01 第一章 第1课时 集合-【名师导航】2027年高考数学一轮总复习教师用书

该高中数学高考复习讲义聚焦集合核心考点，涵盖元素与集合的特性及表示、集合间的关系（子集、真子集、相等）、集合的运算（交并补），严格对标考试要求。知识点按“元素-关系-运算”逻辑架构，结合常用结论（子集个数、运算性质）系统梳理，通过考点分析、典例精讲、真题训练、分层练习四环节，帮助学生构建知识网络，突破互异性检验、空集讨论等难点。 讲义突出数学抽象与逻辑推理素养，如元素互异性验证时引导学生分类讨论参数取值，集合关系判断中用数轴直观呈现区间端点，运算问题结合Venn图分析。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合即时反馈，确保高效突破考点，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

集合、常用逻辑用语、不等式 (这是边文，请据需要手工删加) 第1课时　集合 [考试要求]　1．了解集合的含义，了解全集、空集的含义．2．理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系．3．会求两个集合的并集、交集与补集．4．能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算． 知识点1　元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉． (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常用数集及记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 知识点2　集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集．记作A⊆B(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)． (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． (4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 知识点3　集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A相对于全集U的补集为∁UA 图形 表示 集合 表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} [常用结论] 1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB． 3．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)， ∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 1．(人教A版必修第一册P9习题1.2T1(2))若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论错误的是(　　) A．1∈A B．{－1}⊆A C．∅⊆A D．{－1，1}∉A [答案]　D 2．(人教B版必修第一册P11例2)已知区间A＝(－∞，2]和B＝(－∞，a)，且B⊆A，求实数a的取值范围． [解]　因为集合B的元素都是集合A的元素，所以可用数轴表示它们的关系，如图所示． 从而可知a≤2． 3．(苏教版必修第一册P14例1)已知A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，求A∩B 和A∪B． [解]　A∩B＝{－1，0，1}∩{0，1，2，3}＝{0，1}； A∪B＝{－1，0，1}∪{0，1，2，3}＝{－1，0，1，2，3}． 4．(北师大版必修第一册P7例4改编)已知集合A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B的真子集个数为________． 7　[对于集合A＝{x|x＝2n，n∈Z}，当n＝0时，x＝1；当n＝1时，x＝2；当n＝2时，x＝4，且B＝{1，2，3，4}，所以A∩B＝{1，2，4}，即A∩B中有3个元素，则其真子集的个数为23－1＝7．] 考点一　集合的含义与表示 [典例1]　(多选)下列说法正确的是(　　) A．已知集合A＝{a－2，a2＋4a，12}，且－3∈A，则a的值为－3 B．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中有3个元素 C．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x∈N*，且x－1∈A}，则B＝{1，2，3} D．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中含有10个元素 ACD　[对于A，集合A＝{a－2，a2＋4a，12}，且－3∈A， ①当a－2＝－3时，a＝－1， 所以a2＋4a＝1－4＝－3， 此时集合A＝{－3，－3，12}，不满足集合中元素的互异性，故不符合题意，舍去； ②当a2＋4a＝－3时，a＝－1或－3， 若a＝－1，则a－2＝－3，此时集合A＝{－3，－3，12}，不满足集合中元素的互异性，故不符合题意，舍去， 若a＝－3，则a－2＝－5，此时集合A＝{－5，－3，12}，符合题意， 综上所述，a＝－3，故A正确． 对于B，因为A＝{0，1，2}，a∈A，b∈A， 所以ab＝0或ab＝1或ab＝2或ab＝4， 故B＝{ab|a∈A，b∈A}＝{0，1，2，4}， 即集合B中有4个元素， 故B错误． 对于C，因为A＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x∈N*，且x－1∈A}，所以B＝{1，2，3}，故C正确． 对于D，当x＝5时，y＝1，2，3，4， 当x＝4时，y＝1，2，3， 当x＝3时，y＝1，2， 当x＝2时，y＝1， 综上知，B中的元素个数为10，故D正确． 故选ACD．] 易错提醒：在解答集合问题时，要注意集合中元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制． 【教用·通性通法】 (1)研究集合问题时，首先要明确集合是数集、点集，还是其他集合，再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 考点二　集合间的基本关系 [典例2]　(1)(2026·杭州西湖区模拟)设集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝6k－1，k∈Z}，则(　　) A．A⊆B B．B⊆A C．A＝B D．A∩B＝A (2)(人教A版必修第一册P9习题1.2T5(2)改编)已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|1<x<2}，若BA，则实数a的取值范围为(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．(－∞，1) (1)B　(2)B　[(1)集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}， B＝{x|x＝6k－1，k∈Z}＝{x|x＝3×2k－1，k∈Z}， 则集合B是集合A的子集，即B⊆A． 故选B． (2)因为A＝{x|x>a}，B＝{x|1<x<2}，且BA，用数轴表示其关系如图，所以实数a的取值范围为(－∞，1]．故选B． ] [母题探究] 1．(变条件)若本例(2)条件变为：已知集合A＝{x|2a－3≤x≤a}，B＝{x|1<x<2}．若A⊆B，则实数a的取值范围为________． (3，＋∞)　[因为A＝{x|2a－3≤x≤a}，B＝{x|1<x<2}，且A⊆B，用数轴表示其关系如图． ①当A＝∅时，2a－3>a，则a>3，满足题意； ②当A≠∅时，即所以a不存在． 综上所述，实数a的取值范围为(3，＋∞)．] 2．(变条件)若本例(2)条件变为：已知集合A＝{x|－a≤x<a}，B＝{－1，0，1，3}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________． (3，＋∞)　[因为B⊆A，用数轴表示其关系如图．所以即a>3．所以实数a的取值范围为(3，＋∞)． ] 易错提醒：(1)若B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论． (2)已知两个集合间的关系求参数时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解． 【教用·通性通法】 (1)若B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论． (2)已知两个集合间的关系求参数的取值范围时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围．注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论．求得参数的取值范围后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解． 考点三　集合的运算 [典例3]　(2025·全国一卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为(　　) A．0 B．3 C．5 D．8 C　[U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}，故∁UA＝{2，4，6，7，8}，故∁UA中有5个元素．故选C．] [考题探源] (人教A版必修第一册P13例5)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求∁UA，∁UB． [解] 　根据题意可知，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁UA＝{4，5，6，7，8}，∁UB＝{1，2，7，8}． 易错提醒：易混淆交集与并集的运算以及求补集时端点处的取舍致误． [多维变迁] 1．(2024·北京卷)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x<4}，则M∪N＝(　　) A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－3} C．{x|－3<x<4} D．{x|x<4} C　[由集合的并运算，得M∪N＝{x|－3<x<4}．] 2．设集合A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{1，2，3，5} B．{2，3，5} C．{1，2，5} D．{3} C　[因为A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，所以A∩B＝{3}，A∪B＝{1，2，3，5}， 所以阴影部分表示的集合为∁A∪B(A∩B)＝{1，2，5}． 故选C．] 3．(2025·合肥质检)已知集合A＝{x|x2≤4}，B＝{x|a－1≤x≤a＋1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________． (－∞，－3)∪(3，＋∞)　[由题意得，A＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|a－1≤x≤a＋1}，因为A∩B＝∅，所以a＋1＜－2或a－1＞2，得a＜－3或a＞3，则实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．] 【教用·备选题】 已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) B　[因为集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，且A∩B＝∅，所以a－1≤1，解得a≤2．即实数a的取值范围是(－∞，2]．故选B．] 【教用·通性通法】 集合的基本运算的关注点 (1)集合是由元素组成的，从集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可简化问题，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图． (4)根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解． 集合的新定义 解决集合新定义问题的关键 (1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，再应用到具体的解题过程中． (2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素． [典例4]　(多选)(2025·哈尔滨月考)当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M＝{x|ax2－1＝0}，N＝，若M与N“相交”，则实数a＝(　　) A．4 B．2 C．1 D．0 AC　[根据题意知a＞0，＝或＝1， ∴a＝4或a＝1． 故选AC．] 【教用·教材拓展】 容斥原理 在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题．一般地，若有限集合A＝{a1，a2，…，an}，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数． 关于集合中的元素个数有下面的关系： (1)二元容斥原理：crad(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． (2)三元容斥原理：card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(C∩A)＋card(A∩B∩C)． [典例]　(1)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A．62% B．56% C．46% D．42% (2)某学校教师中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若至少会其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为________． (1)C　(2)20　[(1)设集合A＝{x|x是喜欢足球的学生}，集合B＝{x|x是喜欢游泳的学生}，不妨设该中学有100名学生，则card(A∪B)＝96，card(A)＝60，card(B)＝82．由二元容斥原理可得card(A∩B)＝card(A)＋card(B)－card(A∪B)＝60＋82－96＝46，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．故选C． (2)设A＝{x|x是会打乒乓球的教师}， B＝{x|x是会打羽毛球的教师}， C＝{x|x是会打篮球的教师}． 根据题意得card(A)＝30，card(B)＝60，card(C)＝20，card(A∪B∪C)＝80，card(A∩B∩C)＝5， 根据三元容斥原理得card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(C∩A)＋card(A∩B∩C)，有card(A∩B)＋card(B∩C)＋card(C∩A)＝35， 而card(A∩B)＋card(B∩C)＋card(C∩A)中把A∩B∩C的区域计算了3次， 故要减掉这3次，才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数． 因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为35－3×5＝20．] 1．(链接考点三)(2025· 八省联考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝(　　) A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{－1，0，1，4} C　[因为集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，所以A∩B＝{0，1}．故选C．] 2．(链接考点一)(2025·哈尔滨二模)设集合A＝{x|2x－1＞m}，若2∈A，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，3] B．[3，＋∞) C．(－∞，3) D．(3，＋∞) C　[因为A＝{x|2x－1＞m}，2∈A， 所以2×2－1＞m， 解得m＜3． 故选C．] 3．(链接考点二)(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则实数a＝(　　) A．2 B．1 C． D．－1 B　[依题意，有a－2＝0或2a－2＝0．当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B．所以a＝1，故选B．] 4．(新定义) (2025·广州调研改编)若集合A＝，B＝{x|x>1}，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，则A－B＝________． 　[由A＝，B＝{x|x>1}，A－B＝{x|x∈A，且x∉B}， 则A－B＝] 课时作业(一)　集合 一、单项选择题 1．(2025·合肥期末)已知U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{0，1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁UB)＝(　　) A．{0，5} B．{1，5} C．{0，1，5} D．{0，1} D　[U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{0，1，2}，B＝{2，3，4}， 则∁UB＝{0，1，5}，A∩(∁UB)＝{0，1}． 故选D．] 2．(2025·沈阳三模)已知集合A＝{1，2}，B＝{x2－y2|x，y∈A}，则下列判断错误的是(　　) A．1∈B B．0∈B C．3∈B D．－3∈B A　[∵A＝{1，2}，B＝{x2－y2|x，y∈A}， ∴B＝{－3，0，3}，∴1∉B，0∈B，3∈B，－3∈B，A错误． 故选A．] 3．已知集合A{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A的个数有(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 D　[根据题意，A是{1，2，3}的真子集，且A中至少有一个奇数， 则这样的集合A有{1}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}，共5个， 故选D．] 4．(人教A版必修第一册P13练习T3改编)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3，或x≥4} C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤3} D　[阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．] 5．(2025·全国二卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(　　) A．{0，1，2} B．{1，2，8} C．{2，8} D．{0，1} D　[由题可得B＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}，故选D．] 6．(2026·连云港模拟)已知集合A＝{－1，0，2}，B＝{x|1－mx>0}，若A⊆B，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1，＋∞) B． C． D．(－∞，－1) C　[由题意，因为A⊆B， 所以⇒－1<m<故选C．] 二、多项选择题 7．(2025·武威月考)下面四个说法中不正确的是(　　) A．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7} B．由2，3组成的集合可表示为{2，3}或{3，2} C．方程x2－4x＋4＝0的所有解组成的集合是{2，2} D．∅与{∅}表示同一个集合 CD　[10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故A正确； 2，3组成的集合可表示为{2，3}或{3，2}，故B正确； x2－4x＋4＝0的所有解组成的集合是{2}，故C错误； ∅：不含有任何元素的集合，{∅}：仅含有一个元素∅的集合，故D错误． 故选CD．] 8．(2025·新乡三模)已知非空数集M具有如下性质： ①若x，y∈M，则∈M； ②若x，y∈M，则x＋y∈M． 下列说法中正确的有(　　) A．－1∈M B．2 025∈M C．若x，y∈M，则xy∈M D．若x，y∈M，则x－y∈M BC　[对于A，若－1∈M，则＝1∈M， 则1＋(－1)＝0∈M，显然0∉M，A错误； 对于B，M是非空集合，若x∈M，则＝1∈M，1＋1＝2∈M，1＋2＝3∈M，所以2 025∈M，B正确； 对于C，因为1∈M，y∈M，所以∈M，所以＝xy∈M，C正确； 对于D，若x＝1，y＝2，则x－y＝－1∉M，D错误．故选BC．] 9．(2025·鹤壁一模)已知集合M＝{x|x≥2}，N＝{x|y＝ln (2x－6)}，则下列结论正确的是(　　) A．M∩N＝M B．M∪N＝M C．(∁RN)∩M＝{x|2≤x≤3} D．(∁RM)∩N＝∅ BCD　[由M＝{x|x≥2}，N＝{x|y＝ln (2x－6)}＝{x|x＞3}， M∩N＝{x|x＞3}＝N，A错误， M∪N＝{x|x≥2}＝M，B正确， ∁RM＝{x|x＜2}，∁RN＝{x|x≤3}， (∁RN)∩M＝{x|x≤3}∩{x|x≥2}＝{x|2≤x≤3}，C正确， (∁RM)∩N＝{x|x＜2}∩{x|x＞3}＝∅，D正确． 故选BCD．] 三、填空题 10．(2025·郑州月考)已知全集U＝{x|－2≤x≤3}，集合A＝{x|－1＜x＜0，或2＜x≤3}，则∁UA＝________． {x|－2≤x≤－1，或0≤x≤2}　[∵全集U＝{x|－2≤x≤3}，集合A＝{x|－1＜x＜0，或2＜x≤3}， ∴∁UA＝{x|－2≤x≤－1，或0≤x≤2}．] 11．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为________． 4　[根据题意，A∩B中的元素是直线x＋y＝8上满足x，y∈N*且y≥x的点，即点(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，共4个．] 12．(2025·南通调研)定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，若集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊙B中所有元素之和为________． 18　[当x＝0时，y＝2，3，对应的z＝0； 当x＝1时，y＝2，3，对应的z＝6，12， 即集合A⊙B＝{0，6，12}， 故集合A⊙B的所有元素之和为18．] 学科网（北京）股份有限公司 $