31 第四章 第30课时 同角三角函数的基本关系与诱导公式-【名师导航】2027年高考数学一轮总复习教师用书

该高中数学高考复习讲义聚焦同角三角函数基本关系与诱导公式核心考点，按“定义-公式-应用”逻辑梳理平方关系、商数关系及诱导公式，通过考点分析（含三个专题）、思维建模（如齐次化切、和差积知一求二）、真题改编训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破符号判断、公式变形等难点。 讲义采用“口诀记忆+模型建构”教学策略，如用“奇变偶不变，符号看象限”强化诱导公式理解，通过典例精讲培养数学思维与推理能力，设置分层课时作业（选择、填空、解答），助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支撑。

第30课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 [考试要求]　1．理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α．2．掌握诱导公式，并会简单应用． 知识点1　同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：＝tan α． 知识点2　三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 [常用结论] 1．同角三角函数关系式的常用变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α． (2)sin α＝tan αcos α． (3)sin2α＝； cos2α＝． 2．诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化． 1．(湘教版必修第一册P168例5改编)已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α＝(　　) A．－ B． C．－ D． A　[由题意得cos α＝， 故tan α＝＝－．故选A．] 2．(人教A版必修第一册P186习题5.2 T15改编)已知tan α＝3，则＝(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 B　[＝2． 故选B．] 3．(北师大版必修第二册P24例8(3))求值：sin·cos＋sincos＝______________．  　[sincos＋sincos ＝sincos＋sincos ＝sincos＝2×．] 4．(人教A版必修第一册P195习题5.3T8)已知sin，且0<x<，则sin＝______________，cos＝______________．  　－　[因为0<x<，所以－－x<，又sin >0，所以0<－x<，所以cos ． sin＝sin ＝cos；cos＝cos ＝－cos＝－．] 5．(北师大版必修第二册P151习题4－1 B组T2改编)若sin xcos x＝，则cos x－sin x的值是(　　) A．± B． C．－ D．± A　[(cos x－sin x)2＝1－2sin xcos x＝1－2×，所以cos x－sin x＝±．] 考点一　同角三角函数的基本关系 [典例1]　(1)(多选)下列各运算正确的是(　　) A．已知cos α＝－，则tan α＝－ B．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan α＝3或－ C．已知tan α＝2，π<α<，则cos α－sin α＝ D．已知＝5，则cos2α＋sin 2α＝或－ (2)(多选)(2026·张家口模拟)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　) A．θ∈ B．cos θ＝－ C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝ (1)BC　(2)ABC　[(1)对于A，因为cos α＝－<0且cos α≠－1， 所以α是第二或第三象限角． ①若α是第二象限角， 则sin α＝ ， 所以tan α＝＝－． ②若α是第三象限角， 则sin α＝－＝－＝－， 所以tan α＝，A错误； 对于B，由sin α＋2cos α＝， 两边平方可得sin2α＋4cos2α＋4sin αcos α＝， 因此，，分子、分母同除以cos2α可得，整理可得3tan2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－，B正确； 对于C，因为tan α＝＝2，且sin2α＋cos2α＝1，π<α<，所以sin α＝－，cos α＝－， 所以cos α－sin α＝－，C正确； 对于D，由＝5，得＝5， 可得tan α＝2， 则cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α ＝，D错误． 故选BC． (2)因为sin θ＋cos θ＝， 则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， 所以2sin θcos θ＝－<0， 又因为θ∈(0，π)，则sin θ>0，cos θ<0，所以θ∈，A正确； 又sin θ－cos θ>0， (sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝， 所以sin θ－cos θ＝，D错误； 联立可得sin θ＝，cos θ＝－，tan θ＝＝－，故B，C正确．故选ABC．] 思维建模：1．齐次化切模型(如：本例(1)选项D) 第1步　化齐次：非齐次化分式，确保正、余弦的幂值相等，一般用sin2α＋cos2α＝1化齐次． 第2步　除同次余弦：分式的分子、分母同时除以同次幂的余弦． 第3步　化切求值：化成正切式，代入求值． 2．sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ和差积知一求二(如：本例(2)) 第1步　判断是否常见：判断是否为常见的平方和为1的数，若常见，则猜根求结果；若不常见，则执行第2～4步． 第2步　和差平方(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ． 第3步　解对应方程． 第4步　代入，定符号：根据已知角的范围或隐含条件，确定角最终符号并求值． 考点二　诱导公式的应用 [典例2]　(1)(多选)(2025·沈阳期末)下列诱导公式正确的是(　　) A．sin(3π＋α)＝sin α B．sin＝－cos C．cos＝sin 2α D．cos(9π－3α)＝cos 3α (2)(2026·临清市模拟)已知sin，那么tan＝(　　) A．－ B．±2 C． D．2 (3)化简＝______________．  (1)BC　(2)B　(3)－1　[(1)对于A，sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α，故A错误； 对于B，sin＝sin＝－sin＝－cos ，故B正确； 对于C，cos＝cos＝sin 2α，故C正确； 对于D，cos(9π－3α)＝cos(π－3α)＝－cos 3α，故D错误． 故选BC． (2)因为sin， 所以cos＝cos＝sin， 则sin＝±＝±， 所以tan＝±2． 故选B． (3)∵cos 10°>sin 10°， ∴原式＝ ＝ ＝＝－1．] 通性通法：诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 考点三　基本关系式和诱导公式的综合应用 [典例3]　已知函数f (α)＝． (1)求证：f (α)＝sin α； (2)若f (α)＝，且α为第二象限角，求tan α·－1的值． [解]　(1)证明：f (α)＝＝＝sin α，得证． (2)因为f (α)＝sin α＝，且α为第二象限角，所以cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－，所以tan α·－1＝－1＝－． 通性通法：(1)利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． (2)注意角的范围对三角函数值符号的影响． 1．(链接考点二)(多选)(2026·上饶模拟)下列计算正确的是(　　) A．sin＝－ B．cos＝－ C．cos π＝1 D．tan＝－1 AD　[sin＝－sin＝－，所以A选项正确； cos＝cos＝－cos＝－，所以B选项错误； cos π＝－cos 0＝－1，所以C选项错误； tan＝tan＝－tan＝－1，D选项正确． 故选AD．] 2．(链接考点一)(2026·庆阳模拟)已知α是第三象限角，且sin α＝－，则3cos α＋4tan α＝(　　) A．－ B． C．－ D． A　[∵α是第三象限角，且sin α＝－， ∴cos α＝－＝－，∴tan α＝， 则3cos α＋4tan α＝－2＝－． 故选A．] 3．(链接考点一)已知sin α＋cos α＝sin αcos α，则sin α＋cos α＝(　　) A． B． C．－ D．－ D　[因为sin αcos α＝， 所以sin α＋cos α＝， 化简得3(sin α＋cos α)2－8(sin α＋cos α)－3＝0， 解得sin α＋cos α＝－或sin α＋cos α＝3(舍去)． 故选D．] 4．(链接考点三)(2026·杭州模拟)已知cos＋3cos(α－π)＝0，则＝______________．  －　[由题意可得cos＋3cos(α－π)＝－sin α－3cos α＝0， 所以－sin α＝3cos α，可得tan α＝－3， 所以＝tan α(1－sin2α) ＝tan α·＝tan α·＝－3×＝－．] 课时作业(三十)　同角三角函数的基本关系与诱导公式 一、单项选择题 1．sin 2 025°＋tan 2 025°＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－2 C　[sin 2 025°＋tan 2 025°＝sin(5×360°＋225°)＋tan(5×360°＋225°)＝＋1＝－1＋1＝0．故选C．] 2．(2025·渭南期末)已知tan θ＝2，则＝(　　) A．－ B． C．－ D． C　[由于tan θ＝2， 则＝－．故选C．] 3．(2025·鞍山模拟)已知sin＝－，则cos＝(　　) A．－ B． C． D．－ A　[因为sin＝－＝cos＝cos＝cos， 所以cos ＝－． 故选A．] 4．(2025·抚州模拟)化简的结果为(　　) A．sin 2－cos 2 B．sin 2＋cos 2 C．cos 2－sin 2 D．－(sin 2＋cos 2) B　[＝sin 2＋cos 2． 故选B．] 5．若α是第三象限角，且sin α－2cos α＝1，则tan α＝(　　) A． B． C． D． B　[因为sin α－2cos α＝1，所以sin α＝2cos α＋1，又sin2α＋cos2α＝1， 所以5cos2α＋4cos α＝0，解得cos α＝－或cos α＝0， 又因为α是第三象限角， 所以cos α＝－，sin α＝2×＋1＝－， 可得tan α＝．故选B．] 6．(2025·广州模拟)已知θ∈，sin θ－cos θ＝，则sin3θ＋cos3θ＝(　　) A． B． C．－ D． C　[将已知等式两边平方， 可得sin2θ＋cos2θ－2sin θcos θ＝1－2sin θcos θ＝， ∴sin θcos θ＝－，可得(sin θ＋cos θ)2＝， 而sin θ＋cos θ＝sin， 又θ＋， ∴sin<0， ∴sin θ＋cos θ＝－， ∴sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝－＝－． 故选C．] 二、多项选择题 7．(2025·西安模拟)在△ABC中，下列结论正确的是(　　) A．sin(A＋B)＝－sin C B．sin＝cos C．tan(A＋B)＝－tan C D．cos(A＋B)＝cos C BC　[由题意可得A＋B＋C＝π， 对于A，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，故A错误； 对于B，sin＝sin＝cos，故B正确； 对于C，tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，故C正确； 对于D，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，故D错误． 故选BC．] 8．(2025·泸州模拟)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则(　　) A．sin θcos θ＝－ B．sin θ－cos θ＝ C．sin θ－cos θ＝ D．tan θ＝－ ACD　[对于A，因为sin θ＋cos θ＝， 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， 即sin θcos θ＝－，A正确； 对于B，C，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝， 因为θ∈(0，π)，且sin θcos θ＝－<0， 所以sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0， 所以sin θ－cos θ＝，B错误，C正确； 对于D，联立 解得sin θ＝，cos θ＝－， 所以tan θ＝－，D正确． 故选ACD．] 三、填空题 9．(人教B版必修第三册P26练习B T2改编)如果tan α＝2，那么＝______________，sin2α－cos2α＝______________，sin4α－cos4α＝______________．  1　　　[由tan α＝2，得＝1， sin2α－cos2α＝，sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)＝．] 10．已知角α终边上一点P(－4，3)，则＝______________．  　[∵角α终边上一点P(－4，3)，∴tan α＝－， 则原式＝ ＝．] 四、解答题 11．已知f (α)＝． (1)若α∈(0，2π)，且f (α)＝－，求α的值； (2)若f (α)－f，且α∈，求tan α的值． [解]　(1)f (α)＝ ＝ ＝＝sin α． 所以f (α)＝sin α＝－， 因为α∈(0，2π)，所以α＝或α＝． (2)由(1)知f (α)＝sin α， 所以f (α)－f＝sin α－sin ＝sin α＋cos α＝， 所以sin α＝－cos α，所以cos2α＋＝1， 即(5cos α－4)(5cos α＋3)＝0， 所以cos α＝或cos α＝－． 又因为α∈， 所以cos α＝－， 所以sin α＝－cos α＝． 所以tan α＝＝－． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $