03 第一章 第3课时 等式性质与不等式性质-【名师导航】2027年高考数学一轮总复习教师用书

该高中数学高考复习讲义聚焦等式性质与不等式性质核心考点，按比较大小方法、不等式性质及常用结论构建知识体系，通过考点梳理（表格归纳作差作商法、8条性质）、方法指导（通性通法总结）、真题训练（改编题与典例精讲）三环节，帮助学生突破大小比较、性质应用难点，体现复习系统性与针对性。 资料采用问题驱动与分层训练结合的创新教学法，如在不等式性质综合应用中，通过母题探究设置变式训练，引导学生用整体代换思想求范围，培养数学思维中的推理能力与数学语言中的模型意识。课时作业分基础巩固、能力提升、综合应用层次，配合即时反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第3课时　等式性质与不等式性质 [考试要求]　1．掌握等式性质．2．会比较两个数的大小．3．理解不等式的性质，并能简单应用． 知识点1　两个实数比较大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 a＞b a－b＞0 ＞1(a，b＞0)或＜1(a，b＜0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a＜b a－b＜0 ＜1(a，b＞0)或＞1(a，b＜0) 知识点2　不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)； 性质8　同正可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)． [常用结论] 1．倒数性质 若ab＞0，则a＞b⇒＜； 若ab＜0，则a＞b⇒＞ 2．若a>b>0，m>0，则 (1)真分数性质：<<(b－m>0)， 即真分数越加越大，越减越小； (2)假分数性质：<<(b－m>0)， 即假分数越加越小，越减越大． 1．(苏教版必修第一册P53例3改编)设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为________． M>N　[M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1>0．故M>N．] 2．(人教A版必修第一册P43习题2.1T8)下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b>0，则 ac2>bc2 B．若a>b>0，则a2>b2 C．若a<b<0，则a2<ab<b2 D．若a<b<0，则< B　[对于A，若a>b>0，则当c＝0时，显然ac2>bc2不成立，故A错误； 对于B，若a>b>0，则a2>b2成立，故B正确； 对于C，若a<b<0，则a2>b2，故C错误； 对于D，若a<b<0，则＝>0， 所以>，故D错误．故选B．] 3．(人教B版必修第一册P81习题2－2BT3节选)已知a∈(1，3)，b∈(2，3)，则a－2b的取值范围是________． (－5，－1)　[由b∈(2，3)得－6<－2b<－4，又1<a<3，故－5<a－2b<－1．] 4．(人教A版必修第一册P43习题2.1T10)已知b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，再添加m克糖(m＞0，假设全部溶解)，糖水变甜了，这一事实用不等式可表示为(　　) A．＞　　　　 B．＞ C．＜ D．＜ D　[这一事实用不等式可表示为＜ 下面证明不等式成立： ∵＝＝， 又∵b＞a＞0，m＞0， ∴b(b＋m)＞0，m(a－b)＜0，即＜0， ∴＜0，即＜故选D．] 考点一　数(式)的大小比较 [典例1]　(多选)下列不等式中正确的是(　　) A．x2－2x>－3(x∈R) B．若a＝，b＝，则a＞b C．a2＋b2>2(a－b－1) D．<(b>a>0) ABD　[对于A，∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2－2x>－3，故A正确． 对于B，法一(作商法)：∵a＝＞0，b＝＞0，∴＝＝＝＝log89＞1， ∴a＞b． 法二(作差法): a－b＝＝(2ln 3－3ln 2)＝(ln 9－ln 8)＞0，即a＞b．故B正确． 对于C，∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误． 对于D，＝， ∵b>a>0，∴>0，∴<，故D正确．] 通性通法：比较两个数(或式子)的大小可以利用不等式的性质直接判断，也可以用作差法或作商法．作差法的关键是将差“变形”为完全平方或几个因式的积(商)的形式．作商法的关键变形是分母有理化或变为幂的形式． 【教用·通性通法】 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． 考点二　不等式的基本性质 [典例2]　(1)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题错误的是(　　) A．若a>b>0，则a－>b－ B．若b<a<0，则> C．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c D．若a＞b，c＞d＞0，则＞ (2)(多选)(2025·保定期中)若a＜0＜b，且a＋b＞0，则下列说法正确的是(　　) A．＞－1 B．＞0 C．a2＜b2 D．a－>b－ (1)D　(2)AC　[(1)对于A，∵a>b>0，∴<，∴－＞－，∴a－＞b－，故A正确； 对于B，若b<a<0，则－b>－a>0，∴<，则>，故B正确； 对于C，∵a＞b，c＞d， ∴由不等式的可加性可得a＋c＞b＋d，即a－d＞b－c，故C正确； 对于D，令a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，满足a＞b，c＞d＞0，但＝，故D错误． 故选D． (2)A中，因为a＜0＜b，且a＋b＞0，两边同时除以b， 所以＋1＞0，即＞－1，所以A正确； B中，由题意可得ab＜0，a＋b＞0两边同时除以ab， 则＜0，所以B不正确； C中，由题意可得|b|＞|a|，所以b2＞a2，所以C正确； D中，取a＝－2＜0＜b＝3，a＋b＝1＞0，则a－＝－＜b－＝，故D错误．故选AC．] 易错提醒：利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意应用性质的条件． 【教用·通性通法】 利用不等式的性质判断命题真假的两种方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 考点三　不等式性质的综合应用 [典例3]　(多选)(2025·西安雁塔区校级月考)已知实数a，b满足－3＜a＋2b＜2，－1＜2a－b＜4，则(　　) A．－1＜a＜2 B．－2＜b＜1 C．－2＜a＋b＜2 D．－2＜a－b＜4 ABC　[因为－3＜a＋2b＜2，－1＜2a－b＜4，所以－2＜4a－2b＜8， 所以－5＜5a＜10，即－1＜a＜2，A正确； 由－3＜a＋2b＜2，可得－4＜－2a－4b＜6， 又－1＜2a－b＜4，则－5＜－5b＜10，即－2＜b＜1，B正确； a＋b＝(a＋2b)＋(2a－b)∈(－2，2)，C正确； a－b＝－(a＋2b)＋(2a－b)∈(－1，3)，D错误． 故选ABC．] [母题探究] 1．(综合变式)已知3<a<8，4<b<9，则的取值范围是________． 　[因为4<b<9，所以<<，又3<a<8，所以×3<<×8，即<<2．] 2．(变结论)本例条件不变，则3a＋2b的取值范围是________． (－5，6)　[设3a＋2b＝x(a＋2b)＋y(2a－b)， 即3a＋2b＝(x＋2y)a＋(2x－y)b， 所以解得 于是3a＋2b＝(a＋2b)＋(2a－b)， 又因为－＜(a＋2b)＜，－＜(2a－b)＜， 所以－5＜(a＋2b)＋(2a－b)＜6， 即－5＜3a＋2b＜6．] 易错提醒：多次运用不等式的性质易使变量范围扩大，导致结果错误，一般是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 【教用·通性通法】 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 1．(链接考点一)已知a＝2，b＝，c＝，则实数a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a B　[由a－b＝2＋，且(2＋)2＝7＋4>7，故a>b．a－c＝2＋，且(2＋)2＝6＋4>6，故a>c．b－c＝()－()，且()2＝9＋2>9＋2＝()2，故c>b．所以a>c>b．] 2．(链接考点一)(2025·赣州月考)已知实数a＜b，则“m＞0”是“＜”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 D　[因为实数a＜b， 若m＞0，如a＝－2，b＝－1，m＝2，得＞， ∴m＞0不是＜的充分条件； 若＜，如a＝0，b＝1，m＝－2符合此不等式，但是m＜0， ∴m＞0不是＜的必要条件， ∴m＞0是＜的既不充分也不必要条件． 故选D．] 3．(链接考点二)(多选)(2026·许昌模拟)已知a，b∈R，则下列结论正确的是(　　) A．若a＞b，且＞，则ab＜0 B．若a＞b，且a≠－b，则＞ C．若a＜b＜0，则＜－a－b D．若a＜b＜0，则＞ ACD　[选项A，由a＞b可得a－b＞0，由＞可得＜0，故ab＜0，A正确； 选项B，当a＝0，b＝－1时，满足a＞b，且a≠－b，但＝－1，＝0，不等式＞不成立，B错误； 选项C，因为a＜b＜0，所以－a＞－b＞0，故－a－b＞2＞，C正确； 选项D，由a＜b＜0，可得b－a＞0，且b－1＜0，故＝＞0，即＞，D正确． 故选ACD．] 4．(链接考点三)(人教A版必修第一册P43习题2.1T5)已知2<a<3，－2<b<－1，则2a＋b的取值范围为________． (2，5)　[因为2<a<3，所以4<2a<6，又－2<b<－1，所以2<2a＋b<5．] 课时作业(三)　等式性质与不等式性质 一、单项选择题 1．(人教A版必修第一册P43习题2.1T3(2)改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　) A．M>N B．M≥N C．M<N D．M≤N A　[因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N．故选A．] 2．(2025·北京海淀区三模)已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是(　　) A．xy＞yz B．xz＞yz C．xy＞xz D．x|y|＞z|y| C　[∵x＞y＞z，∴3x＞x＋y＋z＝0，3z＜x＋y＋z＝0，∴x＞0，z＜0． 由得xy＞xz．故选C．] 3．(2025·杭州月考)若a＞b＞0，c＞d，则下列结论正确的是(　　) A．|c|＞|d| B．ac＞bd C．ac2＞bc2 D．＞ D　[因为a＞b＞0，c＞d， 当c＝0，d＝－1时，A选项显然错误； 当c＝－1，d＝－2，a＝2，b＝1时，ac＝－2＝bd＝－2，B选项错误； 当c＝0时，ac2＝0＝bc2，C选项错误； 因为d2＋1＞0，又因为a＞b＞0，所以＞，D选项正确． 故选D．] 4．(人教B版必修第一册P81习题2－2BT3改编)已知6<a<60，15<b<18，则下列结论正确的是(　　) A．<< B．21<a＋2b<78 C．－12<a－b<45 D．<<5 C　[对于A，∵15<b<18，∴<<，又6<a<60，∴<<4，∴A错误；对于B，∵6<a<60，15<b<18，∴36<a＋2b<96，∴B错误；对于C，∵15<b<18，∴－18<－b<－15，又6<a<60，∴－12<a－b<45，∴C正确；对于D，∵6<a<60，15<b<18，∴21<a＋b<78，由A选项知<<，∴<<，∴D错误． 故选C．] 5．(2026·福州模拟)已知－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a＋b的取值范围是(　　) A．[－3，0] B．[－5，3] C．[－5，0] D．[－2，5] C　[因为3a＋b＝2(a＋b)＋(a－b)， 又－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4， 所以－6≤2(a＋b)≤－4， 即－5≤2(a＋b)＋a－b≤0， 所以3a＋b的取值范围是[－5，0]． 故选C．] 6．(2026·鄂州模拟)已知a＜b＜c且a＋2b＋4c＝0，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． B　[因为a＋2b＋4c＝0，a＜b＜c，所以a＜0，c＞0，由a＋2b＋4c＝0得c＝－a－b，则－a－b＞0，解得＞－，由b＜c得b＜－a－b，整理得a＜－b，解得＞－，由a＜b得＜1，综上，－＜＜1．故选B．] 二、多项选择题　 7．(人教A版必修第一册P42练习T2)下列结论正确的是(　　) A．如果a>b，c<d，那么a－c>b－d B．如果a>b>0，c<d<0，那么ac>bd C．如果a>b>0，那么< D．如果a>b>c>0，那么< ACD　[⇒a－c>b－d，A正确； ⇒－ac>－bd，即ac<bd，B错误； a>b>0⇒a2>b2>0⇒<，C正确； ⇒<，D正确． 故选ACD．] 8．(人教A版必修第一册P57复习参考题2T2改编)对于实数a，b，c，下列说法正确的是(　　) A．若a>b，则a>>b B．若a>b>0，则a>>b C．若>，则a>0，b<0 D．若a>b>0，c>0，则> ABD　[对于A，∵a>b，∴a－＝>0，－b＝>0，∴a>>b，故A正确； 对于B，∵a>b>0， ∴＝>1，＝>1，∴a>>b，故B正确；对于C，令a＝2，b＝3，满足>，但不满足a>0，b<0，故C不正确；对于D，∵a>b>0，c>0，∴＝＝>0，即>，故D正确．故选ABD．] 9．(2026·嘉兴模拟)已知实数x，y满足1＜x＜6，2＜y＜3，则(　　) A．3＜x＋y＜9 B．－1＜x－y＜3 C．2＜xy＜18 D．＜＜3 ACD　[实数x，y满足1＜x＜6，2＜y＜3， 由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，有3＜x＋y＜9，2＜xy＜18，A，C选项正确； 由－3＜－y＜－2，得－2＜x－y＜4，B选项错误； 由＜＜，得＜＜3，D选项正确．故选ACD．] 三、填空题 10．已知a＞0，－1＜b＜0，则a，ab，ab2由小到大依次排列是________． ab＜ab2＜a　[因为a＞0，－1＜b＜0， 所以ab＜0，0＜b2＜1，0＜ab2＜a， 故ab＜ab2＜a．] 11．(开放题)若a，b同时满足下列两个条件： ①a＋b>ab；②> 请写出一组a，b的值________． a＝－1，b＝2(答案不唯一)　[容易发现，若将①式转化为②式， 需使(a＋b)ab<0，即a＋b与ab异号， 显然应使a＋b>0，ab<0， 当a<0，b>0时，要使a＋b>0，则|a|<|b|， 可取a＝－1，b＝2； 当a>0，b<0时，要使a＋b>0，则|a|>|b|， 可取a＝2，b＝－1． 综上，易知取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案．] 12．(2026·福州长乐区模拟)已知π<α＋β<，－π<α－β<－，则2α－β的取值范围为________． 　[设2α－β＝x(α＋β)＋y(α－β)＝(x＋y)α＋(x－y)β，x，y∈R， 则解得 所以2α－β＝(α＋β)＋(α－β)， 因为π<α＋β<，－π<α－β<－， 所以<(α＋β)<，－<(α－β)<－， 所以－π<2α－β< 则2α－β的取值范围为] 学科网（北京）股份有限公司 $