专题05 一元二次不等式【8大考点】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦一元二次不等式核心知识点，从概念（定义、一般形式及注意事项）出发，构建二次函数、方程与不等式解的对应关系（含零点、Δ分类讨论），延伸至含参不等式解法（系数、Δ、根大小讨论）及三个“二次”关系应用，形成递进式学习支架。 资料亮点在于考点覆盖全面（根分布、参数确定等8大考点），例题结合实际（如刹车距离、车流量问题），通过分类讨论培养数学思维，用图象分析提升数学语言表达，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题05 一元二次不等式的相关问题高频考点精讲 知识点1：一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般 形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 【注意】(1)“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母． (2)“二次”指的是未知数的最高次数必须是2，且最高次项系数不为0． 知识点2：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 x1<x<x2} ∅ ∅ 【注意】(1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标． (2)一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根． 知识点3：含参一元二次不等式的解法 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 知识点4：三个“二次”关系的应用 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 考点一　一元二次方程根的分布问题 考点二　三个“二次”的关系 考点三　由一元二次不等式的解确定参数 考点四　解含有参数的一元二次不等式 考点五　一元二次不等式恒成立问题 考点六　一元二次不等式有解问题 考点七　一元二次不等式的实际应用 考点八　二次函数的图象分析与判断 考点一　一元二次方程根的分布问题 1．（25-26高一上·全国·专题训练）已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 2．（25-26高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是____________. 4．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 5．（25-26高一上·四川德阳·阶段检测）（多选）设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不相等的正根的一个充分条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 6．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知方程，且方程有两个大于1的实数根，则实数的取值范围为________. 考点二　三个“二次”的关系 7．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 8．（25-26高一上·安徽宣城·期中）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 9．（25-26高一上·江苏无锡·期中）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 11．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 12．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）（多选）已知关于x的不等式的解集是，则（   ） A． B． C． D． 考点三　由一元二次不等式的解确定参数 13．（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）已知“，”为假命题，则的取值范围是________. 14．（25-26高一上·重庆·期中）不等式在上恒成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 16．（25-26高一上·湖南·阶段检测）（1）已知关于x的不等式 对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围. （2）已知a为实数，解关于x的不等式:. 考点四　解含有参数的一元二次不等式 17．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）（1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式：． 18．（25-26高一上·宁夏中卫·阶段检测）已知关于的不等式：. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集. 19．（25-26高一上·北京·期中）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数、的值； (2)求关于的不等式的解集． 20．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）（1）解关于的不等式； （2）解关于的不等式. 21．（25-26高一上·天津和平·期中）已知函数． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 22．（25-26高一上·上海奉贤·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集是.求实数的值； (2)若是关于的方程的两个根，求的最小值； (3)若，解关于的不等式. 考点五　一元二次不等式恒成立问题 23．（25-26高一上·全国·专题训练）若命题“，”为假命题，求的取值范围． 24．（25-26高一上·全国·专题训练）对任意实数x，不等式恒成立，则a的取值范围是______. 25．（25-26高一上·四川南充·期中）已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. (2)若，解关于的不等式. 26．（25-26高一上·山东济南·开学考试）设命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得不等式成立.若，中至少有一个是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 27．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知函数 (1)当时，求不等式的解集； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式． 28．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为______． 考点六　一元二次不等式有解问题 29．（25-26高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是_________. 30．（25-26高一上·湖北荆州·阶段检测）若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 31．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式； (3)当时，不等式有解，求实数的取值范围. 32．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）设函数. (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 33．（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段检测）命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高一上·湖南张家界·期中）（1）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 考点七　一元二次不等式的实际应用 35．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）（多选）在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（    ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 36．（25-26高一上·广东江门·期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 37．（25-26高一上·上海青浦·期中）第六届中国国际进口博览会将于2023年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举行，主题为“新时代共享未来”，届时将有很多展客商参与.为了解路况，现经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：. (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大?最大车流量为多少?（保留分数形式） (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内? 38．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 考点八　二次函数的图象分析与判断 39．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）（多选）如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 41．（25-26高一上·福建厦门·开学考试）（多选）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，则（    ） A． B． C．若实数，则 D．若，则 42．（25-26高一上·福建厦门·开学考试）（多选）抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C．若方程有两个根，且；则 D．若方程有四个根，则这四个根的和为4 43．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 44．（25-26高一上·广东广州·期末）（多选）如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次不等式的相关问题高频考点精讲 知识点1：一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般 形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0 【注意】(1)“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母． (2)“二次”指的是未知数的最高次数必须是2，且最高次项系数不为0． 知识点2：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 x1<x<x2} ∅ ∅ 【注意】(1)零点不是点，而是函数的图象与x轴交点的横坐标． (2)一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根． 知识点3：含参一元二次不等式的解法 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 知识点4：三个“二次”关系的应用 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 考点一　一元二次方程根的分布问题 考点二　三个“二次”的关系 考点三　由一元二次不等式的解确定参数 考点四　解含有参数的一元二次不等式 考点五　一元二次不等式恒成立问题 考点六　一元二次不等式有解问题 考点七　一元二次不等式的实际应用 考点八　二次函数的图象分析与判断 考点一　一元二次方程根的分布问题 1．（25-26高一上·全国·专题训练）已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】若，则方程化为，只有一个解，与题意不符； 若，， 方程一根小于1，一根大于1且小于2，则大致图象： 所以，解得，即的取值范围是. 2．（25-26高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得，解得， 因为， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是____________. 【答案】 【分析】根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为方程的两根一个比大另一个比小， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 5．（25-26高一上·四川德阳·阶段检测）（多选）设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不相等的正根的一个充分条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BD 【分析】根据一元二次方程根的判别，结合充分条件与必要条件的定义，可得答案. 【详解】对于A，当时，方程为，而方程无实根，故A错误； 对于B，由题意可得， 由，解得，，故B正确； 对于C，由题意可得， 由B可知不等式的解集为， 解不等式可得， 所以不等式组的解集为，，故C错误， 对于D，由题意可得，解得，故D正确. 故选：BD. 6．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知方程，且方程有两个大于1的实数根，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个大于个实数根列不等式，结合韦达定理求得正确答案. 【详解】方程有两个大于的实数根， 则， 由题意可得，可得， 代入可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 考点二　三个“二次”的关系 7．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据三个二次的关系解得系数的关系，进而直接解一元二次不等式可得. 【详解】关于的不等式的解集为或， 故，且，整理得到， 所以不等式，即，解得， 故选：A． 8．（25-26高一上·安徽宣城·期中）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】根据题意，转化为和是方程的两个实数根，且，结合韦达定理，可判定A错误；令，可得判定B正确；把不等式转化为可得，可判定C正确；把不等式转化为，可判定D错误. 【详解】对于A，由不等式的解集为， 可得和是方程的两个实数根，且， 则，可得，所以A不正确； 对于B，由A知：是方程的两个实数根，可得，所以B正确； 对于C，由且，则不等式，即为， 可得，解得，所以不等式的解集为，所以C正确； 对于D，由且，不等式，即为， 可得，解得，所以D错误. 故选：BC. 9．（25-26高一上·江苏无锡·期中）不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三个二次的关系，求解间的数量关系，代入函数，分析即可判断函数图象. 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和，且， 则，解得， 故函数的图象开口向下， 且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A. 10．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】利用一元二次不等式的解集用表示，再逐项判断即可. 【详解】由关于的一元二次不等式的解集为或， 得是方程的根，且，则，即，对于A，，A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，不等式，化为，解得，故C正确； 对于D，不等式，化为， 因为，所以，所以， 所以，解得，故D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】由一元二次不等式的解集得到一元二次方程的解，由韦达定理得到的关系式，且，从而判断A正确，解不等式得到BD正确，由得到C错误. 【详解】由题意得：的解为和，且， 所以，解得：， 故A正确， ，即，解得：，故B正确； ，故C错误； 变形为，不等式除以得：， 解得：，故D正确. 故选：ABD 12．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）（多选）已知关于x的不等式的解集是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据一元二次不等式解集可知，和是方程的两根，再由韦达定理即可确定结论. 【详解】不等式的解集是， 所以，和是方程的两根. 所以，所以，所以A正确，B错误； ，所以C正确； ，所以D错误. 故选：AC 考点三　由一元二次不等式的解确定参数 13．（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）已知“，”为假命题，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据命题的否定为真命题，写出命题的否定，然后分和两种情况讨论求解. 【详解】因为“，”为假命题，所以其否定“，”是真命题， 当时，不等式变为，解得，这与矛盾，所以. 当时，要使，恒成立， 则得. 故答案为： 14．（25-26高一上·重庆·期中）不等式在上恒成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论和的情况，可求得不等式恒成立的充要条件；依次判断各选项的推出关系即可得到结果. 【详解】若不等式在上恒成立， 则当时，恒成立，满足题意； 当时，，解得：； 若不等式在上恒成立，则； 对于A，，， 是不等式在上恒成立的充分不必要条件，A正确； 对于B，是不等式在上恒成立的充要条件，B错误； 对于C，，， 是不等式在上恒成立的既不充分也不必要条件，C错误； 对于D，，， 是不等式在上恒成立的既不充分也不必要条件，D错误. 故选：A. 15．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得方程的解为，再利用韦达定理求解即可； （2）分和两种情况讨论结合根的判别式求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以方程的解为， 则，解得； （2）当，即时，恒成立； 当时， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 16．（25-26高一上·湖南·阶段检测）（1）已知关于x的不等式 对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围. （2）已知a为实数，解关于x的不等式:. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，按是否为0分类，再利用一元二次不等式恒成立列式求解. （2）将给定不等式两边平方化成含参数的一元二次不等式，再按对应方程根的大小分类求解. 【详解】（1）不等式 对任意实数x恒成立， 当时，恒成立，则符合题意； 当时，，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）不等式， 则， 当，即时，； 当，即时，解得； 当，即时，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 考点四　解含有参数的一元二次不等式 17．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）（1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）将不等式二次项系数化正后直接求解即可； （2）因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】（1）因， 故原不等式的解集为． （2）由不等式，得， 又因为，所以原不等式等价于， 当时，，此时不等式无解； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 18．（25-26高一上·宁夏中卫·阶段检测）已知关于的不等式：. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）由一元二次不等式的解法可得结果； （2）先将不等式转化为，分类讨论可得结果. 【详解】（1）时，不等式为，即，解得或， 所以不等式的解集为或； （2）当时，不等式可化为，即， ①若，则不等式为，不等式的解集为； ②若，则，解不等式得，不等式的解集为； ③若，则，解不等式得，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 19．（25-26高一上·北京·期中）已知函数． (1)若关于的不等式的解集为，求实数、的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）分析可知，且关于的方程的两根分别为、，解方程，根据题意可得出关于、的等式，解之即可； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合一次不等式、二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，则， 且关于的方程的两根分别为、， 由得，解得或， 由题意可得，故. （2）不等式即为， 当时，不等式即为，解得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，， （i）当时，即当时，原不等式即为，该不等式无解； （ii）当时，即当时，解原不等式可得； （iii）当时，即当时，解原不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 20．（25-26高一上·陕西宝鸡·阶段检测）（1）解关于的不等式； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为. 【分析】（1）解法1：移项、通分、等价转化为一元二次不等式（组），解得即可；解法2：分和两种情况讨论，分别得到一元一次不等式（组），解得即可； （2）依题意可得，再分、两大类讨论，当时求出所对应方程的根，再分类讨论. 【详解】（1）解法1：不等式，即，即，即， 等价于，解得或， 所以不等式的解集为； 解法2：不等式，则或， 解得或， 所以不等式的解集为； （2）关于的不等式，即， 当时，原不等式即，解得，此时不等式的解集为； 当时，关于的方程的两个根分别为和， ①当时，解不等式得，即原不等式的解集为； ②当时，不等式无解，即原不等式的解集为； ③当时，解不等式得，即原不等式的解集为； ④当时，解不等式得或，即原不等式的解集为. 综上可得：当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时不等式的解集为. 21．（25-26高一上·天津和平·期中）已知函数． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)； (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）按照和讨论求解，在的情况下，的解集为，则有，计算求解； （2）所求不等式转化为，按照，，这三种情况讨论求解. 【详解】（1）当，即时，，解集不为，不符合题意； 当，即时，的解集为， ，即， 解得， 综上，实数的取值范围为； （2）转化为， 即， 当，即时，不等式为，解得， 当，即时， 转化为， 而， 则转化为或， 当，即时， 转化为， 而， 则转化为， 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 22．（25-26高一上·上海奉贤·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集是.求实数的值； (2)若是关于的方程的两个根，求的最小值； (3)若，解关于的不等式. 【答案】(1) (2) 4 (3) ①当时，原不等式的解集为； ②当时，原不等式的解集为； ③当时，原不等式的解集为； ④当时，原不等式的解集为 【分析】（1）利用韦达定理即可求解； （2）由韦达定理以及基本不等式即可求解； （3）因式分解，对分类讨论，即可结合一元二次不等式的解的形式求解. 【详解】（1）由题意：方程的两根为，且， 所以. 所以. （2）由韦达定理可得：， 所以. 因为，所以（当且仅当时取“=”）. 又当时，方程为，因为，所以方程有两个根. 所以的最小值为4. （3）当时，由可化为：. 因为，若，则原不等式可化为：； 若， 当时，的两根为， ①当时，原不等式的解集为； ②当时，原不等式的解集为； ③当时，原不等式的解集为； 综上可知： ①当时，原不等式的解集为； ②当时，原不等式的解集为； ③当时，原不等式的解集为； ④当时，原不等式的解集为. 考点五　一元二次不等式恒成立问题 23．（25-26高一上·全国·专题训练）若命题“，”为假命题，求的取值范围． 【答案】 【分析】将题干转化为“，”为真命题，进而有，即可求参数范围． 【详解】命题“，”为假命题， 则命题的否定“，”为真命题， ，即，解得， 实数的取值范围是． 24．（25-26高一上·全国·专题训练）对任意实数x，不等式恒成立，则a的取值范围是______. 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，再结合一元二次不等式恒成立问题可得结果. 【详解】①当时，原不等式可化为，显然恒成立 ②当时，一元二次不等式恒成立， 所以且， 即，解得. 综上可知，. 故实数a的取值范围为 25．（25-26高一上·四川南充·期中）已知二次函数. (1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. (2)若，解关于的不等式. 【答案】(1)； (2) 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为. 【分析】（1）问题化为时，应用基本不等式求最小值，即可得； （2）由题设，讨论参数并求出对应解集； 【详解】（1）不等式，即， 当时，可变形为，即， 又，当且仅当，即时等号成立， ，即，实数的取值范围是； （2），等价于，即， 由，方程的两根为，， ①当时，即时，解不等式得：； ②当时，即，不等式的解集为； ③当时，即，解不等式得：. 综上所述， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为. 26．（25-26高一上·山东济南·开学考试）设命题：对任意，不等式恒成立；命题：存在，使得不等式成立.若，中至少有一个是假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先由二次函数的性质求出为真时，解二次不等式可得命题等价于，可求p，q都是真命题的范围，进而可得答案. 【详解】若p为真命题，即对任意，不等式恒成立， 等价于当时，， 当时，， 即，所以； 若q为真命题，即存在，不等式成立， 等价于当时，. 由于，，所以，解得. 若p，q都是真命题，则； 所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则或. 故选：D. 27．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知函数 (1)当时，求不等式的解集； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) (3) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）转化为不含参数的一元二次不等式求解. （2）转化为在给定区间上，二次不等式恒成立的问题，再结合分离参数法，求参数的取值范围. （3）分类讨论，解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）当时，或. 所以不等式的解集为. （2），因为，所以，. 问题转化为，. 设，则二次函数，对称轴为， 所以在上单调递减，所以. 所以.. 即的取值范围为. （3）即. 当时，不等式可化为：，解得； 当时，不等式可化为：. 若即时，解得； 若即时，不等式无解； 若即时，解得. 当时，不等式可化为，解得或. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 28．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【分析】设,结合二次函数图像可得：，解不等式即可求解. 【详解】设,要使，不等式恒成立，结合二次函数图像可得：,即,解得：, 故答案为： 考点六　一元二次不等式有解问题 29．（25-26高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是_________. 【答案】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 30．（25-26高一上·湖北荆州·阶段检测）若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出命题的否定为真时，的范围，再求其补集即可. 【详解】命题存在，使的否定为，使， 若，使为真， 则，所以， 故若存在，使则， 所以的取值集合是. 故选：A. 31．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式； (3)当时，不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． (3) 【分析】（1）分为，以及讨论，根据解集列出不等式组，求解即可得出答案； （2）原不等式可化为．先求解的解集，进而解出时，得出的解集．然后分为与，结合的范围得出两根的大小关系，进而得出答案； （3）不等式转化为，分离参数得出，换元，整理得出，进而根据基本不等式，得出，即可得出范围． 【详解】（1）①当，即时，原不等式化为，解集为，不合题意； ②当，即时， 的解集为R，即的解集为R， 则应有， 即，解得． 综上，的取值范围是． （2）由已知可得， 即，即． 当时，即时，不等式化为，解得； 当时，有， 解方程，可得或． ①当，又可得时，即时，有， 则解不等式可得，或； ②当，即时有， 解不等式可得，． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）不等式，即， 即． 由恒成立，则在时有解， 设，时有， ， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，实数的取值范围为. 32．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）设函数. (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题为真命题，求出实数的取值范围，从而可求出命题为假命题时，实数的取值范围； （2）由题意对于，使有解，分离参数得在上能成立，利用基本不等式求得即可求解的取值范围. 【详解】（1）若命题：是真命题，则，不等式成立， 当时，，显然不成立； 当时，函数为二次函数， 若即，则，满足题意； 若即，则，所以， 综上，或. 所以命题：是假命题时，； （2）存在，使得成立， 即对于，使有解， 即在上能成立，所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以. 33．（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段检测）命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为不等式在有解，结合二次函数的性质，求得其最小值，即可求解. 【详解】由使得不等式成立是真命题， 即不等式在有解， 因为，当时，， 所以，即实数的取值范围为. 故选：C. 34．（25-26高一上·湖南张家界·期中）（1）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）题目转化为，利用均值不等式计算最值得到答案. （2）变换得到，计算函数的最小值得到答案. 【详解】（1）当时，有解， 即在上有解， 又，于是等价于， 故，又， 当且仅当即，即时等号成立，所以 所以实数的取值范围是 （2）当时，恒成立． 因为，且当时有最大值为， 所以等价于． 在区间上的最小值为，故只需即可， 所以实数的取值范围是． 考点七　一元二次不等式的实际应用 35．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）（多选）在一个限速40的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10．又知甲､乙两种车型的刹车距离S与车速之间分别有如下关系：两车是否超速下列判断正确的是（    ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．甲车无法判断 D．乙车无法判断 【答案】BC 【分析】设甲的速度为,解不等式得到甲的速度范围；设乙的速度为，解不等式得到乙的速度范围，即得解. 【详解】设甲的速度为 由题得，解得或； 设乙的速度为， 由题得，解得或. 由于，从而得，. 经比较知乙车超过限速，但无法判断甲车是否超过限速. 36．（25-26高一上·广东江门·期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入． 【答案】(1) (2)存在 【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解； （2）由①可得，由②可得，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解. 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则，即，解得， 又且，所以调整后的技术人员的人数最多75人. （2）由①，即技术人员的年均投入始终不减少，则有，解得， 由②，即研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有，两边同除以，得到，整理得到， 故有， 又，当且仅当，即时取等号，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， 即存在这样的满足条件，使得其范围为. 37．（25-26高一上·上海青浦·期中）第六届中国国际进口博览会将于2023年11月5日至10日在国家会展中心（上海）举行，主题为“新时代共享未来”，届时将有很多展客商参与.为了解路况，现经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：. (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大?最大车流量为多少?（保留分数形式） (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内? 【答案】(1)当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时； (2)汽车的平均速度应大于且小于. 【分析】（1）化简得，再利用基本不等式求解； （2）解不等式即得解. 【详解】（1）解：依题得. 当且仅当，即时，等号成立， （千辆/时）. 当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时； （2）由条件得，因为， 所以整理得，即，解得. 如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于且小于. 38．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)40元； (2)至少应达到10.2万件，每件定价30元. 【分析】（1）设每件定价为t元，由题设有，解一元二次不等式求范围，即可确定最大值； （2）问题化为时，有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论. 【详解】（1）设每件定价为t元，依题意得， 则，解得， 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元 （2）依题意，时，不等式有解 ， 等价于时，有解， 因为（当且仅当时等号成立）， 所以，此时该商品的每件定价为30元， 当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． 考点八　二次函数的图象分析与判断 39．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）（多选）如图，抛物线与x轴交于点，点，下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由图象知，，对称轴为，由对称轴公式得， 解得， 抛物线与轴交于轴正半轴，则时，， 则，故A错误； 由可得，故B正确； 抛物线与轴有2个不同交点，故一元二次方程有两个不等实根， 则，故C正确； 当时，，即是时的函数值， 由图象可知，时，，且， 故，故D正确． 40．（25-26高一上·广东揭阳·开学考试）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可. 【详解】由图象可知，二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴， 又，所以，所以，①说法正确； 因为图象经过、两个点，所以， 解得，因为，，所以，②说法正确； 由得，即，③说法正确； 因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上， 所以当时，，又，，， 所以，即，④说法正确. 41．（25-26高一上·福建厦门·开学考试）（多选）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，则（    ） A． B． C．若实数，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】由图可分析符号即可判断A；根据对称性可知函数与x轴交于另一点，代入可得，然后可确定B；由及，结合二次函数即可判断C；根据题意可得代入即可计算. 【详解】由图可知，，时，，所以，故A错误； 因为与x轴交于点，对称轴为，所以与x轴交于另一点， 则，又，所以，故B正确； 因为，，所以，故C正确； 因为是函数的零点，所以， 则，即， 又，所以，故D正确； 故选：BCD. 42．（25-26高一上·福建厦门·开学考试）（多选）抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C．若方程有两个根，且；则 D．若方程有四个根，则这四个根的和为4 【答案】BCD 【分析】由题可知，，，然后根据二次函数图象与性质逐项判断即可. 【详解】由的顶点坐标为，则，则， 由抛物线图象开口向下，所以，所以，所以A错误； ，所以B正确； 令，则的两根为，且开口向下， 因为方程有两个根，且， 所以与的两交点为，所以，所以C正确； ，其对称轴为， 因为方程有四个根，分别为， 根据对称性知，所以这四个根的和为4，所以D正确. 故选：BCD 43．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴、 函数值、零点个数逐项判断即可. 【详解】抛物线的开口向下，， 抛物线的对称轴为，，， 抛物线与轴相交于正半轴，，，故A错误； 抛物线的对称轴为，，，故B错误； 由图象可知，当时，函数值小于0，即， 故C正确； 抛物线与轴有两个交点，，，故D错误. 故选：C. 44．（25-26高一上·广东广州·期末）（多选）如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 【答案】BCD 【分析】根据二次函数的图象的开口、对称轴、零点，知，可判断A，B，由对称性知函数有两个零点，得，，代入不等式，结合求解，即可判断C，D. 【详解】对于A，由图象开口向下，得，故A不正确； 对于B，对称轴为，故对， 即，故B正确； 对于C，图像过点，由对称性得有两个零点， 所以，故，由， ，得，故的解集为，故C正确； 对于D，∵，，由，得 又，，解得， ∴的解集为，故D正确. 故选：BCD. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $