第21章 二次函数与反比例函数 章末对点导练-【学海风暴】2026-2027学年九年级上册数学同步备课（沪科版·新教材）

章未对 单元考点整合 =9 考点① 函数的图象及其性质 L函数y=ax2十bx+c与，三的图象如 所示.当y1,y2均随着x的增大而减小时，x 的取值范围是 ( A.x<-1 B.-1<x<0 C.0<x<2 D.x>1 第1题图 第2题图 2.在平面直角坐标系中，二次函数y=a.x2十 bx十c(a≠0)的图象如图所示，现给出下列 结论：①abc<0;②c+2a>0;③9a-3b+c =0;④a-b≤am2+bm(m为实数)：⑤4ac 一b2<0.其中正确的个数是 A.2 B.3 C.4 D.5 3安徽中考特色·双空题抛物线y=a.x2 2x+3的对称轴为直线x=1. (1)a= (2)若抛物线y=ax2一2x+3十m在一2<x <3内与x轴只有一个交点，则m的取值范 围是 考点②二次函数的实际应用 4.某农场拟建两间矩形饲养 室，一面靠现有墙（墙足够 门门 长)，中间用一道墙隔开，并 第4题图 在如图所示的三处各留1m宽的门.已知计 划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 27m,则能建成的饲养室面积最大为 m2. 点导练八 5.一名运动员在10m高的跳 台进行跳水，身体（看成一 点)在空中的运动轨迹是一10m 台支柱 条抛物线，且运动员离水面 B OB的高度y(单位：m)与 离起跳点A的水平距离x(单位：m)之间的 函数关系如上图所示.当运动员离起跳点A 的水平距离为1m时，达到最高点；当运动 员离起跳点A的水平距离为3m时，离水面 的距离为7m. (1)求y关于x的函数表达式. (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离 OB的长. 6.某加工厂加工黄花的成本为30元/kg.根据 市场调查发现，当批发价定为48元/kg时， 每天可销售500kg.为提高市场占有率，在保 证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发 价每千克降低1元，每天的销量可增加 50kg. (1)求出工厂每天的利润W元与降价x元之 间的函数关系.当降价2元时，工厂每天的 利润为多少元？ (2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大？ 最大为多少元？ 上册第21章 41 (3)若工厂每天的利润要达到9750元，并让 利于客户，则批发价应定为多少？ 考点③二次函数的综合应用 7.如下图，抛物线y=ax2十bx十c与x轴交于 A(一2,0)，B(6,0)两点，与y轴交于点C. 直线1与抛物线交于A,D两点，与y轴交 于点F,点D的坐标为(4,3). (1)抛物线的表达式为 直线1的表达式为 (2)若P是抛物线上的点且在直线L上方， 连接PA,PD.当△PAD的面积最大时，求 点P的坐标及该最大面积的值. 九年级数学HK版 考点④反比例函数的综合应用 8.（2025一2026宿州埇桥区期 _rt 末)如右图，在平面直角坐标 系中，O为坐标原点，矩形 OABC的边OA,OC分别在x A 轴、y轴上，点B的坐标为(4,5)，双曲线y= &-1(x>O)的图象经过线段BC的中点D. (1)求k的值. (2)若点P(x,y)在反比例函数的图象上运 动（不与点D重合），过点P作PQ⊥y轴于 点Q,连接PC,记△PCQ的面积为S.求S 关于x的函数表达式，并写出x的取值 范围。 已中考真题演练 9.(2026福建)下列各点中，在函数y=二图象 上的点是 () A.(1,1)B.(1,2)C.(2,1)D.(2,2) 10.（2026天津)若点A(x1,一2)，B(x2,4), C(r,8)都在反比例函数y=15的图象上， 则x1,x2,x3的大小关系是 A.x1<x2<x3 B.x2<x1<x3 C.x1<x3<x2 D.x2<x3<x1 11.(2025安徽)已知二次函数y=a.x2+bx+c (a≠0)的图象如图所示，则 ( A.abc< B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a-6+c<0 第11题图 12.（2026南充)抛物线y=x2+mx+m一2与 x轴交于A,B两点，且AB=√5，则m的 值为 13.（2026连云港)如图，在平面直角坐标系xOy 中，两个反比例函数y=一6和y=一2在第 二象限内的图象依次为C1,C2.已知点P在 C1上，点A,B在C2上，且PA⊥x轴，PB1 y轴，则四边形OAPB的面积为 (3,12) (6,3) 第13题图 第14题图 14.(2026德州，有改动)某水果店单件水果售 价y1(单位：元)与销售月份x满足一次函数 关系y1=一2x+21,单件水果进价y2（单 位：元)与销售月份x满足二次函数关系.二 次函数的图象如图所示，抛物线顶点为(6， 3)并且经过(3,12)，则这个水果店在一年中 的最高单件水果利润为 15.(2026安徽)已知抛物线y=3 x(2a-x) (a>0). (1)求抛物线顶点的纵坐标 (2)点A》,B()(,<)都在 抛物线上. 求。的值： (ii)设a为正整数，线段AB上横坐标为整 数的点的个数为m,请比较m与2a一2的 大小，并说明理由. 上册第21章 43△在y中，令x=8得y=2. ·点B在反比例函数y=15的图象上. 6.解：A(-3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4. C为OB的中点，.BC=2. 由旋转的性质可得，点C的坐标为(2,4). :反比例函数y=(x>0)的图象经过点C, =2×4=8,该反比例函数的表达式为y=一 8 7.解：(1)点A(一1，m)在一次函数y=一2x十2的图 象上， .m=-2×(-1)十2=4，∴.A(-1,4). :点A(-1,)在反比例晒数y一会的图象上· ·k=一4一反比例函数的表达式为y=一4 2)心点B(n,2)在反比例函数y=二的图象上 2=-4,解得m=-2,B(-2,2. 将直线y=一2x十2向下平移h个单位长度得到的直 线表达式为y=-2x十2一h. 点B(-2,2)在直线y=一2x+2-h图象上， ∴.2=一2×(-2)+2一h,解得h=4. y=-2x-2, 联立 y=- 4，解得2=-2，x=1, y1=2,y2=-4. x 根据函数图象及交点坐标可知，不等式兰<ar十b的 解集为x<一2或0<x<1. 章末对点导练 1.D 2.C【解析】①由图象可知，α>0，c<0,对称轴为直线x b 2a <0,.b>0,∴.abc<0,故①正确. b ②由对称轴可知，2a =-1,..b=2a. 当x=1时，y=a十b+c=0, .c十3a=0,.c十2a=-a<0,故②错误. ③(1,0)关于直线x=-1的对称点为（一3,0）， ∴.当x=-3时，y=9a-3b十c=0,故③正确. ④当x=-1时，y取最小值，最小值为a一b十c. 当x=m时，y=am2+bm+c,∴.am2+bm+c≥a-b 十c,即am2十bm≥a一b,故④正确. ⑤：抛物线与x轴有两个交点， .b2一4ac>0,,.4ac一b2<0,故⑤正确. 综上所述，正确的个数是4. 3.(1)1(2)m=-2或-11<m≤-6【解析】(1)，抛 物线y=a.x2-2x十3的对称轴为直线x=1, 5一2忌-1，解得a=1 (2)由(1)可知，y=x2-2x+3十m=(x-1)2十m十2. ①当顶点在x轴上时，m十2=0，解得m=一2. ②当顶点不在x轴上时，把（一2,0）代入y=(x一1)2 +m+2,得0=9+m+2,解得m=一11.把(3,0)代入 y=(.x-1)2+m十2，得0=4+m十2，解得m=-6. 点(3,0)关于直线x=1的对称点为(-1,0)，在一2 <x<3范围内，点（一2,0）关于直线x=1的对称点为 (4,0),在一2<x<3范围外，且抛物线在一2<x<3 内与x轴只有一个交点，∴.一11<m≤一6.故m的取 值范围是m=-2或-11<m≤-6. 4.75【解析】设饲养室的面积为Sm2,垂直于现有墙的 墙体长为xm,则平行于现有墙的墙体长为27+3 3x=(30-3x)m,.∴.S=x(30-3.x)=-3x2十30x -3(x-5)2+75.故饲养室的最大面积为75m. 5.解：(1)根据题意，得抛物线过点(0,10)和(3,7)，对称 轴为直线x=1. 可设y关于x的函数表达式为y=a(x-l)2十k, 则/a+6=10, 4a+6=7,解得区=-1， Fk=11, ∴.y关于x的函数表达式为y=一(x-1)2+11. (2)令y=0,则0=-(x-1)2+11,解得x=√1I+1 (负值已舍去)，∴运动员从起跳点到入水点的水平距 离OB的长为（√11+1）m. 6.解：(1)由题意，得W=(48-30-x)(500+50.x)= -50x2+400x+9000. 当x=2时，W=-50×4+400×2+9000=9600,即 当降价2元时，工厂每天的利润为9600元. (2)由(1)，得W=-50x2+400.x+9000=-50(x 4)2+9800. -50<0,∴.当x=4时，W最大，最大为9800， 即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元. (3)令一50x2十400.x十9000=9750，解得x1=3,x2=5. 要求让利于客户，∴x1=3不合题意，舍去， .批发价应定为48-5=43（元/kg. 7.解：(1)y=- 1 1 x+x+3y=2x+1 (2)如图，过点P作PE∥y轴交AD 于点E.设点P的坐标为（m, 一m+m+3),则点E的坐标为 (m,2m+1): S.m-(-).PE-3PE. .当PE的值最大时，△PAD的面积最大， 其中PE=-子m+m十3-名m-1=-子m+ 2m 9 +2= 4<0,-2<1<4,当m=1时，PE的值最大， 15 最大值为号，此时点P的坐标为(1，) ,△PAD的面 9. 27 积的最大值为×3= 4 上册详解详析 15个 8.解：(1)：矩形OABC的边OA,OC分别在x轴、y轴 上，点B的坐标为(4,5)，∴.C(0,5) D是BC的中点，∴D(2,5). 将D(2,5)代入y= 得5号2解得=1。 x 10 (2)由(1)可知，双曲线的表达式为y= 依题意可分以下两种情况讨论： 当点P在直线BC的上方时，0<x<2,如图①. 点P(x,y)在该反比例函数的图象上运动，∴y 10 <x<2). 图①D 图② 当点P在直线BC的下方时，x>2,如图②. 同理可得Sae=名PQ·CQ名(6-9) 5 5(.x>2). 2x+5(0<x<2). 综上所述，S 2x-5(x>2). 9.A 10,C【解析反比例函数的表达式为y=5,∴反电 例函数的图象位于第一、第三象限，且在每个象限内， y随x的增大而减小.：点A(x1,-2),B(x2,4), C(x3,8)都在该反比例函数的图象上，一2<4<8， ∴.x1<0<x3<x2,即x1<xg<x2. 11.C【解析】由图象可知抛物线交x轴于点(2,0)，另 一个交点横坐标在一1和0之间，根据对称性可知， 1 ?<-2名1，“b>-2a,即2u+b>0,故B选项说 法错误.：当x=一1时，y>0,∴a一b十c>0,故D 选项说法错误. 观察图象可知，a>0,b<0,c<0,∴.abc>0,故A选 项说法错误.，抛物线过点(2,0)，∴.4a十2b+c=0, 、即4a=-2b-c二2名>2b+a<0, ..4b+4a<0,.4b-2b-c<0, 整理即为2b一c<0,故C选项说法正确 12.1或3【解析】当y=0时，x2+mx+m-2=0,∴.x 十x2=一m,x1·x2=m-2. AB=5,.|x1-x2|=√(x1十x2)2-4x1x2= /m2-4(m-2)=√5，..m2-4(m-2)=5, ∴.m2-4m十3=0，解得m1=1,m2=3. 13.4【解析】如图，设PA与x轴交于点M,PB与y轴 交于点N △16 九年级数学HK版 ,PM⊥x轴，PN⊥y轴，点A 4 和点B在反比例函数y=一的 图象上，∴.S△AoM=S△0N=1. 6 又点P在反比例函数y=一 M 0 的图象上，.S矩形PwON=6,∴.四边形OAPB的面积为 6-1×2=4. 14.7【解析】由题意，设y2=a(x-6)+3.把(3,12)代 入y2,得9a+3=12,∴.a=1,∴y2=(x-6)2+3= x2一12x十39.设单件水果利润为W元，.W=y1 y2=-2x+21-x2+12x-39=-x2+10x-18= 一(x-5)2+7.:-1<0,.当x=5时，单件水果利 润W取得最大值，最大值为7元. 15.解：(1)令y=0,则抛物线与x轴的两个交点为(0， 0),(2a,0),∴.抛物线的对称轴为直线x=a. 3 3 把.r=a代人y=x(2a-x),得y=·a(2a-a） a =3,∴.抛物线顶点的纵坐标为3. 3 33 (2)①当y=2时，2=x(2a-x)x(2a-x)= 1a2 2,即r-2ax+2 =0(x1<x）, x1= 2-√2 2+√2 2a,x2= 2a, 5-22 a 2 (i)当a=1,2,3时，m>2a一2：当a≥4时，m<2a一 2.理由如下： 由(2)（①可知x,=2二2 a,x2= 2+√2 a,.AB=x -x1=√2a.√2≈1.414，.m<2a+1显然成立. 令2a+1<2a-2,解得a>3+32≈5.121， 2 .当a≥6时，m<2a-2恒成立， 故只需讨论a=1,2,3,4,5的情况：当a=1时，x1=1 90.298,=1+ ≈1.707.故整数点只有x =1,∴.m=1,2a-2=0,∴.m>2a-2. 当a=2时，x1=2-√2≈0.586，x2=2+√2≈3.414. 故整数点有x=1,2,3, .m=3,2a-2=2, .m>2a-2. 当a=3时.=3-3y0.879.,=3+3巨 2 2 5.121. 故整数点有x=1,2,3,4,5, .∴.m=5,2a-2=4,..m>2a-2. 当a=4时，x1=4-2√2≈1.172，x2=4+2√2≈ 6.828. 故整数点有x=2,3,4,5,6, .m=5,2a-2=6,.m<2a-2. 当a=5时，=5-3921.6，-5+52 2 2 8.535. 故整数点有x=2,3,4,5,6,7,8, .m=7,2a-2=8,∴.m<2a-2. 综上所述，当a=1,2,3时，m>2a-2;当a≥4时，m <2a-2. 第22章相似形 22.1相似多边形 1.C2.B 3.A【解析】由题意可知，矩形ABCD与矩形 32 A,B,C,D,的相似比为4.5=3 4.(1)83°(2)12【解析】(1)∠C=360°-62°-75°- 140°=83°. BC AD (2)由题意，得BC一AD' 即g-号解得BC=12. 5名【解析设原矩形的长为2x,宽为y则对折后的 矩形的长为y,宽为x. = 由题意可得 ,y=2x, x “标准纸”的宽和长的比值为=2，= 6.1十√5【解析】由翻折的性质可得AF=AB=2, .DF=AD-AF=AD-2. ,矩形DFEC与矩形ABCD相似， 器器脚品0 ,2AD-2 整理，得AD-2AD-4=0, 解得AD=1+√5. 故AD的长为1十√5. 22.2比例线段 第1课时比例线段 1.A2.C3.6变式题6 4.解：设CD=xcm,则DB=AB-AC-CD=6-1-x =(5-x)cm. :AC,CD,DB,AB是成比例线段， 部器号 解得x1=2,x2=3. 经检验，x1=2,x2=3均为原方程的根. 故线段CD的长为2cm或3cm. 5.B【解析】，M为线段AB的中点，AB=12, ∴.AM=MB=6. C为线段MB的中点， MC-MB-3. ∴.AC=AM+MC=9. ∴.MC:AC=3:9=1:3. 6.80【解析】400km=40000000cm,40000000× 1 500000=80(cm). 7.1或9或16【解析】设添加的新线段的长为x,则分 以下四种情况讨论： ①当号一高时，解得x=1 4 ②当三=)时，解得x=9.经检验，x三9是原分式方 程的根。 ®当-时，解得x=9, ①当子-号时，解得x=16,经检验=16是原分式 方程的根. 综上所述，这条新线段的长度是1或9或16. 8.解：线段CD是线段AD,BD的比例中项.理由如下： 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,.AB=5. :Sam-7AB:CD-7BC·AC 1 CD-BCAC-3X4-2.4. AB 5 CD⊥AB,,∴.在Rt△ADC中，AD=√AC2一CD 1.8,∴.BD=AB-AD=3.2, ∴.AD:CD=1.8:2.4=3:4,CD:BD=2.4:3.2 =3:4...AD:CD=CD:BD, ∴线段CD是线段AD,BD的比例中项. 第2课时比例的性质 1.D2.4变式题2 3证明设器小俗3。 BC+AB_EF+DE AC DF AB DE …ABDE 4.10 5.解：设△ABC的周长为xcm,则△DEF的周长为(x+ 15)cm. ABBC_CA_2·AB+BC+CAx 2 DEEF FD3DE+EF+FDx+153' ∴.3x=2(x十15)，解得x=30.经检验，x=30是原分 式方程的根. 故△ABC的周长是30cm. 6D【保标1号-号兰名2实-+兰-号 x 2 1 7.2或-1【解析】分以下两种情况讨论：①当a+6+c ≠0时. a b 6+ca+c-a十b=k, a+b+c 1 六+c十a十c十a十b=k,解得k=2 ②当a十b+c=0时，a=一(b十c). 上册详解详析 17△