长度，点N 的速度 为每秒2个单位长度，当点 M 第一次到达B 点时，M，N 同时停止运动. (1)点 M,N 运动几秒后,可得到等边△AMN? (2)点 M,N 运动几秒后,M,N 两点重合? 学科网（北京）股份有限公司 $