第1单元 03 第3讲 等式与不等式（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学讲义聚焦等式与不等式高考核心考点，依据课标要求梳理等式性质、不等式概念及性质，按比较大小方法、等式性质、不等式性质及推论的逻辑层次构建知识体系，通过填空式梳理、方法指导（作差作商法）、题组训练（常识题、常错题）和例题精讲，帮助学生系统突破难点。 讲义突出分层教学与核心素养培养，设计常识题巩固基础、常错题辨析易错点，例题采用特殊值法和作差法培养数学思维，综合应用问题提升数学语言表达能力，能在有限时间内强化学生知识应用与应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第3讲　等式与不等式 【课标要求】　梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质. 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2.等式的性质 (1)若a=b,b=c,则a=c. (2)如果a=b,则对任意c,都有　　　　　或　　　　　　　　　.  (3)如果a=b,则对任意不为零的c,都有　　　　　　或　　　　　　.  3.不等式的性质 性质 内容 可加性 如果a>b,那么a+c　　　b+c  可乘性 如果a>b,c>0,那么ac　　　bc  如果a>b,c<0,那么ac　　　bc  传递性 如果a>b,b>c,那么　　　  对称性 a>b⇔b<a 4.不等式性质的推论 推论 内容 移项法则 如果a+b>c,那么a>c-b 同向不等式相加 如果a>b,c>d,那么　　　  同向不等式相乘 如果a>b>0,c>d>0,那么　　　  可乘方性 如果a>b>0,那么　　　　(n∈N,n>1)  可开方性 如果a>b>0,那么> 常用结论 1.若ab>0,且a>b⇔<. 2.若a<x<b,c<y<d,则a-d<x-y<b-c. 3.若<1,a,b,m>0,则<<1; 若>1,a,b,m>0,则>>1. 题组一　常识题 1.[教材改编] 设M=x2+y2+1,N=2(x+y-1),则M与N的大小关系为　　　　.  2.[教材改编] 若-<α<β<,则α-β的取值范围是　　　　.  3.[教材改编] 已知a,b,c都是实数,若a>b,则下列说法正确的是　　　　.(填序号)  ①>;②ac>bc;③>;④a-c>b-c. 题组二　常错题 4.[忽视字母的取值范围] 对于任意实数a,b,c,d,给出下列四个说法: ①若a>b,c≠0,则ac>bc; ②若a>b,则ac2>bc2; ③若ac2>bc2,则a>b; ④若a>b,c>d>0,则ac>bd. 其中,正确说法的序号是　　　　.  5.[多次运用不等式性质致错] 已知实数a∈(-3,1),b∈,则的取值范围是　　　　.  6.[变形不彻底或方向不明确] 设p=1+2x4,q=2x3+x2,则p,q的大小关系是　　　　.  　比较数(式)的大小 例1 (1)已知a,b均为正实数,若M=a3+b3,N=a2b+ab2,则 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.M<N B.M≤N C.M>N D.M≥N (2)设a>b>0,M=,N=,比较M,N的大小.     总结反思 (1)判断两个式子大小关系的常用方法:作差法、作商法、不等式性质法、函数单调性法、中间量法、特殊值法等. (2)作差(商)法的一般步骤是:作差(商),变形,定号,得出结论. 变式题 (1)(多选题)下列不等式中正确的是 (　 ) A.x2-2x>-3(x∈R) B.a3+b3≥a2b+ab2(a,b∈R) C.a2+b2>2(a-b-1) D.<(b>a>0) (2)已知a≥1,则M=-与N=-的大小关系是　　　　.  　不等式的性质 例2 (1)[2026·江苏南通海门区调研] 若a<b<0,则 (　 ) A.< B.a2>b2 C.>1 D.ab<b2 (2)已知a,b,c,d均为实数,则下列说法正确的是 (　 ) A.若a>b,c>d,则a+b>c+d B.若a2>b2,则-a<-b C.若c>a>b>0,则> D.若a>b>0且m>0,则> 总结反思 解决不等式有关问题常用的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件. (2)利用特殊值法排除错误答案,需注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设条件;二是取值要简单;三是所取的值要有代表性. (3)构造函数,利用函数的单调性判断. 变式题 (1)[2025·北京房山区一模] 已知a,b∈R,且a<b,则 (　 ) A.> B.a2<b2 C.a3<b3 D.ln(b-a)>0 (2)(多选题)[2025·山东临沂二模] 已知a>b>c,则下列不等式一定正确的是 (　 ) A.< B.ab2>cb2 C.a+b>c D.a2+c2>b2 　不等式性质的综合应用 例3 (1)(多选题)已知实数x,y满足-1≤x+y≤3,4≤2x-y≤9,则 (　 ) A.1≤x≤4 B.-2≤y≤1 C.2≤4x+y≤15 D.≤x-y≤6 (2)(多选题)建筑学规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好.现欲在原设计方案的基础上,同时增加住宅的窗户面积和地板面积,则下列有关说法正确的是 (　 ) A.若增加的窗户面积和地板面积相同,则住宅的采光条件一定变好 B.若增加的窗户面积和地板面积相同,则住宅的采光条件一定变差 C.若增加的窗户面积和地板面积比值为,则住宅的采光条件一定变差 D.若增加的窗户面积和地板面积比值为,则住宅的采光条件一定变差 总结反思 (1)求代数式的取值范围需注意两点:(1)严格运用不等式的性质;(2)利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求解范围,防止在多次运用不等式的性质时扩大变量的取值范围. (2)在解决与不等关系有关的实际问题时,要读懂题意,用适当的不等号将相关数(或式)联系起来,还要注意字母的实际意义. 变式题 已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,那么的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲　等式与不等式 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)>　=　<　(2)>　=　< 2.(2)a+c=b+c　a-c=b-c (3)ac=bc　= 3.>　>　<　a>c 4.a+c>b+d　ac>bd　an>bn 【对点演练】 1.M>N　[解析] M-N=x2+y2+1-2x-2y+2=(x-1)2+(y-1)2+1>0.故M>N. 2.(-π,0)　[解析] 由已知得-<α<,-<-β<,所以-π<α-β<π,又α<β,所以α-β<0,故-π<α-β<0. 3.④　[解析] 对于①,-=,由a>b,得b-a<0,但c,ab的正负无法判断,故①错误;对于②,当c<0时,得ac<bc,故②错误;对于③,-=,由a>b,得a-b>0,但c的正负无法判断,故③错误;对于④,由a>b,得a-c>b-c,故④正确.故填④. 4.③　[解析] 当c<0时,①显然错误;当c=0时,②显然错误;若ac2>bc2,则c2>0,a>b,③正确;当a=-2,b=-3,c=3,d=2时,ac=-6=bd,④显然错误.故填③. 5.(-24,8)　[解析] 依题意可得4<<8,当0≤a<1时,可得0≤<8;当-3<a<0时,0<-a<3,所以0<<24,所以-24<<0.综上可知,-24<<8. 6.p≥q　[解析] p-q=2x4+1-2x3-x2=2x3(x-1)-(x+1)(x-1)=(x-1)(2x3-x-1)=(x-1)(x3-x+x3-1)=(x-1)[x(x-1)(x+1)+(x-1)(x2+x+1)]=(x-1)2(x2+x+x2+x+1)=(x-1)2(2x2+2x+1)=(x-1)2[2(x2+x)+1]=(x-1)2=(x-1)2≥0,故p≥q. ● 课堂考点探究 例1　(1)D　[解析] 由a,b均为正实数,M=a3+b3,N=a2b+ab2,得M-N=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)≥0,当且仅当a=b时取等号,所以M≥N.故选D. (2)解:方法一(作商法):因为a>b>0,所以M=>0,N=>0,2ab>0,所以=== =1+>1, 所以M>N. 方法二(作差法): M-N=-= == . 因为a>b>0,所以a+b>0,a-b>0,2ab>0,a2+b2>0, 所以>0,所以M>N. 变式题　(1)AD　(2)M<N [解析] (1)∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0,∴x2-2x>-3,故A正确;a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),∵(a-b)2≥0,a+b的符号不确定,∴a3+b3与a2b+ab2的大小不确定,故B错误;∵a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1),故C错误;-=,∵b>a>0,∴>0,∴<,故D正确.故选AD. (2)方法一:因为a≥1,所以M=->0,N=->0,所以==.因为+>+>0,所以<1,即M<N. 方法二:M=->0,N=->0,因为==+,==+,所以>>0,所以M<N. 例2　[思路点拨] (1)根据不等式的性质逐项判断即可;(2)由不等式的性质及特例逐项判断即可. (1)B　(2)C　[解析] (1)对于选项A,因为a<b<0,所以ab>0,所以<<0,即<,所以选项A错误;对于选项B,因为a<b<0,所以-a>-b>0,所以(-a)2>(-b)2,即a2>b2,所以选项B正确;对于选项C,因为a<b<0,所以>,即<1,所以选项C错误;对于选项D,因为a<b<0,所以ab>b2,所以选项D错误.故选B. (2)对于A,取a=1,b=0,c=2,d=1,则a+b<c+d,故A错误;对于B,当a=-1,b=0时,a2>b2,但-a>-b,故B错误;对于C,当c>a>b>0时,>⇔a(c-b)>b(c-a)⇔ac>bc⇔a>b,故C正确;对于D,因为a>b>0,m>0,所以>>0,则<,故D错误.故选C. 变式题　(1)C　(2)AD　[解析] (1)对于A,令a=-1,b=1,则<,故A错误;对于B,令a=-1,b=1,则a2=b2,故B错误;对于C,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b),因为a<b,所以a-b<0,而≥0,b2≥0且不同时为0,故a3-b3<0,即a3<b3,故C正确;对于D,令a=1,b=1.5,则ln(b-a)<0,故D错误.故选C. (2)对于A,-==,因为a>b>c,所以c-b<0,a-c>0,a-b>0,即<0,所以<,故A正确.对于B,取a>b=0>c,此时ab2=cb2=0,故B错误.对于C,令a=-1,b=-2,c=-3,则a+b=c=-3,故C错误.对于D,若a>b=0>c,则a2+c2>b2=0;若a>b>0>c,则a2+c2>a2>b2;若a>0>b>c,则a2+c2>c2>b2;若a>b>c≥0或0≥a>b>c,则a2+c2>b2.综上所述,只要a>b>c,就一定有a2+c2>b2,故D正确.故选AD. 例3　[思路点拨] (1)利用不等式的可加性判断A,B;将4x+y变形为2(x+y)+(2x-y)后判断C;将x-y变形为-(x+y)+(2x-y)后判断D.(2)设窗户面积与地板面积分别为m,n,由题意可知0<<1,即0<m<n,结合作差法逐项判断即可. (1)AC　(2)AD　[解析] (1)因为所以3≤3x≤12,解得1≤x≤4,故A正确;因为所以-2≤-3y≤11,解得-≤y≤,故B错误;因为4x+y=2(x+y)+(2x-y),-2≤2(x+y)≤6,4≤2x-y≤9,所以2≤4x+y≤15,故C正确;因为x-y=-(x+y)+(2x-y),-1≤-(x+y)≤,≤(2x-y)≤6,所以≤x-y≤,故D错误.故选AC. (2)设原来的窗户面积与地板面积分别为m,n,则由题意可知0<m<n,即0<<1,按采光标准,窗户面积与地板面积的比值不小于10%,即≥,且当越大时,住宅的采光条件越好.对于A,B,设增加的窗户面积和地板面积均为a,则a>0,因为-==>0,所以0<<,所以若增加的窗户面积和地板面积相同,则住宅的采光条件一定变好,故A正确,B错误;对于C,若增加的窗户面积为s,则增加的地板面积为9s,故-===,若=,则-=0,此时住宅的采光条件不变,故C错误;对于D,若增加的窗户面积为s,则增加的地板面积为11s,故-===<0,所以若增加的窗户面积和地板面积比值为,则住宅的采光条件一定变差,故D正确.故选AD. 变式题　　[解析] 因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0,b=-a-c.由b=-a-c<a,得2a>-c,故>-2.由b=-a-c>c,得-a>2c,故<-,所以-2<<-. 学科网（北京）股份有限公司 $