3.2 函数的基本性质【重点•题型】精讲-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦函数的基本性质，系统梳理单调性（定义、单调区间）、最值（定义及注意事项）、单调性常用结论（如运算后单调性、奇偶函数单调性特点）、奇偶性（定义、图象特点、重要结论），构建从定义到性质再到应用的完整学习支架。 资料通过表格对比增函数与减函数定义、图象辅助理解（数学眼光），题型分层设计判断证明、参数求解等培养逻辑推理（数学思维），结合实例应用提升数学表达（数学语言），课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题3.2 函数的基本性质 【知识点一、函数的单调性】 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【知识点二 、函数的最值】 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得 （3）对于任意的，都有； （4）存在，使得 结论 为最大值 为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 【知识点三 、函数单调性的常用结论】 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反； （3）函数在公共定义域内与，的单调性相反； （4）函数在公共定义域内与的单调性相同； （5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性： ①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； ②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 【知识点四、函数的奇偶性】 （1）．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 【知识点四、函数奇偶性的几个重要结论】 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数． 重难点题型1 判断或证明函数的单调性． 1．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求函数的单调区间、函数图象的应用、根据图像判断函数单调性 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 2．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据对勾函数的单调性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以对勾函数的单调递增区间是. 故答案为： 3．函数的单调区间为_______ 【答案】增区间为和，无单调递减区间， 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间 【分析】分离常数，即可求解. 【详解】，所以的单调递增区间为和 故答案为：单调递增区间为和，无单调递减区间， 4．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 5．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 【答案】(1) 设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； (2) 【难度】0.79 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据增函数的定义，作差证明即可； （2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可. 【详解】（1）略 （2）是上的增函数且. 解得 所以不等式的解集为 重难点题型2 根据函数的单调性，求参数的范围 1．（25-26高一上·江西赣州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据内函数的单调性结合非负性可求参数的取值范围. 【详解】设，则该函数在上单调递增且在上恒成立， 故，则在上单调递增，且恒成立，符合题设； 若，则，故， 综上，， 故选：C. 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】首先求出函数的对称轴，依题意可得或，解得即可. 【详解】函数的对称轴为， 依题意或， 解得或，所以实数的取值范围是. 故选：C 3．（25-26高一上·辽宁·期中）已知在上为单调递增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据题意，根据二次函数与反比例函数的性质，结合分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得 因为函数在为单调递增函数，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 4．（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【详解】，定义域为， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 故的取值范围是. 5．（25-26高一上·江西·期中）已知函数在上单调，则的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数图象的应用 【分析】作出函数的大致图象，结合图象求解即可. 【详解】作出函数的大致图象，如图， 由图可知，函数在和上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调，且，所以， 则的取值范围为. 故答案为：. 重难点题型3 判断或证明函数的奇偶性 1．（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】由偶函数的定义判断即可． 【详解】对于A，函数，定义域关于原点对称， 且，则函数是偶函数； 对于B，函数，定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于C，函数定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于D，函数的定义域不关于原点对称，则函数不是偶函数. 故选：A 2．（25-26高一上·广东清远·期中）（多选题）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，且是上的增函数，设，由知是奇函数，故A正确； 对于B，的定义域为，且是上的增函数，设，由知是奇函数，故B正确； 对于C，的定义域为，且是上的减函数，故C错误； 对于D，的定义域为，设，由，知是偶函数，故D错误. 故选：AB. 3．（25-26高一上·广东清远·期中）（多选题）下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数的单调性和奇偶性确定正确答案. 【详解】A选项，是奇函数，但在上分别递减， 不是在定义域上单调递减，A选项错误. B选项，是非奇非偶函数，B选项错误. C选项，是奇函数，且在上单调递减，C选项正确. D选项，是奇函数，当时，， 在上单调递减，则在上单调递减，D选项正确. 故选：CD 4．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）（多选题）下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用函数奇偶性的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为， ，即函数为偶函数，A不满足要求； 对于B选项，函数的定义域为， ，即函数为奇函数，B满足要求； 对于C选项，函数的定义域为， ，即函数为奇函数，C满足要求； 对于D选项，函数的定义域为， 且，即函数不是奇函数，D不满足要求. 故选：BC. 5．（25-26高一上·陕西汉中·期中）（多选题）下列函数为奇函数且在单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】应用奇函数定义及函数单调性判断各个选项. 【详解】对于A：函数定义域为，，所以函数是奇函数，且在单调递减，A选项正确； 对于B：函数定义域为，，所以函数不是奇函数，B选项错误； 对于C：定义域为不关于原点对称，所以函数不是奇函数，C选项错误； 对于D：函数定义域为，，所以函数是奇函数，且在单调递减，D选项正确； 故选：AD 重难点题型4 根据函数的奇偶性，求参数或解析式． 1．（25-26高一上·福建宁德·期中）设奇函数的定义域为，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】设，由奇函数的定义可得出，即可得解. 【详解】当时，， 由奇函数的定义可得. 故选：C 2．（25-26高一上·广东河源·期末）若为偶函数，则a的值为（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】方法一：根据偶函数的定义求解即可；方法二：根据多项式的奇次项系数为0即可求解. 【详解】方法一：因为为偶函数，所以恒成立， 即恒成立， 则恒成立，所以恒成立， 故，解得． 方法二：，要使函数为偶函数， 只需多项式的奇次项系数为0，即，即． 故选：D. 3．（24-25高一上·天津和平·期中）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求函数值、由奇偶性求函数解析式 【分析】由为定义在上的奇函数，求时的解析式，代入自变量求值. 【详解】设，则，则， 所以，则. 故答案为：. 4．若函数是上的偶函数，则的值为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即． ， ， ， ． 5．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知是奇函数，则实数的值为______． 【答案】/0.5 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义域具有对称性，则，再代入验证即可. 【详解】由题意得， 又因为其为奇函数，则其定义域具有对称性， 则，解得，则， 此时，解得，定义域关于原点对称， 且，则为奇函数，满足题意. 故答案为：. 6．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【分析】（1）根据函数是偶函数求解解析式； （2）应用函数图象结合函数单调性列出不等式计算求解. 【详解】（1）由题意知是定义在R上的偶函数， 当时，； 故当时，， 故函数在R上的解析式为； （2）由函数，所以函数的单调递增区间为和 又在区间上单调递增， 故，所以. 7．（25-26高一上·广东清远·期末）已知函数在上是奇函数，当时. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、解不含参数的一元二次不等式、分类讨论解绝对值不等式 【分析】（1）根据奇偶性求解析式即可； （2）分、两种情况解不等式即可． 【详解】（1）函数在上是奇函数，则，， 当时，，则， 所以； （2）当时，，符合题意； 当时，，， 即，， 则，解得或； 综上，不等式的解集为． 重难点题型5 由单调性与奇偶性，比较大小 1．（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】由偶函数性质可得，再利用函数单调性即可判断． 【详解】由是定义在上的偶函数，则， 由在上是增函数，则， 所以． 2．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，故，则， 又在上是减函数，所以， 即. 4．（25-26高三下·甘肃白银·期中）已知奇函数在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】根据函数奇偶性及单调性逐项判断即可． 【详解】已知奇函数在上单调递减， ，又， ，即，A正确，B错误； ，，C错误； ，，D错误． 5．（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可． 【详解】因为定义在上的函数满足条件， 即，所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以， 因为时，函数是增函数， 所以，即. 故选：A 6．（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知连续的奇函数的定义域为在上单调递减，在[0,2]上单调递增，且，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】利用奇函数的性质可得在上单调递减，结合单调性即可判断选项. 【详解】连续的奇函数的定义域为，所以, 因为在上单调递减，在[0,2]上单调递增， 所以在上单调递减， 因为，， 所以,, 所以; 故选：B 7．（2026高一下·四川宜宾·竞赛）已知函数是定义在上的奇函数，对任意的，，恒成立.设，，，则，，的大小关系是__________. 【答案】 【难度】0.5 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】先根据的值的特征构造函数，进而分析函数的单调性及奇偶性，进而可判断函数值的大小. 【详解】因为，，，令. 由已知， 当时，，因此，所以在上是增函数. 因为已知是上的奇函数，， 所以 ，因此是定义域为的偶函数， 由偶函数单调性可得：在上是减函数. 因为， ， ， 因为，且在上递减，所以. 所以. 重难点题型6 由单调性与奇偶性，解不等式 1．（2026·上海闵行·二模）已知定义在上的偶函数在上是严格减函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.78 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【详解】定义在上的偶函数在上是严格减函数， 若，则有，所以，解得 2．（2026·陕西商洛·模拟预测）若定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由为奇函数，，可得且在对称区间和上的单调性一致，即可求出的解集. 【详解】由为奇函数，，可得且在对称区间和上的单调性一致， 所以在上单调递增，且， 由可得：且,或且, 所以或时， 故不等式的解集为. 3．（25-26高一上·山东滨州·期末）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据奇函数的图象关于原点对称可作出的大致图象，由图可得答案. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递增，且， 又奇函数的图象关于原点对称， 则的大致图象如图所示：    由图知的解集为. 故选：A. 4．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，且，，则不等式的解集为_________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据题意，得到在上为单调递增，且，分，和，三种情况讨论，分别求得不等式的解集，即可求解. 【详解】由函数为定义在上的奇函数，在上单调递增函数， 则函数在上也是单调递增函数，且， 当时，因为，不等式，即为，可得 当时，因为，满足； 当时，因为，可得， 则不等式，即为，可得， 综上可得，不等式的解集为. 5．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据偶函数及单调性列不等式求解即可． 【详解】由偶函数知，由单调性知，解得， 所以解集为． 故答案为：． 6．（25-26高一上·安徽·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是__________.（结果用区间表示） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由偶函数定义得的值，及函数在上的单调性，从而知道及的解集，即可求得的解集. 【详解】由题意得，，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，；当或时，. 不等式等价于或，解得或， 所以满足的的取值范围是. 故答案为：. 7．（25-26高一上·安徽滁州·阶段检测）已知奇函数的定义域为，且为减函数，若满足，则的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据奇函数的性质及函数单调性解不等式即可. 【详解】是奇函数，且满足， 在上是单调递减函数， ，且，解得. 故答案为：． 8．（25-26高一上·福建·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据偶函数的性质可得，分析判断函数的单调性，结合单调性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 则定义域关于原点对称，可得，解得， 所以函数的定义域为． 由于函数在区间上单调递增，则函数在区间上单调递减， 因为，则或，解得或， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 重难点题型7 抽象函数 1．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）函数是上的增函数，对任意的都有． (1)证明为奇函数； (2)解不等式：． 【答案】(1) ， 取，则，解得， 取，则，， 故为奇函数. (2)或. 【难度】0.4 【知识点】抽象函数的奇偶性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）取，解得， 取，得到，故为奇函数. （2）由为奇函数，将转化为，将中的换，， 得到，代入，得到，利用得到，由是上的增函数，得到，解此不等式即可. 【详解】（1）略 （2），为奇函数，， ，将换，取，， ，将代入， 得到，，转化为， 是上的增函数，，解得或. 不等式的解集为或. 2．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）函数满足对任意，都有，且，当时，. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)在上是单调递减的函数，证明: 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数． (2) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、抽象函数的奇偶性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据函数的单调性的定义进行判断并证明即可. （2）利用特殊值法，结合代入法进行求解，再根据已知等式，结合函数的单调性及一元二次不等式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）令 ，得 ，所以 ． 令 ，得 ， 所以，所以为奇函数； 由于，则，所以， 又因为，所以． 因为 又因为，所以， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 3．定义在非零实数集上的函数满足且是区间上的递增函数. (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式. 【答案】(1), (2) 令，则， ， ∴为定义域上的偶函数. (3)或 【难度】0.65 【知识点】求函数值、抽象函数的奇偶性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）分别令 ，令即可求解； （2）令，根据偶函数的定义即可判断； （3）利用函数的性质把不等式变形为，画出函数的大致图像即可解出不等式. 【详解】（1）令，则 ， 令，则， . （2）略 （3）据题意可知，函数图象大致如下：   ， 或， 或， 所以原不等式的解集为或. 4．（23-24高一上·湖北·阶段检测）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)在上单调递减，理由见解析 (3)1 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、抽象函数的奇偶性、函数新定义 【分析】（1）令得，令得，所以是奇函数； （2）利用是奇函数，得到时，，根据单调性的定义，得到在上单调递减； （3）由奇函数结合，得，再由，即可求得答案. 【详解】（1）函数为奇函数.理由如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即， 因此在上单调递减. （3）， 因为， 所以. 5．（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 【答案】(1) 由题意知，函数满足：， 令，则，解得， 令，则，解得， 函数为偶函数，理由如下： 由题意，函数的定义域为， 令，则，即， 所以函数为偶函数. (2) 函数在上单调递减，证明如下： 任取，令，， 则，即， 因为，则，由题意知， 所以，即， 所以函数在上单调递减. (3)或 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、抽象函数的奇偶性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用赋值法可求解，通过赋值构造和的关系式，结合函数奇偶性的定义可判断奇偶性； （2）利用赋值法构造的表达式，结合题意判断符号，进而判断单调性； （3）利用赋值法得，结合函数的单调性和奇偶性可解不等式. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由，得； 令，则，所以， 因为函数为偶函数，所以， 当时，因为函数在上单调递减， 所以由，得，即，解得； 因为函数为偶函数，且函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 当时，由，得， 所以，解得； 综上所述，不等式的解集为或. 6．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、抽象函数的奇偶性 【分析】（1）利用赋值法先计算，再利用赋值法令，结合奇函数的定义计算即可； （2）先令得出，结合为奇函数及单调性的定义通过赋值计算即可证明. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 不妨令，得， 解得或， 又不存在，使得，故， 令，得， 故，即， 因此为奇函数； （2）当时，， 则， 当且仅当，等号成立， 又不存在，使得，则， 于是时，， 又为奇函数，则时，， 于是对， 任取，则， 而， 又，则， 于是，故， 因此在上单调递增； 【点睛】思路点睛：先赋值及结合奇函数定义可证明奇偶性；通过判定，再根据单调性的定义作差证明即可. 重难点题型8 综合应用 1．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知函数的定义域均为的图象关于直线对称，且，则（     ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.51 【知识点】求函数值、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、由函数对称性求函数值或参数 【分析】由已知条件可得为偶函数，且周期为12，再结合周期和已知条件可求得结果. 【详解】的图象关于直线对称，， ，， ∵， ，则为偶函数． 由，得， 由，得， 则，则， ，则，的周期为12． ，，则， 的图象关于点对称，． ，，则， ，. 2．（25-26高二下·湖南长沙·期末）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在R上的奇函数，且对任意的x，都有，当时，，则________． 【答案】/ 【难度】0.55 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值、函数新定义 【分析】利用函数的奇偶性与对称性推导出函数的周期，通过周期性将未知的自变量化归到已知区间内，最后代入黎曼函数解析式及特殊点的值进行计算求和. 【详解】因为，所以，令得， 因为是奇函数，所以，所以，所以的周期为4， 所以， 由题意得，此时，它是一个既约真分数，因此， 即，则． 3．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.63 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）分和两种情况，结合函数单调性得到不等式，求出的取值范围； （2）变形，令，将其看作关于的一次函数，，使得，从而得到不等式，求出答案 【详解】（1） 当时，，符合题意； 当时，的对称轴为，故在区间上单调， 当时，开口向上，在区间上单调递减，只需， 即，解得，故； 当时，开口向下，在区间上单调递增，只需， 即，解得，故， 综上，且， 综上所述，实数的取值范围是． （2），即，， ，令， 将其看作关于的一次函数，，使得， 只需或， 由可得，解得， 由可得，解得， 因为，所以实数的取值范围是． 4．已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)，． (2) 【难度】0.63 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据函数奇偶性变形题中等式，联立解得函数解析式； （2）根据函数的奇偶性和单调性解不等式； 【详解】（1）是奇函数，是偶函数，，， ，①， 即，②，由①、②解得，． （2）由（1）知是上的奇函数和增函数， 则不等式， 因此，即，解得， 即，所以原不等式的解集为． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求函数的单调区间、复合函数的单调性 【分析】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性“同增异减”的方法求解. 【详解】由题可知，，解得. 令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”， 所以在上单调递减. 故选：C. 2．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】结合二次函数对称轴与单调递增定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 3．（25-26高二下·山西长治·开学考试）下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.84 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由函数的奇偶性及单调性依次判断即可． 【详解】对于A项，函数为偶函数，故A项错误； 对于B项，函数在R上单调递减，故B项错误； 对于C项，，函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数，故C项正确； 对于D项，函数在上单调递减，在上单调递减，故D项错误． 4．（24-25高一上·贵州遵义·期中）函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】利用奇函数的性质求解. 【详解】当时，所以，故， 又为奇函数，则，故. 故选：A. 5．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）已知函数为偶函数，则（   ） A．2 B． C． D．5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求函数值、由奇偶性求参数 【分析】先根据定义域得到，再验证其为偶函数，最后代入数据计算即可. 【详解】由题意得，则， 由函数 为偶函数，则其定义域关于原点对称，则， 此时，定义域为，关于原点对称， 且，则为偶函数，满足题意. 所以 ． 故选：D． 6．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.6 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】利用函数的奇偶性和对称性推理出周期，进而结合奇偶性得到单调性，将目标函数均转化至同一区间内，最后比较大小即可. 【详解】由题意得，都有成立，则函数图象关于点对称， 为偶函数，的图象关于对称，即， 若，则， 可得，而， 化简得，周期， 而任取，， 在上单调递减， 为偶函数，在上单调递增， 函数图象关于点对称， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， ，， 因为，所以． 7．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】利用偶函数的对称性得到函数在上单调递减，将不等式转化为含自变量绝对值的不等式，结合定义域求解即可. 【详解】因是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则在上单调递减. 则等价于，可得，即， 由①得；由②得或 故 的解集为. 8．（25-26高二下·天津·期末）已知函数，下列结论不正确的是（     ） A．图象关于轴对称 B．在定义域内只有1个零点 C．在为单调增函数 D．的值域为 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、基本不等式求和的最小值 【分析】A选项，根据函数奇偶性定义进行判断；B选项，解方程得到零点；C选项，举出反例可得C错误；D选项，时，由基本不等式可得范围，结合函数的奇偶性和可得答案. 【详解】A选项，定义域为， 又，故为偶函数，图象关于轴对称，A正确； B选项，令得，解得，在定义域内只有1个零点，B正确； C选项，，，故， 在不为单调增函数，C错误； D选项，当时，，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故，又当时，，故此时， 又因为为偶函数，，综上，的值域为，D正确. 二、多选题 9．（25-26高一上·福建泉州·期中）下列函数既是定义域上的增函数又是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据奇函数的定义判断各个选项是否为奇函数，根据函数图象判断是否为增函数，即可得出答案. 【详解】对于A，在定义域上满足，是奇函数，且在和上是减函数，所以不满足题意； 对于B，在定义域上满足，是奇函数，且是增函数，所以满足题意； 对于C，，在定义域上满足，是奇函数，且是增函数，所以满足题意； 对于D，在定义域上满足，是奇函数，且是增函数，所以满足题意. 故选：BCD. 10．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）设是定义在上的偶函数，且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】由条件可得函数周期，再结合偶函数的性质，逐个选项判断即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以， 又，即 将替换为，可得， 所以，的周期为， 即，C错， 当时，， 则时，， 由，得时，， 所以，A正确， 且，B正确， 另外，，也可得到C错， 对于D，，D正确. 11．（25-26高二下·河北衡水·期末）设函数，已知对任意恒成立，则（    ） A．曲线过定点 B．的取值范围是 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】ABC 【难度】0.62 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断二次函数的单调性和求解单调区间、由一元二次不等式的解确定参数、已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】由二次函数的基本性质，结合函数过定点的判定、恒成立条件下参数范围求解、单调性与对称轴的关系逐一分析选项. 【详解】对于A：将整理为，令，可得，取值与无关， 因此曲线恒过定点，A正确； 对于B：是开口向上的二次函数，对任意恒成立， 则判别式，解得，即，B正确； 对于C：二次函数的对称轴为，由得对称轴范围是， 区间内的所有值均小于，即全部在对称轴左侧，开口向上的二次函数在对称轴左侧单调递减， 因此在上单调递减，C正确； 对于D：当时，对称轴为，区间在对称轴左侧，此时在上单调递减，D错误. 三、填空题 12．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知函数是上的减函数，则的取值范围是________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据二次函数和直线的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可. 【详解】依题意得，解得. 故答案为：. 13．（2025高三上·福建厦门·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】从解析式中分离常数，利用反比例函数的性质求解. 【详解】， 由反比例函数性质知当，即时，在单调递增， 又在单调递增，所以，所以. 综上，即实数的取值范围是 故答案为：. 14．（25-26高二下·黑龙江·期末）若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【分析】设则，将代入已知正区间函数式求出，再利用奇函数化简，得到时的表达式． 【详解】当时，， ， 所以， 即时，． 15．（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】先判断在上为增函数，再根据奇偶性和单调性可得关于的不等式组，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 16．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意且，满足不等式恒成立，则不等式的解集为__________． 【答案】. 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】由题意得到在上单调递减，再根据函数是定义在上的偶函数，得到在上单调递增，且求解. 【详解】对于任意，不等式恒成立， 即对于任意，不等式恒成立， 所以在上单调递减， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以在上单调递增，且， 则，解得或，不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 17．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且． (1)求与的值； (2)判断的奇偶性； (3)判断的单调性，并证明. 【答案】(1)， (2)奇函数 (3) 是上的减函数. 证明：令，则， 则， 由时，， 可得，即有，即，即， 则是上的减函数. 【难度】0.85 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、抽象函数的奇偶性 【分析】（1）通过赋值即可求解； （2）令，结合可判断； （3）令，由可判断，即可判断其单调性. 【详解】（1）令，则，即， ， ； （2）令，则，即，可得为奇函数； （3）略 18．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【难度】0.64 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3）在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 19．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称． (1)求证：是周期为4的周期函数； (2)若，求时，函数的解析式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.66 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、由周期性求函数的解析式、判断证明抽象函数的周期性 【分析】(1)利用函数对称以及奇函数的性质证明. (2)通过函数的周期性以及奇函数性质求解. 【详解】（1）证：因为关于直线对称，所以，进而. 因为是定义在上的奇函数，，所以. 因此. 即是周期为4的周期函数. （2）由函数是定义在上的奇函数，有． 当时，，，符合式子， 故时，． 时，，． 从而，时，函数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 函数的基本性质 【知识点一、函数的单调性】 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【知识点二 、函数的最值】 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得 （3）对于任意的，都有； （4）存在，使得 结论 为最大值 为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 【知识点三 、函数单调性的常用结论】 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反； （3）函数在公共定义域内与，的单调性相反； （4）函数在公共定义域内与的单调性相同； （5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性： ①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； ②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 【知识点四、函数的奇偶性】 （1）．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 【知识点四、函数奇偶性的几个重要结论】 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数． 重难点题型1 判断或证明函数的单调性． 1．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间是__________. 3．函数的单调区间为_______ 4．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 5．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 重难点题型2 根据函数的单调性，求参数的范围 1．（25-26高一上·江西赣州·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·辽宁·期中）已知在上为单调递增函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 5．（25-26高一上·江西·期中）已知函数在上单调，则的取值范围为______． 重难点题型3 判断或证明函数的奇偶性 1．（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东清远·期中）（多选题）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东清远·期中）（多选题）下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）（多选题）下列函数中为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·陕西汉中·期中）（多选题）下列函数为奇函数且在单调递减的是（   ） A． B． C． D． 重难点题型4 根据函数的奇偶性，求参数或解析式． 1．（25-26高一上·福建宁德·期中）设奇函数的定义域为，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东河源·期末）若为偶函数，则a的值为（   ） A．0 B． C．1 D．2 3．（24-25高一上·天津和平·期中）已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则________． 4．若函数是上的偶函数，则的值为______． 5．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知是奇函数，则实数的值为______． 6．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 7．（25-26高一上·广东清远·期末）已知函数在上是奇函数，当时. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 重难点题型5 由单调性与奇偶性，比较大小 1．（25-26高一下·河北张家口·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·甘肃白银·期中）已知奇函数在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知连续的奇函数的定义域为在上单调递减，在[0,2]上单调递增，且，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2026高一下·四川宜宾·竞赛）已知函数是定义在上的奇函数，对任意的，，恒成立.设，，，则，，的大小关系是__________. 重难点题型6 由单调性与奇偶性，解不等式 1．（2026·上海闵行·二模）已知定义在上的偶函数在上是严格减函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西商洛·模拟预测）若定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山东滨州·期末）定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·河北邢台·开学考试）已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，且，，则不等式的解集为_________. 5．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________． 6．（25-26高一上·安徽·期末）若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是__________.（结果用区间表示） 7．（25-26高一上·安徽滁州·阶段检测）已知奇函数的定义域为，且为减函数，若满足，则的取值范围是______． 8．（25-26高一上·福建·阶段检测）已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为________． 重难点题型7 抽象函数 1．（25-26高一上·黑龙江大庆·期中）函数是上的增函数，对任意的都有． (1)证明为奇函数； (2)解不等式：． 2．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）函数满足对任意，都有，且，当时，. (1)判断并证明在上的单调性； (2)求不等式的解集. 3．定义在非零实数集上的函数满足且是区间上的递增函数. (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式. 4．（23-24高一上·湖北·阶段检测）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 5．（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 6．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； 重难点题型8 综合应用 1．（25-26高二下·福建漳州·期末）已知函数的定义域均为的图象关于直线对称，且，则（     ） A．0 B． C．1 D．2 2．（25-26高二下·湖南长沙·期末）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在R上的奇函数，且对任意的x，都有，当时，，则________． 3．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 4．已知函数，的定义域都是，且是奇函数，是偶函数，． (1)求函数，的解析式； (2)求不等式的解集． （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 2．（25-26高一上·浙江·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·山西长治·开学考试）下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·贵州遵义·期中）函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）已知函数为偶函数，则（   ） A．2 B． C． D．5 6．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上为增函数，则 的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·天津·期末）已知函数，下列结论不正确的是（     ） A．图象关于轴对称 B．在定义域内只有1个零点 C．在为单调增函数 D．的值域为 二、多选题 9．（25-26高一上·福建泉州·期中）下列函数既是定义域上的增函数又是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）设是定义在上的偶函数，且，当时，，则（     ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·河北衡水·期末）设函数，已知对任意恒成立，则（    ） A．曲线过定点 B．的取值范围是 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 三、填空题 12．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知函数是上的减函数，则的取值范围是________. 13．（2025高三上·福建厦门·专题练习）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________. 14．（25-26高二下·黑龙江·期末）若奇函数的定义域为，当时，，则当时，_______． 15．（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 16．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意且，满足不等式恒成立，则不等式的解集为__________． 四、解答题 17．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且． (1)求与的值； (2)判断的奇偶性； (3)判断的单调性，并证明. 18．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 19．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的奇函数，且它的图象关于直线对称． (1)求证：是周期为4的周期函数； (2)若，求时，函数的解析式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $