33 第四章 第32课时 简单的三角恒等变换-【名师导航】2027年高考数学一轮总复习教师用书

该高中数学讲义聚焦简单的三角恒等变换高考核心考点，涵盖半角公式、积化和差与和差化积等知识点，按“化简-求值-应用”逻辑架构梳理内在联系。通过知识点精讲、通性通法提炼、真题与模拟题训练环节，帮助学生突破公式灵活应用难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料以“三看”原则（看角、名、结构）指导化简，结合给值求角中角的范围分析等策略，培养学生数学思维与运算能力。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合真题改编题即时反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第32课时　简单的三角恒等变换 [考试要求]　1．会根据相关公式进行化简和求值．2．会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题． 知识点1　半角公式(不要求记忆) sin＝±；cos＝±； tan ＝±． 知识点2　积化和差与和差化积 (1)积化和差公式 cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]． (2)和差化积公式 sin θ＋sin φ＝2sincos； sin θ－sin φ＝2cossin； cos θ＋cos φ＝2coscos； cos θ－cos φ＝－2sinsin． 1．(人教A版必修第一册P226练习T2改编)已知θ∈且sin θ＝，则sin ＝______________，cos ＝______________．  －　－　[∵θ∈，且sin θ＝， ∴cos θ＝－， ∴sin ＝－＝－， cos＝－＝－．] 2．(湘教版必修第二册P88练习T3)化简：(1)sin(α＋β)cos β－sin(α＋2β)＝______________．  (2)sin 10°＋sin 50°－cos 20°＝______________．  (1)sin α　(2)0　[(1)原式＝[sin(α＋2β)＋sin α]－sin(α＋2β)＝sin α． (2)原式＝2sincos－cos 20° ＝2sin 30°cos 20°－cos 20°＝0．] 考点一　三角函数式的化简 [典例1]　(1)cos 20°cos 40°cos 80°＝______________．  (2)sin＝_______．  (1)　(2)0　[(1)法一：原式＝ ＝ ＝． 法二：原式＝[cos(20°＋40°)＋cos(20°－40°)]cos 80° ＝cos 80°＋cos 20°cos 80° ＝cos 80°＋[cos(20°＋80°)＋cos(20°－80°)] ＝cos 80°＋cos 100°＋ ＝． (2)原式＝sin ＝sin ＝sin θ＋cos θ－sin ＝sinsin＝0．] 通性通法：(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征． (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点． 考点二　三角函数式的求值 　给角求值 [典例2]　(多选)(2025·苏州市吴中区月考)下列四个等式中正确的是(　　) A．sin 15°sin 30°sin 75°＝ B．＝4 C．＝1 D．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°tan 60°＝ ABD　[对于A，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin 75°＝－[cos(15°＋75°)－cos(15°－75°)]＝ ，故A正确； 对于B， ＝＝4，故B正确； 对于C， ＝＝2，故C错误； 对于D，因为tan 60°＝tan(20°＋40°)＝， 所以tan 20°＋tan 40°＝tan 20°tan 40°， 即tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°tan 60° ＝tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝，故D正确． 故选ABD．] 通性通法：给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看不能直接求出，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且利用特殊角三角函数值而得解． 　给值求值 [典例3]　(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝，cos αsin β＝，则cos(2α＋2β)＝(　　) A． B． C．－ D．－ B　[法一：依题意，得 所以sin αcos β＝， 所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝， 所以cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×．故选B． 法二(积化和差公式)：由条件，知 cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]＝， 解得sin(α＋β)＝， 则cos(2α＋2β)＝cos[2(α＋β)]＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×．故选B．] 通性通法：给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可． 【教用·备选题】 (2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝______________．  －　[法一：由题意得tan(α＋β)＝＝－2， 因为α∈，β∈，k，m∈Z， 则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z， 又因为tan(α＋β)＝－2<0， 则α＋β∈，k，m∈Z，则sin(α＋β)<0， 则＝－2，联立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，解得sin(α＋β)＝－． 法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos α>0，cos β<0， cos α＝，cos β＝， 则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝cos αcos β(tan α＋tan β) ＝4cos αcos β＝ ＝ ＝＝－．] 　给值求角 [典例4]　(1)已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β＝(　　) A． B． C． D． (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β＝______________．  (1)B　(2)－　[(1)由题意知，cos α＝． ∵tan β＝－3，且β为钝角，sin2β＋cos2β＝1， ∴sin β＝，cos β＝－， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝． 又∵0<α<<β<π， ∴<α＋β<，∴α＋β＝．故选B． (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝>0， ∴0<α<． 又∵tan 2α＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝1． ∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－．] 通性通法：给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数． (2)若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． 1．(链接考向1)(多选)(2025·岳阳质检)计算下列各式，结果为的是(　　) A．sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215° C． D． BC　[对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误； 对于B，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝，故D错误． 故选BC．] 2．(链接考向2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin＝(　　) A． B． C． D． D　[由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2，又α为锐角， 所以sin>0，所以sin， 故选D．] 3．(链接考向3)已知tan α＝，cos β＝－，其中α，β∈(0，π)，则α－β＝ ______________．  －　[由β∈(0，π)，cos β＝－，得sin β＝， 所以tan β＝＝－， 又tan α＝，所以tan(α－β)＝＝1，因为cos β＝－<0，则β∈，又tan α＝>0，则α∈，则α－β∈(－π，0)，所以α－β＝－．] 4．(链接考点一)(2025·永州月考)化简： (π<α<2π)＝______________．  cos α　[因为π<α<2π，所以<π， 所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝cos α．] 课时作业(三十二)　简单的三角恒等变换 一、单项选择题 1．(人教A版必修第一册P226练习T1改编)已知sin α＝，cos α＝，则tan ＝(　　) A．2－ B．2＋ C．－2 D．±(－2) C　[∵sin α＝，cos α＝， ∴tan －2． 故选C．] 2．(2025·漳州模拟)已知α∈，若sin＋cos＝0，则α＝(　　) A． B． C． D． A　[因为sin＝－cos 2α， 所以－cos 2α＋cos＝0，即cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)． 又因为α∈， 所以cos α＋sin α>0， 所以cos α－sin α＝，即cos， 又α∈， 所以α＋，所以α＋， 所以α＝．故选A．] 3．(2025·新余模拟)已知α＋β＝，且sin＝－，则cos2α＋cos2β＝(　　) A． B． C． D． B　[由α＋β＝，可得β＝－α，sin＝－， 则cos2α＋cos2β＝ ＝＋1 ＝＋1 ＝sin＋1＝． 故选B．] 4．(2025·厦门模拟)已知cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)，则tan α＝(　　) A． B．－ C． D．－ D　[法一： cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)， 即－cos(40°＋α)＋cos(20°＋α)＝cos(40°－α)， 故cos(20°＋α)＝cos(40°－α)＋cos(40°＋α)， 即cos 20°cos α－sin 20°sin α＝2cos 40°cos α， 故cos 20°cos α－2cos 40°cos α＝sin 20°sin α， 即tan α＝ ＝ ＝＝－． 法二：由cos(140°－α)＋sin(110°＋α)＝sin(130°－α)， 得cos(140°－α)＝sin(130°－α)－sin(110°＋α)＝2cos 120°sin (10°－α)＝－sin(10°－α)， 即sin(50°－α)＝sin(10°－α)． ∴sin(50°－α)－sin(10°－α)＝2cos(30°－α)sin 20°＝0， 故30°－α＝90°＋k·180°，k∈Z，即α＝－60°－k·180°，k∈Z， 则tan α＝tan(－60°－k·180°)＝tan(－60°)＝－．故选D．] 二、多项选择题 5．(苏教版必修第二册P67习题10.1(3)T1改编)下列计算正确的是(　　) A．sin 72°sin 78°－cos 72°sin 12°＝ B．＝1 C．cos4－sin4 D．cos275°＋cos215°＋cos 15°sin 15°＝ ACD　[sin 72°sin 78°－cos 72°sin 12°＝sin 72°·cos 12°－cos 72°sin 12°＝sin(72°－12°)＝，故A正确；tan 45°＝，故B错误；cos4－sin4＝cos2－sin2＝cos，故C正确；cos275°＋cos215°＋cos 15°sin 15°＝sin215°＋cos215°＋sin 30°＝1＋，故D正确．故选ACD．] 6．(2025·九江质检)已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是(　　) A．sin 2α＝ B．cos(α－β)＝ C．cos αcos β＝ D．tan αtan β＝ AC　[由题意，易得α＋β∈，2α∈， 所以sin 2α＝，故A正确； sin(α＋β)＝， 所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β) ＝，故B错误； cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝，故C正确； sin αsin β＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]＝，所以tan αtan β＝，故D错误．故选AC．] 三、填空题 7．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T13(2))化简：sin 40°(tan 10°－)＝______________．  －1　[sin 40°(tan 10°－) ＝sin 40° ＝sin 40°· ＝ ＝ ＝×2＝－＝－1．] 8．(2025·北京卷)已知α，β∈[0，2π]，且sin(α＋β)＝sin(α－β)，cos(α＋β)≠cos(α－β)，写出满足条件的一组α＝______________，β＝______________．  　　(答案不唯一)　[因为sin(α＋β)＝sin(α－β)， 所以sin αcos β＋cos αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， 所以cos αsin β＝0，① 又cos(α＋β)≠cos(α－β)， 即cos αcos β－sin αsin β≠cos αcos β＋sin αsin β，即sin αsin β≠0，② 结合①②得cos α＝0，且sin α≠0，sin β≠0， 故可取α＝β＝．] 四、解答题 9．(2025·清远期中)已知0<α<，－<β<0，cos，cos β＝． (1)求cos 2α的值； (2)求α－β的值． [解]　(1)由0<α<＋α<， 可得sin， 所以cos 2α＝sin＝2sincos＝2×． (2)由(1)的结论，可知cos 2α＝cos2α－sin2α＝， 结合cos2α＋sin2α＝1，解得cos2α＝，sin2α＝， 因为0<α<，所以cos α＝，sin α＝． 由cos β＝，β∈， 可得sin β＝－＝－． 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝． 因为0<α<，－<β<0， 可得α－β∈(0，π)， 所以α－β＝． 阶段检测(五)　第29～32课时 一、单项选择题 1．(2026·兰州模拟)sin 990°cos 660°tan 330°＝(　　) A． B．－ C． D．－ A　[原式＝sin(720°＋270°)cos(720°－60°)·tan(360°－30°) ＝sin 270°cos(－60°)tan(－30°)＝sin 270°cos 60°·(－tan 30°)＝－1×． 故选A．] 2．(2025·长沙期末)坐标平面内点P的坐标为(sin 5，cos 5)，则点P位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[∵<5<2π， ∴sin 5<0，cos 5>0， 平面内点P的坐标为(sin 5，cos 5)，则点P位于第二象限． 故选B．] 3．(2025·哈尔滨期末)已知角α的终边过点P(1，y)，若cos α＝，则y的值是(　　) A． B．±2 C．－2 D．2 B　[∵角α的终边过点P(1，y)， cos α＝， ∴cos α＝， 得1＋y2＝9，得y2＝8， 得y＝±2． 故选B．] 4．(2025·遵义期末)已知tan α＝3，0<α<，则sin α＝(　　) A． B． C．－ D．－ A　[因为0<α<，且tan α＝3， 故＝3，又sin2α＋cos2α＝sin2α＋＝1， 解得sin α＝． 故选A．] 5．(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　) A． B． C． D． A　[因为α∈，所以tan 2α＝⇒⇒2cos2α－1＝4sin α－2sin2α⇒2sin2α＋2cos2α－1＝4sin α⇒sin α＝⇒tan α＝． 故选A．] 6．(2025·厦门模拟)若sin θ(tan 80°－)＝sin 80°，θ为锐角，则sin(θ＋30°)＝(　　) A． B． C． D． B　[由sin θ(tan 80°－)＝sin 80°⇒sin θ＝， 因为θ为锐角，所以cos θ＝， 所以sin(θ＋30°)＝sin θ＋cos θ＝． 故选B．] 二、多项选择题 7．(2025·渭南期末)下列说法正确的有(　　) A．－是第三象限角 B．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度 C．已知角α的终边过点P(－3，－4)，则sin α＋cos α＝－ D．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 ACD　[对于A，由－＝－4π＋为第三象限角，所以－是第三象限角，故A正确； 对于B，经过30分钟，钟表的分针是顺时针转动，故转过－π弧度，故B错误； 对于C，由题可得r＝OP＝＝5，所以sin α＝－，cos α＝－， 所以sin α＋cos α＝－，故C正确； 对于D，由题可得扇形所在圆的半径为＝3，所以该扇形的面积为×π×3＝，故D正确． 故选ACD．] 8．(2025·如皋市月考)已知α∈，若sin，则下列结论正确的是(　　) A．cos α＝ B．sin 2α＝ C．cos 2α＝ D．sin α＋cos α＝ ABD　[因为α∈，sin， 可得α－， cos， 所以cos α＝cos＝coscos－sinsin，故A正确； 可得sin α＝， sin 2α＝2sin αcos α＝2×，故B正确； cos 2α＝2cos2α－1＝－，故C错误； sin α＋cos α＝，故D正确． 故选ABD．] 三、填空题 9．(2025·汉中模拟)若cos，π<x<，则cos x＝______________．  －　[由π<x<<x＋<2π， 又因为cos，所以sin＝－， 所以cos x＝cos＝coscos＋sinsin ＝＝－．] 10．(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝______________．  －　[由且θ∈故sin θ－cos θ＝－．] 四、解答题 11．(2025·黄冈期末)在平面直角坐标系Oxy中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第一象限的点P． (1)求y1的值； (2)求的值． [解]　(1)由题意得y1>0，cos α＝，sin α>0， 则sin α＝，则y1＝． (2) ＝ ＝＝－17． 12．(人教A版必修第一册P230习题5.5T20)设f (α)＝sinxα＋cosxα，x∈{n|n＝2k，k∈N+}．利用三角变换，估计f (α)在x＝2，4，6时的取值情况，进而猜想x取一般值时f (α)的取值范围． [解]　由题易知当x＝2时，f (α)＝sin2α＋cos2α＝1． 当x＝4时，f (α)＝sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2α·cos2α＝1－sin22α， ∵－1≤sin 2α≤1，∴0≤sin22α≤1， ∴≤1－sin22α≤1，即f (α)∈． 当x＝6时， f (α)＝sin6α＋cos6α＝(sin2α)3＋(cos2α)3 ＝(sin2α＋cos2α)·(sin4α＋cos4α－sin2α·cos2α) ＝1－sin22α－sin22α＝1－sin22α∈． 猜想：当x＝2k，k∈N+时，f (α)的取值范围是． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $