3.2.1单调性与最大（小）值（题型专练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1单调性与最大（小）值 （题型专练）原卷版 函数单调性的概念辨析知识点01 1．（2026高三·全国·专题练习）增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为D，且： （1）如果对任意，当时，都有______，则称在I上是增函数（也称在I上______），如图（1）所示； （2）如果对任意，当时，都有______，则称在I上是减函数（也称在I上______），如图（2）所示． 两种情况下，都称函数在I上具有单调性（当I为区间时，称I为函数的______，也可分别称为______或______）．    2．（第10讲函数的单调性与最大（小）值（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）下列关于函数单调性定义中 的说法，错误的是（    ） A． 必须取自同一个单调区间内 B．可用区间内的两个特殊值来验证函数在该区间的单调性 C．通常规定 来比较对应函数值的大小 D． 需是区间内任意的两个值 3．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 4．（专题02函数及其性质（期末复习讲义，必备知识 8大重难题型精讲 分层过关）高一数学上学期北师大版）已知函数，判断函数的单调性，并利用定义证明. 5．（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 求函数单调性区间知识点02 6．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 8．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 9．（25-26高三·全国·一轮复习）求下列函数的单调区间． (1). (2). 10．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 复合函数单调性知识点03 11．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）下列命题中真命题的个数为（   ） ①不等式的解集为 ②不等式的解集是 ③当时，不等式恒成立，则的取值范围是 ④函数的单调递减区间为 A．0 B．1 C．2 D．3 12．（专题06期末真题百练通关03高一数学上学期沪教版必修第一册）函数的增区间是______． 13．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 14．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数，的定义域均为，则“，均为增函数”是“为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（25-26高一上·江西·期中）已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 函数的最值知识点04 16．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）（多选）在下列函数中，最小值是2的函数有（    ） A． B． C． D． 17．（2026高三·全国·专题练习）规定记号“”表示一种运算，即（a，b为正实数），若，则k的值为_______________；函数的值域为_______________． 18．（25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 19．（25-26高一下·四川乐山·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．当时，的最小值为 D．的图象关于点中心对称 20．（第03讲函数的单调性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 函数单调性解不等式知识点05 21．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)画出的草图； (2)由图象指出的单调区间； (3)设，，，，证明：． 22．（25-26高二下·吉林长春·期末）（多选）下列说法正确的有（     ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．若命题“，”是假命题，则的取值范围是 C．若，，，则的最小值为 D．若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为 23．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 24．（2026·广西崇左·二模）已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 函数单调性恒成立问题知识点06 26．（25-26高一上·广西钦州·期末）已知函数． (1)证明在上单调递增； (2)设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围． 27．（26-27高三·全国·一轮复习），恒成立，求实数m的取值范围． 28．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高二下·广西玉林·期末）已知一次函数在上单调递减，且满足，． (1)求的解析式； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 30．（25-26高三·全国·一轮复习）设，恒成立，求实数m的取值范围. 函数图像变换知识点07 31．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·甘肃白银·期中）（多选）如果一个函数的图象通过平移后可以得到函数的图象，那么这个函数可以是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·山东潍坊·阶段检测）（多选）已知函数，则（ ） A．的定义域是 B．的值域是 C．左移1个单位得到 D．在上单调递减 34．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若图中所示为在同一直角坐标平面上的图像及的图像，则（　　） A． B． C． D． 35．（2025高三上·全国·专题练习）已知函数，设关于的不等式对于任意恒成立，则实数的最小值是______． 分段函数单调性判断知识点08 36．（25-26高一上·江西吉安·期中）设函数，则满足的k的取值范围是___________． 37．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 38．（25-26高二下·甘肃·期末）已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．（2026高三·全国·专题练习）如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是______． 分段函数不等式知识点09 41．（25-26高三上·上海·期中）已知，，则不等式的解是___________. 42．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 43．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 44．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 45．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A． B．若，则 C．的解集为 D．，则 分段函数值域、最值问题知识点10 46．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 47．（25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 48．（2026·广东茂名·二模）已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 49．（25-26高一上·上海·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为______． 50．（25-26高二下·广东广州·期中）函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·湖北武汉·期末）二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知函数，“在定义域上的最大值为1，最小值为-1”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·河北衡水·期末）（多选）设函数，已知对任意恒成立，则（    ） A．曲线过定点 B．的取值范围是 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 8．（2026·陕西西安·三模）（多选）已知定义在上的函数满足下列条件：①；②当时，．则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递减 9．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数在定义域上是单调函数，，则______． 10．（25-26高二下·北京昌平·期末）设函数，若，则的最小值为________；若有最小值，则的取值范围是________． 11．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，，求的最小值的表达式，并求出的最大值． 12．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知二次函数满足条件，且. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，记函数的最小值，求的解析式. 13．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1函数的单调性与最大（小）值（题型专练）答案版 1．（2026高三·全国·专题练习）增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为D，且： （1）如果对任意，当时，都有______，则称在I上是增函数（也称在I上______），如图（1）所示； （2）如果对任意，当时，都有______，则称在I上是减函数（也称在I上______），如图（2）所示． 两种情况下，都称函数在I上具有单调性（当I为区间时，称I为函数的______，也可分别称为______或______）．    【答案】 单调递增 单调递减 单调区间 单调递增区间 单调递减区间 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】略 【详解】略 2．（第10讲函数的单调性与最大（小）值（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）下列关于函数单调性定义中 的说法，错误的是（    ） A． 必须取自同一个单调区间内 B．可用区间内的两个特殊值来验证函数在该区间的单调性 C．通常规定 来比较对应函数值的大小 D． 需是区间内任意的两个值 【答案】B 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【详解】选项 A：符合 “同区间性”，说法正确； 选项 B：违背了 “任意性” 的要求，不能用特殊值代替区间内的任意值来判断单调性，说法错误； 选项 C：符合 “有序性” 的规定，说法正确； 选项 D：体现了 “任意性” 的要求，说法正确. 3．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，证明：函数在上单调递减； 【答案】证明见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】通过作差法即可求证. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. 4．（专题02函数及其性质（期末复习讲义，必备知识 8大重难题型精讲 分层过关）高一数学上学期北师大版）已知函数，判断函数的单调性，并利用定义证明. 【答案】 在上递减，理由如下： 任取，且， 则， 因为，且， 所以，， 所以，即， 所以在上递减. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】任取，且，利用作差法证明，结合增、减函数的定义即可下结论. 【详解】略 5．（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求函数的单调区间、根据解析式直接判断函数的单调性 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 6．（2026高三·全国·专题练习）设定义在上的函数的图像如图所示，则关于函数的单调区间表述正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递减，在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】B 【知识点】求函数的单调区间、根据图像判断函数单调性 【分析】利用函数的定义域可对选项，，作出判断；根据与在定义域内的某个区间上单调性相反，可判断选项. 【详解】选项，由图象可知，，，， 所以当，，时，函数无意义，错误； 选项，由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，正确； 选项，由函数在处无意义，错误； 选项，由函数在处无意义，错误. 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 【答案】 6 【知识点】求函数的单调区间、基本不等式求和的最小值 【分析】根据对勾函数的图像及基本不等式即可求解． 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 由对勾函数的图像可知，函数在上的单调增区间是，最小值是6． 8．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【知识点】求函数的单调区间 【分析】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 9．（25-26高三·全国·一轮复习）求下列函数的单调区间． (1). (2). 【答案】(1)单调增区间：，；单调减区间：，. (2)单调增区间是，单调减区间是. 【知识点】求函数的单调区间 【分析】（1）去绝对值写成分段函数，作出其图像，根据图像得出单调区间； （2）先求出的定义域，再令并得出其单调性，再根据复合函数单调性来判断的单调区间即可. 【详解】（1）由题意，， 作出图像如下： 则的单调增区间：，； 单调减区间：，. （2）由题意可得， 解得， 所以函数的定义域是. 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域上是增函数， 是和的复合函数， 所以 的单调增区间是，单调减区间是. 10．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求函数的单调区间、根据函数的单调性求参数值、复合函数的单调性 【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减， 则函数也要在区间上单调递减，且， 所以，所以 11．（25-26高三下·江西宜春·开学考试）下列命题中真命题的个数为（   ） ①不等式的解集为 ②不等式的解集是 ③当时，不等式恒成立，则的取值范围是 ④函数的单调递减区间为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、复合函数的单调性、公式法解绝对值不等式 【详解】由或，①错， 由，②对， 由时，不等式恒成立， 所以时不等式恒成立，或， 所以，③错， 由图象的开口向下且对称轴为， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减，④错. 所以真命题个数共有1个. 12．（专题06期末真题百练通关03高一数学上学期沪教版必修第一册）函数的增区间是______． 【答案】 【知识点】复合函数的单调性 【分析】由偶次根式有意义,可得定义域为,再根据复合函数的同增异减法则可得. 【详解】函数是由函数复合而成的， 在其定义域上为增函数， 要求函数的增区间即求函数的增区间， 由于函数的增区间为， 又由函数的定义域为, 故函数的增区间是. 故答案为：． 13．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由函数在区间上的单调性求参数、复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】结合函数定义域与二次函数单调性计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 14．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数，的定义域均为，则“，均为增函数”是“为增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、复合函数的单调性 【分析】利用增函数的运算及充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】由均为上的增函数，得为增函数， 即“均为增函数”是“为增函数”的充分条件； 反之，此时为增函数，但是为减函数， 因此“均为增函数”是“为增函数”的充分不必要条件. 故选：A 15．（25-26高一上·江西·期中）已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 【答案】B 【知识点】抽象函数的定义域、复合函数的单调性 【分析】先根据的定义域求出的定义域，再通过复合函数单调性判断其单调性. 【详解】因为的定义域为，所以的定义域为， 令，则， 是一次函数，在定义域上是减函数； 已知是定义域为的减函数，所以在定义域上是减函数， 根据复合函数“同增异减”的单调性原则，为减函数，为减函数，两者单调性相同，因此在定义域上是增函数. 故选：B. 16．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）（多选）在下列函数中，最小值是2的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、基本不等式求和的最小值 【详解】对于选项A：因为函数的定义域为，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为2，故A正确； 对于选项B：因为， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为2，故B正确； 对于选项C：令，可得， 因为在内单调递增，则， 所以函数的最小值不为2，故C错误； 对于选项D：因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为2，故D正确. 17．（2026高三·全国·专题练习）规定记号“”表示一种运算，即（a，b为正实数），若，则k的值为_______________；函数的值域为_______________． 【答案】 1 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数新定义 【详解】因为， 可得，即，解得或（舍去）， 所以； 又因为函数，可知在定义域内单调递增， 则，所以函数的值域为. 18．（25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据函数的最值求参数 【分析】分，，，四种情况讨论，结合条件，利用的单调性，即可求解. 【详解】若，易知在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，， 当，即时， 由题有，解得，又，则，所以满足题意， 当，即时，由题有，解得， 又，则，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减， 由题知，解得，不合题意， 综上所述，实数. 19．（25-26高一下·四川乐山·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在定义域内单调递减 C．当时，的最小值为 D．的图象关于点中心对称 【答案】AD 【知识点】具体函数的定义域、利用函数单调性求最值或值域、函数对称性的应用、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】A选项，根据分母不为零可求得函数定义域；B选项，根据反比例函数的单调性判断的单调性；C选项，由函数的单调性知的最小值不存在；D选项，根据反比例函数的对称性及函数图像的变换可求出的对称中心. 【详解】令，解得，所以的定义域为，A正确； ，在上单调递减，在上单调递减，B错误； 在上单调递减，最小值不存在，C错误； 因为的图象是由的图象先向右平移6个单位再向上平移1个单位得到的，且的对称中心为，所以的图象关于点中心对称，D正确. 20．（第03讲函数的单调性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 21．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)画出的草图； (2)由图象指出的单调区间； (3)设，，，，证明：． 【答案】(1) (2)和 (3)因为，，所以 因此． 又因为，且在上为增函数，所以． 因此． 【知识点】求函数的单调区间、画出具体函数图象、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）将函数解析式变形，利用函数图象的平移作图； （2）根据图象判断单调区间； （3）先比较与，再利用函数在上单调递增及证明结论． 【详解】（1）由得． 的图象可由的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到如图． （2）在和上为增函数． （3）略 22．（25-26高二下·吉林长春·期末）（多选）下列说法正确的有（     ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．若命题“，”是假命题，则的取值范围是 C．若，，，则的最小值为 D．若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为 【答案】ABC 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、抽象函数的定义域、根据函数的单调性解不等式、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】求出定义域判断A；转化为该命题的否定是真命题求即可判断B；根据基本不等式（“1” 的代换法）的性质求最值即可判断C；利用函数的单调性列不等式，解不等式即可判断D. 【详解】对于A，依题意，，解得，则函数的定义域为，故A正确. 对于B，若命题“，”是假命题，则其否定“”为真命题， 所以，即的取值范围是，故B正确； 对于C，因为， 则， 当且仅当且 ，即时取等号， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，因为函数为上的增函数，且， 所以，解得，故D错误. 23．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 24．（2026·广西崇左·二模）已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【详解】因为函数在上单调递增，，所以，解得，故B正确. 25．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）分别求和时的取值范围，结合反比例函数和一次函数，比较两段的最值，结合最大值为4建立关于的方程求解； （2）根据分段函数在上单调递增，可得各段函数分别单调递增，且左段函数在处的函数值不大于右段函数在处的函数值，再根据单调性条件建立关于的不等式求解； （3）判断和与0的大小关系，分情况讨论，分别利用单调性、函数值大小建立不等式求解. 【详解】（1）当时，，取不到4， 所以时，的最大值为4，                 因为在上单调递增， 所以，则. （2）当时，单调递增；                 当时，单调递增，                 因为在上单调递增，只需，则，                 所以实数a的取值范围为. （3）易知， 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当时，，， 所以，， 所以，不符合题意. 综上所述，实数a的取值范围为. 26．（25-26高一上·广西钦州·期末）已知函数． (1)证明在上单调递增； (2)设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) ，设， 则， 易得，故， 即当时，， ， 所以在上单调递增. (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据增减性定义，设出，求证即可证明在上单调递增； （2）由题意得，结合二次函数的图象与性质即可求得，进而得到实数k的取值范围. 【详解】（1）略 （2）由在恒成立，则有当时，， ，易得是开口向上的二次函数，对称轴为， 故在上单调递增，所以，即， 故实数k的取值范围是 27．（26-27高三·全国·一轮复习），恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题 【分析】根据题意可得，结合恒成立问题分析可得，求解即可． 【详解】由，可得， 因为在上单调递减，所以当时，， 若，恒成立，则，解得， 所以m的取值范围为． 28．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的最值求参数、函数不等式恒成立问题 【详解】由题意. 设，则. 若，则方程的解为； 若，由方程有解， 可得且. 综上.所以. 所以实数的最小值为2. 29．（25-26高二下·广西玉林·期末）已知一次函数在上单调递减，且满足，． (1)求的解析式； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】已知函数类型求解析式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用待定系数法设一次函数，复合展开后对比系数列方程，再用单调性筛根. （2）整理不等式，再分类讨论，时，直接验证，时，用基本不等式求分离后函数的最小值，得到参数范围. 【详解】（1）设，， 由可得， 即，所以， 解得或， 又在上单调递减，所以， 因此． （2）由（1）得， 则题干可转化为不等式在时恒成立． 当时，，为任意值时都满足题意. 当时，不等式可化为在时恒成立， ，当且仅当，即时，等号成立， 因此，     所以，即实数的取值范围为． 30．（25-26高三·全国·一轮复习）设，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【详解】当时，不等式对任意m成立； 当时，不等式恒成立 ， 令，易知该函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故得. 当时，不等式恒成立， 因在上单调递减，则，故得. 综上可得，. 31．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、利用函数单调性求最值或值域、函数图象的变换 【分析】首先根据单调性求解函数在上的值域，然后再根据函数图像左右平移不影响函数的值域，求解函数的值域即可. 【详解】已知在上单调递减， 因此当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，函数取得最小值，最小值为， 由此可得：函数在上的值域为. 又因为函数是将函数的图像向左平移两个单位，平移前后的值域不变， 因此可得：函数的值域为. 故选：A 32．（25-26高一上·甘肃白银·期中）（多选）如果一个函数的图象通过平移后可以得到函数的图象，那么这个函数可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】函数图象的变换 【分析】根据函数图象平移的规则进行判断即可. 【详解】对于A，因为函数的图象无法通过平移后得到函数的图象，故A错误； 对于B，因为将函数的图象向右平移一个单位， 可得函数的图象，故B正确； 对于C，因为将函数的图象向上平移一个单位， 可得函数的图象，故C正确； 对于D，因为， 所以将函数的图象向左平移一个单位，可得函数的图象， 再将函数的图象向上平移一个单位，可得函数的图象，故D正确. 故选：BCD. 33．（24-25高一上·山东潍坊·阶段检测）（多选）已知函数，则（ ） A．的定义域是 B．的值域是 C．左移1个单位得到 D．在上单调递减 【答案】AC 【知识点】具体函数的定义域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、函数图象的变换、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据给定函数，结合反比例函数的性质，逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，的定义域是， 对于B，，B错误； 对于C，左移1个单位得到，C正确； 对于D，函数在定义域上不单调，D错误. 故选：AC 34．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）若图中所示为在同一直角坐标平面上的图像及的图像，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图象的变换 【分析】根据图像变换可得解. 【详解】由图像可知图像上点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的两倍得到函数的图像， 所以. 故选：A 35．（2025高三上·全国·专题练习）已知函数，设关于的不等式对于任意恒成立，则实数的最小值是______． 【答案】/ 【知识点】画出具体函数图象、函数图象的变换、函数不等式恒成立问题 【分析】作出的图像，观察图像可知向左平移可使得，代入得到不等式恒成立，利用判别式即可求解. 【详解】的图像如图所示， 因为，故的图像恒不在的下方， 故应将的图像向左平移，故. 如图，平移至两者相切时，此时令, 整理得，所以 化简得 ，又 ，解得， 故两者相切时， 因为恒成立，故 所以实数的最小值是. 故答案为：. 36．（25-26高一上·江西吉安·期中）设函数，则满足的k的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】分段函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】先判断出函数的单调性，再利用单调性建立不等式求解． 【详解】画出分段函数图象如下： 可知分段函数在R上单调递增， 因为， 所以，解得， 故答案为：． 37．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性解不等式 【分析】由得出在上单调递增，因为其中二次函数的系数，故分和两类讨论，结合一次函数单调性，二次函数单调性列出不等式可求得的范围. 【详解】由题意知，在上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，得， 所以． 38．（25-26高二下·甘肃·期末）已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分段函数的性质及应用、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性解不等式 【详解】由可得： 当时，有， 当时，有， 说明在上严格单调递减. 已知， 可知是一个斜率为的一次函数，在上单调递减， 是一个开口向下的二次函数，对称轴为轴， 在上单调递减，故满足即可实现在上严格单调递减. ，，则， 解得. 39．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【详解】由题意知函数在上单调递减，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 40．（2026高三·全国·专题练习）如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据函数f(x)是R上的增函数，由求解. 【详解】因为函数满足对任意x1≠x2，都有>0成立， 所以函数f(x)是R上的增函数， 所以，解得. 故的取值范围是. 41．（25-26高三上·上海·期中）已知，，则不等式的解是___________. 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、解分段函数不等式 【详解】时，， 时，， ， ∴， 由得，①或② 不等式组①的解集为， 不等式组②的解集为， 综上，不等式的解集为. 42．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分段函数的性质及应用、解分段函数不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】先计算出的值，再根据的取值范围分和两种情况，分别代入分段函数对应的解析式列不等式求解，最后将两种情况的解集合并得到的取值范围. 【详解】， 当，即时，，由，得； 当，即时，，由，得，解得， 综上，，即的取值范围为. 43．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数则的解集为（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分段函数的性质及应用、解不含参数的一元二次不等式、解分段函数不等式 【分析】根据分段函数的定义域分和两类情况，分别求解对应不等式后取并集求解. 【详解】①当时，，不等式等价于：， 化简可得，解得， 因为，所以此时不等式解集为； ②当时，，不等式等价于：， 当时，得，显然不成立， 当，不等式两边同除以，得，得， 因为，所以此时不等式解集为. 综上，不等式解集为. 44．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解分段函数不等式 【详解】当时，有，即，解得； 当时，有，即，解得. 综上，不等式的解集为. 45．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A． B．若，则 C．的解集为 D．，则 【答案】CD 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知分段函数的值求参数或自变量、根据函数的最值求参数、解分段函数不等式 【分析】对于A，代入计算函数值即可判断；对于B，分为和分别解出即可判断；对于C，分为和分别解不等式即可判断；对于D，求出的值域即可判断. 【详解】对于A，，，所以，故A错误； 对于B，当时，，解得，符合题意， 当时，，解得或（舍去）， 所以若，则或，故B错误； 对于C，当时，，解得， 当时，，解得或（舍去）， 所以的解集为，故C正确； 对于D，当时，在上单调递增，则， 当时，在上单调递减，则， 综上，， 若，则，故D正确. 故选：CD. 46．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是______． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据二次函数的最值或值域求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据分段函数解析式，讨论、，结合二次函数的性质及的最小值列不等式求参数范围. 【详解】因为，函数的对称轴为直线， 当，即时，函数在上为增函数，过定点， 根据题意，有，此时； 当，即时，当时， 由题意得，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 47．（25-26高一上·福建泉州·期中）函数的值域为，则的取值范围是_______. 【答案】 【知识点】分段函数的值域或最值、根据分段函数的值域（最值）求参数 【详解】解：由题意得：因为当时，，开口向下，对称轴为， 当时，函数在上递减，此时， 要使函数的值域为，则有 ，解得： 当时，函数在上递增，上递减，此时， 要使函数的值域为，则有，解得： 综上，的取值范围是，即. 48．（2026·广东茂名·二模）已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对勾函数求最值、分段函数的单调性、根据分段函数的值域（最值）求参数 【详解】当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 由对勾函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减. 当时，函数单调递减，. 函数在定义域内有最大值，则，即实数的取值范围是. 49．（25-26高一上·上海·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围为______． 【答案】 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】由题可知该函数在上的值域包含，对实数的取值进行分类讨论，利用集合的包含关系可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】设， 当时，，即函数在上的值域为， 要使得函数的值域为，则该函数在上的值域包含， 若，即时，当时，，不符合题意； 若，即时，当时，，不符合题意； 若，即时，当时，， 所以函数在上的值域为， 由题意可得，所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 50．（25-26高二下·广东广州·期中）函数，若存在最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】对进行分类讨论，结合“存在最大值”列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】当时，的值域为． 当时，是开口向下的二次函数，对称轴是直线. 若，则当时，的最大值为， 所以，解得； 若，存在最大值； 若，则当时， 的最大值为， 所以，不等式组无解． 综上，实数的取值范围是 1．（24-25高一上·湖北武汉·期末）二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次函数的值域或最值、判断二次函数的单调性和求解单调区间 【分析】根据二次函数的最值得出二次函数的开口得出单调性即可比较大小. 【详解】二次函数的最大值为， 则二次函数开口向下，且二次函数对称轴为，所以单调递增，单调递减， 又，所以. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】本题主要利用函数单调性的概念逐项判断即可. 【详解】因为在上单调递增，且，所以，； 判断斜率符号：两点连线斜率，所以选项D正确； 排除其他选项： 选项A：，A错误； 选项B：斜率为正，B错误； 选项C：取，则，，两者相等，C错误. 3．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值 【分析】求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值. 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 4．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分段函数的性质及应用、函数不等式恒成立问题 【分析】将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，令函数，求出的最大值，就可求出的取值范围. 【详解】因为在上恒成立，所以在上恒成立， 令函数，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故D正确. 5．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知函数，“在定义域上的最大值为1，最小值为-1”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、利用函数单调性求最值或值域 【分析】结合函数的性质进行判断． 【详解】必要性：若的值域为，则在定义域上的最大值为1，最小值为-1，则必要性成立， 充分性：若在定义域上的最大值为1，最小值为-1， 取，满足题意，但的值域为，则充分性不成立， 故“在定义域上的最大值为1，最小值为-1”是“的值域为”的必要不充分条件． 6．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性解不等式 【分析】由得出在上单调递增，因为其中二次函数的系数，故分和两类讨论，结合一次函数单调性，二次函数单调性列出不等式可求得的范围. 【详解】由题意知，在上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，得， 所以． 7．（25-26高二下·河北衡水·期末）（多选）设函数，已知对任意恒成立，则（    ） A．曲线过定点 B．的取值范围是 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】ABC 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断二次函数的单调性和求解单调区间、由一元二次不等式的解确定参数、已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】由二次函数的基本性质，结合函数过定点的判定、恒成立条件下参数范围求解、单调性与对称轴的关系逐一分析选项. 【详解】对于A：将整理为，令，可得，取值与无关， 因此曲线恒过定点，A正确； 对于B：是开口向上的二次函数，对任意恒成立， 则判别式，解得，即，B正确； 对于C：二次函数的对称轴为，由得对称轴范围是， 区间内的所有值均小于，即全部在对称轴左侧，开口向上的二次函数在对称轴左侧单调递减， 因此在上单调递减，C正确； 对于D：当时，对称轴为，区间在对称轴左侧，此时在上单调递减，D错误. 8．（2026·陕西西安·三模）（多选）已知定义在上的函数满足下列条件：①；②当时，．则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递减 【答案】ACD 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】利用赋值法判断AB，利用赋值法，以及不等式，判断C，根据函数单调性的定义，再结合赋值法和不等式判断D. 【详解】A选项，令，得，所以，A正确； B选项，令，得，，不恒为0，故B错误； C选项，令，得，当时，，，所以，所以，C正确； D选项，设任意，，且，令，， 则有，即， 由于，故有，，， 所以，即，故在上单调递减，D正确． 9．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数在定义域上是单调函数，，则______． 【答案】 【知识点】求函数值、根据函数的单调性求参数值 【分析】分析可知，存在唯一的，使得，结合函数的单调性得出，即，再由可求出的值，可得出函数的解析式，进而可得出的值. 【详解】因为函数在定义域上是单调函数，且， 则存在唯一的常数，使得， ，也即， 于是，由，解得，故， 所以. 10．（25-26高二下·北京昌平·期末）设函数，若，则的最小值为________；若有最小值，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、分段函数的值域或最值 【分析】第一空，分段分别求值域，对比两段取值得到全局最小；第二空，利用指数函数下界，约束二次函数最小值小于等于该下界，解参数范围. 【详解】第一空，当时，，，函数在区间单调递增，则值域为；，，函数在区间单调递减，在区间单调递增，则值域为，则函数在定义域内最小值为； 第二空，当时，函数右段最小值，不满足要求； 当时，函数右段最小值，则， 综上所述，. 11．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，，求的最小值的表达式，并求出的最大值． 【答案】， 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值 【分析】将函数化成顶点式，然后分，和三种情况讨论求出，再分三种情况求的最大值即可. 【详解】由得， 当，即时， 的最小值为； 当，即时，在上为增函数， 所以最小值为； 当，即时，在上为减函数， 所以最小值为． 于是 当时，， 当，，一个开口向下的一元二次函数， 其对称轴，， 因此在内，； 当，，，其为一个减函数， 因此在，. 综上在处取得最大值为． 12．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知二次函数满足条件，且. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，记函数的最小值，求的解析式. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）根据二次函数对称轴与所给区间的相对位置分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）已知是二次函数，设，因 解得，故. （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间上单调递增，则的最小值是； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值是； ③当时，函数在区间上单调递减，的最小值是. 综上，函数的最小值为. 13．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）根据命题为假，则命题为真，再结合，，及二次函数性质计算可得； （2）将不等式转化为，再通过换元并结合对勾函数的性质可得. 【详解】（1）由已知命题为假，则恒成立， 当时，，显然在上不恒成立； 当时，此时为开口向下，故不等式在上不恒成立； 当时，则，即. 综上，的取值范围是． （2）由不等式，即，即． 由恒成立，则在时有解， 即， 设，有， 而在上单调递增，则， 所以，故，所以. 因此，实数的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $