40 第四章 规范答题二 三角函数与解三角形-【名师导航】2027年高考数学一轮总复习教师用书

该高中数学讲义聚焦三角函数与解三角形高考核心考点，涵盖正弦定理、余弦定理、三角恒等变换及面积公式，按“条件分析-思路构建-规范解答”逻辑架构知识点，通过典例精讲、陷阱提示、分层检测（单选、多选、填空、解答题）等环节，帮助学生系统突破边角互化、方程思想等解题难点。 讲义创新采用“问题链引导+素养渗透”教学策略，如典例中从“a sin B = b cos A”抽象边角关系，用正弦定理化边为角求A，培养数学抽象与逻辑推理能力，分层练习适配不同学情，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生解三角形综合应用与应试得分能力。

　三角函数与解三角形 [典例]　(14分)(2025·天津卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asin B＝bcos A，c－2b＝1，a＝． (1)求A的值；(2)求c的值；(3)求sin(A＋2B)的值． 明条件，顺思路 规范答，抢得分(填一填) 点关键，防陷阱 第(1)问 读题干：asin B＝bcos A→想问题：式中既有边又有sin B和cos A，利用正弦定理化边为角． 读所求：求A→想方法： ①由sin A＝cos A，联想到同角三角函数基本关系式tan A＝，sin2A＋cos2A＝1． ②求三角形内角A，联想到A∈(0，π)． 第(2)问 再读题干：c－2b＝1，a＝，A已求出→想问题：利用余弦定理化角为边． 读所求：求c→想方法：建立关于b，c的方程组，解方程组． 第(3)问 想已知：通过(1)(2)问的解答，现已知三边a，b，c和角A→想问题：利用正弦定理求sin B． 读所求：sin(A＋2B)→想方法： ①和角公式：sin(A＋2B)＝sin Acos 2B＋cos Asin 2B． ②二倍角公式：sin 2B＝2sin Bcos B，cos 2B＝1－2sin2B． [解]　(1)第1步：利用正弦定理，化“边”为“角” 因为asin B＝bcos A， 所以由正弦定理可得sin Asin B＝sin Bcos A，…………………………(2分) 第2步：求tan A的值 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，……………(3分) 所以sin A＝cos A，即tan A＝．……………(4分) 第3步：确定A的值 又因为A∈(0，π)，所以A＝．……………(5分) (2)第1步：根据余弦定理得出关于b，c的方程 由(1)可知，A＝，又a＝， 由余弦定理的推论得cos A＝， 即b2＋c2－7＝bc(ⅰ) ……………(7分) 第2步：通过方程思想求c 又c－2b＝1(ⅱ)，联立(ⅰ)(ⅱ)可得 所以，c的值为3．……………(8分) (3)第1步：由正弦定理求sin B 由正弦定理， 解得sin B＝．……………(9分) 第2步：由a，b，c的大小关系，确定B的范围并求cos B 因为b＝1<3＝c，所以B为锐角， 所以cos B＝＝．……………(10分) 第3步：求sin 2B和cos 2B sin 2B＝2sin Bcos B＝2×＝， cos 2B＝1－2sin2B＝1－2×＝，……………(12分) 第4步：利用和角公式计算sin(A＋2B) 所以sin(A＋2B)＝sin Acos 2B＋cos Asin 2B ＝．……………(14分) 第(1)问的关键是由正弦定理化边为角． 注意三角形内角的范围． 正弦定理解决的两类基本问题： ①两角及一边； ②两边及一边对角． 忽略隐含条件“大边对大角”导致增解． 和差角公式记忆混淆导致求解错误． 阶段检测(七)　第36～38课时 一、单项选择题 1．(2025·四川甘孜州期末)在△ABC中，若A＝，a＝，b＝1，则B＝(　　) A．或 B． C． D．或 B　[∵A＝，a＝，b＝1， 由正弦定理， 得sin B＝， 又∵B∈(0，π)，且b<a，∴B<A， ∴B＝．故选B．] 2．(2025·辽阳一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝5，b＝7，c＝4，则△ABC的面积为(　　) A．4 B．2 C．4 D．8 A　[在△ABC中，因为a＝5，b＝7，c＝4， 由余弦定理的推论可得cos B＝＝－， 因为B∈(0，π)，所以sin B>0， 所以sin B＝， 因此△ABC的面积S△ABC＝acsin B＝×5×4×＝4． 故选A．] 3．(2023·北京卷)在△ABC中，(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则C＝(　　) A． B． C． D． B　[由正弦定理可将(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)化为(a＋c)(a－c)＝b(a－b)， 即a2＋b2－c2＝ab， 由余弦定理的推论可得cos C＝， 又C∈(0，π)，所以C＝． 故选B．] 4．(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　) A． B． C． D． C　[因为B＝，b2＝ac，则由正弦定理得 sin Asin C＝sin2B＝． 由余弦定理可得b2＝c2＋a2－2cacos B＝a2＋c2－ac＝ac， 即a2＋c2＝ac，根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝sin Asin C＝， 所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin Asin C ＝， 因为A，C为三角形内角，则sin A>0，sin C>0，则sin A＋sin C＝． 故选C．] 5．(2025·贵阳期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，且△ABC的面积为S＝－(a2＋c2－b2)，则a＋c的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 D　[由余弦定理可得2accos B＝a2＋c2－b2， ∵△ABC的面积为S＝－(a2＋c2－b2)， ∴acsin B＝－·2accos B，∴tan B＝－， 又∵0<B<π，∴B＝， ∵(2)2＝b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－， ∴(a＋c)2≤16，当且仅当a＝c时，等号成立， ∴a＋c的最大值为4． 故选D．] 6．(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'－CC'约为(≈1.732)(　　) A．346 B．373 C．446 D．473 B　[如图所示，根据题意过C作CE∥C'B'，交BB'于E，过B作BD∥A'B'，交AA'于D，则BE＝100，C'B'＝CE＝． 在△A'C'B'中，∠C'A'B'＝75°，则BD＝A'B'＝． 又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝，所以高度差AA'－CC'＝AD＋BE＝＋100＝＋100＝＋100＝＋100＝100(＋1)＋100≈373．故选B．] 二、多项选择题 7．(2025·泰安月考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝3，b＝4，锐角C满足sin C＝，则(　　) A．△ABC的周长为12 B．cos C＝ C．c＝ D．cos B＝ BC　[由题意可知，cos C＝，B正确； 对于A，C，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋16－2×3×4×＝19， 得c＝，则a＋b＋c＝7＋，A错误，C正确； 对于D，由余弦定理的推论得cos B＝，D错误． 故选BC．] 8．(2025·安庆期中)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　　) A．若sin B>sin C，则B>C B．若a＝2，b＝4，A＝，则三角形有两解 C．若bcos B－ccos C＝0，则△ABC一定为等腰直角三角形 D．若△ABC的面积S＝(a2＋b2－c2)，则C＝ AD　[对于A，由正弦定理得，因为sin B>sin C，所以b>c，则B>C，故A正确；对于B，因为a＝2，b＝4，A＝，则sin B＝，因为a>b，所以A>B，则B∈，所以三角形有一解，故B错误； 对于C，因为bcos B－ccos C＝0，所以sin Bcos B－sin Ccos C＝0，即sin 2B＝sin 2C，所以2B＝2C或2B＋2C＝π，即B＝C或B＋C＝，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，因为△ABC的面积S＝(a2＋b2－c2)，所以absin C＝×2abcos C，即sin C＝cos C，因为C∈(0，π)，所以C＝，故D正确．故选AD．] 三、填空题 9．(2025·北京期末)已知在△ABC中，a＝3，c＝2，A＝60°，则b＝______________ ；cos B＝______________．  1＋　　[△ABC中，a＝3，c＝2，A＝60°， 则a2＝b2＋c2－2bccos A，即32＝b2＋22－2b×2×cos 60°，所以b＝1＋(舍负)，又cos B＝， 所以cos B＝．] 10．(2024·春季上海卷)在△ABC中，BC＝2，A＝，B＝，则AB＝______________．  　[在△ABC中，因为A＝，B＝，所以C＝，sin C＝sin＝sincos＋cossin， 由正弦定理得， 则AB＝．] 四、解答题 11．(人教B版必修第四册P10例4)如图所示平面四边形ABCD中，已知B＋D＝180°，AB＝2，BC＝4，CD＝4，AD＝2，求四边形ABCD的面积． [解]　连接AC，如图所示． 在△ABC与△ADC中分别使用余弦定理可得 AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos B， AC2＝AD2＋CD2－2AD×CDcos D． 又因为B＋D＝180°，所以cos D＝cos(180°－B)＝－cos B， 因此22＋(4)2－2×2×4cos B＝(2)2＋42＋2×2×4cos B． 解得cos B＝0，因此cos D＝0，则B＝D＝90°． 所以四边形ABCD的面积为×2×4×4×2＝4()． 12．(2026·南京模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2b，2sin A＝3sin 2C． (1)证明：a＝b； (2)若△ABC的面积为，求AB边上的高． [解]　(1)证明：∵2sin A＝3sin 2C，∴sin A＝3sin Ccos C， 由正弦定理及余弦定理得，a＝3c·，① 又c＝2b，② 由①②得，a2b＝3b(a2＋b2－4b2)， ∴a2＝b2，∴a＝b． (2)由(1)得，cos C＝， ∵C∈(0，π)， ∴sin C＝， ∴△ABC的面积S＝absin C＝b2×，∴b＝2， 设AB边上的高为h，则△ABC的面积S＝ch＝bh＝， ∴h＝， 即AB边上的高为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $