专题03函数的单调性与最值题型全归纳（专项训练10大重点题型）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以题型全归纳为核心，构建“定义-应用-综合”三阶方法体系，逻辑覆盖单调性判断、最值求解及恒成立问题，突出数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性|5题型/每题5题|定义法/图像法/参数转化|从定义判断到区间求解，递进至比较大小与解不等式| |最值|3题型/每题5题|单调性求最值/参数逆向求解|以单调性为基础，延伸复合函数最值与参数问题| |恒成立问题|2题型/每题5题|分离参数/最值转化|综合单调性与最值，解决恒成立与能成立问题|

专题03函数的单调性与最值题型全归纳 常考题型·精准突破 考点一 函数的单调性 题型1 定义法判断函数的单调性（重点） 题型2 求函数的单调区间 题型3 由函数的单调性求参数（难点） 题型4 函数的单调性应用Ⅰ：比较大小 题型5函数的单调性应用Ⅱ：解不等式 考点二 函数的最值 题型6 利用函数的单调性求最值（范围）（常考点） 题型7 根据函数最值求参数 题型8 复合函数的最值（难点） 考点三 函数不等式恒（能）成立问题 题型9 函数不等式恒成立问题（难点） 题型10函数不等式能成立问题（难点） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 函数的单调性 ◆题型1 定义法判断函数的单调性（重点） 1．下列关于函数单调性定义中 的说法，错误的是（    ） A． 必须取自同一个单调区间内 B．可用区间内的两个特殊值来验证函数在该区间的单调性 C．通常规定 来比较对应函数值的大小 D． 需是区间内任意的两个值 2．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 5．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； ◆题型2求函数的单调区间 1．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·上海静安·期中）函数的单调递增区间为______． ◆题型3由函数的单调性求参数（难点） 1．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ◆题型4函数的单调性应用Ⅰ：比较大小 1．（2026·广东深圳·二模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·天津·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）（多选）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， ◆题型5函数的单调性应用Ⅱ：解不等式 1．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．（2020·海南·高考真题）若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一上·陕西渭南·期末）已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是______. 考点二 函数的最值 ◆题型6利用函数的单调性求最值（范围）（常考点） 1．（25-26高二下·天津静海·期中）函数的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．1 2．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）函数在上的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 4．（25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． ◆题型7根据函数最值求参数 1．（2026高一·全国·专题练习）函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 3．（25-26高一·全国·寒假作业）（多选）已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025高一上·江苏南通·专题练习）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数a的取值范围是________ 5．（2026高二下·全国·竞赛）已知函数 若在上存在最小值，求实数的取值范围. ◆题型8复合函数的最值 1．（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．最大值为1，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 2．（第三章函数的概念与性质第3节函数的单调性与最值）已知函数，则的最大值为（    ） A． B．6 C．4 D．3 3．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设定义在上的函数，则的最小值是______． 4．（23-24高一下·全国·单元测试）函数在区间的最大值为______. 5．（24-25高一上·上海·阶段检测）设函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间的最大值和最小值. 考点三 函数不等式恒（能）成立问题 ◆题型9函数不等式恒成立问题 1．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三下·全国·专题练习）若，不等式恒成立，则实数的值为_________． 4．（2026高二下·浙江·学业考试）已知，若不等式恒成立，则m的最小值为________． 5．（25-26高二下·广西玉林·期末）已知一次函数在上单调递减，且满足，． (1)求的解析式； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． ◆题型10函数不等式能成立问题 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·期中）已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知函数，（），若存在实数，，使得成立，则______． 4．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末），使得成立，则实数的取值范围为_______． 5．（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26高二下·甘肃武威·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知函数，“在定义域上的最大值为1，最小值为-1”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 5．（2026·甘肃白银·三模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 6．（25-26高一下·四川乐山·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．当时，的最小值为 D．的图象关于点中心对称 7．函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 8．（20-21高一上·山东济南·期中）对于函数①；②；③；④；，其中在区间上单调递减的函数的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 三、填空题 9．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数在定义域上是单调函数，，则______． 10．（25-26高二下·甘肃武威·期末）函数在区间上的最小值为 _______． 四、解答题 11．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 12．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值和最小值； (2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03函数的单调性与最值题型全归纳 常考题型·精准突破 考点一 函数的单调性 ◆题型1 定义法判断函数的单调性（重点） 1．【答案】B 【详解】选项 A：符合 “同区间性”，说法正确； 选项 B：违背了 “任意性” 的要求，不能用特殊值代替区间内的任意值来判断单调性，说法错误； 选项 C：符合 “有序性” 的规定，说法正确； 选项 D：体现了 “任意性” 的要求，说法正确. 2．【答案】B 【详解】由可得在上单调递增，故 3．【答案】D 【详解】因为在上单调递增，且，所以，； 判断斜率符号：两点连线斜率，所以选项D正确； 排除其他选项： 选项A：，A错误； 选项B：斜率为正，B错误； 选项C：取，则，，两者相等，C错误. 4．【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 5．【答案】证明见解析 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. ◆题型2求函数的单调区间 1．【答案】C 【详解】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 2．【答案】D 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 3．【答案】D 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为． 故选：D. 4．【答案】D 【详解】设，可知函数在上单调递增， 设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上， 则的定义域为. 根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 5．【答案】， 【详解】令，解得且， 所以的定义域为， 又是一个复合函数，它由与复合而成． 由下表可知，的单调递增区间为，． 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 故答案为：， ◆题型3由函数的单调性求参数（难点） 1．【答案】C 【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C 2．【答案】D 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 3．【答案】D 【详解】根据题意，函数对任意的，且，都有， 所以在上为增函数， 又， 所以有， 即，解得， 故选：D． 4．【答案】D 【详解】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 5．【答案】C 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. ◆题型4函数的单调性应用Ⅰ：比较大小 1．【答案】C 【详解】单调递增，， 单调递增，， ， 即“”是“”的充要条件. 2．【答案】D 【详解】因为在上是增函数，且，所以． 故选：． 3．【答案】A 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 4．【答案】B 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 5．【答案】ACD 【详解】在等式中， 对于A，令，可得，则，故A正确； 对于C，令可得，则， 因为函数的定义域为， 令可得，则， 故函数为奇函数，故C正确； 对于B，是定义域为的单调函数，因为， 所以是上的增函数，故B错误； 对于D，由上分析可知是上的增函数， 当时，，即， 因此，故D正确. ◆题型5函数的单调性应用Ⅱ：解不等式 1．【答案】C 【详解】因为为偶函数，且在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 而，则，所以． 故选：C． 2．【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 3．【答案】B 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 4．【答案】D 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 5．【答案】 【详解】由题意可得，，解得. 所以的取值范围是. 故答案为：. 考点二 函数的最值 ◆题型6利用函数的单调性求最值（范围）（常考点） 1．【答案】D 【详解】因为，由，得或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以在取到极小值，也是最小值，即. 2．【答案】C 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 3．【答案】D 【详解】，令，得或，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以时，函数取得极大值，即函数在上的最大值为3. 4．【答案】 【详解】若，易知在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，， 当，即时， 由题有，解得，又，则，所以满足题意， 当，即时，由题有，解得， 又，则，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减， 由题知，解得，不合题意， 综上所述，实数. 5．【答案】(1) 在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. (2)最大值为，最小值为 【详解】（1）略 （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. ◆题型7根据函数最值求参数 1．【答案】A 【详解】显然， 若，则函数在区间上是减函数， 则，解得，不满足，舍去； 若，则函数在区间上是增函数，则，解得. 综上，. 2．【答案】A 【详解】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A 3．【答案】AB 【详解】因为函数， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增，最小值在处取得且为2. 令或， 所以若函数在区间上有最大值3、最小值2时，则. 故选：AB 4．【答案】 【详解】当时，因，所以为减函数，故； 当时，因，所以为减函数，故. 因为函数存在最小值，需使，解得， 故实数a的取值范围是. 故答案为：. 5．【答案】 【详解】若，则由可知无最小值； 若，则有最小值. 以下假设，此时在区间上单调递减， 于是在上有最小值当且仅当. 下面对的取值分类讨论： 当时，因为， 所以. 当时，因为， 所以，整理得 ， 该二次判别式，不等式左端恒大于0，无解，不符合要求. 综合以上讨论可知：当时的取值范围是. 综上所述，实数的取值范围是. ◆题型8复合函数的最值 1．【答案】B 【详解】函数， 令，则， 由对勾函数的性质得，函数在上单调递增， 故当，即时，，当，即时，． 故选：B． 2．【答案】A 【详解】令，则，． 因为，则，所以． 又在单调递增，在单调递减， 所以，所以． 故选：A 3．【答案】/ 【详解】令，. 设， . 因为，所以，所以，所以，即. 所以在上单调递增，所以． 故答案为：. 4．【答案】/3.5 【详解】（1）由， 所以的定义域 令，开口向下，对称轴， 根据复合函数的单调性可知， 的单调递增区间是；单调递减区间是 在区间的最大值为 故答案为： 5．【答案】(1)递增区间是，递减区间是； (2)最大值和最小值分别为 【详解】（1）函数中，，即，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增， 所以的单调递增区间是，递减区间是. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，则， 所以在区间的最大值和最小值分别为. 考点三 函数不等式恒（能）成立问题 ◆题型9函数不等式恒成立问题 1．【答案】D 【详解】因为在上恒成立，所以在上恒成立， 令函数，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故D正确. 2．【答案】D 【详解】由题意. 设，则. 若，则方程的解为； 若，由方程有解， 可得且. 综上.所以. 所以实数的最小值为2. 3．【答案】 【详解】设 ， ， 二次函数 开口向上， 令 ，解得：， 因为 ，我们只考虑正根，设 ， 根据二次函数的性质： 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， 一次函数 的零点为：， 要使 恒成立， 和 必须在各自区间内同号， 即需要满足：， 解得：. 4．【答案】 【详解】以为主元，即恒成立， 即， 设， 因为，所以， 因此需要满足，得， 由，得， 得，故m的最小值为. 5．【答案】(1) (2)． 【详解】（1）设，， 由可得， 即，所以， 解得或， 又在上单调递减，所以， 因此． （2）由（1）得， 则题干可转化为不等式在时恒成立． 当时，，为任意值时都满足题意. 当时，不等式可化为在时恒成立， ，当且仅当，即时，等号成立， 因此，     所以，即实数的取值范围为． ◆题型10函数不等式能成立问题 1．【答案】B 【详解】设，，则不等式在上有解等价于. 对任意，有，当且仅当，即时等号成立. 因为，故在上的最小值为，所以. 故的取值范围为. 2．【答案】B 【详解】由不等式有实数解，则有实数解， 令函数，则， 当时，； 当时，； 当时，， 因此函数取最小值为， 依题意，，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B 3．【答案】 【分析】根据函数性质可得函数最大值与函数最小值，即，结合题意可得，，计算即可求解. 【详解】因为， 当且仅当时，取得最大值，， 当且仅当时，取得最小值2，所以． 又，所以，则，，． 4．【答案】 【详解】由，，得. 设，，在上单调递减. . 存在使不等式成立，故. 故答案为： 5．【答案】(1)任取 ，且， 则 由于，，，所以， 因此，即， 故在上单调递增. (2) 【详解】（1）略 （2）因为，所以，得， 则． 于是． 令，由题可知． 由（1）易得函数 在上单调递增，故，即， 所以实数的取值范围是． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．【答案】B 【详解】因为，二次函数开口向上，对称轴为， 故单调递增区间为. 2．【答案】B 【详解】必要性：若的值域为，则在定义域上的最大值为1，最小值为-1，则必要性成立， 充分性：若在定义域上的最大值为1，最小值为-1， 取，满足题意，但的值域为，则充分性不成立， 故“在定义域上的最大值为1，最小值为-1”是“的值域为”的必要不充分条件． 3．【答案】C 【详解】二次函数的最大值为， 则二次函数开口向下，且二次函数对称轴为，所以单调递增，单调递减， 又，所以. 4．【答案】A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 5．【答案】A 【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数，函数的单调递增区间是， 由函数在上单调递增，得，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 二、多选题 6．【答案】AD 【详解】令，解得，所以的定义域为，A正确； ，在上单调递减，在上单调递减，B错误； 在上单调递减，最小值不存在，C错误； 因为的图象是由的图象先向右平移6个单位再向上平移1个单位得到的，且的对称中心为，所以的图象关于点中心对称，D正确. 7．【答案】AC 【详解】由题意可知：函数 当时，； 当时，. 画出函数图象： 所以函数的单调递减区间为、. 8．【答案】BC 【详解】函数为开口朝上，对称轴为的二次函数，其在单调递增，故①不满足； 函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的，函数在上为减函数，故②满足； 当时，，其在单调递减，故③满足； 函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的，函数在 上单调递增，故④不满足. 故选：BC. 三、填空题 9．【答案】 【详解】因为函数在定义域上是单调函数，且， 则存在唯一的常数，使得， ，也即， 于是，由，解得，故， 所以. 10．【答案】2 【详解】，则在上单调递减，在上单调递增， 从而. 四、解答题 11．【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知命题为假，则恒成立， 当时，，显然在上不恒成立； 当时，此时为开口向下，故不等式在上不恒成立； 当时，则，即. 综上，的取值范围是． （2）由不等式，即，即． 由恒成立，则在时有解， 即， 设，有， 而在上单调递增，则， 所以，故，所以. 因此，实数的取值范围为． 12．【答案】(1)最大值为5，最小值为； (2). 【详解】（1）当时，函数， 因为，所以当时，有最小值； 当时，有最大值5， 所以，当时，函数在上的最大值和最小值分别为5和． （2）因为对任意实数，恒成立， 即对任意实数恒成立， 所以对任意实数恒成立， 当时，，解得，不满足题意； 当时，对任意实数恒成立等价于， 即，解得 综上，实数的取值范围为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03函数的单调性与最值题型全归纳 常考题型·精准突破 考点一 函数的单调性 题型1 定义法判断函数的单调性（重点） 题型2 求函数的单调区间 题型3 由函数的单调性求参数（难点） 题型4 函数的单调性应用Ⅰ：比较大小 题型5函数的单调性应用Ⅱ：解不等式 考点二 函数的最值 题型6 利用函数的单调性求最值（范围）（常考点） 题型7 根据函数最值求参数 题型8 复合函数的最值（难点） 考点三 函数不等式恒（能）成立问题 题型9 函数不等式恒成立问题（难点） 题型10函数不等式能成立问题（难点） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 函数的单调性 ◆题型1 定义法判断函数的单调性（重点） 1．下列关于函数单调性定义中 的说法，错误的是（    ） A． 必须取自同一个单调区间内 B．可用区间内的两个特殊值来验证函数在该区间的单调性 C．通常规定 来比较对应函数值的大小 D． 需是区间内任意的两个值 【答案】B 【详解】选项 A：符合 “同区间性”，说法正确； 选项 B：违背了 “任意性” 的要求，不能用特殊值代替区间内的任意值来判断单调性，说法错误； 选项 C：符合 “有序性” 的规定，说法正确； 选项 D：体现了 “任意性” 的要求，说法正确. 2．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得在上单调递增，故 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上单调递增，且，所以，； 判断斜率符号：两点连线斜率，所以选项D正确； 排除其他选项： 选项A：，A错误； 选项B：斜率为正，B错误； 选项C：取，则，，两者相等，C错误. 4．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 5．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 【答案】证明见解析 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. ◆题型2求函数的单调区间 1．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 2．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 3．（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为． 故选：D. 4．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，可知函数在上单调递增， 设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上， 则的定义域为. 根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 5．（24-25高二下·上海静安·期中）函数的单调递增区间为______． 【答案】， 【详解】令，解得且， 所以的定义域为， 又是一个复合函数，它由与复合而成． 由下表可知，的单调递增区间为，． 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 故答案为：， ◆题型3由函数的单调性求参数（难点） 1．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 3．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数，对任意的，且，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，函数对任意的，且，都有， 所以在上为增函数， 又， 所以有， 即，解得， 故选：D． 4．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 5．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. ◆题型4函数的单调性应用Ⅰ：比较大小 1．（2026·广东深圳·二模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】单调递增，， 单调递增，， ， 即“”是“”的充要条件. 2．（25-26高一上·天津·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上是增函数，且，所以． 故选：． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 5．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）（多选）设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 【答案】ACD 【详解】在等式中， 对于A，令，可得，则，故A正确； 对于C，令可得，则， 因为函数的定义域为， 令可得，则， 故函数为奇函数，故C正确； 对于B，是定义域为的单调函数，因为， 所以是上的增函数，故B错误； 对于D，由上分析可知是上的增函数， 当时，，即， 因此，故D正确. ◆题型5函数的单调性应用Ⅱ：解不等式 1．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为偶函数，且在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 而，则，所以． 故选：C． 2．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 3．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 4．（2020·海南·高考真题）若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 5．（21-22高一上·陕西渭南·期末）已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】由题意可得，，解得. 所以的取值范围是. 故答案为：. 考点二 函数的最值 ◆题型6利用函数的单调性求最值（范围）（常考点） 1．（25-26高二下·天津静海·期中）函数的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．1 【答案】D 【详解】因为，由，得或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以在取到极小值，也是最小值，即. 2．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 3．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）函数在上的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】，令，得或，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以时，函数取得极大值，即函数在上的最大值为3. 4．（25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 【答案】 【详解】若，易知在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，， 当，即时， 由题有，解得，又，则，所以满足题意， 当，即时，由题有，解得， 又，则，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减， 由题知，解得，不合题意， 综上所述，实数. 5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1) 在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. (2)最大值为，最小值为 【详解】（1）略 （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. ◆题型7根据函数最值求参数 1．（2026高一·全国·专题练习）函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】显然， 若，则函数在区间上是减函数， 则，解得，不满足，舍去； 若，则函数在区间上是增函数，则，解得. 综上，. 2．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【详解】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A 3．（25-26高一·全国·寒假作业）（多选）已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【详解】因为函数， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增，最小值在处取得且为2. 令或， 所以若函数在区间上有最大值3、最小值2时，则. 故选：AB 4．（2025高一上·江苏南通·专题练习）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【详解】当时，因，所以为减函数，故； 当时，因，所以为减函数，故. 因为函数存在最小值，需使，解得， 故实数a的取值范围是. 故答案为：. 5．（2026高二下·全国·竞赛）已知函数 若在上存在最小值，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】若，则由可知无最小值； 若，则有最小值. 以下假设，此时在区间上单调递减， 于是在上有最小值当且仅当. 下面对的取值分类讨论： 当时，因为， 所以. 当时，因为， 所以，整理得 ， 该二次判别式，不等式左端恒大于0，无解，不符合要求. 综合以上讨论可知：当时的取值范围是. 综上所述，实数的取值范围是. ◆题型8复合函数的最值 1．（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．最大值为1，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【详解】函数， 令，则， 由对勾函数的性质得，函数在上单调递增， 故当，即时，，当，即时，． 故选：B． 2．（第三章函数的概念与性质第3节函数的单调性与最值）已知函数，则的最大值为（    ） A． B．6 C．4 D．3 【答案】A 【详解】令，则，． 因为，则，所以． 又在单调递增，在单调递减， 所以，所以． 故选：A 3．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设定义在上的函数，则的最小值是______． 【答案】/ 【详解】令，. 设， . 因为，所以，所以，所以，即. 所以在上单调递增，所以． 故答案为：. 4．（23-24高一下·全国·单元测试）函数在区间的最大值为______. 【答案】/3.5 【详解】（1）由， 所以的定义域 令，开口向下，对称轴， 根据复合函数的单调性可知， 的单调递增区间是；单调递减区间是 在区间的最大值为 故答案为： 5．（24-25高一上·上海·阶段检测）设函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间的最大值和最小值. 【答案】(1)递增区间是，递减区间是； (2)最大值和最小值分别为 【详解】（1）函数中，，即，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增， 所以的单调递增区间是，递减区间是. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，则， 所以在区间的最大值和最小值分别为. 考点三 函数不等式恒（能）成立问题 ◆题型9函数不等式恒成立问题 1．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上恒成立，所以在上恒成立， 令函数，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故D正确. 2．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意. 设，则. 若，则方程的解为； 若，由方程有解， 可得且. 综上.所以. 所以实数的最小值为2. 3．（2026高三下·全国·专题练习）若，不等式恒成立，则实数的值为_________． 【答案】 【详解】设 ， ， 二次函数 开口向上， 令 ，解得：， 因为 ，我们只考虑正根，设 ， 根据二次函数的性质： 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ， 一次函数 的零点为：， 要使 恒成立， 和 必须在各自区间内同号， 即需要满足：， 解得：. 4．（2026高二下·浙江·学业考试）已知，若不等式恒成立，则m的最小值为________． 【答案】 【详解】以为主元，即恒成立， 即， 设， 因为，所以， 因此需要满足，得， 由，得， 得，故m的最小值为. 5．（25-26高二下·广西玉林·期末）已知一次函数在上单调递减，且满足，． (1)求的解析式； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）设，， 由可得， 即，所以， 解得或， 又在上单调递减，所以， 因此． （2）由（1）得， 则题干可转化为不等式在时恒成立． 当时，，为任意值时都满足题意. 当时，不等式可化为在时恒成立， ，当且仅当，即时，等号成立， 因此，     所以，即实数的取值范围为． ◆题型10函数不等式能成立问题 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，则不等式在上有解等价于. 对任意，有，当且仅当，即时等号成立. 因为，故在上的最小值为，所以. 故的取值范围为. 2．（25-26高一上·上海·期中）已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由不等式有实数解，则有实数解， 令函数，则， 当时，； 当时，； 当时，， 因此函数取最小值为， 依题意，，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B 3．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知函数，（），若存在实数，，使得成立，则______． 【答案】 【分析】根据函数性质可得函数最大值与函数最小值，即，结合题意可得，，计算即可求解. 【详解】因为， 当且仅当时，取得最大值，， 当且仅当时，取得最小值2，所以． 又，所以，则，，． 4．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末），使得成立，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【详解】由，，得. 设，，在上单调递减. . 存在使不等式成立，故. 故答案为： 5．（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数． (1)用定义法证明：函数 在区间上单调递增； (2)若，且存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)任取 ，且， 则 由于，，，所以， 因此，即， 故在上单调递增. (2) 【详解】（1）略 （2）因为，所以，得， 则． 于是． 令，由题可知． 由（1）易得函数 在上单调递增，故，即， 所以实数的取值范围是． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26高二下·甘肃武威·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，二次函数开口向上，对称轴为， 故单调递增区间为. 2．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知函数，“在定义域上的最大值为1，最小值为-1”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】必要性：若的值域为，则在定义域上的最大值为1，最小值为-1，则必要性成立， 充分性：若在定义域上的最大值为1，最小值为-1， 取，满足题意，但的值域为，则充分性不成立， 故“在定义域上的最大值为1，最小值为-1”是“的值域为”的必要不充分条件． 3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】二次函数的最大值为， 则二次函数开口向下，且二次函数对称轴为，所以单调递增，单调递减， 又，所以. 4．（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 5．（2026·甘肃白银·三模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数，函数的单调递增区间是， 由函数在上单调递增，得，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 二、多选题 6．（25-26高一下·四川乐山·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．当时，的最小值为 D．的图象关于点中心对称 【答案】AD 【详解】令，解得，所以的定义域为，A正确； ，在上单调递减，在上单调递减，B错误； 在上单调递减，最小值不存在，C错误； 因为的图象是由的图象先向右平移6个单位再向上平移1个单位得到的，且的对称中心为，所以的图象关于点中心对称，D正确. 7．函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意可知：函数 当时，； 当时，. 画出函数图象： 所以函数的单调递减区间为、. 8．（20-21高一上·山东济南·期中）对于函数①；②；③；④；，其中在区间上单调递减的函数的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】BC 【详解】函数为开口朝上，对称轴为的二次函数，其在单调递增，故①不满足； 函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的，函数在上为减函数，故②满足； 当时，，其在单调递减，故③满足； 函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的，函数在 上单调递增，故④不满足. 故选：BC. 三、填空题 9．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数在定义域上是单调函数，，则______． 【答案】 【详解】因为函数在定义域上是单调函数，且， 则存在唯一的常数，使得， ，也即， 于是，由，解得，故， 所以. 10．（25-26高二下·甘肃武威·期末）函数在区间上的最小值为 _______． 【答案】2 【详解】，则在上单调递减，在上单调递增， 从而. 四、解答题 11．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知命题为假，则恒成立， 当时，，显然在上不恒成立； 当时，此时为开口向下，故不等式在上不恒成立； 当时，则，即. 综上，的取值范围是． （2）由不等式，即，即． 由恒成立，则在时有解， 即， 设，有， 而在上单调递增，则， 所以，故，所以. 因此，实数的取值范围为． 12．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数． (1)当时，求函数在上的最大值和最小值； (2)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)最大值为5，最小值为； (2). 【详解】（1）当时，函数， 因为，所以当时，有最小值； 当时，有最大值5， 所以，当时，函数在上的最大值和最小值分别为5和． （2）因为对任意实数，恒成立， 即对任意实数恒成立， 所以对任意实数恒成立， 当时，，解得，不满足题意； 当时，对任意实数恒成立等价于， 即，解得 综上，实数的取值范围为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $