02 第一章 第2课时 常用逻辑用语-【名师导航】2027年高考数学一轮总复习教师用书

该高中数学讲义聚焦常用逻辑用语高考核心考点，涵盖充分必要条件判断与应用、全称量词与存在量词命题等内容，按概念梳理、方法提炼、命题转化的逻辑层次构建知识体系。通过考点拆解、通性通法指导、真题典例精讲及变式训练，帮助学生突破条件判断、量词否定等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料突出逻辑推理与数学抽象素养培养，如用集合关系理解充分必要性，设计母题探究变条件深化应用。设置基础到综合的分层练习，配合易错提醒与即时反馈，确保高效突破考点。既助力学生形成严谨思维，又为教师提供精准复习节奏把控方案，提升应考能力。

第2课时　常用逻辑用语 [考试要求]　1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 知识点1　充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qD⇏p p是q的必要不充分条件 pD⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pD⇏q且qD⇏p 知识点2　全称量词与存在量词 　(1)全称量词命题与存在量词命题 全称量词命题 存在量词命题 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x)，是存在量词命题 ∀x∈M，¬p(x)，是全称量词命题 (2)常见词语的否定 词语 是 都是 大于 小于 词语 的否定 不是 不都是 小于或等于 大于或等于 词语 且 至少有n个 至多有一个 所有x都成立 词语的 否定 或 至多有n－1个 至少有两个 存在一个x不成立 [常用结论] 从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则： (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． (4)p是q的既不充分也不必要条件⇔A与B没有包含关系． 1．(北师大版必修第一册P17例3)在下列各题中，试判断p是q的什么条件． (1)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (2)p：a＝b，q：|a|＝|b|； (3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形． [解]　(1)因为命题“若A⊆B，则A∩B＝A”为真命题，并且“若A∩B＝A，则A⊆B”也为真命题，所以p是q的充要条件． (2)因为“a＝b”⇒“|a|＝|b|”，但是“|a|＝|b|”不能推出“a＝b”，例如，“|1|＝|－1|”，而“1≠－1”，所以p是q的充分不必要条件． (3)因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”，并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”，所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件． 2．(人教A版必修第一册P30例4(3))命题“有一个偶数是素数”的否定是________． [答案]　任意一个偶数都不是素数 3．(人教B版必修第一册P28练习BT4(1))“∀x∈[a，＋∞)，x2≥1”是真命题，则实数a的取值范围是________． [1，＋∞)　[∵x2≥1，即x≥1或x≤－1，且原命题是真命题，∴实数a的取值范围是[1，＋∞)．] 4．(人教A版必修第一册P34复习参考题1T4(3))x∈A是x∈A∩B的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[若x∈A，但x不一定同时属于集合B，即由“x∈A”推不出“x∈A∩B”，所以“x∈A”不是“x∈A∩B”的充分条件；如果x∈A∩B，那么x既在集合A中又在集合B中，所以一定有x∈A，即由“x∈A∩B”可以推出“x∈A”，所以“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件．故选B．] 考点一　充分条件、必要条件及充要 条件的判断 [典例1]　(1)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“1＜x＜2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(多选)已知关于x的方程x2＋ax＋a＋3＝0，则(　　) A．当a＝2时，方程有两个不相等的实数根 B．方程无实数根的一个充分条件是－2<a<4 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是a>6 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是a<－4 (1)B　(2)BC　[(1)由|x－2|＜1可得－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3． 所以由|x－2|＜1推不出1＜x＜2，故充分性不成立，由1＜x＜2可推出|x－2|＜1，故必要性成立，所以“|x－2|＜1”是“1＜x＜2”的必要不充分条件． (2)对于A，当a＝2时，x2＋2x＋5＝0，此时Δ＝22－4×1×5＝－16<0， 方程没有实数根，故A错误； 对于B，方程无实数根的充要条件是Δ＝a2－4×1×(a＋3)<0，即－2<a<6， 因为{a|－2＜a＜4}{a|－2＜a＜6}，故B正确； 对于C，方程有两个不相等的负根的充要条件是 解得a>6，故C正确； 对于D，方程有一个正根和一个负根的充要条件是 解得a<－3，故D错误． 故选BC．] 易错提醒：厘清一个关系：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，而B不能推出A，要注意上述两种说法的不同． 【教用·通性通法】 充分条件、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止． 考点二　充分条件、必要条件及充要条件的应用 [典例2]　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． [解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或解得m≤3． 又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}． [母题探究] 1．(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围． [解]　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的充分不必要条件， 所以{x|－2≤x≤10}{x|1－m≤x≤1＋m}． 所以或 解得m≥9， 即实数m的取值范围是{m|m≥9}． 2．(变条件)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． [解]　因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)， 若p是q的充要条件，则无解， 故不存在实数m，使得p是q的充要条件． 通性通法：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 考点三　全称量词命题与存在量词 命题及其否定 [典例3]　(2025·郑州期末)已知命题p“∃x∈[0，3]，x2－2x－a＞0”，若p为假命题，则实数a的最小值是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．3 D　[因为p为假命题，所以命题¬p“∀x∈[0，3]，x2－2x－a≤0”为真命题， 即x2－2x－a≤0在x∈[0，3]上恒成立， 即a≥x2－2x在x∈[0，3]上恒成立， 记f (x)＝x2－2x，x∈[0，3]，则a≥f (x)max， 因为f (x)＝x2－2x在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，所以f (x)max＝f (3)＝3， 所以a≥3，所以实数a可取的最小值是3． 故选D．] 易错提醒：(1)含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”． (2)直接由命题的真假不易求参数的范围，可利用等价命题求参数的范围． 【教用·通性通法】 含量词命题的解题策略 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假． (2)对全称量词命题或存在量词命题进行否定时，一是改变量词符号，二是对结论进行否定，即“改变量词，否定结论”． (3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围． [多维变迁] 1．(人教A版必修第一册P32习题1.5T3(3)改编)命题“∃x∈∁RQ，x2－∈Q”的否定是(　　) A．∃x∈∁RQ，x2－∉Q B．∃x∈Q，x2－∈Q C．∀x∈∁RQ，x2－∈Q D．∀x∈∁RQ，x2－∉Q D　[因为原命题为存在量词命题， 故否定是∀x∈∁RQ，x2－∉Q． 故选D．] 2．(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x．则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 B　[对于命题p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题；对于命题q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题．综上，¬p和q都是真命题．故选B．] 1．(链接考点一)(人教A版必修第一册P23习题1.4T2(1)改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”，但反之不成立．故选A．] 2．(链接考点一)(2024·北京卷)设a，b是向量，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[由(a＋b)·(a－b)＝0，得a2－b2＝0，即|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，当a＝(1，1)，b＝(－1，1)时，|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，故充分性不成立；当a＝－b或a＝b时，(a＋b)·(a－b)＝0，故必要性成立．所以“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的必要不充分条件．] 3．(链接考点一、二、三)(多选)(2025·连云港海州区开学考试)下列说法中正确的有(　　) A．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2＜0，则命题p的否定是∀x∈R，x2＋2x＋2≥0 B．“|x|＞|y|”是“x＞y”的必要条件 C．命题“∀x∈Z，x2＞0”是真命题 D．“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件 AD　[对于A，命题p的否定是∀x∈R，x2＋2x＋2≥0，故A正确． 对于B，|x|＞|y|不能推出x＞y，例如|－2|＞|1|，但－2＜1；x＞y也不能推出|x|＞|y|，例如2＞－3，而|2|＜|－3|； 所以“|x|＞|y|”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，故B错误． 对于C，当x＝0时，x2＝0，故C错误； 对于D，关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根⇔⇔m＜0， 所以“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正一负根”的充要条件，故D正确． 故选AD．] 4．(链接考点三)(2025·常州期中)若命题∃x∈(0，＋∞)，x2＋ax＋1＜0为假命题，则实数a的取值范围是________． [－2，＋∞)　[因为∃x∈(0，＋∞)，x2＋ax＋1＜0为假命题， 故∀x∈(0，＋∞)，x2＋ax＋1≥0是真命题， 即a≥－x－在x∈(0，＋∞)上恒成立， 根据基本不等式可得y＝x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立， 所以－x－≤－2，故a≥－2．] 课时作业(二)　常用逻辑用语 一、单项选择题 1．(2025·邹城市月考)命题“∀x＞0，ex＋1≤3x”的否定是(　　) A．∃x≤0，ex＋1＞3x B．∃x＞0，ex＋1≤3x C．∃x＞0，ex＋1＞3x D．∀x＞0，ex＋1＞3x C　[命题“∀x＞0，ex＋1≤3x”为全称量词命题， 根据全称量词命题的否定可得原命题的否定为∃x＞0，ex＋1＞3x． 故选C．] 2．(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[根据幂函数的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以二者互为充要条件． 故选C．] 3．下列说法正确的是(　　) A．“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题 B．“xy>0”是“x＋y>0”的充要条件 C．命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1<0” D．若“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m－2<x<m＋2”，则实数m的取值范围是[1，3] D　[x＝是无理数，x2＝2是有理数，A错误； 当x＝－2，y＝－1时，xy>0，但x＋y＝－3<0，不是充要条件，B错误； 命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤0”，C错误； “1<x<3”的必要不充分条件是“m－2<x<m＋2”，则两个不等式的等号不同时取到，解得1≤m≤3，D正确．] 4．(2025·武汉开学考试)若命题“∀x∈[0，2]，x2－m≥0”是假命题，则(　　) A．m≤0 B．m≤4 C．m＞0 D．m＞4 C　[因为命题“∀x∈[0，2]，x2－m≥0”是假命题， 则∃x∈[0，2]，x2－m＜0”是真命题，即∃x∈[0，2]，m＞x2， 又0≤x2≤4， 则当x∈[0，2]时，m＞(x2)min＝0． 故选C．] 5．(2025·长春四模)已知命题p：∀x∈R，|x|＞0，命题q：∃x＞0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．p和¬q都是真命题 C．¬p和q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 C　[对于命题q，x3＝x，解得x＝0，x＝－1或x＝1＞0， 所以q：∃x＞0，x3＝x，为真命题，¬q为假命题； 对于命题p，当x＝0时，|x|＝0， 所以p：∀x∈R，|x|＞0为假命题，¬p为真命题； 所以¬p和q都是真命题． 故选C．] 6．(2025·重庆月考)已知p：x2－x－6＞0，q：4x＋m＜0，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　) A．(4，＋∞) B．[8，＋∞) C．(－∞，6] D．(－∞，6) B　[由x2－x－6＞0，得x＞3或x＜－2，p：x∈(－∞，－2)∪(3，＋∞)， 由4x＋m＜0，得x＜－，q：x∈， 若p是q的必要不充分条件，则qp，即－≤－2， 解得m≥8， 故实数m的取值范围为[8，＋∞)． 故选B．] 二、多项选择题 7．(北师大版必修第一册P22例7改编)关于命题p：∃x∈N，6x2－7x＋2≤0，下列说法正确的是(　　) A．该命题是全称量词命题，且为真命题 B．该命题是存在量词命题，且为假命题 C．¬p：∀x∈N，6x2－7x＋2>0 D．¬p：∀x∉N，6x2－7x＋2>0 BC　[命题p为存在量词命题，由6x2－7x＋2≤0，得≤x≤，所以p为假命题．¬p：∀x∈N，6x2－7x＋2>0．故选BC．] 8．(2025·宜春期末)(x－2)(x＋2)＞0的一个充分不必要条件是(　　) A．x＞2或x＜－2 B．x＜－3或x＞3 C．x≥3 D．x≥0 BC　[(x－2)(x＋2)＞0，即x＜－2或x＞2， 所以x＞2或x＜－2是(x－2)(x＋2)＞0的充要条件，故A错误； x＜－3或x＞3和x≥3是(x－2)(x＋2)＞0的充分不必要条件，故BC正确； x≥0是(x－2)(x＋2)＞0的既不充分也不必要条件，故D错误． 故选BC．] 9．(人教A版必修第一册P31例5改编)下列命题的否定是假命题的是(　　) A．∃m∈N，∈N B．菱形都是平行四边形 C．∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实数根 D．平面四边形ABCD的内角和等于360° ABD　[由于原命题和其否定的真假完全相反，所以题干中“下列命题的否定是假命题”等价于“下列命题是真命题”．对于A，当m＝0时，＝1∈N，则A中命题为真命题，故A符合题意；选项B显然符合题意；对于C，因为Δ＝a2＋4>0恒成立，所以不存在a∈R，使得一元二次方程x2－ax－1＝0没有实数根，故C不符合题意；选项D显然符合题意．故选ABD．] 三、填空题 10．(2025·沈阳质测)“sin x＝1”的一个充分不必要条件是______． x＝(答案不唯一)　[当x＝时，sin x＝1，由sin x＝1可得x＝＋2kπ，k∈Z，故“sin x＝1”的一个充分不必要条件是“x＝”．] 11．(人教A版必修第一册P32习题1.5T6改编)已知“若x>1，则2x＋1>λ”是假命题，则实数λ的取值范围是________． (3，＋∞)　[因为“若x>1，则2x＋1>λ”是假命题，所以“∃x>1，2x＋1≤λ”是真命题．因为当x>1时，2x＋1>3，所以实数λ的取值范围是(3，＋∞)．] 12．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5改编)已知命题p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 　[设A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}，由p是q的充分不必要条件，可知AB， ∴或解得0≤a≤，故实数a的取值范围是．] 学科网（北京）股份有限公司 $