3.2.2 函数奇偶性 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数的奇偶性核心知识点，系统梳理偶函数（f(-x)=f(x)，图象关于y轴对称）与奇函数（f(-x)=-f(x)，图象关于原点对称）的定义、定义域对称性等性质，构建从概念理解到性质应用（判断奇偶性、求值求参、求解析式、综合运用）的完整学习支架。 资料通过表格对比呈现奇偶函数核心要素，助力学生用数学眼光辨析概念差异，题型分层设计（如判断、求值、综合运用）培养数学思维逻辑性，例题与课后练习结合强化数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生通过实例巩固，有效查漏补缺。

函数的奇偶性 知识点：函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 对于f(x)定义域内的任意一个x 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 (1)奇、偶函数定义域的特点． 由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇、偶函数的对应关系的特点． ①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0 ⇔ ＝－1 (f(x)≠0)； ②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0 ⇔ ＝1 (f(x)≠0)． (3)函数奇偶性的三个关注点． ①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数； ②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合； ③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． (4)奇、偶函数图象对称性的应用． ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数． (5)运算函数的奇偶性规律 运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 【注意】在中，的值域是定义域的子集． 题型一 判断函数的奇偶性 判断方法 要点 次数法 通过判断次数来判断函数的奇偶性 定义法 若，则函数为偶函数；若，则函数为奇函数 结论法 ①奇±奇=奇；②偶±偶=偶；③奇×奇=偶（奇÷奇=偶）；④奇×偶=奇 （奇÷偶=奇）；⑤；⑥；⑦为偶函数；⑧为偶函数 特别提醒：1.判断函数奇偶性的第一步是看定义域是否关于原点对称；2.奇±偶=非奇非偶函数. 例1.判断下列函数的奇偶性： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 例2.下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 例3．（多选）已知有相同的定义域，是偶函数，是奇函数，且，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．是偶函数 D．是奇函数 例4.若函数是奇函数，是偶函数，则是_____函数；是_____函数； 是_____函数；是_____函数；是_____函数；是_____函数；是_____函数. 例5.①已知是偶函数，则函数是_____函数（奇/偶）； ②已知是奇函数，则函数是_____函数（奇/偶）； 例6.已知函数. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并证明. 题型二 利用函数奇偶性求值、求参 例7.（1）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于（ ） A． B． C． D． （2）已知，其中为常数，若，则（　　） A．－10 B．－2 C．10 D．2 （3）已知函数，若，则____________． 例8.已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则（    ） A．7 B．9 C．-7 D．-9 例9.已知函数为R上的奇函数，则的值是（    ） A．0 B． C．12 D．10 例10.已知为R上的偶函数，则 . 例11.若函数是上的偶函数，则的值为 . 题型三 函数奇偶性求解析式 由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 （1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； （2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得； （3）利用函数的奇偶性把改写成或，从而求出． 例12.（1）已知是上的奇函数，且当时，，则当时， 。 （2）已知函数在R上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是______． 例13.已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，，则函数_____． 例14.已知是上的奇函数，是上的偶函数，且，则（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 题型四 函数性质的综合运用 例15.已知偶函数在区间上单调递增，则下列关系式成立的是（ ） A． B． C． D． 例16.已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例17.若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例18.函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式． 例19.已知是定义域为上的偶函数，且在上为减函数，若成立，则实数a的范围是 课后练习 1.判断下列函数的奇偶性： （1） （2） （3） （4） （5） 2.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 3.已知是偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．7 D．5 4，已知函数在R上是奇函数，且当时，，则（    ） A． B．1 C．0 D． 5.若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 6.已知函数是定义在R上的奇函数，当≥0时，．则函数的解析式为__________ 7.已知是定义在上的偶函数，且时，． (1)求函数的表达式； (2)判断并证明函数在区间上的单调性． 8.已知)是R上的奇函数，且当时，，则的解析式___________． 9.设函数的定义域为，若在上单调递减，且关于对称，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10.奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围． 11.已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的奇偶性 知识点：函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 对于f(x)定义域内的任意一个x 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 (1)奇、偶函数定义域的特点． 由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇、偶函数的对应关系的特点． ①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0 ⇔ ＝－1 (f(x)≠0)； ②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0 ⇔ ＝1 (f(x)≠0)． (3)函数奇偶性的三个关注点． ①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数； ②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合； ③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． (4)奇、偶函数图象对称性的应用． ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数． (5)运算函数的奇偶性规律 运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 【注意】在中，的值域是定义域的子集． 题型一 判断函数的奇偶性 判断方法 要点 次数法 通过判断次数来判断函数的奇偶性 定义法 若，则函数为偶函数；若，则函数为奇函数 结论法 ①奇±奇=奇；②偶±偶=偶；③奇×奇=偶（奇÷奇=偶）；④奇×偶=奇 （奇÷偶=奇）；⑤；⑥；⑦为偶函数；⑧为偶函数 特别提醒：1.判断函数奇偶性的第一步是看定义域是否关于原点对称；2.奇±偶=非奇非偶函数. 例1.判断下列函数的奇偶性： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 【答案】奇；奇；偶；奇；偶；非奇非偶；非奇非偶；偶，奇 例2.下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为的定义域为，且， 所以为偶函数； 对于B，因为的定义域为，且， 所以不是奇函数； 对于C，因为的定义域为， 且，所以为奇函数； 对于D，因为的定义域为，且， 所以为偶函数；故选：. 例3．（多选）已知有相同的定义域，是偶函数，是奇函数，且，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】BD 【解析】有相同的定义域，是偶函数，是奇函数，且， 所以， 因为，故A错. ，故B正确. ，故C错. ，故D对. 故选：BD. 例4.若函数是奇函数，是偶函数，则是_____函数；是_____函数； 是_____函数；是_____函数；是_____函数；是_____函数；是_____函数. 【答案】.非奇非偶；奇；奇；偶；偶；偶；偶； 例5.①已知是偶函数，则函数是_____函数（奇/偶）； ②已知是奇函数，则函数是_____函数（奇/偶）； 【答案】.偶；奇； 例6.已知函数. (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性并证明. 【解析】（1）由且，得或， 所以的定义域为； （2）是奇函数， 证明：的定义域关于原点对称. 因为，所以为奇函数. 题型二 利用函数奇偶性求值、求参 例7.（1）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则等于（ ） A． B． C． D． （2）已知，其中为常数，若，则（　　） A．－10 B．－2 C．10 D．2 （3）已知函数，若，则____________． 【答案】（1）D（2）A（3） 【解析】（1）故选：D （2）因为，所以，若，则故选: A． （3） 令，∵ ∵，∴，故 ∴故答案为： 例8.已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则（    ） A．7 B．9 C．-7 D．-9 【答案】B 【解析】因为是定义域为的奇函数， 所以，，， 所以． 例9.已知函数为R上的奇函数，则的值是（    ） A．0 B． C．12 D．10 【答案】D 【分析】由奇函数的性质可知，由此可以求出的值，进而可以求出. 【详解】因为函数为奇函数， 所以，即，即或， 显然函数的定义域为关于原点对称， 且当时，有，从而有， 当时，有，但， 所以，即，所以.故选：D. 例10.已知为R上的偶函数，则 . 【答案】 【解析】法一：特殊值法：因为为偶函数，所以， 所以，解得， 经检验，当时，为偶函数，符合题意. 法二：定义法：因为为偶函数，所以， 所以，化简得， 所以，解得. 例11.若函数是上的偶函数，则的值为 . 【答案】 【解析】由题意首先，解得， 即函数是上的偶函数， 由，解得，此时，经检验符合题意， 所以. 题型三 函数奇偶性求解析式 由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 （1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； （2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得； （3）利用函数的奇偶性把改写成或，从而求出． 例12.（1）已知是上的奇函数，且当时，，则当时， 。 （2）已知函数在R上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是______． 【答案】（1）（2）f（x）＝x2+2x 【解析】由题意，设，则，则， 因为函数为上的奇函数，则，得， 即当时，. （2）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＝x2+2x，又f（x）是偶函数，∴当x＜0时，f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x．故答案为：f（x）＝x2+2x． 例13.已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，，则函数_____． 【答案】 【解析】因为，所以， 又分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以； 所以，则 ，两式相加得， ，所以. 故答案为:. 例14.已知是上的奇函数，是上的偶函数，且，则（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解析】因为，所以.又是奇函数，是偶函数，所以， 则，故. 故选：D 题型四 函数性质的综合运用 例15.已知偶函数在区间上单调递增，则下列关系式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为偶函数，所以， 又因为且在上单调递增，所以， 所以，故选：B. 例16.已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 因为是奇函数，且，所以， 因为在上单调递增，所以， 故不等式的解集为．故选：D 例17.若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】为上的奇函数，且在单调递减，， ，，且在上单调递减， 所以或，或， 可得，或， 即或，即，故选：B. 例18.函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式． 【答案】（1），；（2）增函数，证明见解析；（3）. 【解析】（1）由函数是定义在上的奇函数知， 所以解得，经检验，时，是上的奇函数，满足题意 又，解得，故，． （2）在上为增函数．证明如下： 在内任取且，则， 因为，，，， 所以 即，所以在上为增函数． （3）∵，∴，又∵是上的奇函数， ∴，结合在上为增函数， 得，解得：，即． 例19.已知是定义域为上的偶函数，且在上为减函数，若成立，则实数a的范围是 【答案】 【解析】因为是定义域为上的偶函数，成立， 所以，， 则， 又因为在上严格减函数， 所以，平方得，解得， 所以. 课后练习 1.判断下列函数的奇偶性： （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】偶；非奇非偶；奇；偶；非奇非偶 2.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【解析】易知选项ABCD中的函数定义域即为； 因为是奇函数，是偶函数，所以， 对于A，，故是奇函数，即A错误； 对于B，，故是偶函数，即B错误； 对于C，，故是奇函数，即C正确； 对于D，，故是偶函数，即D错误 3.已知是偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．7 D．5 【答案】B 【解析】是偶函数，当时，， 则.故选：B 4，已知函数在R上是奇函数，且当时，，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【解析】，又在R上是奇函数，故.故选：B 5.若函数是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】因为函数是定义在上的偶函数， 所以且，则， 所以，则.故选：D． 6.已知函数是定义在R上的奇函数，当≥0时，．则函数的解析式为__________ 【答案】 【解析】设， 所以， 因为函数是定义在R上的奇函数， 所以， 所以. 所以函数的解析式为. 故答案为： 7.已知是定义在上的偶函数，且时，． (1)求函数的表达式； (2)判断并证明函数在区间上的单调性． 【解析】 (1)设，则，， 因为函数为偶函数，所以，即， 所以． (2)设，， ∵，∴，， ∴，∴在为单调减函数． 8.已知)是R上的奇函数，且当时，，则的解析式___________． 由题得， 设，则， 又是奇函数，， 故答案为：． 9.设函数的定义域为，若在上单调递减，且关于对称，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的图像关于直线对称，则， 又在上单调递减，故在上单调递增， ，， 即故选：C 10.奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围． 【答案】(1，2) 【详解】　原不等式化为f(m－1)＜－f(3－2m)． 因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)＜f(2m－3)． 因为f(x)是减函数， 所以m－1＞2m－3，所以m＜2． 又f(x)的定义域为(－1，1)， 所以－1＜m－1＜1且－1＜3－2m＜1， 所以0＜m＜2且1＜m＜2，所以1＜m＜2． 综上得1＜m＜2． 故实数m的取值范围是(1，2)． 11.已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是定义在上的偶函数，所以， 又因为是在区间单调递减， 所以，即，于是有，解得或， 故不等式的解集为.故选：A. 学科网（北京）股份有限公司 $