专题01 集合【10大考点】讲义-2026-2027学年上学期高一数学人教A版必修第一册

本讲义系统梳理高中数学集合核心知识点，从元素与集合的基本概念出发，依次讲解元素特征（确定性、互异性、无序性）、元素与集合关系、表示方法（列举法、描述法），再到子集、真子集、空集及集合运算（并集、交集、补集），形成层层递进的知识支架。 资料通过表格对比、Venn图直观呈现，结合10类考点例题（如元素互异性应用、参数求解、新定义问题），培养学生抽象能力与逻辑推理。课中辅助教师系统授课，课后多样化练习帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

专题01 集合高频考点精讲 知识点1：元素与集合的基本概念 1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 【注意】研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等． 知识点2：集合中元素的特征 1．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性． 2．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 【注意】集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关． (1)判断一组对象能否构成集合，关键是能否满足确定性、互异性． (2)若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．求解中注意检验集合中元素的互异性． 知识点3：元素与集合的关系 1．元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素 a∉A a不属于集合A 2．常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 【注意】0是自然数，0∈N． 知识点4：列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】(1)列举法表示集合，元素与元素之间用“，”隔开． (2)这里集合的“{　}”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有“等字眼． 知识点5：描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 【注意】(1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}． (2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的． (3)所有描述的内容都要写在花括号内，如”{x∈Z|x＝2m}，m∈N*“不符合要求，应将”m∈N*“写进”{　}“中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}． (4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}． 知识点6：子集 1．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3．一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B． 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． 【注意】(1)“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B． (2)符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系，而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系． 知识点7：真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⫋B(或B⫌A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2．空集 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅． (2)规定：空集是任何集合的子集． 【注意】(1)A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x∈B，但x∉A． (2)∅与{0}不同，{0}是含有一个元素的集合，∅⫋{0}；更不能把∅写作{∅}． 知识点8：子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集有2n个． (2)A的非空子集有2n－1个． (3)A的真子集有2n－1个． (4)A的非空真子集有2n－2个． 知识点9：并集 文字 语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号 语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形 语言 性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A 【注意】并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B．如图所示． 知识点10：交集 文字 语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号 语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形 语言 性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅ 【注意】如果两个集合A，B没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅． 知识点11：集合交、并集运算的性质 (1)A∪B＝A⇔B⊆A． (2)A∩B＝A⇔A⊆B． (3)(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B． (4)A∩B＝A∪B⇔A＝B． 知识点12：全集与补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U． 2．补集 自然 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号 语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形 语言 性质 (1)∁UA⊆U． (2)∁UU＝∅，∁U∅＝U． (3)∁U(∁UA)＝A． (4)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅ 【注意】1．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z． 2．∁UA包含三层含义： (1)A⊆U． (2)∁UA是一个集合，且∁UA⊆U． (3)∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 特殊结论：∁R(A∪B)与(∁RA)∩(∁RB)及∁R(A∩B)与(∁RA)∪(∁RB)的关系 (1)∁R(A∪B)＝(∁RA)∩(∁RB)． (2)∁R(A∩B)＝(∁RA)∪(∁RB)． 考点一　元素与集合的关系 考点二　元素互异性与集合相等 考点三　集合的表示方法 考点四　集合关系的判断及其个数问题 考点五　根据集合的包含关系求参数 考点六　集合交并补的基本运算 考点七　利用集合交并补运算求参数 考点八　利用Venn图求集合 考点九　容斥原理的应用 考点十　集合新定义 考点一　元素与集合的关系 1．（25-26高一上·全国·专题训练）用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·专题训练）给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 考点二　元素互异性与集合相等 5．（25-26高一上·湖南张家界·阶段检测）含有三个实数的集合，若且，求的值． 6．（25-26高一上·全国·专题训练）已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026高二下·江西·竞赛）实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 8．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 10．（2026高一·全国·专题练习）已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 考点三　集合的表示方法 11．（25-26高一上·全国·专题训练）用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 12．（25-26高一上·全国·专题训练）用列举法表示下列集合： (1)； (2)大于2且小于15的所有质数组成的集合； (3)绝对值不大于2的所有整数组成的集合. 13．（25-26高一上·全国·专题训练）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 14．（25-26高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 15．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 16．（25-26高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 考点四　集合关系的判断及其个数问题 17．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合，，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，则的关系满足（    ） A．⫋ B．⫋⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 19．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）（多选）下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 20．（2026高一·全国·专题练习）满足条件的集合的个数是____ 21．（25-26高一上·广东深圳·期中）集合，则符合条件的集合的个数为__________. 22．（25-26高一上·云南红河·期中）已知集合，，则B的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 23．（25-26高一上·河南新乡·期中）已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A．32 B．31 C．16 D．15 24．（25-26高一上·河北·期中）已知集合，则集合的真子集个数为（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 考点五　根据集合的包含关系求参数 25．（2026高三·全国·专题练习）已知， ，若，，求实数a组成的集合C的真子集． 26．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 27．（25-26高一上·全国·专题训练）已知，若，求的值 28．（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 29．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 30．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，若为的真子集，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 考点六　集合交并补的基本运算 31．（26-27高三上·北京·开学考试）如果集合，，那么（    ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）已知集合，则______，______. 33．（25-26高一下·陕西安康·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 34．（2026·安徽·模拟预测）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 35．（2026·山东泰安·模拟预测）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 36．（2026·浙江金华·三模）已知全集，若，则（   ） A． B． C． D． 考点七　利用集合交并补运算求参数 37．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 38．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 39．（2026高一·全国·专题练习）（多选）设，下列选项正确的是（ ） A．集合的子集个数为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则 40．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 41．（25-26高一上·广东珠海·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 42．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知全集． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值集合； (2)若，求． 考点八　利用Venn图求集合 43．（25-26高一上·广西河池·期中）已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 44．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 45．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 46．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）（多选）已知为全集，若是的非空子集，且满足，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 47．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，则图中的阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 48．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 考点九　容斥原理的应用 49．（25-26高一上·山东临沂·阶段检测）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有38名同学，有25人观看了《南京照相馆》，有10人观看了《浪浪山小妖怪》，有16人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．5 B．10 C．6 D．9 50．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知鞍山一中25届15班共有36人，其中参加数学校本课程的有20人，参加物理校本课程的有18人，参加化学校本课程的有16人，既参加数学校本课程又参加物理校本课程的有12人，既参加数学校本课程又参加化学校本课程的有10人，既参加物理校本课程又参加化学校本课程的有6人，三科都参加的有4人，则三科都没参加的有_____人． 51．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影，同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》的人数为（   ） A．1人 B．2人 C．3人 D．4人 52．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）高一班共有名同学，学校举办运动会时，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，两项均不参加的有人，则同时参加田径比赛和球类比赛的有（    ） A．3人 B．7人 C．8人 D．人 53．（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）某校共有40人参加体育训练，每人至少从足球、排球和游泳这三个项目中选择一个，其中21人选择参加足球，17人选择参加排球，20人选择参加游泳，只参加了两个项目的共有12人，则三项都参加的学生数为______． 54．（25-26高一上·黑龙江鸡西·阶段检测）某校高一四班学生人，寒假参加体育训练，其中足球队人，排球队人，游泳队人，足球排球都参加的有人，足球游泳都参加的有人，排球游泳都参加的有人，问：三项都参加的学生数为___________． 考点十　集合新定义 55．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）定义：将非空集合M中的元素按照从大到小的顺序排列，以第一个元素为起点，交替地减去、加上后继元素所得的结果即为非空集合M的“居间数”．例如，集合{1，2，3}的“居间数”是，集合{1，6}的“居间数”是，集合{1}的“居间数”是1．对于集合，其所有非空子集的“居间数”的总和为________． 56．（25-26高一上·上海·阶段检测）在本题中，我们把且叫做集合A与B的差集，记作．设，，则________________． 57．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）设有限集所含元素的个数用表示，并规定，已知集合满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为 （   ） A．6 B．10 C．16 D．64 58．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知是的非空子集，如果对任意，都有，则称是封闭集. (1)判断集合是否为封闭集，无需说明理由； (2)已知非空集合是封闭集，证明：为封闭集的充要条件是； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集. 59．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”. (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的； (3)若集合是由4个正整数构成，请写出一个集合，使得其差倍集的元素个数为4，并说明理由. 60．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知集合，若对任意，都有或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性；（不需写出判断过程） (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合具有“包容”性，且集合的子集有64个，，试确定集合. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合高频考点精讲 知识点1：元素与集合的基本概念 1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． 【注意】研究对象可以是数、点、代数式，也可以是现实生活中各种各样的事物或人等． 知识点2：集合中元素的特征 1．集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性． 2．集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 【注意】集合中的元素必须是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关． (1)判断一组对象能否构成集合，关键是能否满足确定性、互异性． (2)若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等．求解中注意检验集合中元素的互异性． 知识点3：元素与集合的关系 1．元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素 a∉A a不属于集合A 2．常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 【注意】0是自然数，0∈N． 知识点4：列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】(1)列举法表示集合，元素与元素之间用“，”隔开． (2)这里集合的“{　}”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有“等字眼． 知识点5：描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 【注意】(1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}． (2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的． (3)所有描述的内容都要写在花括号内，如”{x∈Z|x＝2m}，m∈N*“不符合要求，应将”m∈N*“写进”{　}“中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}． (4)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x<20}也可表示为D＝{x|x<20}． 知识点6：子集 1．Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3．一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B． 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． 【注意】(1)“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B． (2)符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系，而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系． 知识点7：真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⫋B(或B⫌A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2．空集 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅． (2)规定：空集是任何集合的子集． 【注意】(1)A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x∈B，但x∉A． (2)∅与{0}不同，{0}是含有一个元素的集合，∅⫋{0}；更不能把∅写作{∅}． 知识点8：子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集有2n个． (2)A的非空子集有2n－1个． (3)A的真子集有2n－1个． (4)A的非空真子集有2n－2个． 知识点9：并集 文字 语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号 语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形 语言 性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A 【注意】并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B．如图所示． 知识点10：交集 文字 语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号 语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形 语言 性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅ 【注意】如果两个集合A，B没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅． 知识点11：集合交、并集运算的性质 (1)A∪B＝A⇔B⊆A． (2)A∩B＝A⇔A⊆B． (3)(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B． (4)A∩B＝A∪B⇔A＝B． 知识点12：全集与补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U． 2．补集 自然 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号 语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形 语言 性质 (1)∁UA⊆U． (2)∁UU＝∅，∁U∅＝U． (3)∁U(∁UA)＝A． (4)A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅ 【注意】1．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z． 2．∁UA包含三层含义： (1)A⊆U． (2)∁UA是一个集合，且∁UA⊆U． (3)∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． 特殊结论：∁R(A∪B)与(∁RA)∩(∁RB)及∁R(A∩B)与(∁RA)∪(∁RB)的关系 (1)∁R(A∪B)＝(∁RA)∩(∁RB)． (2)∁R(A∩B)＝(∁RA)∪(∁RB)． 考点一　元素与集合的关系 考点二　元素互异性与集合相等 考点三　集合的表示方法 考点四　集合关系的判断及其个数问题 考点五　根据集合的包含关系求参数 考点六　集合交并补的基本运算 考点七　利用集合交并补运算求参数 考点八　利用Venn图求集合 考点九　容斥原理的应用 考点十　集合新定义 考点一　元素与集合的关系 1．（25-26高一上·全国·专题训练）用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 【答案】 【分析】根据常用数集定义判断. 【详解】0是自然数，； 是无理数，不属于有理数集，； -5是整数，； 是实数，； 3.14不是正整数，. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得集合，再根据元素与集合关系即可求解． 【详解】由题可知，， 所以，故A正确；，故B错误； 因为集合中元素为，而非集合，故CD错误． 3．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，，，. 4．（25-26高一上·全国·专题训练）给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 考点二　元素互异性与集合相等 5．（25-26高一上·湖南张家界·阶段检测）含有三个实数的集合，若且，求的值． 【答案】 【分析】利用集合的互异性求参数的值，然后代入求解即可. 【详解】因为中，为分母，所以. 又因为，所以. 因为，且，所以或. 当时，不满足集合的互异性，故舍去. 当时，集合为 . 综上所述，，. 所以 6．（25-26高一上·全国·专题训练）已知集合，若则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】当时，集合，不符合互异性舍去； 当时，解得（舍）或，此时集合，符合互异性， 因此，故C正确. 7．（2026高二下·江西·竞赛）实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 【答案】 【分析】根据已知条件求出，进而求出，再利用高次幂尾数规律求解． 【详解】已知，则，故， 所以，故，解得， ，的末尾两位数为， 的末尾两位数为， 的末尾两位数为 之后每次乘以，末两位恒为， 故的末尾两位数为， 从而所求的末尾两位数为． 8．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）定义集合运算：.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义得到两集合中元素之和，并结合元素互异性得到答案. 【详解】， 由题意得. 故选：C 9．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 10．（2026高一·全国·专题练习）已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 考点三　集合的表示方法 11．（25-26高一上·全国·专题训练）用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【答案】 【详解】（1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有，用列举法可表示为． （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合用列举法可表示为． （3）由，得所以， 所以方程的所有解组成的集合用描述法可表示为． （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为． 12．（25-26高一上·全国·专题训练）用列举法表示下列集合： (1)； (2)大于2且小于15的所有质数组成的集合； (3)绝对值不大于2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，，元素无穷，. （2）大于2且小于15的质数有，. （3），为整数，得，. 13．（25-26高一上·全国·专题训练）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为． （2）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为． （3）由于， 所以用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为 ． （4）由，则 ，故集合为． 14．（25-26高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）根据各项文字描述写出集合的描述形式即可. 【详解】（1）由x轴上的点的特征为，故集合为； （2）由点在抛物线上，故集合为； （3）由，则，故集合为. 15．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 【答案】D 【分析】由已知可得或，集合元素是点集，再结合点的坐标的特点即可判断． 【详解】因为，所以或， 所以集合表示第二象限和第四象限内的所有点，以及在轴上的点， 即不在第一、第三象限内的所有点. 故选：D. 16．（25-26高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 【答案】(1)，是有限集 (2)，是有限集 (3)，是有限集 (4)，是无限集 (5)，是无限集 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述写出集合的描述形式，即可判断有限或无限. 【详解】（1）由大于1且小于70的正整数，则，故，是有限集； （2）因为小于8的质数有2，3，5，7，所以，是有限集． （3）方程的实数根为、，所以，是有限集． （4）由表示坐标系中的曲线，故，是无限集． （5）由，得，所以，是无限集． 考点四　集合关系的判断及其个数问题 17．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合，，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将集合中的元素的性质表达式化简成统一的形式，通过其表示的数集的范围即可判断集合之间的关系. 【详解】对于，； 对于，； 对于，. 因，则，则表示偶数，故易得. 故选：D. 18．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，则的关系满足（    ） A．⫋ B．⫋⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 【答案】A 【分析】把限制条件进行通分，比较式子的含义可得答案. 【详解】，， ， 因为，所以表示被6除余数为1的数； 因为，所以表示被3除余数为1的数； 因为，所以表示被3除余数为1的数； 所以, 被3除余1的整数，当其为奇数时，被6除余1；当其为偶数时，被6除余4. 集合中元素的分子均为被6除余1的数，而集合、中元素的分子为所有被3除余1的数， 所以是的真子集. 故选：A 19．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）（多选）下列集合中，是集合的子集的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分别判断集合的元素是否都在集合A里即可. 【详解】因为集合是所有奇数构成的集合， 对于选项A，集合里有偶数，所以选项A的集合不是集合的子集； 对于选项B，元素全是奇数，所以选项B的集合是集合的子集； 对于选项C，表示所有奇数构成的集合，所以选项C的集合是集合的子集； 对于选项D，表示所有4的倍数减1构成的集合，元素都是奇数，但不是所有奇数都在集合里，所以D选项的集合是集合的子集. 故选：BCD 20．（2026高一·全国·专题练习）满足条件的集合的个数是____ 【答案】7 【分析】根据子集和真子集的概念即可求解. 【详解】由题意，是集合的真子集，且集合为集合的子集， 所以集合至少有3个元素，最多有5个元素， 如果集合有3个元素：，，； 如果集合有4个元素：，，； 如果集合有5个元素：； 所以满足条件的集合共有7个. 21．（25-26高一上·广东深圳·期中）集合，则符合条件的集合的个数为__________. 【答案】8 【分析】问题化为求集合的子集个数，即可得. 【详解】由题设集合的个数，即集合的子集个数，为个. 故答案为：8 22．（25-26高一上·云南红河·期中）已知集合，，则B的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】根据题意求得B，再求解子集个数即可. 【详解】由题意，B中的元素包括，即，故. 故B的子集个数为. 故选：B 23．（25-26高一上·河南新乡·期中）已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】B 【分析】根据集合元素的约束条件先确定的所有可能的值，再依次代入不等式，确定的值，即得集合以及其真子集个数. 【详解】因为，所以，又，所以， 结合，可得： 当时，；当时，；当时，； 所以， 即中有5个元素，则集合的真子集个数为． 故选：B． 24．（25-26高一上·河北·期中）已知集合，则集合的真子集个数为（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据题意，求得，写出集合的真子集，即可求解. 【详解】由，可得集合的真子集分别为， 所以集合的真子集个数为3. 故选：A. 考点五　根据集合的包含关系求参数 25．（2026高三·全国·专题练习）已知， ，若，，求实数a组成的集合C的真子集． 【答案】，， 【分析】根据，可得A中，解出的值即可求解. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，则，，此时满足， 当时，则，，此时满足， 从而实数a组成的集合为，C的真子集为，，． 26．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 27．（25-26高一上·全国·专题训练）已知，若，求的值 【答案】或或 【分析】求解方程，得.讨论和两种情况，即可求得的值. 【详解】由，得，解得或. 所以， 当时，，满足； 当时，, 因为，所以或， 所以或. 综上所述，或或. 28．（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【详解】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 29．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）略 （2）略 （3）根据区间长度得，解得，接下来再分，，和，根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解； （4）根据集合的包含关系确定参数范围； （5）根据集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时．    则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解；    当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 30．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，若为的真子集，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分集合是否是空集进行讨论列式计算即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则第二个与第三个不等式等号不能同时取到， 或第二个与第三个不等式等号不能同时取到， 解得. 综上，或，即m的取值范围是. 故选：D. 考点六　集合交并补的基本运算 31．（26-27高三上·北京·开学考试）如果集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得集合，再由集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 因为，可得. 32．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）已知集合，则______，______. 【答案】 【详解】已知集合，即为取的公共部分，则； 为能将覆盖的全部范围，则. 33．（25-26高一下·陕西安康·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交集及补集运算求解即可. 【详解】根据补集的定义， ， 所以 . 34．（2026·安徽·模拟预测）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知得，所以. 35．（2026·山东泰安·模拟预测）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，，， 所以，所以. 36．（2026·浙江金华·三模）已知全集，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ． 考点七　利用集合交并补运算求参数 37．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 38．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，或． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用集合的运算得，即可求解； （2）分和两种情况，结合条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】（1）因，或， 又，则，解得， 所以的取值范围为. （2）因为， 当，即时，，满足， 当时，由，得到，解得，所以， 综上所述，的取值范围为. 39．（2026高一·全国·专题练习）（多选）设，下列选项正确的是（ ） A．集合的子集个数为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据集合元素个数求子集个数判断A，根据交集运算结果求出参数范围判断BC，分类讨论判断D. 【详解】因为，所以集合的子集个数为，故A正确； 当时，，即，故B正确； 当时，，即，此时必有成立，故C正确； 对D，当时，，满足， 当时，，当时，，即，此时， 当时，，当时，，即，此时， 综上，，故D不正确. 故选：ABC 40．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【详解】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 41．（25-26高一上·广东珠海·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义求解； （2）分类讨论，利用补集和并集的定义可求得结果. 【详解】（1）集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. （2）当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 42．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知全集． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值集合； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由集合中的方程只有一个解，求实数的取值集合； （2）由已知得集合A,B中的元素，求出n和m，解出集合中的方程得到这两个集合，再求交集. 【详解】（1）若集合有且仅有两个子集，则集合中只有1个元素， 即方程只有1个根， 时，方程解得，符合题意； 时，一元二次方程只有1个根，，解得. 所以实数的取值集合为 （2）若，则-4是方程的根，则有， 方程解得或，得. ，则6是方程的根，则有， 方程解得或，得. 满足， 所以. 考点八　利用Venn图求集合 43．（25-26高一上·广西河池·期中）已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，阴影部分为． 44．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图结合补集与交集定义即可得. 【详解】由图可知，元素属于但不属于， 即阴影部分对应的集合为. 故选：A. 45．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】图中的阴影部分表示集合,通过集合的交、并、补运算即可得解. 【详解】, 图中的阴影部分表示的集合为. 故选：B. 46．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）（多选）已知为全集，若是的非空子集，且满足，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合Venn图逐项判断即可. 【详解】 由Venn图知： ，当时也成立，A正确； ，当时也成立，B错误； ，当时也成立，C正确， ，当时也成立，D正确， 故选：ACD 47．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知集合，则图中的阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据韦恩图结合集合的交集运算，即可求得答案. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为， 由，可得， 故选：B 48．（25-26高一上·四川南充·阶段检测）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由Venn图可知图中阴影部分表示的集合为，再根据集合间的运算求解. 【详解】因为全集，集合，则或，且集合， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：B. 考点九　容斥原理的应用 49．（25-26高一上·山东临沂·阶段检测）《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有38名同学，有25人观看了《南京照相馆》，有10人观看了《浪浪山小妖怪》，有16人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．5 B．10 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，如图所示： 则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有7人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C. 50．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知鞍山一中25届15班共有36人，其中参加数学校本课程的有20人，参加物理校本课程的有18人，参加化学校本课程的有16人，既参加数学校本课程又参加物理校本课程的有12人，既参加数学校本课程又参加化学校本课程的有10人，既参加物理校本课程又参加化学校本课程的有6人，三科都参加的有4人，则三科都没参加的有_____人． 【答案】6 【分析】根据题意画出图求解即可. 【详解】由题意，既参加数学校本课程又参加物理校本课程的有12人，三科都参加的有4人， 则参加数学校本课程和物理校本课程，没有参加化学校本课程的有8人， 而既参加数学校本课程又参加化学校本课程的有10人， 则参加数学校本课程和化学校本课程，没有参加物理校本课程的有6人， 而既参加物理校本课程又参加化学校本课程的有6人， 则参加物理校本课程和化学校本课程，没有参加数学校本课程的有2人， 可画出图，如图所示： 所以三科都没参加的人数为． 故答案为：6. 51．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影，同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》的人数为（   ） A．1人 B．2人 C．3人 D．4人 【答案】C 【分析】根据题意，设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，画出韦恩图，列出方程，求解即得. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人. 根据题意，画出韦恩图，并将各部分所含的元素个数进行标记， 由图知，，解得. 即同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》的人数为3人. 故选：C. 52．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）高一班共有名同学，学校举办运动会时，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，两项均不参加的有人，则同时参加田径比赛和球类比赛的有（    ） A．3人 B．7人 C．8人 D．人 【答案】A 【分析】首先根据“班级总人数”和“不参加比赛的人数”求出“至少参加一项比赛的人数”，再利用集合的容斥原理列方程求出“同时参加田径和球类比赛的人数”． 【详解】高一班共有名同学，不参加比赛的人数为人， 至少参加一项比赛的人数为：， 参加田径比赛的人数为，参加球类比赛的人数为， 设“同时参加田径比赛和球类比赛”的人数为， 根据集合的容斥原理有：，解得， 同时参加田径比赛和球类比赛的人数为3人． 故选：A． 53．（25-26高三上·陕西商洛·阶段检测）某校共有40人参加体育训练，每人至少从足球、排球和游泳这三个项目中选择一个，其中21人选择参加足球，17人选择参加排球，20人选择参加游泳，只参加了两个项目的共有12人，则三项都参加的学生数为______． 【答案】3 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入计算公式解出即可. 【详解】设集合{参加足球队的学生}，集合{参加排球队的学生}， 集合{参加游泳队的学生}， 则， ， 设三项都参加的有人，即，， 所以， ， 即， 解得， 三项都参加的有3人， 故答案为：3 54．（25-26高一上·黑龙江鸡西·阶段检测）某校高一四班学生人，寒假参加体育训练，其中足球队人，排球队人，游泳队人，足球排球都参加的有人，足球游泳都参加的有人，排球游泳都参加的有人，问：三项都参加的学生数为___________． 【答案】 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后结合题意列方程求解即可. 【详解】设集合， 集合， 集合， 则，，， ，，， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得. 故答案为：. 考点十　集合新定义 55．（25-26高一上·江西九江·阶段检测）定义：将非空集合M中的元素按照从大到小的顺序排列，以第一个元素为起点，交替地减去、加上后继元素所得的结果即为非空集合M的“居间数”．例如，集合{1，2，3}的“居间数”是，集合{1，6}的“居间数”是，集合{1}的“居间数”是1．对于集合，其所有非空子集的“居间数”的总和为________． 【答案】64 【分析】先求出集合，按照其子集情况分别求解“居间数”的和，可得答案. 【详解】易知．A的含一个元素的子集有{1}，{2}，{4}，{8}，这些子集的“居间数”的总和为． A的含两个元素的子集有{1，2}，{1，4}，{1，8}，{2，4}，{2，8}，{4，8}，这些子集的“居间数”的总和为． A的含三个元素的子集有{1，2，4}，{1，2，8}，{1，4，8}，{2，4，8}，这些子集的“居间数”的总和为． A的含四个元素的子集有{1，2，4，8}，这个子集的“居间数”的总和为． 故A的所有子集的“居间数”的总和为． 故答案为：64 56．（25-26高一上·上海·阶段检测）在本题中，我们把且叫做集合A与B的差集，记作．设，，则________________． 【答案】 【分析】根据差集定义求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以. 故答案为： 57．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）设有限集所含元素的个数用表示，并规定，已知集合满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为 （   ） A．6 B．10 C．16 D．64 【答案】B 【分析】根据集合中元素的个数，分类讨论集合的可能情况，统计符合条件的个数即可得解. 【详解】当时，，则，，与矛盾，所以； 设集合中元素的个数， 则集合中元素的个数，且， 由且，得，. ①当时，则，又， 所以，，满足题意. ②当时，则，，则，，又， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则，以上都满足题意. ③当时，即，则，， 但此时，与题干矛盾，所以不满足题意. ④当时，由且，得，， 又，与②同理可得不同集合的个数有4个，即不同集合的个数有4个. ⑤当时，由，则，又， 所以，，满足题意. 综上，满足条件的所有不同集合的个数为. 故选：B. 58．（25-26高一上·广东广州·阶段检测）已知是的非空子集，如果对任意，都有，则称是封闭集. (1)判断集合是否为封闭集，无需说明理由； (2)已知非空集合是封闭集，证明：为封闭集的充要条件是； (3)若非空集合是封闭集合，设全集为，求证：的补集不是封闭集. 【答案】(1)集合都是封闭集 (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）根据封闭集的定义判断说明即可； （2）先证充分性：由可任取，推导；再证必要性：由为封闭集推导出即可； （3）对非空集合进行分类考虑，当时，；当时，利用反证法，假设的补集是封闭集，分和两种情况进行讨论，引出矛盾，从而得证. 【详解】（1）对于集合，因为， 所以集合是封闭集， 对于集合， 任取，则， 因为， 所以集合是封闭集. （2）证明：充分性：因为，任取， 所以，又因为非空集合是封闭集， 所以， 同理， 所以， 所以为封闭集，充分性得证； 必要性：因为为封闭集， 根据封闭集的定义，封闭集是的非空子集， 所以，所以必要性成立， 所以若非空集合是封闭集， 则为封闭集的充要条件是. （3）因非空集合是封闭集合， 当时，， 因此不是封闭集 当时，假设是封闭集， 若，在中任取一个数，则， 否则此时，这与矛盾， 因此，而， 这与矛盾， 则当时，则不是封闭集， 当时，假设也是封闭集， 因为集合非空，任取， 若，则， 与矛盾，故， 又因为集合是封闭集，所以， 而也是封闭集，且， 所以， 于是且，这与矛盾， 故假设不成立，所以的补集不是封闭集. 59．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设集合是正整数集的非空子集，对任意，定义运算，若所有这样的运算结果构成的集合记为，则称为集合的“差倍集”. (1)当时，写出集合的差倍集； (2)设集合，，若其差倍集中恰好有两个元素，求所有满足条件的； (3)若集合是由4个正整数构成，请写出一个集合，使得其差倍集的元素个数为4，并说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)(答案不唯一)，理由见解析 【分析】（1）根据差倍集的定义，列举所有满足条件的数对并计算结果，再利用集合中元素的互异性去重； （2）根据与的大小关系分类讨论，计算所有可能的，通过“差倍集元素个数为2”建立方程，结合集合中元素的互异性筛选； （3）举一个满足条件的集合，利用差倍集的定义写出其差倍集即可证明. 【详解】（1）根据差倍集的定义，， 当时，； 当时，； 当时，. 由集合中元素的互异性，可得. （2）已知，，由集合中元素的互异性可知，且， 当时，的可能取值为或， 当时，， ， ，， 此时，满足差倍集中恰有两个元素，故. 当时，， ， 此时，不满足差倍集中恰有两个元素，故. 当时， ，，， 由于且，所以且，且， 因为差倍集中恰有两个元素，所以分以下情况讨论： 若，此方程无解； 若，解得，此时，满足差倍集中恰有两个元素， 综上，若差倍集中恰有两个元素，则的值为或. （3）为满足题意的一个集合，理由如下； ，，，，，， 由集合中元素的互异性可得，元素个数为4，所以满足题意. 60．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知集合，若对任意，都有或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性；（不需写出判断过程） (2)若集合具有“包容”性，求的值； (3)若集合具有“包容”性，且集合的子集有64个，，试确定集合. 【答案】(1)集合不具有“包容”性，集合具有“包容”性 (2)1 (3)，，，或. 【分析】（1）由“包容”性的定义判断即可； （2），从而可得，分、可求得，即可得答案； （3）由题意可得集合C中共有6个元素，且，设，其中，，，从而可得或，分、分别求解即可. 【详解】（1）集合中的，， 所以集合不具有“包容”性. 集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减， 得到的两数中至少有一个属于集合， 所以集合具有“包容”性. （2）已知集合具有“包容”性，记，则， 易得，从而必有， 不妨令，则，且， 则， 且， ①当时，若，得，此时具有包容性； 若，得，舍去； 若，无解； ②当时，则， 由且，可知b无解， 故. 综上，. （3）因为集合C的子集有64个， 所以集合C中共有6个元素，且， 又，且C中既有正数也有负数， 不妨设， 其中，，， 根据题意， 且， 从而或. ①当时，， 并且由，得，由，得， 由上可得，并且， 综上可知； ②当时，同理可得. 综上，C中有6个元素，且时，符合条件的集合C有5个， 分别是，，，或. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $