专题08 函数奇偶性高频考点讲义【8大考点】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数奇偶性核心知识点，系统梳理从概念（偶函数、奇函数定义及图象特征，定义域对称性）到判断方法（定义法、图象法、性质法），再到与单调性结合比较大小、对称性的知识脉络，构建从基础到应用的学习支架。 该资料亮点在于分8个考点设计题目，通过表格归纳性质法规律培养数学思维，题目涵盖选择、填空、解答题，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升推理能力与应用意识，体现用数学思维分析问题的核心素养。

专题08 函数奇偶性高频考点精讲 知识点1：函数奇偶性的概念 1．偶函数 (1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数． (2)图象特征：图象关于y轴对称． 2．奇函数 (1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数． (2)图象特征：图象关于原点对称． 【注意】(1)奇、偶函数定义域的特点 由于f (x)和f (－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇、偶函数的对应关系的特点 ①奇函数有f (－x)＝－f (x)⇔f (－x)＋f (x)＝0⇔＝－1(f (x)≠0)； ②偶函数有f (－x)＝f (x)⇔f (－x)－f (x)＝0⇔＝1(f (x)≠0)． 知识点2：判断函数奇偶性的3种方法 (1)定义法： (2)图象法： (3)性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点3：利用函数的奇偶性与单调性比较大小 (1)若f (x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f (x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． (2)若f (x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f (x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． (3)若f (x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f (x)在[－b，－a]上有最小值为－M． (4)若f (x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f (x)在[－b，－a]上有最大值为N． 知识点4：对称性 (1)轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ (2)点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ (3)拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 考点一　函数奇偶性的定义与判断 考点二　由奇偶性求解析式 考点三　由奇偶性求参数 考点四　由奇偶性求值 考点五　由奇偶性解不等式 考点六　抽象函数的奇偶性 考点七　函数奇偶性的应用 考点八　奇偶函数对称性的应用 考点一　函数奇偶性的定义与判断 1．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)， (5) (6)； (7) (8) 2．（25-26高三上·江西·期中）判断下列函数的奇偶性. (1)； (2) . 3．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4). 4．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 考点二　由奇偶性求解析式 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义域为R的奇函数满足，当时，求解析式． 6．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知偶函数的定义域为，且当时，，当，______． 7．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则___________． 8．（25-26高一上·陕西榆林·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 考点三　由奇偶性求参数 9．（25-26高二下·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 10．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 11．（2026·北京·三模）能说明命题“若是奇函数，则”为假命题的一组的值可以是______，______，______． 12．（2026·青海海东·二模）若函数是偶函数，则______． 13．（2026·河北沧州·模拟预测）若函数为奇函数，则__________. 14．（2026·江西南昌·一模）已知函数，若函数为偶函数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 考点四　由奇偶性求值 15．（25-26高一上·广西贺州·期中）已知函数为奇函数，且当时，，则（   ） A．-9 B．-7 C．-10 D．10 16．（25-26高一上·广东佛山·期中）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．的值域为 C．当时， D．的解集为 17．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，． (1)求的值； (2)求在上的解析式． 18．（25-26高一上·广东惠州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则______. 考点五　由奇偶性解不等式 19．（2026·河北沧州·一模）已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·辽宁大连·期末）设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 21．（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知定义在上的奇函数，对任意的，，满足，且，则的解集为（ ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·辽宁·期末）若定义在上的奇函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·黑龙江绥化·期末）已知奇函数在定义域上单调递减，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高二上·广东揭阳·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高一上·全国·课后作业）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是______ 26．（25-26高二上·广西贵港·期末）已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为______. 考点六　抽象函数的奇偶性 27．（25-26高一上·山东青岛·期中）（多选）已知函数的定义域为，满足，当时，恒有，则（   ） A． B．为偶函数 C． D．在上单调递减 28．（25-26高一上·浙江·期中）已知定义域为的函数的图象关于点对称，且对任意，都有，则（   ） A． B． C．函数为奇函数 D． 29．（25-26高一上·安徽·期中）（多选）已知函数的定义域是，对任意实数都有，且，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 30．（25-26高一上·安徽黄山·期中）（多选）已知均是定义域为的非常值函数，且满足，，则（    ） A． B． C． D．为奇函数 31．（25-26高一上·重庆·期中）（多选）已知定义在的函数满足且当时，.则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．当时， C．在单调递减 D．当时， 32．（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 考点七　函数奇偶性的应用 33．（26-27高三上·山东临沂·期末）函数是奇函数．若函数，则___________． 34．（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数的最大值为，最小值为，则____________. 35．（2026·云南·模拟预测）已知定义在上的函数，满足，在上的最大值为，则在上的最小值为（ ） A． B． C．4 D．5 36．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 37．（25-26高二下·河南·阶段检测）定义在 上的偶函数满足，且当时，单调递减，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）设为定义在上的奇函数，且，，则的值为__________． 考点八　奇偶函数对称性的应用 39．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 40．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数在上单调递增，且为偶函数，则（     ） A． B． C． D． 41．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义在R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高二下·福建泉州·期末）已知是定义在上的奇函数，则以下函数中图象关于对称的是（    ） A． B． C． D． 43．（25-26高一上·山东青岛·期中）定义在上的函数满足，且． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 44．（25-26高一上·广东·阶段检测）（多选）若定义在上的函数满足，且为偶函数，在区间上，对有，则下列说法中正确的有（    ） A．函数的图象关于成中心对称 B．当时， C．在区间上，为减函数 D． 45．（25-26高二下·重庆·期末）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 46．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是减函数，那么在上是（     ） A．增函数 B．减函数           C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 函数奇偶性高频考点精讲 知识点1：函数奇偶性的概念 1．偶函数 (1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数． (2)图象特征：图象关于y轴对称． 2．奇函数 (1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数． (2)图象特征：图象关于原点对称． 【注意】(1)奇、偶函数定义域的特点 由于f (x)和f (－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇、偶函数的对应关系的特点 ①奇函数有f (－x)＝－f (x)⇔f (－x)＋f (x)＝0⇔＝－1(f (x)≠0)； ②偶函数有f (－x)＝f (x)⇔f (－x)－f (x)＝0⇔＝1(f (x)≠0)． 知识点2：判断函数奇偶性的3种方法 (1)定义法： (2)图象法： (3)性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点3：利用函数的奇偶性与单调性比较大小 (1)若f (x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f (x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． (2)若f (x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f (x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． (3)若f (x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f (x)在[－b，－a]上有最小值为－M． (4)若f (x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f (x)在[－b，－a]上有最大值为N． 知识点4：对称性 (1)轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ (2)点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ (3)拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 考点一　函数奇偶性的定义与判断 考点二　由奇偶性求解析式 考点三　由奇偶性求参数 考点四　由奇偶性求值 考点五　由奇偶性解不等式 考点六　抽象函数的奇偶性 考点七　函数奇偶性的应用 考点八　奇偶函数对称性的应用 考点一　函数奇偶性的定义与判断 1．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)， (5) (6)； (7) (8) 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)非奇非偶函数 (5)非奇非偶函数 (6)奇函数 (7)偶函数 (8)非奇非偶函数 【分析】利用奇偶函数的定义逐个判断即可. 【详解】（1）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. （2）的定义域为，它关于原点对称. ，故为偶函数. （3）的定义域为不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （4），的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （5）因为，所以，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （6）由，得，且， 所以的定义域为，关于原点对称， 所以. 又，所以是奇函数. （7）对于函数，因为，所以， 其定义域为，关于原点对称.因为对定义域内的每一个，都有， 所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. （8）因为，所以，所以的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是奇函数也不是偶函数. 2．（25-26高三上·江西·期中）判断下列函数的奇偶性. (1)； (2) . 【答案】(1)奇函数 (2)奇函数 【分析】（1）先求出函数的定义域，再判断与的关系即可得解； （2）分和两种情况分别判断与的关系即可得解. 【详解】（1）由，可得且， 所以函数的定义域为且， 所以， 因为， 所以函数的奇函数； （2）当时，， 则， 当时，， 则， 综上所述，， 所以函数的奇函数. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)既不是奇函数，又不是偶函数 (2)奇函数 (3)偶函数 (4)既是奇函数，又是偶函数． 【分析】先考查函数的定义域，进一步利用奇偶性的定义逐题判断即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 不关于原点对称，故函数既不是奇函数，又不是偶函数． （2）函数的定义域为R. 又 所以函数为奇函数. （3）函数的定义域为R. 又， 所以函数为偶函数. （4）因为函数的定义域为， 则，且， 则且， 所以函数既是奇函数，又是偶函数. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)奇函数 (2)是奇函数，也是偶函数 (3)既不是奇函数，也不是偶函数 (4)奇函数 (5)偶函数 【分析】利用奇偶函数的定义与性质判断即可. 【详解】（1）因为，其定义域为，关于原点对称， 又， 所以是奇函数. （2）因为， 所以，解得， 则的定义域为，关于原点对称，且， 故是奇函数，也是偶函数. （3）因为， 所以，解得或， 则的定义域不关于原点对称， 所以既不是奇函数，也不是偶函数． （4）因为，易知定义域关于原点对称， 当时，， ，； 当时，， ，. 所以函数为奇函数； （5）因为， 所以，所以且， 所以函数的定义域为关于原点对称， 又， 所以函数为偶函数. 考点二　由奇偶性求解析式 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义域为R的奇函数满足，当时，求解析式． 【答案】 【分析】当时，，代入解析式，根据奇函数定义，可得时的解析式，分析即可得答案. 【详解】当时，，则， 因为是奇函数，所以 又当时，，所以. 6．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知偶函数的定义域为，且当时，，当，______． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案. 【详解】当时，，而是偶函数， 所以. 故答案为： 7．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则___________． 【答案】9 【分析】利用函数的奇偶性建立方程组，求出解析式，进而求出的值. 【详解】由题意知，，. 因为①， 则，即②， 由①②联立解得，. 所以. 故答案为：9 8．（25-26高一上·陕西榆林·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 当时，， 所以当时，. 故选：B 考点三　由奇偶性求参数 9．（25-26高二下·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用定义域为的奇函数性质求出参数，借助奇函数对称性算出，代入等式求得，结合时的函数解析式解方程并舍去负根得到. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则. 因为是增函数，且当时，， 则当时，， 由，得， 所以，由，解得或（舍去）. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． 11．（2026·北京·三模）能说明命题“若是奇函数，则”为假命题的一组的值可以是______，______，______． 【答案】 1 0 1 【分析】根据奇函数的定义得出即可求解． 【详解】因为是上奇函数，所以， 当时，，， 则， 由得， 所以满足的即为奇函数， 所以可取． 12．（2026·青海海东·二模）若函数是偶函数，则______． 【答案】5 【分析】通过一元二次函数的对称性求解. 【详解】 由题意知，函数的对称轴是轴，所以，得，， 所以. 13．（2026·河北沧州·模拟预测）若函数为奇函数，则__________. 【答案】 【分析】根据奇函数的性质计算即可. 【详解】由题意得，则且， 因为为奇函数，其定义域关于原点对称， 所以，故， 又，即， 所以，则. 14．（2026·江西南昌·一模）已知函数，若函数为偶函数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】令， 因为函数为偶函数，且为三次函数， 所以为奇函数，即， 所以， 即， 即， 所以，解得. 考点四　由奇偶性求值 15．（25-26高一上·广西贺州·期中）已知函数为奇函数，且当时，，则（   ） A．-9 B．-7 C．-10 D．10 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义和性质求解计算即可. 【详解】因为当时，， 当时，，此时. 因为为奇函数，所以，所以. 即时. 所以. 故选：C. 16．（25-26高一上·广东佛山·期中）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B．的值域为 C．当时， D．的解集为 【答案】ABC 【分析】根据奇函数性质可得，即可判断A；根据奇函数的定义求函数的解析式，即可判断C；作出函数的图象，结合图象判断BD. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则，故A正确； 且当时，， 当时，则，可得，故C正确； 所以，作出函数的图象，如图所示： 可知的值域为，故B正确； 的解集为，故D错误； 故选：ABC. 17．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，． (1)求的值； (2)求在上的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的值，再结合奇函数的性质可得出的值； （2）利用奇函数的性质可求出函数在时的解析式，再由可得出函数在上的解析式. 【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，当时，， 则，故. （2）当时，，则， 由于函数是上的奇函数，故， 因此. 18．（25-26高一上·广东惠州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出函数值. 【详解】依题意，. 故答案为： 考点五　由奇偶性解不等式 19．（2026·河北沧州·一模）已知定义在上的偶函数，其部分图象如图所示，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】补全函数的图象，分、、三种情况解不等式，结合图象可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集. 【详解】因为是定义在区间上的偶函数，补充函数的图象如下图所示： 对于不等式， 若，则，可得或或，解得或或， 此时； 若，则，可得，解得，此时. 显然满足不等式. 综上所述，不等式的解集为. 20．（25-26高二下·辽宁大连·期末）设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减，所以， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为. 21．（25-26高一上·宁夏石嘴山·阶段检测）已知定义在上的奇函数，对任意的，，满足，且，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意构造函数，可知函数在上单调递增，在上单调递减，将不等式变形结合并分类讨论，利用函数单调性解不等式可得结果. 【详解】根据题意由任意的，，满足， 可得函数在上单调递增， 因为为奇函数，所以为偶函数，则函数在上单调递减， 当时将不等式可变形为， 又为偶函数，可得； 因此由可得，可得； 当时将不等式可变形为， 易知，因此由可得，可得； 因此不等式的解集为. 故选：A 22．（25-26高一上·辽宁·期末）若定义在上的奇函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的性质分，两种情况讨论求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且在上是减函数， 所以函数在也是减函数且， 当时，要使，则， 则或，解得或， 当时，要使，则， 则或，解得或，所以， 综上不等式的解集为. 故选：D 23．（25-26高一上·黑龙江绥化·期末）已知奇函数在定义域上单调递减，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质及函数单调性求解不等式即得. 【详解】由奇函数在定义域上单调递减，得， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 24．（25-26高二上·广东揭阳·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可设，结合的奇偶性判断的奇偶性，再结合题设判断的单调情况，进而结合不等式，讨论的正负，结合的单调情况，分类求解，即可得答案. 【详解】由题意可设，因为是上的奇函数， 则，即是上的偶函数. 对任意，满足，即， ，即函数在上单调递减， 又是偶函数，故在上单调递增，且， 当时，，即，即，； 当时，，即，即，， 综上，不等式的解集为. 故选：C. 25．（25-26高一上·全国·课后作业）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是______ 【答案】 【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，再分讨论即可． 【详解】因为函数为上的奇函数，所以， 又因为奇函数在上单调递减，且， 所以在上单调递减，且， 所以当时，， 当时，， 所以由可得： ①当时，有或， 解得：， ②当时，有或， 解得：， ③当时，满足题意， 综上得：或， 所以满足的的取值范围是， 故答案为：. 26．（25-26高二上·广西贵港·期末）已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】设，由题意得到为偶函数且在上单调递增，由，将原不等式转化为，然后利用函数的性质将问题转化得到不等式，解不等式即可. 【详解】设， 由且，得， 则在上单调递增， 因为为奇函数，所以， 所以，故为偶函数， 而， 所以有，又在上单调递增， 所以，解得， 所以所求不等式解集为. 故答案为：. 考点六　抽象函数的奇偶性 27．（25-26高一上·山东青岛·期中）（多选）已知函数的定义域为，满足，当时，恒有，则（   ） A． B．为偶函数 C． D．在上单调递减 【答案】BCD 【分析】A选项，通过赋值得到；B选项，通过赋值得到，即可判断奇偶性；C选项，赋值得到，然后再次赋值即可得到；D选项，令，，然后根据BC选项得到，最后根据定义判断单调性即可. 【详解】令，，则，整理得， 因为，，所以，，故A错； 令，，则，整理得， 所以为偶函数，故B正确； 令，，则， 然后用替换可得，故C正确； 令，，， 所以，， ， 因为，，且为偶函数， 所以，，即， 因为，所以， 所以，即，所以在上单调递减， 故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：抽象函数性质研究： （1）函数值：通过赋特殊值求函数值； （2）奇偶性：通过赋值产生，，从而得到奇偶性； （3）单调性：通过赋值得到，然后判断正负得到单调性；或通过特殊值的思路，取复合要求的具体函数，然后判断单调性. 28．（25-26高一上·浙江·期中）已知定义域为的函数的图象关于点对称，且对任意，都有，则（   ） A． B． C．函数为奇函数 D． 【答案】D 【分析】先根据题设条件推得4为函数的一个周期，结合取值代入，利用奇函数的定义，函数周期性等性质逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因函数是定义在上的函数，其图象关于点对称， 且，可得， 由可得， 则有，则， 故，即4为函数的一个周期， 又由可得， 由可得， 这些条件均无法确定，可以是任意满足的值， 故没有依据，故A错误； 对于B，由A已得， 假设，则恒成立，而题设没有这个条件，故B错误； 对于C，由可得，故为偶函数， 假设为奇函数，则恒成立，而题设没有这个条件，故C错误； 对于D，由函数的图象关于点对称可知， 令得，即， 又由A项，，可得：，， 且4为函数的一个周期， 故，故D正确. 故选：D. 29．（25-26高一上·安徽·期中）（多选）已知函数的定义域是，对任意实数都有，且，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】AD 【分析】利用赋值法逐项分析判断. 【详解】对于A：令，则．对． 对于B：令，则，所以．错． 对于C：赋为，为，则， 又，所以， 所以． 若，则，与不符，所以． 于是，即为偶函数．C错D对. 故选:． 30．（25-26高一上·安徽黄山·期中）（多选）已知均是定义域为的非常值函数，且满足，，则（    ） A． B． C． D．为奇函数 【答案】ACD 【分析】根据题意，令，求得，可判定A正确；令，求得，可判定B错误；令，得到，可判定C正确；令，得到 分别令和，结合函数奇偶性的性质，可判定D正确． 【详解】对于A，令，则有，两式相减可得，所以，所以A正确； 对于B，令，有， 因为不是常函数，所以，所以B错误； 对于C，令，有，所以， 所以，所以C正确； 对于D，两式相加，可得， 令，则有，可得，所以是偶函数， 因为， 令，可得，整理得，又因为， 令，可得，所以， 当时，可得，即， 当时，由C知：，可得， 因为是偶函数，可得， 又因为，可得，即， 所以，即， 综上可得，函数满足，所以为奇函数； 因为奇函数与偶函数的乘积是奇函数，所以是奇函数，所以D正确． 故选：ACD. 31．（25-26高一上·重庆·期中）（多选）已知定义在的函数满足且当时，.则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．当时， C．在单调递减 D．当时， 【答案】ACD 【分析】利用赋值法结合抽象函数的性质一一分析选项即可. 【详解】对于A，令，则， 令，则， 再令，则，即A正确； 对于B，令，则有，即时，， 结合奇函数性质知时，，即B错误； 对于C，取，令，则 由上知时，，则， 所以，则在单调递减，故C正确； 对于D，取，则有， 若，显然，故D正确； 故选：ACD 32．（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数对任意的，，都有，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数是奇函数，然后判断该函数是减函数，进而根据奇偶性对不等式进行化简，最后根据单调性求解不等式的解集. 【详解】令，则，所以. 令，则，所以. 所以函数为奇函数. 设，且，则. 由题意知，当时，，所以. 因为，所以有. 即，所以在上是减函数. 不等式， 根据单调性可得， 化简得， 解得. 故选：C. 考点七　函数奇偶性的应用 33．（26-27高三上·山东临沂·期末）函数是奇函数．若函数，则___________． 【答案】28 【分析】由函数奇偶性建立等式，代入，求得，代入，求得. 【详解】由题意可知，所以. 因为，且，所以， 所以. 34．（25-26高一上·上海·阶段检测）若函数的最大值为，最小值为，则____________. 【答案】4 【分析】先将函数分离常数，构造奇函数，再利用奇函数的性质求出的最大值与最小值，进而得到的最值和，最后计算即可. 【详解】， 令， 则，则函数为奇函数， 设的最大值为，则最小值为， 所以，， 则. 故答案为：4. 35．（2026·云南·模拟预测）已知定义在上的函数，满足，在上的最大值为，则在上的最小值为（ ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】构造函数，由题意得函数为奇函数，根据题意求得函数在上最大值，即可求得函数在上最大值，从而得到结果. 【详解】函数的定义域为， 由，得， 令，则，所以函数为奇函数， 因为函数在上的最大值为， 所以函数在上的最大值为， 故函数在上的最小值为4， 从而函数在上的最小值为5， 故选：D. 36．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先证得为奇函数，所以，再由奇函数的性质可求出. 【详解】令，函数定义域为R， ，所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以． 37．（25-26高二下·河南·阶段检测）定义在 上的偶函数满足，且当时，单调递减，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合偶函数性质及关系可得，，，再结合函数单调性比较，，，由此可得结论. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 又， 所以， ， ， 因为，且当时，单调递减， 所以， 所以， 即. 38．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）设为定义在上的奇函数，且，，则的值为__________． 【答案】0 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义，结合赋值法推理计算. 【详解】由为定义在上的奇函数，且， 得，即， 因此，， 所以. 考点八　奇偶函数对称性的应用 39．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 【答案】0 【分析】先利用偶函数的对称性得到，再结合奇函数性质及即可推出结果. 【详解】因为为偶函数，所以， 则， 又因为是上的奇函数，所以. 40．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数在上单调递增，且为偶函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性和单调性逐一判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 令得，A错误； 令得，C错误； 又函数在上单调递增，， 所以，，B错误，D正确. 41．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义在R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据偶函数性质判断函数的区间单调性，再将问题化为对任意恒成立，法一：应用特殊值及排除法，即可得；法二：进一步化为恒成立，结合已知区间确定左右两侧的最值，即可得范围. 【详解】定义在R上的偶函数在上是增函数，则在上是减函数， 若不等式对任意恒成立， 必有对任意恒成立， 法一：当时，对任意恒成立，排除A； 当时，对任意不恒成立，排除C，D； 法二：， 又，所以，，即. 故选：B 42．（25-26高二下·福建泉州·期末）已知是定义在上的奇函数，则以下函数中图象关于对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的奇偶性，结合函数图象变换逐项判断. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 令，其定义域为， 则，故函数是定义在上的偶函数，其图象关于轴对称， 对于A，函数的图象可在函数的图象上向右平移1个单位，则关于对称，故A正确； 对于B，函数的图象可在函数的图象上向左平移1个单位，则关于对称，故B错误； 对于C，函数的图象可在函数的图象上向上平移1个单位，则关于轴对称，故C错误； 对于D，函数的图象可在函数的图象上向下平移1个单位，则关于轴对称，故D错误. 故选：A. 43．（25-26高一上·山东青岛·期中）定义在上的函数满足，且． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最值． 【答案】(1)； (2)最小值、最大值分别为、. 【分析】（1）利用奇函数的性质及已知函数值列方程求参数值，即可得； （2）先求出上函数的值域，再结合奇函数的对称性确定的值域，即可得. 【详解】（1）由题设恒成立，则， ， 所以； （2）当时，而在上单调递减， 所以，故， 由奇函数的对称性，当时，而， 综上，，故的最小值、最大值分别为、. 44．（25-26高一上·广东·阶段检测）（多选）若定义在上的函数满足，且为偶函数，在区间上，对有，则下列说法中正确的有（    ） A．函数的图象关于成中心对称 B．当时， C．在区间上，为减函数 D． 【答案】AB 【分析】A：根据为偶函数以及已知条件可作出判断；B：根据的取值，结合的单调性可判断出结果；C：根据的图象在上的单调性以及的对称性和周期性可进行判断；D：先判断出的周期性，再判断出的图象关于对称，由此可判断出结果. 【详解】因为为偶函数，所以，所以的图象关于直线对称， 又，所以，即， 所以的图象关于成中心对称，A正确； 由得， 所以是周期为的函数，所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以的图象关于直线对称，所以，故D错误； 在中，令得，所以， 因为的图象关于直线对称，所以， 在区间上，因为对有，所以在区间上单调递减， 因为的图象关于直线对称，所以在区间上单调递增， 由可知时，，故B正确； 因为函数在区间上单调递减，且的图象关于对称， 所以在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递减， 因为的图象关于直线对称，所以函数在区间上单调递增， 又，所以函数在区间上单调递增，故C错误. 故选：AB. 45．（25-26高二下·重庆·期末）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，结合，即可求解. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，可得， 又由函数是偶函数，其图象关于轴对称，可得的图象关于对称， 即，所以，即， 因为，可得. 46．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是减函数，那么在上是（     ） A．增函数 B．减函数           C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 【答案】A 【分析】先由题设求出函数的周期，接着由函数对称性和单调性即可分析求解. 【详解】由题可得， 所以是周期为2的函数，又函数是定义域为的偶函数， 所以函数图象关于y轴对称，则由周期为2可得函数关于直线对称， 因为在上是减函数，则在上是增函数， 所以由函数周期为2可得在上的单调性与在上的单调性相同，则在上是增函数. 故选：A 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $