专题07 二次函数与四边形的综合问题（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以坐标法为核心，系统整合二次函数与特殊四边形性质，通过题型模版实现解题方法迁移，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|坐标法转化几何性质，分类讨论存在性问题|二次函数与四边形性质结合，建立代数关系| |题型1-5|5典例+15变式|平行四边形用中点公式，矩形用直角/对角线相等，菱形用四边相等/对角线垂直，正方形兼具双重性质|从基础四边形到综合应用，逐步提升难度| |压轴挑战|35题|综合运用函数性质与几何模型，解决动态与存在性问题|对接中考压轴题，强化复杂情境下的推理与运算|

专题07 二次函数与四边形的综合问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、二次函数与平行四边形的综合问题 题型2、二次函数与矩形的综合问题 题型3、二次函数与菱形的综合问题 题型4、二次函数与正方形的综合问题 题型5、二次函数与四边形的综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 解决二次函数与四边形的综合问题，核心在于用坐标法把四边形的几何性质转化为代数关系；平行四边形抓住对角线互相平分，矩形抓住直角或对角线相等，菱形抓住四边相等或对角线垂直，正方形则兼而有之；要善于设出动点坐标，利用中点公式、距离公式、斜率与垂直关系建立方程；对于存在性问题必须分类讨论，求出坐标后回代检验是否满足题设条件． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、二次函数与平行四边形的综合问题 典例1 （25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为，如果四边形是平行四边形．求、之间的关系式（结果用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，若抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且． 求的值； 若抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标记为，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为， 顶点的坐标为 (2) (3)； 【分析】（1）利用待定系数法可求得，的值，即可得到解析式，再求出顶点坐标即可； （2）根据平行四边形的性质可得点的坐标，再结合点在抛物线上， 即可得到、之间的关系式； （3）先求出直线的解析式，进而根据平移的性质得到点，的坐标，然后分别表示出，，根据面积比列式计算即可求出的值；先求出直线的解析式，联立直线的解析式与抛物线的解析式，确定交点坐标即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，顶点在直线上， ，， ， 抛物线的解析式为， 当时，， 顶点的坐标为； （2）解：由题意得：， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ， 点在抛物线上， ， ； （3）解：设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 由平移可得，抛物线的对称轴为直线， 抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点， 当时，，即， 当时，代入得， ，即， ，，， ，， ，， ， ， ， ，即， 解得或（舍去）， 即的值为； 设直线的解析式为， 当时，， ，， ，， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得，， 直线与的交点为， ， 抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标记为， ． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与定点构成平行四边形，或判断、求使四边形为平行四边形的点． 2.方法：利用平行四边形对角线互相平分（中点重合）列坐标方程；按已知三点为顶点时分第四点为边或对角线分类讨论． 变式1-1 （2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)点E的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在下方时，可证明点P与点C关于抛物线对称轴对称，据此根据对称性可得点P坐标；当点P在上方时，设直线交x轴于H，则可证明，设，利用两点距离计算公式可得，解得，则；求出直线解析式为，联立直线解析式和抛物线解析式求出点P的坐标即可； （3）先由对称性求出由对称性可得，求出，，则；则可推出将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，据此打得到新抛物线解析式为；再分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 【详解】（1）解；把代入到中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；如图2-1所示，当点P在下方时， ∵， ∴， ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴点P的坐标为； 如图2-2所示，当点P在上方时，设直线交x轴于H， ∵， ∴， ∴ 设， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线， ∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为， 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，两点距离计算公式等等，解（2）的关键在于分两种情况讨论求解，解（3）的关键在于利用平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解． 变式1-2 （25-26九年级上·浙江·单元复习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴的交点分别为点B和点C，抛物线经过点B、点C，且与x轴交于另一点A．点P为线段上的一个动点，连接，在上方作，交抛物线于点E． (1)请求出抛物线的解析式及点A的坐标； (2)如图2，当平分时，请求出的长； (3)点N是y轴上的一点，在（2）的条件下，抛物线上是否存在点M，使得以点M、N、P、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，M坐标为或或 【分析】（1）由直线求出点B和点C，再利用待定系数法求抛物线的解析式，令求点A的坐标； （2）过P作，垂足为Q，根据等腰直角三角形的性质和角平分线的定义，说明，证明是等腰直角三角形，得到，再求出P、E的坐标，最后求； （3）分两种情况求解：线段作为平行四边形的一条边或对角线，根据平行四边形对角线互相平分，数即可求解点M的坐标． 【详解】（1）解：当时，；令，， ∴点，点， ∵抛物线经过点B、点C， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 令，得或， ∴点A的坐标为． （2）解：过P作，垂足为Q， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 令，得或， ∴， 令，得， ∴， ∴． （3）解：存在点M，使得以点M、N、P、B为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的点M坐标为或或．理由如下： 由（2）可知，，， ∵点N是y轴上的一点，点M在抛物线上， ∴设点的坐标为，点的坐标为， 当线段作为平行四边形的一条边时， 则或， 解得：或， 当时，， 当时，， ∴点M的坐标为或； 当线段作为平行四边形的对角线时， 则，解得， 此时， ∴点M的坐标为， 综上，点M坐标为或或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，并与等腰直角三角形和平行四边形结合，对于（2），关键是说明． 变式1-3 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，、为该抛物线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为．当点不在轴上时，过点作轴的垂线交轴于点，以、为边作平行四边形，将平行四边形向轴正方向平移1个单位长度得到平行四边形（点、、、的对应点分别为点、、、）． (1)求抛物线的解析式； (2)当平行四边形是矩形时，求的值； (3)当轴将平行四边形分成面积相等的两部分图形时，求平行四边形的面积； (4)当抛物线在轴右侧的部分与平行四边形有两个公共点，且右公共点与左公共点的横坐标之差小于1时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)ABDC的面积为3或5 (4)的取值范围是或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由矩形的性质得到，进而得到轴，则点A和点B关于抛物线对称轴对称轴，据此求解即可； （3）根据题意可得平行四边形对角线的交点在x轴上，进而得到点B一定在x轴上，由此求出m的值，再根据m的值求出A、B、C的坐标，根据进行求解即可； （4）先求出，，；当点E在抛物线上时，则点A和点E关于对称轴对称，则，此时抛物线与平行四边形只有一个交点，求出，进而求出当点在抛物线上时， 时，此时抛物线与平行四边形只有一个交点，则时，抛物线与平行四边形有两个交点；求出当点F在抛物线上时，；根据右公共点与左公共点的横坐标之差小于1，则两个公共点一个公共点在上，一个公共点在上时满足题意；求出当点H恰好在抛物线上时，，由右公共点与左公共点的横坐标之差小于1，得到两个公共点一个公共点在上，一个公共点在上时满足题意，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵四边形是矩形， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴点A和点B关于抛物线对称轴对称轴， ∴， ∴； （3）解：∵轴将平行四边形分成面积相等的两部分图形， ∴平行四边形对角线的交点在x轴上， 又∵点C在x轴上， ∴点B一定在x轴上， ∴， 解得或， 当时，，， ∴， ∴； 当时，，， ∴， ∴； 综上所述，平行四边形的面积为3或5； （4）解：由题意得，，，， ∴，，； 当点E在抛物线上时，则点A和点E关于对称轴对称， ∴， ∴，此时抛物线与平行四边形只有一个交点， 设， ∵平行四边形对角线中点坐标相同 ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在抛物线上时，， 解得或（舍去）， 当时，此时抛物线与平行四边形只有一个交点， ∴时，抛物线与平行四边形有两个交点； 当点F在抛物线上时，， 解得； ∵右公共点与左公共点的横坐标之差小于1， ∴两个公共点一个公共点在上，一个公共点在上时满足题意， ∴； 当点H恰好在抛物线上时，， 解得或（舍去）， ∵右公共点与左公共点的横坐标之差小于1， ∴两个公共点一个公共点在上，一个公共点在上时满足题意， ∴； 综上所述， 或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质，矩形的性质，坐标与图形变化平移等等，解题的关键在于利用数形结合的思想求出临界情况． 题型2、二次函数与矩形的综合问题 典例2 （24-25九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，矩形的一边长为，且位于第一象限，点的坐标为，点在轴上．抛物线经过点和点，且抛物线的顶点在线段上， (1)求抛物线的解析式； (2)矩形与矩形关于原点对称，平移抛物线， ①若平移后的抛物线在矩形内的部分是轴对称图形，请探究抛物线如何平移？ ②将抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，．若平移后的抛物线与矩形的一组对边分别相交于点，是否存在直线平分矩形面积的情形？若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①若平移后的抛物线在矩形内的部分是轴对称图形，则抛物线向左平移个单位，向下平移的范围是之间 ②存在或使得直线平分矩形面积 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，矩形的性质，平移的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质，二次函数图象的性质得到，顶点的坐标为，运用待定系数法即可求解； （2）①根据题意得到，由二次函数图象平移的性质，图形结合分析即可求解； ②由题意得到平移后的抛物线的顶点在抛物线上，再求出它与的交点，由数形结合思想可得将原抛物线的顶点平移到，即可使得矩形的左半边或右半边平移到矩形的中间，点A或点D平移后的点即为对应的点和从而符合条件，也即是直线经过矩形对角线的交点，从而平分矩形的面积，从而得解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点的坐标为，点在轴上，且位于第一象限， ∴， ∵抛物线的顶点在线段上， ∴顶点的横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为， ∴设抛物线， 把点代入得，， 解得，， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①由题意可得，抛物线的顶点坐标为，， ∴， ∵矩形与矩形关于原点对称， ∴，如图所示， ∴线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即， 线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴， ∴当抛物线向左平移个单位得到，再向下平移个单位得到， 抛物线向下平移个单位得到，使得平移后抛物线经过点， 设抛物线，把点代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为，顶点坐标， ∴向下平移的范围是之间， ∴若平移后的抛物线在矩形内的部分是轴对称图形，则抛物线向左平移个单位，向下平移的范围是之间； ②存在，理由如下， ∵， ∴， 当抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴得到解析式为：， ∴， ∴平移后的抛物线的顶点为， 令 则平移后的抛物线的顶点在抛物线上， 令，解得，， ∴，， 则，是靠近其端点的两个四等分点， 因此，只需将原抛物线的顶点平移到，即可使得矩形的左半边或右半边平移到矩形的中间，点A或点D平移后的点即为对应的点和从而符合条件，也即是直线经过矩形对角线的交点，从而平分矩形的面积， 如图所示， ∵，，原抛物线的顶点是 ∴当抛物线向左平移个单位，向下平移个单位后，与矩形的一组对边分别相交于点，直线平分矩形面积，如图所示的位置； 当抛物线向左平移个单位，向下平移个单位后，与矩形的一组对边分别相交于点，直线平分矩形面积，如图所示的位置； ∴或 ∴存在或使得直线平分矩形面积． 题型模版 1.特征：在二次函数背景下构造矩形，求满足条件的动点坐标或进行证明． 2.方法：先保证平行四边形，再证有一个内角为直角或对角线相等；用勾股定理列方程求解． 变式2-1 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．点P为该抛物线上的任意一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，构造矩形，垂足分别为M、N．设点P的横坐标为m． (1)分别求点A，点B的坐标； (2)当点P在x轴上方时，此时矩形的周长L是否存在最值？若存在，请求出最值；若不存在，请说明理由； (3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)存在最大值，且最大值为 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合思想的运用是解答本题的关键. （1）利用解方程求出函数与坐标轴的交点坐标； （2）由题意可知设P，点P在x轴上方，得到的取值范围，然后分，，三种情况表示矩形的周长，求出最值即可； （3）分和两种情况讨论函数图象的增减性即可解题． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， ∴，     ∴； （2）∵P点横坐标为m， ∴P， ∵当点P在x轴上方， ∴，， ①当时，此时构造产生的图形为一条线段，不存在矩形，舍去； ②当时， ∴，， ∴四边形的周长； ∵开口向下，对称轴不在范围内， 在内，L随m的增大而增大， ∴当时，； ③当时， ∴，， ∴四边形的周长； ∵开口向下，对称轴在范围内， ∴当时，此时： ； ∵， ∴当时，此时； ∴当时，； 综上所述，当点P在x轴上方时，矩形的周长存在最大值，且最大值为； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线， 当时，时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大； 当时，由（1）知抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 当时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大； 综上所述：或时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大． 变式2-2 平面直角坐标系中，对于任意的三个点，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点的“三点矩形”．在点的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点的“最佳三点矩形”． 如图1，矩形，矩形都是点的“三点矩形”，矩形是点的“最佳三点矩形”． 如图2，已知，点． (1)①若，，则点，，的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_______； ②若，点的“最佳三点矩形”的面积为30，求的值； (2)若点在直线上． ①求点的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时的取值范围； ②当点的“最佳三点矩形”为正方形时，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且当点的“最佳三点矩形”面积为12时，或，直接写出抛物线的解析式． 【答案】(1)①，；②或 (2)①；②或 (3)或 【分析】（1）①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，②利用“最佳三点矩形”的定义分类讨论，求解即可； （2）①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将代入，可得x分别为，点P的坐标为或； （3）利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式． 【详解】（1）解：①由题意得， 过M、P作x轴的平行线，过点N、M作y轴的平行线，如图是点M，N，P的“最佳三点矩形”， ∴矩形的长为，矩形的宽为， ∴矩形的周长为，矩形的面积为； ②∵，点， 当时，， ∵， ∴， 解得， 当时，，此时不存在n值， 当时，， ∵， ∴， 解得， ∴或6． （2）解：①， ∴点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12， ∵点在直线上， 分别将代入，可得x分别为0，1； 结合图象可知：； ②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，则边长为6， 分别将代入，可得x分别为，3； ∴点P的坐标为或； （3）解：∵点，，的“最佳三点矩形”面积为12时，， ∴矩形的宽为， ∵或， 如图， 设抛物线的解析式为，经过点， ∴ ，解得 ， ∴， 同理抛物线经过点， ∴，解得，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的解析式或． 变式2-3 （24-25九年级上·吉林·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）经过点和点，点是抛物线上一动点，其横坐标为，过点作轴垂线交直线于点，分别作点关于轴的对称点，构造矩形． (1)求此二次函数的解析式． (2)当抛物线顶点落在矩形的边上时，求矩形的面积． (3)当抛物线在矩形内部的图象随的增大而减小时，求的取值范围． (4)抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标之和的绝对值为2时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)12或36 (3)或 (4)或或或 【分析】（1）直接把，代入，求解即可； （2）分两种情况：当抛物线顶点落在矩形的边上时，当抛物线顶点落在矩形的边上时，分别 求解即可； （3）画出动点P的几种情况图，利用数形结合求解即可； （4）根据抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标之和的绝对值为2，当时，当时，当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得 ， 解得：， ∴； （2）解： ∵ ∴抛物线顶点坐标为， 当抛物线顶点落在矩形的边上时，如图， ∵P、N是关于轴的对称点， ∴轴， ∴点P纵坐标为， ∴点P与抛物线的顶点重合， 即， ∴点， ∴， ∵过点作轴垂线交直线于点， ∴点横坐标为1， 当时， ∴， ∴ ∴矩形的面积； 当抛物线顶点落在矩形的边上时，如图， 同理可得点Q的纵坐标为， 当时，则， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴P点的横坐标为， 当时，则， ∴， ∴， ∴矩形的面积； 综上，矩形的面积为12或36． （3）解：由题意得， 当点P在第二象限，点M恰好在抛物线上时，如图： 则， ∴， 解得：或（舍）， 此时符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小， 当点P向右运动，此时时，符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小，如图： 当点继续向右运动与点重合时，此时矩形不存在，如图： 此时，， 解得：或（舍）， 当点向右运动，点在点下方时，如图： 此时不符合题意， ∴当，符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小； 当点与点重合时，矩形不存在， 当点继续向右运动，在第四象限时，此时，如图，符合题意： 当点继续向右运动，均符合题意，如图： 当点与点重合时，矩形不存在，此时， 解得：或（舍）， 当点继续向右运动，在点上方时，不符合题意 ，如图： ， ∴当，符合抛物线在矩形内部的图像y随x的增大而减小， 综上所述，m的取值范围为：或； （4）解：∵， ∴顶点为，而， 联立， 解得：或， ①当且时，即：，如图： 此时，而， ∴， 解得：（舍）或（舍）或； ②当，即时，记顶点为点，如图： 此时， 则， 整理得，或， 解得：或（舍）或（舍）或（舍）； ③当时， 此时：， 即：， 整理得，， 解得：或（舍）或（舍）； ④时， 此时， 即： 解得：或（舍）或（舍）或（舍）； ⑤当时，不存在． 综上所述：或或或． 【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，矩形的性质，关于y轴对称点的坐标特征，一次函数图象上的点的坐标特征，二次函数最高点与最低点等知识，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键，注意分类讨论． 题型3、二次函数与菱形的综合问题 典例3 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）存在； 当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 题型模版 1.特征：构造菱形，使抛物线上的动点与定点满足四边相等或对角线互相垂直平分． 2.方法：利用四边相等或对角线垂直平分的性质列方程；结合距离公式与二次函数解析式求解． 变式3-1 如图，抛物线与轴交于和两点，在点左边，与轴交于点． (1)直接写出，，三点坐标； (2)如图，为中点，在抛物线上找一点，使，求出点坐标； (3)如图，将（）中的点和及抛物线均向下平移个单位，为新抛物线对称轴右侧上一点，直线与新抛物线交于唯一公共点，与轴交于，是否存在以为对角线的菱形，使点在轴上，点在延长线上，若存在，求菱形的面积，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)存在，． 【分析】（）由抛物线得，当时，，当时，，解得，，从而得出，，三点坐标； （）分当点在上方时，当点在下方时，两种情况求解即可； （）由点和及抛物线均向下平移个单位，则平移后抛物线解析式为，设，则，则直线解析式为，与抛物线联立得，又直线与新抛物线交于唯一公共点，则， 解得，则解析式为，当时，，所以，设，因为四边形是菱形，所以，则，解得，故，由，，设，根据菱形性质求出，同理可得直线解析式为，解得，所以，，最后通过求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线得， 当时，， 当时，， 解得，， ∴，，； （2）解：当点在上方时，在上取点，使，过作，交抛物线于点，交轴于点，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴； 当点在下方时，在上取点，使，过作，交抛物线于点，交轴于点，作点关于轴对称点，连接，交抛物线于点，如图， 由得直线解析式为，， 当时，， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴，垂直平分， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴； 综上可得或； （3）解：∵点和及抛物线均向下平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 设，则，设直线解析式为， 把代入得， ∴直线解析式为， ∴与抛物线联立得， ∴， ∵直线与新抛物线交于唯一公共点， ∴，整理得， 解得， ∴解析式为，当时，， ∴， 设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，整理得， 解得， ∴， 由，， 设， ∴，，解得，， ∴， ∵将（）中的点和及抛物线均向下平移个单位， ∴，， 同理可得直线解析式为， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴． 变式3-2 如图，抛物线y= -x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其对称轴与抛物线交于点D，与x轴交于点 E． (1)求点A，B，D的坐标； (2)点G为抛物线对称轴上的一个动点，从点D出发，沿直线DE以每秒2个单位长度的速度运动，过点G作x轴的平行线，交抛物线于M，N两点（点M在点N的左边）．设点G的运动时间为 ts． ①当t为何值时，以点M，N，B，E为顶点的四边形是平行四边形； ②连接BM，在点C运动的过程中，是否存在点M，使得∠MBD=∠EDB，若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点Q为坐标平面内一点，以线段MN为对角线作菱形MENQ，当菱形MENQ为正方形时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①当t为时，以点M，N，B，E为顶点的四边形是平行四边形；②存在，M点的坐标为 (3) 【分析】（1）令，可得，再把抛物线解析式化为顶点式可得点D，即可求解； （2）①由（1）得，可得DE=8，，再根据平行四边形的性质可得，再由轴，可得，从而得到，则有EG=6，进而得到，即可求解；②设交于P，设，根据∠MBD=∠EDB，可得，在中，由勾股定理可得，然后求出直线BP的解析式，再与抛物线解析式联立，即可求解； （3）根据菱形MENQ为正方形，可得GE=GN=8-2t，从而得到，再把点N得坐标代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：当时， 解得，则， ∵ ∴ 故 （2）解∶①由（1）得：， ∴DE=8，， 根据题意得：DG=2t， ∵点M，N，B，E为顶点的四边形是平行四边形 ∴， ∵轴， ∴， ∴M点的横坐标为0， ∴此时， ∴EG=6， ∴，解得， ∴当t为时，以点M，N，B，E为顶点的四边形是平行四边形； ②存在， 设交于P，如图，设， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组，得（舍去）或， ∴M点的坐标为； （3）解：根据题意得：DG=2t，则GE=8-2t， ∵菱形MENQ为正方形， ∴GE=GN=8-2t， ∴点N到y轴的距离为2+8-2t=10-2t， ∴， 把代入得： ， 整理得： 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、平行四边形的判定和正方形的性质；会利用待定系数法求函数解析式，把求抛物线与一次函数的交点坐标问题转化为解方程组的问题；理解坐标与图形性质． 变式3-3 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其对称轴与抛物线交于点，与轴交于点． (1)求点，，的坐标； (2)点为抛物线对称轴上的一个动点，从点出发，沿直线以每秒2个单位长度的速度运动，过点作轴的平行线，交抛物线于，两点（点在点的左边）．设点的运动时间为． ①当为何值时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形； ②连接，在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点为坐标平面内一点，以线段为对角线作菱形，当菱形为正方形时，请直接写出的值． 【答案】(1)，，； (2)①，②点的坐标为； (3) 【分析】（1）通过解方程＝0得A点和B点坐标；把二次函数的解析式配成顶点式得到D点坐标； （2）①利用平行四边形的性质得MN＝BE＝4，再根据抛物线的对称性得到MG＝NG＝2，则M点的横坐标为0，从而得到此时M（0，6），所以2t＝8−6，然后解方程即可；②设BM交DE于P，如图，设P（2，m），利用∠MBD＝∠EDB得到PD＝PB＝8−m，则利用勾股定理得到m2＋42＝（8−m）2，解方程得到P（2，3），再利用待定系数法确定直线BP的解析式为y＝，然后解方程组得M点坐标； （3）利用正方形的性质得到GN＝GE＝8−2t，则N（10−2t，8−2t），然后把N（10−2t，8−2t）代入y＝得−（10−2t）2＋2（10−2t）＋6＝8−2t，再解方程即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得，，则， ∵， ∴， 故，， （2）解：①∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴， ∴点的横坐标为0，此时， ∴，解得， ∴当为1s时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形； ②存在. 设交于，如图， 设， ∵， ∴， 在中，∵， ∴，解得， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组，得或， ∴点的坐标为 （3）解：∵菱形MENQ为正方形时， ∴GN＝GE＝8−2t， ∴N（10−2t，8−2t）， 把N（10−2t，8−2t）代入y＝，得−（10−2t）2＋2（10−2t）＋6＝8−2t， 整理得t2−9t＋16＝0， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、平行四边形的判定和正方形的性质；会利用待定系数法求函数解析式，把求抛物线与一次函数的交点坐标问题转化为解方程组的问题；理解坐标与图形性质． 题型4、二次函数与正方形的综合问题 典例4 （25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过三点，它的顶点为，且正比例函数的图象与二次函数的图象相交于两点． (1)求该二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)若点的坐标是，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围； (3)试探究：点是轴上一动点，以为边作正方形，除点外还有一个顶点在抛物线上，求出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式是，顶点M的坐标是 (2) (3)或或或； 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，解二元一次方程组，等腰三角形的性质等知识点，求一次函数、二次函数的解析式和交点坐标是解此题的关键，此题题型较好，综合性比较强．用的数学思想是分类讨论的思想． （1）设二次函数的解析式为，把代入即可求出，即得到二次函数的解析式，把它化成顶点式即可求出顶点坐标； （2）把代入即可求出正比例函数的解析式，解由二次函数的解析式和正比例函数的解析式组成的方程组即可求出交点D的坐标，根据图象即可求出答案； （3）设正方形边长为，则，，得到和都垂直轴， 或不可能在抛物线上，或，然后根据、的位置确定点坐标，代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过三点， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得：， 解得 ∴二次函数的解析式为， ∴顶点M的坐标是， 答：该二次函数的解析式是，顶点M的坐标是． （2）解：把代入得：，解得， ∴正比例函数的解析式为， 联立，解得或 ∵ ∴抛物线与正比例函数的另一个交点坐标为， 由图可知：当时，二次函数的值小于正比例函数的值， 答：根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围是． （3）解：设正方形边长为， ∴，， ∵点是轴上一动点，， ∴和都垂直轴， ∴或不可能在抛物线上，或， 当在抛物线上时，则只能是点与重合，此时，或； 当在抛物线上时， 若在的左上方时，，，， 把代入得， 解得（舍去）， 此时，； 若在的左下方时，，，， 把代入得， 解得（舍去）， 此时，； 若在的右上方时，，，， 把代入得，解得（都不符合题意，舍去）； 若在的右下方时，，，， 把代入得，解得（都不符合题意，舍去）； 综上所述，或或或； 题型模版 1.特征：构造正方形，兼具矩形与菱形的双重性质，常与旋转、对称结合． 2.方法：利用邻边相等且垂直、对角线相等且垂直；常通过旋转90°或坐标平移转化，列方程并回代检验． 变式4-1 如图，抛物线与y轴交于点C．已知抛物线顶点坐标为点P在此抛物线上，其坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，结合图象，直接写出n的取值范围． (3)若此抛物线在点P左侧部分(包括点P)恰有三个点到x轴的距离为1，求m的取值范围． (4)当时，以为边作正方形，当此正方形的另外两个顶点中有一个顶点在此抛物线的对称轴上时，直接写出m的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2) (3) (4)或或 【分析】（1）由，得抛物线的顶点坐标为，则，求得，所以抛物线的解析式为； （2）由在抛物线上，得，当时，，当时，，而抛物线的顶点坐标为，可知当时，的最小值和最大值分别为和2，所以的取值范围是； （3）当点到轴的距离为1时，或，由，求得；由，求得，则点到轴的距离均为1，所以的取值范围是； （4）由（1）得，抛物线的对称轴为直线，再分三种情况讨论，①以为边作正方形，当此正方形的顶点Q在此抛物线的对称轴上时，如图2，作轴，作于点于点，证明，得出，列出等式即可求解；②是点为抛物线与轴的交点，作交直线于点，连结，作轴于点，则是等腰直角三角形，符合题意以为边作正方形，有一个顶点在此抛物线的对称轴上，即可确定点的横坐标；③以为边作正方形，有一个顶点在此抛物线的对称轴上，此时是等腰直角三角形，点在直线上，且，作轴，作于点于点，可证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴将代入， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）理由：∵在抛物线上， ， 当时，， 当时，， ∵得抛物线的顶点坐标为， ∴当点与抛物线的顶点重合时，则， ∴当时，的最小值和最大值分别为和2， ∴的取值范围是． （3）当点到轴的距离为1时，或， 当时，则， 解得：； 当时，则， 解得：， 如图1，点到轴的距离均为1， ∵抛物线在点左侧部分(包括点)恰有三个点到轴的距离为1， ∴的取值范围是． （4）当时， ①以为边作正方形，当此正方形的顶点Q在此抛物线的对称轴上时，如图2， 作轴，作于点于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：(不符合题意，舍去)； ②如图3，点为抛物线与轴的交点，作交直线于点，连结，作轴于点， ， ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形，符合以为边的四边形是正方形，此时正方形的顶点Q在此抛物线的对称轴上， 当时，则， 解得(不符合题意，舍去)； ③如图4，以为边作正方形，当此正方形的顶点Q在此抛物线的对称轴上时，是等腰直角三角形，且，点在直线上， ， 作轴，作于点于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：(不符合题意，舍去)， 综上所述，或或． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法是解题的关键，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 变式4-2 综合与探究 如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式． (2)当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值． (3)若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为； (2)最大值为； (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，点的坐标为，得到四边形周长为，利用二次函数的性质求解即可； （3）分三种情况讨论，利用正方形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形周长为， ∵， ∴当时，四边形周长有最大值， 最大值为； （3）解：当为正方形时，如图， ∵点和点， ∴， ∴点与点关于对称轴对称， ∴点， ∴点， ∴点的坐标为； 当为正方形时，如图，设正方形的中心为点， ∵，， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴，即，解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为； 当为正方形时，如图，设正方形的中心为点， 显然点与点关于对称轴对称， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求函数表达式、正方形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度． 变式4-3 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，点，点为抛物线上不重合的两个点，点的横坐标为，点的横坐标为． (1)点的坐标为___________； (2)当时，求的长度； (3)当抛物线上两点之间的部分（包括两点）对应的函数值随的增大而先减小后增大时，设函数值最大值与最小值差为，求与的关系式，并写出自变量的取值范围； (4)过两点中较高的点作轴的垂线交抛物线于另一个交点，以这个较高的点与点的连线为边向其下方作正方形．当点在该正方形内部，点在该正方形外部，且点到该正方形边的最小距离是1，求的值． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)或 【分析】（1）将解析式化成顶点式，即可得出顶点坐标； （2）把代入计算出点M、N的坐标，继而可求得的长度； （3）先求得函数最小值为，再根据函数的增减性求得，然后分当时；当时； 根据函数值最大值与最小值差为，列式即可求解； （4）分两种情况：①当M为最高点或对应函数值相等时，即时，点在该正方形内部，点在该正方形外部；②当N为最高点时，即时，点在该正方形内部，点在该正方形外部；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， 　∴抛物线的顶点的坐标为． （2）解：∵点的横坐标为，点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， 当时，， ，， ∴，， ∴轴， ∴． （3）解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值为， ∵抛物线上两点之间的部分（包括两点）对应的函数值随的增大而先减小后增大， ∴且， 解得：， 当时，解得：， ∴在时，抛物线上两点之间的部分（包括两点）对应的函数值最大值为，最小值为， 又∵函数值最大值与最小值差为， ∴， 即； 当时，解得： ， ∴当时，抛物线上两点之间的部分（包括两点）对应的函数值最大值为，最小值为， 又∵函数值最大值与最小值差为， ∴， 即． 综上，与的关系式为． （4）解：当M，N两点时，即解得：， 分两种情况： ①当M为最高点或对应函数值相等时，即时，点在该正方形内部，点在该正方形外部，如图， ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，， 又∵轴， ∴， ∴， ∵点到该正方形边的最小距离是1， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，即， 解得：，（舍去）； ②当N为最高点时，即时，点在该正方形内部，点在该正方形外部，如图， ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，， 又∵轴， ∴， ∴， ∵点到该正方形边的最小距离是1， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，即， 解得：（舍去），； 综上，当点在该正方形内部，点在该正方形外部，且点到该正方形边的最小距离是1，的值为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，以及最值、正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 题型5、二次函数与四边形的综合问题 典例5 小亮同学喜欢研究数学问题．他在一本资料中看到一个新的数学概念“对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形”，并对垂等四边形进行了研究．具体内容如下：    (1)【理解应用】如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形是垂等四边形，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标； (2)【规律初探】如图2，正方形的边长为a，点E在边上，点F在边上，点G在边上，点H在边上，若四边形满足，请直接写出四边形面积S的取值范围； (3)【综合探究】如图3，已知抛物线与x轴交于M，N两点，点M在点N的左侧，P，Q两点在该抛物线上．若以M，N，P，Q为顶点的四边形是垂等四边形且．设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，且，求m的值． 【答案】(1)点B的坐标为； (2)； (3)m的值为2或4． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，新定义图形问题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，本题的关键是理解新定义的图形，分类讨论解决问题． （1）过点B作轴于点K，可证得，得出，，进而可求得点B的坐标； （2）当四边形的顶点分别与正方形的顶点重合时，最大，当四边形的顶点E、F无限趋近B或E、H无限趋近A，G、H无限趋近D或F、G无限趋近C时，最小，分别确定S的最大值和最小值即可； （3）求出点P和点Q的坐标，分点P，Q在轴上方和点P，Q在轴下方两种情况，求出一次函数的解析式，联立二次函数求交点即可得到m的值． 【详解】（1）解：（1）如图1，过点B作轴于点K，    则， ∵， ∴， ∵四边形是垂等四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点B的坐标为； （2）解：如图2，当四边形的顶点分别与正方形的顶点重合时，最大，，    当四边形的顶点E、F无限趋近B或E、H无限趋近A，G、H无限趋近D或F、G无限趋近C时，最小，无限趋近于0， ∴； （3）解：把代入， 得， 解得，， ∴点M的坐标为，点N的坐标为， ∵以M，N，P，Q为顶点的四边形是垂等四边形且， ∴，且， 若点P，Q在x轴上方， 设与交于点K，过点K作轴，垂足为L，如图3，    由二次函数的对称性，且，， 得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点K的坐标为， 设直线的解析式为， 代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， 解得，（点M的坐标，舍去）， ∴m的值为2； 若点P，Q在x轴下方，如图4，    同理可得直线的解析式为， 联立， 解得，（点M的坐标，舍去）， ∴m的值为4； 综上所述，m的值为2或4． 题型模版 1.特征：一般四边形或多种特殊四边形混合，涉及判定、面积、周长、最值等综合问题． 2.方法：根据条件选择对应判定定理，用坐标法表示边、角、对角线；综合运用二次函数性质与几何模型求解． 变式5-1 （25-26九年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，其横坐标为，直线交该抛物线的对称轴于点，点、关于点的对称点分别为Q、E，顺次连接点P、C、Q、E，得到四边形． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)写出点的坐标___________； (3)当点在第一象限时，四边形的边与抛物线共有两个交点（四边形的顶点除外），求的取值范围； (4)直接写出使得四边形成为轴对称图形时的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或1，， 【分析】（1）将点代入抛物线，即可求解； （2）对于抛物线，令，求出，令，求出，运用待定系数法求出直线的解析式为，将抛物线解析式化为顶点式，得到对称轴为直线，从而得到点D的横坐标为，把代入函数，即可求出点D的坐标； （3）解：根据点关于点的对称点为点E，得到，可判断点E在抛物线的下方．设，其中，同理根据对称可得，根据四边形的边与抛物线共有两个交点，得到点Q在抛物线的上方，因此列出不等式，求解即可； （4）根据点、关于点的对称点分别为Q、E，可得四边形是平行四边形，因此四边形是菱形或矩形，据此分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（为常数）与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：对于抛物线， 令，则，解得，， ∴， 令，则， ∴． 设直线的函数解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为． ∵抛物线， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， ∵直线交抛物线的对称轴于点， ∴点D的横坐标为， 把代入函数，得， ∴． （3）解：∵点关于点的对称点为点E， ∴点D是的中点， ∴， ∵对于抛物线，当时，， ∴点E在抛物线的下方． ∵点在抛物线上，且在第一象限，其横坐标为， ∴设，其中， ∵点关于点的对称点为点Q， ∴， ∵四边形的边与抛物线共有两个交点， ∴点Q在抛物线的上方， ∵对于抛物线，当时，， ∴， 即， ∴或， ∵， ∴m的取值范围为． （4）解：∵点、关于点的对称点分别为Q、E， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是轴对称图形，则四边形是菱形或矩形． ①当四边形是菱形时，， 连接， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 由抛物线的对称性可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点P在上， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得或， ∴点P的坐标为或， 即或． ②当四边形是矩形时， ∵，，， ∴， ， ∴， 即， ∴， ∴或， ∴，，，． ∵当时，点P与点C重合，舍去． 综上所述，得四边形成为轴对称图形时的值为或1，，． 变式5-2 （25-26九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、，已知点，作点A关于点E的对称点C，作点B关于点E的对称点D，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式． (2)设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值． (3)当时，若抛物线在四边形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，求m的取值范围． (4)当四边形是矩形时，直接写出m的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据A、B两点与抛物线对称轴的相对位置进行分类讨论，确定图象G的最高点与最低点的纵坐标，再结合题意列出方程，求出m的值即可； （3）由题意得，，，，，再结合图象找到3个临界位置：点在抛物线上、当点共线、当直线过抛物线的顶点，分别求出对应的值，即可求出m的取值范围； （4）根据矩形的性质得到，根据中心对称的性质得到，，则，再利用勾股定理列出方程，求出m的值即可． 【详解】（1）解：代入和到，得， 解得， ∴抛物线所对应的函数表达式为； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、， ∴，． ①当A、B两点均在对称轴左侧，且A点在B点左侧， ， 解得， ∵抛物线在A、B两点之间的图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为3， 又∵二次函数开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴， 解得，符合题意； ②当A、B两点均在对称轴左侧，且A点在B点右侧， ， 解得， ∵抛物线在A、B两点之间的图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为3， 又∵二次函数开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴， 解得，符合题意； ③当A、B两点均在对称轴右侧， ， 该不等式组无解，故此情况不存在； ④当A点位于对称轴左侧，B点位于对称轴右侧， ， 解得， 此时A点到对称轴的距离为，B点到对称轴的距离为， ∵， ∴A点为图象G的最高点， ∵抛物线的顶点坐标为，且为图象G的最低点， ∴， ∴，不符合题意，舍去； ⑤当A点位于对称轴右侧，B点位于对称轴左侧， ， 解得， 此时A点到对称轴的距离为，B点到对称轴的距离为， ∵， ∴B点为图象G的最高点， ∵抛物线的顶点坐标为，且为图象G的最低点， ∴， ∴，不符合题意，舍去； 综上所述，m的值为或． （3）解：∵，，点C为点A关于点E的对称点， ∴， 同理可得，，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 当点在抛物线上时，则， 解得，（舍去）； 当点共线时， 代入，得， 解得，（舍去）； 当直线过抛物线的顶点时， 代入，得， 解得，（舍去）； ∵当时，抛物线在四边形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大， ∴m的取值范围为或； （4）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点A关于点E的对称点C，点B关于点E的对称点D， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， 整理得：， 解得，，（此时A、B重合，舍去）， ∴m的值为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数最值问题、中心对称的性质、求一次函数解析式、矩形的性质、勾股定理，运用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．本题属于函数综合题，综合要求较高，同时涉及较大的计算量，适合有能力解决压轴题的学生． 变式5-3 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 【答案】(1) (2)3秒 (3)当时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据抛物线过点，，对称轴是求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，求出，根据四边形为平行四边形得．设，，得出求解即可； （3）根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 21．（2025·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与直线交于、两点（在左侧），点在抛物线上，横坐标为，点不与点和点重合，连接、． (1)点的坐标为_______；点的坐标为_______； (2)当是直角三角形时，求的值； (3)以，为边构造平行四边形． ①当抛物线的图象在平行四边形内部（不包括边界）的部分对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围； ②设点C是抛物线的顶点，平行四边形的边与直线的交点为（点、、、除外），当线段将平行四边形的面积分成时，求的值． 【答案】(1)， (2)； (3)①或；② 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）抛物线解析式中令，即可求解； （2）由题可知，再由勾股定理建立方程求值即可； （3）①数形结合解题即可； ②先求直线的解析式，分别表示出和，可求出它们的比值，根据题意可计算出的长，又点在点左侧，则，代入直线解析式即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ∴，； 故答案为：，； （2）解：∵是直角三角形， ∴， ∵点横坐标为， ∴， 在中，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ， ∴或， 解得：或（舍去）， ∴； （3）解：①如图，当时，抛物线的图象在平行四边形内部（不包括边界）的部分对应的函数值随的增大而减小； 当时，抛物线的图象在平行四边形内部（不包括边界）的部分对应的函数值随的增大而减小； 综上所述，或； ②由题意知：， 设直线的解析式为：， 代入，可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：； ∵，，设平行四边形的高为， 线段将平行四边形的面积分成的两部分为和， 则有，， ∴， 依题意有：或； 当时，， 解得：， ∴， ∵点在点左侧，则， 代入直线解析式有：， 解得：； 当时，， 解得：（舍去）； 综上所述，时，线段将平行四边形的面积分成． 22．已知二次函数的图象经过点和． (1)求此二次函数的解析式、对称轴及顶点坐标； (2)设点是函数图象上一动点，且位于第四象限，四边形是以为对角线的平行四边形．求平行四边形的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当平行四边形的面积为24时，判断平行四边形是否为菱形？并判断是否存在点，使得平行四边形为正方形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3)当平行四边形的面积为24时，点D坐标为或，且点D坐标为时，平行四边形为菱形；不存在点，使得平行四边形为正方形，理由见解析 【分析】（1）根据题意可设交点式，再利用待定系数法求解，最后改为一般式即可；将一般式改为顶点式，即可直接得出对称轴和顶点坐标； （2）由题意可知，．再根据，结合三角形面积公式求解即可； （3）将代入，解得：，．分类讨论：①当时，此时，分别求出和的长，即得出，此时平行四边形是菱形；②当时，此时，分别求出和的长，即得出，此时平行四边形不是菱形；当平行四边形为正方形时，，即得出，从而得出，此时点D不在抛物线上，即不存在点，使得平行四边形为正方形． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴可设该二次函数解析式为． ∵二次函数的图象又经过点， ∴， 解得：， ∴该二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵ ， ∴． ∵点是函数图象上一动点，且位于第四象限， ∴，且，即． ∵四边形是平行四边形， ∴； （3）解：当时，即， 解得：，． 分类讨论：①当时，，即此时， ∴，， ∴， ∴此时平行四边形是菱形； ②当时，，即此时， ∴，， ∴， ∴此时平行四边形不是菱形； 当平行四边形为正方形时，，， ∵， ∴， ∴． 对于，令，则， ∴此时点D不在抛物线上，即不存在点，使得平行四边形为正方形． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，求二次函数的对称轴、顶点坐标，二次函数与面积的综合，二次函数与特殊四边形的综合，特殊四边形的判定和性质等知识．正确求出二次函数解析式并利用数形结合的思想是解题关键． 23．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)连接，，求面积的最大值及此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，若F是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)的面积最大值为9，此时点P的坐标为 (3)或或 【分析】（1）根据二次函数解析式分别求出自变量和函数值为0时自变量或函数值即可求出A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线的函数表达式即可； （2）过点P作轴交于D，设，则，则，根据，可得，则当时，的面积最大，最大值为9，此时点P的坐标为 （3）设，，再分当为对角线时， 当为对角线时， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可。 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴； 在中，当时，解得或， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：如图所示，过点P作轴交于D， 设，则， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为9，此时点P的坐标为 （3）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设，， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴点Q的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴点Q的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或或． 24．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或或 【分析】本题考查了二次函数与特殊的平行四边形综合，勾股定理． （1）待定系数法求抛物线表达式即可； （2）由题意知，平移后函数解析式为，联立得，解得，，即；由为原抛物线对称轴上的一点，设，，由题意知，以点，为顶点的四边形为矩形，分以为边，以为对角线两种情况求解：①当以为边，时，则，为对角线，，，，由勾股定理得，，即，解得，，则，由，的中点坐标相同，可得，计算求解可得点坐标；同理对当以为边，当时，则，为对角线；②当以为对角线，时，，为对角线； 分别计算求解即可． 【详解】（1）解：将和代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，， ∴平移后函数解析式为， 联立得， 解得，， ∴； ∵为原抛物线对称轴上的一点， ∴设，， 由题意知，以点，为顶点的四边形为矩形，分以为边，以为对角线两种情况求解： ①当以为边，时，则，为对角线， ∴，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∵，为对角线， ∴，的中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； 当以为边，当时，则，为对角线， 同理，即， 解得，， ∴， ∵，的中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； ②当以为对角线，时，，为对角线， ∴，，， 由勾股定理得，，即，整理得，， 解得，或， ∴或 当时， ∵，中点相同， ∴， 解得，， ∴； 当时， ∵，中点相同， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在点，且或或或． 25．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：与轴交于点，对称轴是直线，点在此抛物线上，其横坐标分别为，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴于，以为邻边作矩形．若抛物线在矩形内部的部分随的增大而增大，则的取值范围是______， (3)记两点之间的竖直距离为； ①求与的函数关系式； ②若存在个不同的值对应的值相同，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质并运用数形结合思想解答是解题的关键． （）根据对称轴方程求出的值即可求解； （）根据二次函数的性质解答即可求解； （）①根据点的横坐标求出其纵坐标，进而得到的关系式，再根据绝对值的性质化简即可；②根据①所得函数关系式画出函数图象，再根据函数图象解答即可； 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线在矩形内部的部分随的增大而增大，的横坐标为， ∴， 又∵ ∴， 故答案为：； （3）解：①∵点在此抛物线上，其横坐标分别为，， ∴，， ∴， 当时，， 此时； 当时，， 此时； 综上，； ②由①画函数图象如下：    ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 由函数图象可知，当时，存在个不同的值对应的值相同， ∴的取值范围为． 26．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴正半轴交于另一点A，点B在抛物线上，点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以为对角线作矩形，垂直于y轴． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出m的取值范围； (3)当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值； (4)当矩形为正方形时，直接写出m的值． 【答案】(1)， (2)且 (3)或或或 (4)或 【分析】（1）将原点O，点B代入解析式中求解，即可得到抛物线的解析式，再将其化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标； （2）根据抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，结合点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以及垂直于y轴，画出草图，推出满足题干条件的临界点，利用数形结合进行分析，即可解题； （3）根据二次函数解析式得到，再分两种情况，当点在点的上方时，当点在点的下方时，结合矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2，建立方程求解，即可解题； （4）由（3）可知，根据矩形为正方形，得到，据此建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线经过原点O，点B在抛物线上， ， 解得， 抛物线的解析式为， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m， 又以为对角线作矩形，垂直于y轴，且抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，如图： 则当M在C上方时满足条件， 当点重合时，为满足题干条件的临界点， 当时，有， 解得， 此时，， 当且时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升； （3）解：点M横坐标为m， ， 当点在点的上方时， 矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2， ， 解得或； 当点在点的下方时， 矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2， ， 解得或； 综上，当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，m的值为或或或； （4）解：由（3）可知， 矩形为正方形， ， ，即 或， 解得或（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）， 综上，当矩形为正方形时， m的值为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，矩形的性质，坐标与图形的性质，正方形的性质，数形结合是解答本题的关键． 27．已知抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A．    (1)判断的形状，并说明理由． (2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作轴于H，交于点Q，设四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和的面积； (3)在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) 解：是直角三角形，理由如下： x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A． 当时，， 当时，， 则或， ，，， ，，， ，，， ，即， 是直角三角形，且． (2)，，1 (3)存在，点M坐标为或或或或 【分析】（1）根据二次函数解析式求出点A，B，C的坐标，表示出，，的长度，利用勾股定理逆定理可得结论； （2）根据A，C的坐标可得出直线的解析式，由点P的坐标表示出点Q的坐标，根据可表示出四边形的面积，利用二次函数的性质可得结论； （3）由菱形的对称性可知，若以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，则是等腰三角形，分三种情况讨论，列出方程解之即可． 【详解】（1）略 （2）设直线的解析式的解析式为：， ， ， ， 解得：， 直线的解析式的解析式为：， ∵点是抛物线在第一象限部分上的点，轴， ，，， ， ， ， ， 当时，的最大值为8，此时， ，， ； （3）点M坐标为或或或或 ，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线，则可设， 由（1）（2）可知：，， ，，， 由菱形的对称性可知，若以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，则是等腰三角形，则需要分以下三种情况： ①当时，则， 解得， ∴或； ②当时，则， 解得， ∴或； ③当时，则， 解得：， ∴． 综上，存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，点坐标为或或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质及勾股定理的逆定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 28．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在x轴正半轴上，点C的坐标为，抛物线经过O，A两点． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线与线段的交点为D，连接，将沿直线折叠，点C的对应点为E，连接，求的长度． (3)在抛物线的对称轴上存在一点P，使得，请写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）先求出点D的坐标，延长交y轴与点G，延长交x轴与点F，证明是等腰直角三角形，得到，由折叠的性质得：，推出，求出，，利用勾股定理即可求解； （3）设与抛物线对称轴交于点H，连接，求出直线的解析式为，根据抛物线的对称轴为，求出点，设，则，根据，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：，，抛物线经过O，A两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：四边形是菱形，， 点的纵坐标为4， 令抛物线， 解得：或， 根据题意：， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， 延长交y轴与点G，延长交x轴与点F， 轴， 轴， 则， 是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质得：， ， 轴， ，即轴， ，， ，， ； （3）解：设与抛物线对称轴交于点H，连接， 由（2）知， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为， ， ， 设，则， ， ， ， 解得：或， 或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与图形面积问题，折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用二次函数的性质是解题的关键． 29．抛物线与轴交于原点和点，点为抛物线的顶点，点，为抛物线上不重合的两个点． (1)求的值； (2)试判断是否存在实数使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由； (3)记点，两点之间的部分（包括，两点）为图象，点在图象上，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②图象上的最低点关于抛物线对称轴的对称点记为点，再以最低点与点的连线为边向其上方作正方形，点到正方形边的最小距离记为．当点在该正方形内部，点在该正方形外部，且时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)解：不存在，理由如下： 由(1)得抛物线解析式为， ∴ ，， ∴ ， 令， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 方程无实数根， ∴ 不存在实数使得． (3)①；②或 【分析】(1) 将点代入抛物线解析式求． (2) 用表示，代入得到关于的一元二次方程，由判别式判断是否存在实数解． (3) ① 先确定抛物线顶点和对称轴，根据点在图象上确定的取值范围，再分最低点在处和处两种情况求． ② 分两种情况讨论最低点的位置，作出正方形后根据点在内部、点在外部以及建立方程求解． 【详解】（1）解：∵ 抛物线过点， ∴ ， ∴ ． （2）略 （3）① 解：∵ ， ∴ 顶点，对称轴为直线， ∵ 点在图象上， ∴ ， ∴ ， ∵ 抛物线开口向下， ∴ 图象的最高点为，， 当时，，最低点在点处， ， ∴ ， 当时，，最低点在点处， ， ∴ ， ∴ ． ② 解：当时，最低点为，对称点， 以为边向上作正方形，此时在正方形上方， 点到正方形各边距离中，到上边的距离最小， ， 令， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 当时，最低点为，对称点， 以为边向上作正方形，此时在正方形上方， 点到正方形各边距离中，到上边的距离最小， ， 令， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 综上，或． 30．定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线为抛物线的“衍生直线”．如图1，抛物线与其“衍生直线”交于A，B两点（点B在x轴上，点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点．    (1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A的坐标； (2)如图2，抛物线的“衍生直线”与y轴交于点，依次作正方形，正方形，…，正方形（n为正整数），使得点，，，…，在“衍生直线”上，点，，，…，在x轴负半轴上． ①直接写出下列点的坐标：______，______，______，______； ②试判断点，，…，是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为，“衍生直线”的表达式为，点A的坐标为 (2)①，，，；②是，这条直线的解析式为 【分析】（1）由题意可知，再根据“衍生直线”的定义可知“衍生直线”的表达式为．进而可求出点B的坐标．由抛物线与x轴交于点，，即可直接得出抛物线的表达式为．联立、，解之即可求出点A的坐标； （2）①根据题意可求出，即得出．结合正方形的性质可得出，即可求出．再根据点，，，…，在直线上，可求出，从而可求出，同理得出，…，； ②由，令，，结合幂的运算法则即可得出这条直线的表达式． 【详解】（1）解：抛物线为， ， “衍生直线”的表达式为． “衍生直线”与x轴交于点B， 点B的坐标为． 抛物线与x轴交于点，， 抛物线的表达式为． 令，解得或， 把代入，得， 点A的坐标为； （2）解：①对于，令，则， ∴， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵点，，，…，在“衍生直线”上，即在直线上， ∴， ∴． 同理可求出，…，． 故答案为：，，，； ②点，，…，在同一条直线上． 令，， ∴， ∴， 这条直线的表达式为． 【点睛】本题为二次函数和一次函数的综合题，考查二次函数和一次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，正方形的性质，幂的运算，坐标与图形等知识．理解题意，掌握“衍生直线”的定义是解题关键． 31．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，O是原点．抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，其横坐标是m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，求点P的坐标； (3)设此抛物线在点A与点P之间的部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h，当，且时，求m的值； (4)取的中点M，连接，以为对角线作正方形，当，且正方形的顶点N或Q落在x轴上时，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）把代入抛物线利用待定系数法求解即可． （2）先求出点坐标，根据，得出点纵坐标为 4 ，则，解方程即可求解． （3）先求出抛物线的顶点坐标为，当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可．当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可． （4）分两种情况：①如图，过作轴．证明，得出，从而得， 根据， 得出， 根据， 列出方程， 求解即可．②如图所示：同理证明，得出，根据，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线得：， ， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为与轴交于点， ， ， ∴点纵坐标为 4 ， ， ， ． （3）解：抛物线， 故顶点坐标为， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， ， ， ， 综上所述，或． （4）解：①如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，   ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②如图所示：如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 或2， ， ， 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，二次函数的最值问题等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 32．已知抛物线． (1)画抛物线时，如果列出的两组数据如表（信息不完整）所示，请直接写出该抛物线的对称轴，并求此时和之间的数量关系； 1 2 2 (2)已知点为抛物线与轴的交点，点、在抛物线上，连接、、和． ①如果四边形为正方形，那么的值是 ，和之间的数量关系是 ； ②如图，当时，已知四边形为菱形，．点在抛物线上且横坐标为2，连接、，如果的面积为，求抛物线的表达式． 【答案】(1)抛物线的对称轴是， (2)①， ② 【分析】（1）根据表中两个点的坐标可知，抛物线经过点和，并且这两点对称，所以可知对称轴为； （2）根据正方形的性质可知抛物线的对称轴是，所以；根据正方形的对角线互相平分且相等，把点、的坐标表示出来，并表示出的长度，根据找出和的关系； （3）根据菱形的性质，可知点的坐标，把点的坐标代入抛物线的解析式，可得抛物线的解析式为，点的坐标，点的坐标为，用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标，从而可知，根据的面积为，可得，解方程求出的值，再根据求出的值，从而得到抛物线的解析式． 【详解】（1）解：由表可知，抛物线经过点和， 抛物线的对称轴是， ， 抛物线的解析式是， 把点的坐标代入可得： （2）①解：当时，可得：， 点的坐标为， 四边形是正方形，是正方形的对角线， 点、关于对称， 抛物线的对称轴是， ； ，点、的纵坐标是， 可得：， 整理得：， 解得：， 点的坐标为，点的坐标为， ， 可得：， ， 解得：或（不符合题意，舍去）； ②解：如下图所示，连接，、， 四边形为菱形， ，，， ， ， ， ，， 点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为，点的坐标， 点的横坐标为， ， 点的坐标为， 设直线的解析式是， 则有， 解得： ， 直线的解析式是， 当时，可得：， 点的坐标为, ， ， ， ， ， 抛物线的解析式为． 33．（25-26九年级下·四川内江·期中）如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，，． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线与关于原点对称，设抛物线的顶点为M，抛物线与x轴分别交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形的面积为S．若点A、点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形的面积S与运动时间之间的关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当t为何值时，四边形的面积S有最大值，并求出此最大值； (4)在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)时，四边形的面积S有最大值，最大值为 (4)秒 【分析】（1）直接用待定系数法求解即可； （2）先根据抛物线与关于原点对称，求出抛物线的解析式为，进而求出t秒后，，，然后根据求解即可； （3）根据（2）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可得出S的最大值及对应的t的值． （4）根据矩形的性质可知：当时，据此可求出t的值． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入，得 解得， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵抛物线与关于原点对称， ∴设抛物线的解析式为即， ∴． 解，得， ∴． t秒后，，． 当A与D重合时，， 解得， ∴．` 过点N作，垂足为H． 当运动到时刻t时，，． 根据中心对称的性质， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴； （3）解：∵ ∴时，四边形的面积S有最大值，最大值为； （4）解：在运动过程中四边形能形成矩形． 由（2）知四边形是平行四边形，对角线是， ∴当时四边形是矩形， ∵， ∴ ∴． 解得，（舍）． ∴在运动过程中四边形可以形成矩形，此时． 34．（2025·湖北随州·模拟预测）如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形， 理由如下： ∵抛物线与y轴交于点C， 令，则， ∴点， 令，则， 解得， ∴，， ∴由平移的性质可知， ∵， ∴是平行四边形； (2)或或； (3)存在，或或或 【分析】此题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）证明，即可得到是平行四边形； （2）①若为的对角线时，则与互相平分，② 若为的对角线，则与互相平分，③ 若为的对角线，则与互相平分，分三种情况进行解答即可； （3）要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形，分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）∵抛物线的解析式为， ∴点， 设点， ∵，， ①若为的对角线时，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ② 若为的对角线，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ③ 若为的对角线，则与互相平分 ∴    ∴ 解得   ∴ 综上所述，点G的坐标为或或； （3）存在， 要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形， ∵点G在对称轴上， ∴设点G的坐标为， 由勾股定理，得，， ①若，则 即， 得， 此时点G的坐标为， ② 若，则， 解得， 此时点G的坐标为， ③ 若，则， 解得， 此时点G的坐标为或， 综上可知，点G的坐标为或或或． 35．已知抛物线（，，为常数，）与轴相交于，两点（点在点的左侧），抛物线顶点为，对称轴与轴交点为，对称轴上有，两点，点在轴上方． (1)若，，，求该抛物线顶点的坐标； (2)若，，当点与点重合时，且四边形为正方形时，求的值； (3)若，四边形为菱形，在线段上有动点，抛物线上有点，使得四边形为平行四边形，当时，的最小值取得，求此时点的坐标和的值． 【答案】(1)顶点 (2) (3)， 【分析】（1）将，，代入抛物线解析式，通过配方法化为顶点式，直接读出顶点坐标． （2）由设顶点式，根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，结合点与点重合，得；再由点在抛物线上求得，从而建立方程解得，展开顶点式得，，代入条件建立关于的方程，求解后得到的值． （3）由菱形且确定，，利用平行四边形的对边平行推出，故点在直线上；再构造平行四边形将转化为，通过作点关于直线的对称点，将转化为，利用两点之间线段最短求出最小值，从而确定及点，的坐标，联立直线与求得点的坐标，最后由对称轴及点确定抛物线解析式为，代入点求出的值． 【详解】（1）解：，，， 该抛物线的解析式为， ， 该抛物线顶点的坐标为． （2）解：由，可设抛物线， 点与点重合，且四边形为正方形， ， ， ， 点为抛物线与轴的交点，由得， ， ， ， ， 抛物线，其中，， ， ，即， 解得， ． （3）解：连接， 四边形为菱形，， ，，，且， 四边形为平行四边形， ，且，， ，且， 四边形为平行四边形， ， ，点在直线上， 点在直线上， 作点关于直线的对称点，连接 ， ， 当，，三点共线时，取得最小值，即， 设点，则点， ， ，解得，（舍）， ，， 设直线解析式为， 代入，得，， 解得， 的解析式为， 当时，， ， 又对称轴为直线， 解析式为，且过， ， 解析式为， 将点代入，得， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次函数与四边形的综合问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、二次函数与平行四边形的综合问题 题型2、二次函数与矩形的综合问题 题型3、二次函数与菱形的综合问题 题型4、二次函数与正方形的综合问题 题型5、二次函数与四边形的综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 解决二次函数与四边形的综合问题，核心在于用坐标法把四边形的几何性质转化为代数关系；平行四边形抓住对角线互相平分，矩形抓住直角或对角线相等，菱形抓住四边相等或对角线垂直，正方形则兼而有之；要善于设出动点坐标，利用中点公式、距离公式、斜率与垂直关系建立方程；对于存在性问题必须分类讨论，求出坐标后回代检验是否满足题设条件． 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型1、二次函数与平行四边形的综合问题 典例1 （25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为，如果四边形是平行四边形．求、之间的关系式（结果用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，若抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且． 求的值； 若抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标记为，请直接写出的取值范围． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与定点构成平行四边形，或判断、求使四边形为平行四边形的点． 2.方法：利用平行四边形对角线互相平分（中点重合）列坐标方程；按已知三点为顶点时分第四点为边或对角线分类讨论． 变式1-1 （2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 变式1-2 （25-26九年级上·浙江·单元复习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴的交点分别为点B和点C，抛物线经过点B、点C，且与x轴交于另一点A．点P为线段上的一个动点，连接，在上方作，交抛物线于点E． (1)请求出抛物线的解析式及点A的坐标； (2)如图2，当平分时，请求出的长； (3)点N是y轴上的一点，在（2）的条件下，抛物线上是否存在点M，使得以点M、N、P、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-3 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，、为该抛物线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为．当点不在轴上时，过点作轴的垂线交轴于点，以、为边作平行四边形，将平行四边形向轴正方向平移1个单位长度得到平行四边形（点、、、的对应点分别为点、、、）． (1)求抛物线的解析式； (2)当平行四边形是矩形时，求的值； (3)当轴将平行四边形分成面积相等的两部分图形时，求平行四边形的面积； (4)当抛物线在轴右侧的部分与平行四边形有两个公共点，且右公共点与左公共点的横坐标之差小于1时，直接写出的取值范围． 题型2、二次函数与矩形的综合问题 典例2 （24-25九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，矩形的一边长为，且位于第一象限，点的坐标为，点在轴上．抛物线经过点和点，且抛物线的顶点在线段上， (1)求抛物线的解析式； (2)矩形与矩形关于原点对称，平移抛物线， ①若平移后的抛物线在矩形内的部分是轴对称图形，请探究抛物线如何平移？ ②将抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，．若平移后的抛物线与矩形的一组对边分别相交于点，是否存在直线平分矩形面积的情形？若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：在二次函数背景下构造矩形，求满足条件的动点坐标或进行证明． 2.方法：先保证平行四边形，再证有一个内角为直角或对角线相等；用勾股定理列方程求解． 变式2-1 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．点P为该抛物线上的任意一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，构造矩形，垂足分别为M、N．设点P的横坐标为m． (1)分别求点A，点B的坐标； (2)当点P在x轴上方时，此时矩形的周长L是否存在最值？若存在，请求出最值；若不存在，请说明理由； (3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 变式2-2 平面直角坐标系中，对于任意的三个点，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点的“三点矩形”．在点的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点的“最佳三点矩形”． 如图1，矩形，矩形都是点的“三点矩形”，矩形是点的“最佳三点矩形”． 如图2，已知，点． (1)①若，，则点，，的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_______； ②若，点的“最佳三点矩形”的面积为30，求的值； (2)若点在直线上． ①求点的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时的取值范围； ②当点的“最佳三点矩形”为正方形时，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且当点的“最佳三点矩形”面积为12时，或，直接写出抛物线的解析式． 变式2-3 （24-25九年级上·吉林·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）经过点和点，点是抛物线上一动点，其横坐标为，过点作轴垂线交直线于点，分别作点关于轴的对称点，构造矩形． (1)求此二次函数的解析式． (2)当抛物线顶点落在矩形的边上时，求矩形的面积． (3)当抛物线在矩形内部的图象随的增大而减小时，求的取值范围． (4)抛物线在矩形内部（包括边界）的最高点与最低点的纵坐标之和的绝对值为2时，直接写出的值． 题型3、二次函数与菱形的综合问题 典例3 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 题型模版 1.特征：构造菱形，使抛物线上的动点与定点满足四边相等或对角线互相垂直平分． 2.方法：利用四边相等或对角线垂直平分的性质列方程；结合距离公式与二次函数解析式求解． 变式3-1 如图，抛物线与轴交于和两点，在点左边，与轴交于点． (1)直接写出，，三点坐标； (2)如图，为中点，在抛物线上找一点，使，求出点坐标； (3)如图，将（）中的点和及抛物线均向下平移个单位，为新抛物线对称轴右侧上一点，直线与新抛物线交于唯一公共点，与轴交于，是否存在以为对角线的菱形，使点在轴上，点在延长线上，若存在，求菱形的面积，若不存在，请说明理由． 变式3-2 如图，抛物线y= -x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其对称轴与抛物线交于点D，与x轴交于点 E． (1)求点A，B，D的坐标； (2)点G为抛物线对称轴上的一个动点，从点D出发，沿直线DE以每秒2个单位长度的速度运动，过点G作x轴的平行线，交抛物线于M，N两点（点M在点N的左边）．设点G的运动时间为 ts． ①当t为何值时，以点M，N，B，E为顶点的四边形是平行四边形； ②连接BM，在点C运动的过程中，是否存在点M，使得∠MBD=∠EDB，若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点Q为坐标平面内一点，以线段MN为对角线作菱形MENQ，当菱形MENQ为正方形时，请直接写出t的值． 变式3-3 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，其对称轴与抛物线交于点，与轴交于点． (1)求点，，的坐标； (2)点为抛物线对称轴上的一个动点，从点出发，沿直线以每秒2个单位长度的速度运动，过点作轴的平行线，交抛物线于，两点（点在点的左边）．设点的运动时间为． ①当为何值时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形； ②连接，在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点为坐标平面内一点，以线段为对角线作菱形，当菱形为正方形时，请直接写出的值． 题型4、二次函数与正方形的综合问题 典例4 （25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过三点，它的顶点为，且正比例函数的图象与二次函数的图象相交于两点． (1)求该二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)若点的坐标是，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围； (3)试探究：点是轴上一动点，以为边作正方形，除点外还有一个顶点在抛物线上，求出满足条件的点的坐标． 题型模版 1.特征：构造正方形，兼具矩形与菱形的双重性质，常与旋转、对称结合． 2.方法：利用邻边相等且垂直、对角线相等且垂直；常通过旋转90°或坐标平移转化，列方程并回代检验． 变式4-1 如图，抛物线与y轴交于点C．已知抛物线顶点坐标为点P在此抛物线上，其坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当时，结合图象，直接写出n的取值范围． (3)若此抛物线在点P左侧部分(包括点P)恰有三个点到x轴的距离为1，求m的取值范围． (4)当时，以为边作正方形，当此正方形的另外两个顶点中有一个顶点在此抛物线的对称轴上时，直接写出m的值． 变式4-2 综合与探究 如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式． (2)当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值． (3)若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由． 变式4-3 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，点，点为抛物线上不重合的两个点，点的横坐标为，点的横坐标为． (1)点的坐标为___________； (2)当时，求的长度； (3)当抛物线上两点之间的部分（包括两点）对应的函数值随的增大而先减小后增大时，设函数值最大值与最小值差为，求与的关系式，并写出自变量的取值范围； (4)过两点中较高的点作轴的垂线交抛物线于另一个交点，以这个较高的点与点的连线为边向其下方作正方形．当点在该正方形内部，点在该正方形外部，且点到该正方形边的最小距离是1，求的值． 题型5、二次函数与四边形的综合问题 典例5 小亮同学喜欢研究数学问题．他在一本资料中看到一个新的数学概念“对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形”，并对垂等四边形进行了研究．具体内容如下：    (1)【理解应用】如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形是垂等四边形，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标； (2)【规律初探】如图2，正方形的边长为a，点E在边上，点F在边上，点G在边上，点H在边上，若四边形满足，请直接写出四边形面积S的取值范围； (3)【综合探究】如图3，已知抛物线与x轴交于M，N两点，点M在点N的左侧，P，Q两点在该抛物线上．若以M，N，P，Q为顶点的四边形是垂等四边形且．设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，且，求m的值． 题型模版 1.特征：一般四边形或多种特殊四边形混合，涉及判定、面积、周长、最值等综合问题． 2.方法：根据条件选择对应判定定理，用坐标法表示边、角、对角线；综合运用二次函数性质与几何模型求解． 变式5-1 （25-26九年级下·吉林·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，其横坐标为，直线交该抛物线的对称轴于点，点、关于点的对称点分别为Q、E，顺次连接点P、C、Q、E，得到四边形． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)写出点的坐标___________； (3)当点在第一象限时，四边形的边与抛物线共有两个交点（四边形的顶点除外），求的取值范围； (4)直接写出使得四边形成为轴对称图形时的值． 变式5-2 （25-26九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为，点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为m、，已知点，作点A关于点E的对称点C，作点B关于点E的对称点D，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式． (2)设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G，若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求m的值． (3)当时，若抛物线在四边形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，求m的取值范围． (4)当四边形是矩形时，直接写出m的值． 变式5-3 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 21．（2025·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与直线交于、两点（在左侧），点在抛物线上，横坐标为，点不与点和点重合，连接、． (1)点的坐标为_______；点的坐标为_______； (2)当是直角三角形时，求的值； (3)以，为边构造平行四边形． ①当抛物线的图象在平行四边形内部（不包括边界）的部分对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围； ②设点C是抛物线的顶点，平行四边形的边与直线的交点为（点、、、除外），当线段将平行四边形的面积分成时，求的值． 22．已知二次函数的图象经过点和． (1)求此二次函数的解析式、对称轴及顶点坐标； (2)设点是函数图象上一动点，且位于第四象限，四边形是以为对角线的平行四边形．求平行四边形的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当平行四边形的面积为24时，判断平行四边形是否为菱形？并判断是否存在点，使得平行四边形为正方形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)连接，，求面积的最大值及此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，若F是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：与轴交于点，对称轴是直线，点在此抛物线上，其横坐标分别为，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴于，以为邻边作矩形．若抛物线在矩形内部的部分随的增大而增大，则的取值范围是______， (3)记两点之间的竖直距离为； ①求与的函数关系式； ②若存在个不同的值对应的值相同，直接写出的取值范围． 26．（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点O，与x轴正半轴交于另一点A，点B在抛物线上，点M是抛物线上一点（不与点B重合），其横坐标为m，以为对角线作矩形，垂直于y轴． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出m的取值范围； (3)当矩形内部的抛物线（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值； (4)当矩形为正方形时，直接写出m的值． 27．已知抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A．    (1)判断的形状，并说明理由． (2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作轴于H，交于点Q，设四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和的面积； (3)在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标． 28．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在x轴正半轴上，点C的坐标为，抛物线经过O，A两点． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线与线段的交点为D，连接，将沿直线折叠，点C的对应点为E，连接，求的长度． (3)在抛物线的对称轴上存在一点P，使得，请写出点P的坐标． 29．抛物线与轴交于原点和点，点为抛物线的顶点，点，为抛物线上不重合的两个点． (1)求的值； (2)试判断是否存在实数使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由； (3)记点，两点之间的部分（包括，两点）为图象，点在图象上，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②图象上的最低点关于抛物线对称轴的对称点记为点，再以最低点与点的连线为边向其上方作正方形，点到正方形边的最小距离记为．当点在该正方形内部，点在该正方形外部，且时，直接写出的值． 30．定义概念：在平面直角坐标系中，我们定义直线为抛物线的“衍生直线”．如图1，抛物线与其“衍生直线”交于A，B两点（点B在x轴上，点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点．    (1)求抛物线和“衍生直线”的表达式及点A的坐标； (2)如图2，抛物线的“衍生直线”与y轴交于点，依次作正方形，正方形，…，正方形（n为正整数），使得点，，，…，在“衍生直线”上，点，，，…，在x轴负半轴上． ①直接写出下列点的坐标：______，______，______，______； ②试判断点，，…，是否在同一条直线上？若是，请求出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 31．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，O是原点．抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，其横坐标是m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，求点P的坐标； (3)设此抛物线在点A与点P之间的部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h，当，且时，求m的值； (4)取的中点M，连接，以为对角线作正方形，当，且正方形的顶点N或Q落在x轴上时，请直接写出m的值． 32．已知抛物线． (1)画抛物线时，如果列出的两组数据如表（信息不完整）所示，请直接写出该抛物线的对称轴，并求此时和之间的数量关系； 1 2 2 (2)已知点为抛物线与轴的交点，点、在抛物线上，连接、、和． ①如果四边形为正方形，那么的值是 ，和之间的数量关系是 ； ②如图，当时，已知四边形为菱形，．点在抛物线上且横坐标为2，连接、，如果的面积为，求抛物线的表达式． 33．（25-26九年级下·四川内江·期中）如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，，． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线与关于原点对称，设抛物线的顶点为M，抛物线与x轴分别交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形的面积为S．若点A、点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形的面积S与运动时间之间的关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当t为何值时，四边形的面积S有最大值，并求出此最大值； (4)在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 34．（2025·湖北随州·模拟预测）如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 35．已知抛物线（，，为常数，）与轴相交于，两点（点在点的左侧），抛物线顶点为，对称轴与轴交点为，对称轴上有，两点，点在轴上方． (1)若，，，求该抛物线顶点的坐标； (2)若，，当点与点重合时，且四边形为正方形时，求的值； (3)若，四边形为菱形，在线段上有动点，抛物线上有点，使得四边形为平行四边形，当时，的最小值取得，求此时点的坐标和的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $