第3章 3.2.2 第1课时 奇偶性的概念（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学函数奇偶性概念这一核心知识点，从生活对称美引入，通过观察函数图象特征抽象出奇偶函数定义，系统梳理判断步骤（定义域对称、f(-x)与f(x)关系）、图象性质（偶对称y轴、奇对称原点）及求值应用，构建从具体到抽象再到应用的学习支架。 该资料以情境化导入培养数学眼光，通过分层例题（如判断不同函数奇偶性）与延伸探究（函数运算后奇偶性）发展数学思维，结合数形结合（补全奇偶函数图象）强化数学语言表达。课中助力教师引导学生深化理解，课后练习题与反思感悟帮助学生巩固知识，查漏补缺。

3.2.2　奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 学习目标　1.了解函数奇偶性的定义并会判断和证明函数的奇偶性.(重点)2.掌握奇(偶)函数图象的应用.(重点)3.能够利用函数的奇偶性解决简单的求值问题.(难点) 导语 古语有云：“夫美也者，上下，内外，小大，远近皆无害焉，故曰美.”大家知道，我国的建筑，无论宫殿、庙宇、亭台、园林，无不有着对称之美，还能给人以稳重、博大、端庄的感觉，你能说出生活中和对称有关的例子吗？而对称美在数学中更是体现得淋漓尽致，今天我们来探究数学中的对称美. 一、函数奇偶性的判断 问题1　观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？如何从自变量和函数值的角度描述这种特征？ 提示　这两个函数图象都关于y轴对称.当自变量互为相反数时，函数值相等. 问题2　观察函数f(x)=x和g(x)=的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？如何从自变量和函数值的角度描述这种特征？ 提示　可以发现，这两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.当自变量互为相反数时，函数值互为相反数. 知识梳理 偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. 奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数. 注意点： (1)判断函数奇偶性的步骤： ①判断定义域是否关于原点对称； ②判断f(-x)与f(x)的关系.对∀x∈D，若f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数. (2)若∃x0∈D，f≠f且f≠-f(x0)，则函数f(x)为非奇非偶函数. 若对∀x∈D，f(-x)=-f(x)，且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)=0，x∈D，D是关于原点对称的实数集. (3)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)=0. 例1　(课本例6)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=x4； (2)f(x)=x5； (3)f(x)=x+； (4)f(x)=. 解　(1)函数f(x)=x4的定义域为R. 因为∀x∈R，都有-x∈R，且 f(-x)=(-x)4=x4=f(x)， 所以，函数f(x)=x4为偶函数. (2)函数f(x)=x5的定义域为R. 因为∀x∈R，都有-x∈R，且 f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x)， 所以，函数f(x)=x5为奇函数. (3)函数f(x)=x+的定义域为{x|x≠0}. 因为∀x∈{x|x≠0}，都有-x∈{x|x≠0}，且 f(-x)=-x+=-=-f(x)， 所以，函数f(x)=x+为奇函数. (4)函数f(x)=的定义域为{x|x≠0}. 因为∀x∈{x|x≠0}，都有-x∈{x|x≠0}，且 f(-x)==f(x)， 所以，函数f(x)=为偶函数. 例1　判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=-|x|； (2)f(x)=； (3)f(x)=； (4)f(x)=x-. (5)f(x)= 解　(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(-x)=-|-x|=-|x|=f(x)， ∴f(x)为偶函数. (2)函数f(x)的定义域为{-1，1}，关于原点对称，且f(x)=0，又f(-x)=-f(x)，f(-x)=f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数. (4)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，∵∀x∈{x|x≠0}，都有-x∈{x|x≠0}， 且f(-x)=-x-=-=-f(x)， ∴f(x)是奇函数. (5)方法一　作出函数f(x)的图象如图所示，因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以函数f(x)为奇函数. 方法二　当x>0时，f(x)=1-x2，此时-x<0， 所以f(-x)=(-x)2-1=x2-1， 所以f(-x)=-f(x)； 当x<0时，f(x)=x2-1，此时-x>0， f(-x)=1-(-x)2=1-x2， 所以f(-x)=-f(x)； 当x=0时，f(0)=0. 综上，对∀x∈R，总有f(-x)=-f(x)， 所以函数f(x)为奇函数. 延伸探究1　若已知函数f(x)和g(x)均为定义在R上的偶函数，判断f(x)±g(x)，f(x)·g(x)(g(x)≠0)的奇偶性. 解　设F(x)=f(x)+g(x)， ∵f(x)，g(x)的定义域为R， ∴F(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(-x)=f(x)，g(-x)=g(x)， ∴F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x)， ∴F(x)为偶函数. 同理可得，f(x)-g(x)，f(x)·g(x)(g(x)≠0)均为偶函数. 延伸探究2　若已知函数f(x)和g(x)均为定义在R上的奇函数，判断f(x)±g(x)，f(x)·g(x)(g(x)≠0)的奇偶性. 解　由延伸探究1易知f(x)±g(x)为奇函数. 设G(x)=(g(x)≠0)， ∵f(x)，g(x)的定义域为R， ∴G(x)的定义域关于原点对称， 又f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)， ∴G(-x)==G(x)， ∴G(x)为偶函数， 即(g(x)≠0)为偶函数， 同理，f(x)·g(x)为偶函数. 延伸探究3　若已知函数f(x)和g(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，判断 f(x)·g(x)(g(x)≠0)的奇偶性. 解　设H(x)=f(x)·g(x)， ∵f(x)，g(x)的定义域为R， ∴H(x)的定义域为R，关于原点对称， 又f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)， ∴H(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-H(x)， ∴H(x)为奇函数， 即f(x)·g(x)为奇函数， 同理(g(x)≠0)为奇函数. 反思感悟　判断函数奇偶性的三种常用方法 (1)定义法. (2)图象法： (3)性质法(除既奇又偶函数f(x)=0外)： ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数； ③奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积、商(分母不为零)为奇函数. 二、奇、偶函数的图象及应用 例2　已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x.现已画出函数y=f(x)在y轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数y=f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. 解　(1)由题意作出函数图象，如图. (2)由图可知，单调递增区间为(-1，0)，(1，+∞). (3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为 {x|-2<x<2，且x≠0}. 延伸探究4　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ 解　(1)由题意作出函数图象，如图所示. (2)由图可知，单调递增区间为(-1，1). (3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2<x<0或x>2}. 反思感悟　巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称. (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题. 三、利用函数的奇偶性求值 例3　(1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为[a-1，2a]，则a=　　　　，b=　　　　. 答案　　0 解析　因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a-1=-2a，解得a=.所以函数f(x)=x2+bx+b+1，为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b=0. (2)已知函数f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2，若f(-3)=-3，则f(3)=　　　　. 答案　7 解析　令g(x)=x7-ax5+bx3+cx，则g(x)是奇函数， ∴f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2， 又f(-3)=-3，∴g(3)=5. 又f(3)=g(3)+2，∴f(3)=5+2=7. 延伸探究5　若将例3(2)中“f(-3)=-3”改为“f(m)=7”，其他条件不变，则f(-m)=　　　　. 答案　-3 解析　令g(x)=x7-ax5+bx3+cx，则g(x)是奇函数， ∵f(m)=7， ∴f(m)=g(m)+2=7， ∴g(m)=5， ∵g(x)是奇函数， ∴f(-m)=g(-m)+2=-g(m)+2=-5+2=-3. 延伸探究6　本例(2)中的f(x)，对于任意x∈R，f(x)+f(-x)是否为定值？ 解　令g(x)=x7-ax5+bx3+cx， 则g(x)是奇函数，∴g(x)+g(-x)=0， 由f(x)=g(x)+2，得f(-x)=g(-x)+2， ∴f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+4=4， ∴f(x)+f(-x)的值为定值4. 反思感悟　利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数. (2)求函数值：利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值. 1.知识清单： (1)函数奇偶性的概念. (2)奇函数、偶函数的图象特征. (3)利用函数的奇偶性求值. 2.方法归纳：特值法、数形结合法. 3.常见误区：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称. 1.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　) 答案　B 解析　选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C，D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数. 2.(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A.y=x(x∈[0，1]) B.y=3x2 C.y= D.y=x|x| 答案　CD 解析　利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A； 又奇函数需满足f(-x)=-f(x)，排除选项B. 3.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是(　　) A.- B. C.- D. 答案　B 解析　依题意得f(-x)=f(x)，所以b=0. 因为a-1=-2a，所以a= 所以a+b=. 4.如图，给出奇函数y=f(x)的局部图象，则f(-2)+f(-1)的值为　　　　　　　　. 答案　-2 解析　由题意得f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=-=-2. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(-4)=-5，则f(4)+f(0)等于(　　) A.5 B.-5 C.4 D.-4 答案　A 解析　由f(x)是奇函数，则f(4)=-f(-4)=5，又f(0)=0，故f(4)+f(0)=5. 2.函数f(x)=|x+1|-|x-1|的图象关于(　　) A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线y=x对称 答案　B 解析　f(x)的定义域为R，关于原点对称， 因为f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x)， 所以f(x)是奇函数，f(x)的图象关于原点对称. 3.(多选)下列函数中是偶函数的是(　　) A.f(x)=|x| B.f(x)=x2-4x-2 C.f(x)=4x2-|x|-3 D.f(x)= 答案　AC 解析　对于A，f(x)=|x|，定义域为R，且满足f(x)=f(-x)，所以该函数是偶函数；对于B，f(x)=x2-4x-2，不满足f(x)=f(-x)，所以该函数不是偶函数；对于C，f(x)=4x2-|x|-3，定义域为R，且满足f(x)=f(-x)，所以该函数是偶函数；对于D，f(x)=结合其图象(图略)可知该函数不是偶函数. 4.已知y=f(x)，x∈(-a，a)，F(x)=f(x)+f(-x)，则F(x)是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案　B 解析　∵F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)， 又x∈(-a，a)，定义域关于原点对称， ∴F(x)是偶函数. 5.(多选)下列叙述正确的是(　　) A.偶函数的图象一定与y轴相交 B.奇函数的图象一定通过原点 C.若奇函数f(x)在x=0处有定义，则恒有f(0)=0 D.若函数f(x)为偶函数，则有f(x)=f(-x)=f(|x|) 答案　CD 解析　函数f(x)=是偶函数，但其图象与y轴不相交，所以A不正确； 函数f(x)=是奇函数，但图象不过原点，所以B不正确； 由奇偶性的定义知C，D正确. 6.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y=f(x)的图象上的是(　　) A.(a，-f(a)) B.(-a，f(a)) C.(-a，-f(a)) D.(a，f(-a)) 答案　C 解析　因为y=f(x)为奇函数，f(-a)=-f(a)， 故点(-a，-f(a))在y=f(x)的图象上. 7.(多选)关于函数f(x)=下列结论正确的是(　　) A.f(x)的图象过原点 B.f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 C.f(x)是定义域上的增函数 D.f(x)在区间(1，+∞)上单调递减 答案　ABD 解析　函数f(x)==1+f(0)=0，A正确；由f(x)的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)可知，该函数的定义域不关于原点对称，故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，B正确；f(x)在(-∞，1)，(1，+∞)上单调递减，在整个定义域上不具有单调性，故D正确，C错误. 8.(5分)设偶函数f(x)的定义域为[-5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是　　　　　　　　. 答案　{x|-5≤x<-2或2<x≤5} 解析　因为偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解集. 因为当x∈[0，5]时，f(x)<0的解集为{x|2<x≤5}， 所以当x∈[-5，0]时，f(x)<0的解集为{x|-5≤x<-2}. 所以f(x)<0的解集是{x|-5≤x<-2或2<x≤5}. 9.(5分)已知函数f(x)=(a+1)x3-(a+2)x-bx2是定义在[a-3，a+1]上的奇函数，则f(2a+3b)=　　　　　　. 答案　10 解析　根据题意，由函数f(x)=(a+1)x3-(a+2)x-bx2是定义在[a-3，a+1]上的奇函数，得(a-3)+(a+1)=0，解得a=1，则f(x)=2x3-3x-bx2，若其为奇函数，必有b=0，则f(x)=2x3-3x，又a=1，b=0，则f(2a+3b)=f(2)=10. 10.(10分)判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=；(2分) (2)f(x)=；(2分) (3)f(x)=(3分) (4)f(x)=.(3分) 解　(1)函数f(x)的定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以f(x)=是非奇非偶函数. (2)f(x)的定义域为[-1，0)∪(0，1]，关于原点对称. f(-x)==-f(x)，所以f(x)为奇函数. (3)f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称， 当x>0时，-x<0， 则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x)； 当x<0时，-x>0， 则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x)， 所以f(x)是偶函数. (4)易知，x的取值必须满足 解得-≤x<0或0<x≤所以f(x)的定义域为[-0)∪(0]，关于原点对称. 于是|x+2|-2=x+2-2=x，从而f(x)=显然它是奇函数. 11.已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x-若f(2)+f(0)=1，则f(-3)等于(　　) A.-4 B.-3 C.-2 D.1 答案　A 解析　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0， 又因为f(2)+f(0)=1，所以f(2)=4-=1，解得a=6， 所以f(x)=2x-(x>0)， 所以f(-3)=-f(3)=-=-4. 12.函数f(x)=是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案　B 解析　若x是有理数，则-x也是有理数， f(-x)=f(x)=1； 若x是无理数，则-x也是无理数， f(-x)=f(x)=0.∴函数f(x)是偶函数. 13.(5分)设函数f(x)=为奇函数，则实数a=　　　　. 答案　-1 解析　因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)， 即=- 显然x≠0，整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a，故a+1=0，得a=-1.经检验，符合题意. 14.(10分)(1)如图①，给出奇函数y=f(x)在y轴左侧的图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；(5分) (2)如图②，给出偶函数y=f(x)在y轴左侧的图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.(5分) 解　(1)奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x，f(-x))关于原点的对称点为P'(x，-f(-x))，图③为图①补充后的图象， 易知f(3)=-2. (2)偶函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x，f(-x))关于y轴的对称点为P'(x，f(-x))，图④为图②补充后的图象， 易知f(1)>f(3). 15.(5分)已知函数f(x)=若f(a)=则f(-a)=　　　　. 答案　 解析　根据题意，f(x)==1+ 而h(x)=是奇函数， 故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-[1+h(a)] =2-f(a)=2-. 16.(12分)已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)， (1)求证：f(x)是奇函数；(6分) (2)若f(-3)=a，试用a表示f(12).(6分) (1)证明　由已知f(x+y)=f(x)+f(y)， 令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x)， 令x=y=0得f(0)=2f(0)， 所以f(0)=0.所以f(x)+f(-x)=0， 即f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数. (2)解　由(1)知f(x)为奇函数. 所以f(-3)=-f(3)=a，所以f(3)=-a. 又f(12)=f(6)+f(6)=2f(3)+2f(3)=4f(3)， 所以f(12)=-4a. 学科网（北京）股份有限公司 $