06 第一章 第6课时 一元二次方程、不等式-【名师导航】2027年高考数学一轮总复习教师用书

该高中数学高考复习讲义围绕一元二次方程、不等式核心考点，依据二次函数与方程、不等式的对应关系，系统整合分式不等式、绝对值不等式及恒成立问题等内容，通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生构建知识网络，突破含参数不等式分类讨论等难点。 资料采用分层练习与母题探究策略，如含参数不等式教学中，通过“四步思维建模”培养学生数学思维，结合2025年全国二卷真题训练提升数学语言表达能力，设置基础巩固与能力提升题组，保障复习效果，为教师把控节奏、学生高效备考提供有力支持。

第6课时　一元二次方程、不等式 [考试要求]　1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的实际意义．2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3．了解一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 知识点1　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 知识点2　分式不等式与整式不等式 (1)＞0(＜0)⇔f (x)g(x)＞0(＜0)． (2)≥0(≤0)⇔f (x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0． 知识点3　简单的绝对值不等式 |x|＞a(a＞0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|＜a(a＞0)的解集为(－a，a)． 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间． [常用结论]　两个恒成立的充要条件 1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔ 2．一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔ 1．(人教A版必修第一册P53练习T1(5))不等式－2x2＋x≤－3的解集为________． (－∞，－1]　[由－2x2＋x≤－3可得2x2－x－3≥0， 即(2x－3)(x＋1)≥0，得x≤－1或x≥， 故不等式的解集为(－∞，－1]] 2．(人教A版必修第一册P55习题2.3T5)已知集合A＝{x|x2－16＜0}，B＝{x|x2－4x＋3＞0}，则A∪B＝________． R　[已知A＝{x|x2－16＜0}＝{x|－4＜x＜4}，B＝{x|x2－4x＋3＞0}＝{x|x＜1，或x＞3}，则A∪B＝R．] 3．(北师大版必修第一册P41习题1-4B组T1)若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，则实数a＝________，b＝________． －12　－1　[∵关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为， ∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的两根为－，且a＜0． ∴解得] 4．(苏教版必修第一册P69习题3.3T11(2)改编)若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是________． (－3，0)　[由题意知解得－3<k<0．] 考点一　不含参数的不等式的解法 [典例1]　(多选)下列选项中，正确的是(　　) A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2，或x>1} B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件 ABD　[因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2，或x>1}，故A正确； 因为－1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确； 由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1， 解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1，或x≥3}，故C错误； 由|x－1|<1，可得－1<x－1<1，解得0<x<2，由<0，可得－4<x<5，因此，“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确．故选ABD．] 通性通法：(1)可通过求解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数图象，求出不等式的解集． (2)分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组． 考点二　含参数的一元二次不等式的解法 [典例2]　(北师大版必修第一册P38例4改编)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a<0)． [解]　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0． 因为a<0，所以原不等式化为(x＋1)≤0． 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当<－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1． 综上所述，当－2<a<0时，不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a<－2时，不等式的解集为 [母题探究] (变条件)在本例中，把“a<0”改成“a∈R”，解不等式． [解]　第1步　看二次项系数：二次项系数含参，则需要分系数为0、正、负三种情况讨论． 当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0，解得x≤－1． 第2步　因式分解：看含参二次不等式能否因式分解． 当a≠0时，不等式ax2－2≥2x－ax可化为(ax－2)(x＋1)≥0． 第3步　能因式分解则比较根的大小，不能则利用Δ：若能通过因式分解求出根，就比较两根大小，若不能使用因式分解求根，就应用判别式判断根的情况，并求根． 方程ax2－2＝2x－ax(a≠0)的两根为x1＝－1，x2＝ 当a>0时，原不等式可化为(x＋1)≥0， 解得x≥或x≤－1． 当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0． 当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当<－1，即－2<a<0时，解得≤x≤－1． 第4步　写解集：在参数的不同取值范围下，分别写出不等式对应的解集． 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a>0时，不等式的解集为； 当－2<a<0时，不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a<－2时，不等式的解集为 思维建模：含参数的一元二次不等式的解法 第1步　看二次项系数：二次项系数含参，则需要分系数为0、正、负三种情况讨论． 第2步　因式分解：看含参二次不等式能否因式分解． 第3步　能因式分解则比较根的大小，不能则利用Δ：若能通过因式分解求出根，就比较两根大小，若不能使用因式分解求根，就应用判别式判断根的情况，并求根． 第4步　写解集：在参数的不同取值范围下，分别写出不等式对应的解集． 【教用·备选题】 解关于x的不等式x2－ax＋1<0，a∈R． [解]　当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式的解集为∅， 当Δ＝a2－4>0，即a>2或a<－2时， 方程x2－ax＋1＝0的两根为x1＝，x2＝，原不等式的解集为． 综上可知，当－2≤a≤2时，原不等式的解集为∅， 当a>2或a<－2时，原不等式的解集为 【教用·通性通法】 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 考点三　三个二次的关系 [典例3]　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． [解]　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 由根与系数的关系可知 故＝－， 又由a<0知c<0，故不等式cx2＋bx＋a<0， 即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0， 解得x<或x>， 所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为 [母题探究] (变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是”．求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． [解]　法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为，知a<0， 且－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∴×2＝<0，－＋2＝－ ∴b＝－a，c＝－a， ∴不等式cx2＋bx＋a<0变为x2＋x＋a<0， 即2ax2＋5ax－3a>0． 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0， 故所求不等式的解集为 法二：由已知得a<0且－＋2＝－×2＝，则c>0， 设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， 其中＝＝－， －＝＝＝－， ∴x1＝－3，x2＝ ∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集为 通性通法：(1)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值． (2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数． 一元二次不等式恒成立问题 解决不等式恒成立问题，常用判别式法、分离参数法、转化法等，方法灵活多变，需根据具体条件求解． [典例4]　(1)若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，－2) C．(－2，2) D．(－2，2] (2)已知函数f (x)＝x2－2ax＋1≥0对任意x∈(0，2]恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A． B．[－1，1] C．(－∞，1] D． (3)若∀a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0恒成立，则实数x的取值范围为__________． (1)D　(2)C　(3)[－1，0]　[(1)当a＝2时，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0可化为－4<0，恒成立；当a≠2时，要使关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，只需 解得－2<a<2．故－2<a≤2．故选D． (2)(分离变量法)：f (x)＝x2－2ax＋1≥0对任意x∈(0，2]恒成立，即2a≤x＋在x∈(0，2]上恒成立．因为x＋≥2，当且仅当x＝1时x＋取最小值2，所以2a≤2，即a≤1．故选C． (3)(变更主元法)：把不等式的左端看成关于a的函数，令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，则由g(a)≥0对于∀a∈[－1，3]恒成立，得 即即 所以实数x的取值范围为[－1，0]] 1．(链接考点一)(2026·永州模拟)已知集合A＝，B＝{x|x2－3x＜0}，则A∪B＝(　　) A．{x|x≤2，或x≥3} B．{x|－2＜x＜3} C．{x|0＜x≤2} D．{x|x≤－2，或x≥3} B　[由≥1，可得－1≥0，即≥0，即≤0， 可化为(x－2)(x＋2)≤0，且x＋2≠0， 解得－2＜x≤2，所以A＝{x|－2＜x≤2}， 不等式x2－3x＜0可化为x(x－3)＜0， 解得0＜x＜3，所以B＝{x|0＜x＜3}， 所以A∪B＝{x|－2＜x＜3}． 故选B．] 2．(链接考点三)(多选)(2026·蚌埠模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(－∞，1)∪(5，＋∞)，则下列结论正确的是(　　) A．a>0 B．a＋b＋c>0 C．bx＋c>0的解集是 D．cx2－bx＋a<0的解集是 CD　[由题意可得1和5是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0， 由根与系数的关系可得1＋5＝－，1×5＝，得b＝－6a，c＝5a． 对于A，因为a<0，故A错误； 对于B，a＋b＋c＝a－6a＋5a＝0，故B错误； 对于C，不等式bx＋c>0，即－6ax＋5a>0，即6x－5>0，得x>， 所以不等式bx＋c>0的解集是，故C正确； 对于D，由不等式cx2－bx＋a<0，得a(5x2＋6x＋1)<0，即5x2＋6x＋1>0， 则(5x＋1)(x＋1)>0，解得x>－或x<－1， 即解集为，故D正确．故选CD．] 3．(链接考点二)解关于x的不等式ax2＋3x＋2>－ax－1(a>0)． [解]　不等式ax2＋3x＋2>－ax－1可化为ax2＋(a＋3)x＋3>0，即(ax＋3)(x＋1)>0． 因为a>0， 所以当－<－1，即0<a<3时，原不等式的解集为； 当－＝－1，即a＝3时，原不等式的解集为{x|x≠－1}； 当－>－1，即a>3时，原不等式的解集为 课时作业(六)　一元二次方程、不等式 一、单项选择题 1．(2026·长沙模拟)不等式＞0的解集为(　　) A． B． C． D． A　[不等式＞0可化为 ＜0，解得＜x＜， ∴原不等式的解集为 故选A．] 2．(2025·全国二卷)不等式≥2的解集是(　　) A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x＜1} D．{x|x＞1} C　[由≥2，得≥0，得≤0，得得－2≤x＜1，故选C．] 3．(2026·岳阳模拟)设集合A＝，B＝{x||x|≥2x＋1}，则A∩B＝(　　) A． B． C． D． D　[由不等式≤0，可得(4x＋1)(x＋2)≤0且x＋2≠0，解得－2＜x≤－， 所以A＝ 对于不等式|x|≥2x＋1， 当x≥0时，不等式化为x≥2x＋1， 解得x≤－1(舍去)， 当x＜0时，不等式化为－x≥2x＋1， 解得x≤－， 综上所述，不等式|x|≥2x＋1的解集为，所以B＝ 所以A∩B＝ 故选D．] 4．(2025·漳州期末)已知关于x的一元二次不等式x2＋bx＋c＞0的解集为{x|x≠－1}，则bc＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 D　[一元二次不等式x2＋bx＋c＞0的解集为{x|x≠－1}，则方程x2＋bx＋c＝0有两个相等的根x＝－1． 由于方程x2＋bx＋c＝0的根x1＝x2＝－1， 那么两根之和－1＋(－1)＝－，两根之积(－1)×(－1)＝，解得b＝2，c＝1． 可得bc＝2×1＝2． 故选D．] 二、多项选择题 5．(2025·兰州诊断)下列说法正确的是(　　) A．不等式4x2－5x＋1>0的解集是 B．不等式2x2－x－6≤0的解集是 C．若不等式ax2＋8ax＋21<0恒成立，则a的取值范围是∅ D．若关于x的不等式2x2＋px－3<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－ CD　[对于A，4x2－5x＋1>0，即(x－1)(4x－1)>0，解得x<或x>1，故A错误； 对于B，2x2－x－6≤0，即(x－2)(2x＋3)≤0，解得－≤x≤2，故B错误； 对于C，若不等式ax2＋8ax＋21<0恒成立， 当a＝0时，21<0是不可能成立的，所以只能而该不等式组无解，故C正确； 对于D，由题意得q，1是一元二次方程2x2＋px－3＝0的两根， 从而解得 而当p＝1时，一元二次不等式化为2x2＋x－3＜0，即(x－1)(2x＋3) ＜0， 解得－＜x＜1，满足题意， 所以p＋q的值为－，故D正确．] 6．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，则(　　) A．a＜0 B．a＋b＋c＝0 C．4a＋2b＋c＜0 D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集是 ABD　[由题意可知1，3是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a＜0，由根与系数的关系得解得 对于A，由以上可知a＜0，故A正确； 对于B，a＋b＋c＝a－4a＋3a＝0，故B正确； 对于C，4a＋2b＋c＝4a－8a＋3a＝－a＞0，故C错误； 对于D，不等式可变为3ax2＋4ax＋a＜0，且a＜0，即3x2＋4x＋1＞0，解集为，故D正确．故选ABD．] 三、填空题 7．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式(a－2)x2＋4(a－2)x＋3>0的解集为R，则实数a的取值范围是________． 　[当a－2＝0，即a＝2时，不等式为3>0恒成立，故a＝2符合题意；当a－2≠0，即a≠2时，不等式(a－2)x2＋4(a－2)x＋3>0的解集为R，则解得2<a<综上，实数a的取值范围是] 8．若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则实数a的值为________． 　[由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的两个实数根， 所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2． 又因为x2－x1＝15， 所以152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2． 又a＞0，解得a＝] 四、解答题 9．已知函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)只能同时满足下列三个条件中的两个： ①y＜0的解集为(－1，3)；②a＝－1；③y的最小值为－4． (1)请写出这两个条件的序号，并求函数y的解析式； (2)求关于x的不等式y≥(m－2)x＋2m2－3(m∈R)的解集． [解]　(1)若选①②，由a＝－1知函数图象开口向下，此时y＜0的解集不可能为(－1，3)，故不符合题意； 若选①③，因为y＜0的解集为(－1，3)，所以－1，3是方程ax2＋bx＋c＝0的根，所以函数图象的对称轴为直线x＝1， 由y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，则b＝－2a，c＝－3a，又因为y的最小值为－4， 所以当x＝1时，y＝－4a＝－4，解得a＝1，所以b＝－2，c＝－3，则y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3； 若选②③，由a＝－1知函数图象开口向下，则y无最小值，不符合题意． 综上，应选①③，且y＝x2－2x－3． (2)由y≥(m－2)x＋2m2－3(m∈R)，化简得x2－mx－2m2≥0，即(x＋m)(x－2m)≥0， 若m＜0，则不等式的解集为{x|x≤2m，或x≥－m}； 若m＝0，则不等式的解集为R； 若m＞0，则不等式的解集为{x|x≤－m，或x≥2m}． 综上，当m＜0时，不等式的解集为{x|x≤2m，或x≥－m}； 当m＝0时，不等式的解集为R； 当m＞0时，不等式的解集为{x|x≤－m，或x≥2m}． 阶段检测(一)　第1～6课时 一、单项选择题 1．(2025·保定期末)命题“∃x∈R，2 026ex＋x3＞0”的否定是(　　) A．∃x∈R，2 026ex＋x3≤0 B．∀x∈R，2 026ex＋x3≤0 C．∀x∉R，2 026ex＋x3≤0 D．∃x∉R，2 026ex＋x3＜0 B　[因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题“∃x∈R，2 026ex＋x3＞0”的否定为“∀x∈R，2 026ex＋x3≤0”． 故选B．] 2．(2025·武汉期末)已知集合A＝{x|0＜x＜3}，集合B＝{1，2，3，4}，则集合A∩B＝(　　) A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{2，3，4} A　[因为集合A＝{x|0＜x＜3}，集合B＝{1，2，3，4}， 根据交集的概念，可得A∩B＝{1，2}． 故选A．] 3．(2025·上海浦东新区期末)若a＞b，c∈R，则下列不等式一定成立的是(　　) A．a2－b2＞0 B．ac＞bc C．ac2＞bc2 D．2a＞2b D　[令a＝1，b＝－1，满足a＞b，但a2－b2＝0，故A错误； 令c＝0，ac＝bc，ac2＝bc2，故BC错误； a＞b，则2a＞2b，故D正确． 故选D．] 4．(2025·武汉月考)若命题“∃x∈[0，2]，x2≥m”是真命题，则(　　) A．m≤0 B．m≤4 C．m＞0 D．m＞4 B　[命题“∃x∈[0，2]，x2≥m”是真命题， 故当x∈[0，2]时，m≤(x2)max＝4． 故选B．] 5．(2026·宁波模拟)“≥0”是“|2x－1|≥3”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件　 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件 A　[∵≥0，∴∴x≥2或x＜－1， ∵|2x－1|≥3，∴2x－1≥3或2x－1≤－3，∴x≥2或x≤－1， ∵{x|x≥2，或x＜－1}{x|x≥2，或x≤－1}， ∴“≥0”是“|2x－1|≥3”的充分不必要条件． 故选A．] 6．(2025·宿迁期末)设a，b，c为实数，若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜1，或x＞3}，则b－的最大值为(　　) A．－ B． C．－ D． C　[因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜1，或x＞3}， 所以ax2＋bx＋c＝0的根为1，3，且a＞0， 则 即b＝－4a，c＝3a，a＞0， 则b－＝－4a－＝－≤－2·＝－，当且仅当4a＝，即a＝时取等号． 故选C．] 二、多项选择题 7．(2026·南昌模拟)已知集合A＝{x|ax≤6}，B＝{2，3}，下列结论正确的是(　　) A．若a＝0，则A＝R B．若a＝0，则A＝∅ C．若B⊆A，则a≤2 D．若B⊆A，则a可以取3 AC　[若a＝0，则任意实数x均满足0·x≤6，因此A＝R，故A正确，B错误； 若B⊆A，得解得a≤2， 即a的取值范围为(－∞，2]，所以a不可以取3， 故C正确，D错误． 故选AC．] 8．若正实数x，y满足2x＋y＝1，则(　　) A．xy有最大值 B．有最小值6＋4 C．4x2＋y2有最小值 D．4x＋2y有最小值2 ABC　[对于A，2x＋y＝1≥2，则xy≤，当且仅当2x＝y＝时，等号成立，故A正确． 对于B，＝＝＋6≥2＋6＝6＋4，当且仅当＝，即x＝，y＝2－时，等号成立，故B正确． 对于C，因为，所以4x2＋y2≥，当且仅当2x＝y＝时，等号成立，故C正确． 对于D，4x＋2y＝22x＋2y≥2＝2＝2，当且仅当2x＝y＝时，等号成立，故D错误．故选ABC．] 三、填空题 9．(2025·上海月考)已知实数a，b满足－2＜a＜－1，2＜b＜3，则3a－2b的取值范围为________． (－12，－7)　[∵－2＜a＜－1，2＜b＜3，∴－6＜3a＜－3，－6＜－2b＜－4， ∴－12＜3a－2b＜－7， 故3a－2b的取值范围为(－12，－7)．] 10．命题“∃x∈R，(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0”为假命题，则实数a的取值范围为________． 　[由题意可知，命题“∀x∈R， (a2－4)x2＋(a＋2)x－1<0”为真命题． ①当a2－4＝0时，可得a＝±2． 若a＝－2，则－1<0，符合题意； 若a＝2，则4x－1<0，解得x<，不符合题意； ②若a2－4≠0，则 解得－2<a< 综上所述，实数a的取值范围是] 四、解答题 11．集合A＝，集合B＝{x∈Z||x－2|≤2}． (1)求A； (2)求B的子集个数； (3)求B∩∁RA． [解]　(1)由≤2，可得－2＝≤0，则解得－1＜x≤2．故A＝{x|－1＜x≤2}． (2)由|x－2|≤2，得0≤x≤4．又x∈Z，所以B＝{0，1，2，3，4}．所以B的子集个数为25＝32． (3)由A＝{x|－1＜x≤2}，得∁RA＝{x|x≤－1，或x＞2}．所以B∩∁RA＝{3，4}． 12．珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，由于需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入x(1<x<10)万元，珍珠棉的销售量可增加p＝吨，每吨的销售价格为万元，另外每生产1吨珍珠棉还需要投入其他成本0.5万元． (1)写出该公司本季度增加的利润y与x(单位：万元)之间的函数关系； (2)当x为多少万元时，该公司在本季度增加的利润最大？增加的利润最大为多少万元？ [解]　(1)由题意，列出函数关系式可得，y＝p－x－0.5p＝2.5p－x－8(1<x<10)． 又因为p＝，所以y＝－x－8(1<x<10)， 所以该公司本季度增加的利润y与x之间的函数关系为y＝－x－8(1<x<10)． (2)y＝－x－8＝18－， 因为1<x<10，所以2<x＋1<11， 由基本不等式可得， ＋(x＋1)≥2＝10， 当且仅当＝x＋1，即x＝4时等号成立， 所以y≤18－10＝8，当x＝4万元时，该公司本季度增加的利润最大，最大为8万元． 学科网（北京）股份有限公司 $