第一章 《三角形的证明》全章巩固“一章三练”卷（二） 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 北师大版数学八年级下册 第一章 三角形的证明 “一章三练”卷 ( 二 ) 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分）   1.（25-26·广西月考）下列真命题中，逆命题也是真命题的是（    ） A.全等三角形的对应角都相等 B.等边三角形是锐角三角形 C.对顶角相等 D.全等三角形的对应边都相等 【答案】D 【解析】写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【解答】解：、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，不符合题意； 、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，错误，为假命题，不符合题意； 、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意； 、逆命题为：对应边都相等的三角形全等，正确，为真命题，符合题意； 故选：． 2.（25-26期末）等腰三角形的顶角如图所示，则底角的度数为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题主要考查了等边对等角和三角形内角和定理,等腰三角形的两个底角相等,再结合三角形内角和定理求解即可. 【解答】解： 该等腰三角形的顶角的度数为 , 180°-110° 该等腰三角形的底角的度数为 故选：B. 3.（25-26期末）如图，已知，，那么的度数是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查三角形的外角性质,直接根据三角形的外角性质求解即可. 【解答】解： 是 的外角，且 ， 故选：A. 4.（25-26·云南期中）如图，在中，，，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握等角对等边．根据等腰三角形的判定可得，继而得出的长． 【解答】解：， ． 故选： 5.（25-26·江苏期中）如图，在中，，是腰上的高，与的关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了垂线的定义，等腰三角形的定义，三角形内角和定理，直角三角形的性质，由题意可得，根据等腰三角形的定义可得，利用直角三角形的性质可得，由三角形内角和定理得到，进而求出，化简即可得到结论． 【解答】解：是腰上的高， ， ， ， ，， ， ． 故选：． 6.（25-26期末）如图，锐角三角形中，直线l为的中垂线，直线m为的角平分线，l与m相交于P点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据角平分线定义求出 ，根据线段的垂直平分线性质得出 ，求出 ，根据三角形内角和定理得出方程 ，求出方程的解即可. 【解答】解： 平分 , 直线 是线段 的垂直平分线, 解得： ，故C正确. 故选：C. 7.（25-26期末）如图，中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点．下列结论不一定成立的是（     ） A. B.点在的平分线上 C. D.若，点到的距离为，则 【答案】C 【解析】本题考查了三角形内角和,角平分线的性质,平行线的性质,等角对等边,正确掌握相关性质内容是解题的关键. 结合平行线的性质以及角平分线的定义得 ，则 ，故 ；因为 和 的平分线交于点 ，所以 平分 ；运用三角形内角和得 结合角平分线的性质以及三角形面积公式列式计算 即可作答. 【解答】解： 和 的平分线交于点 ,过点 作 的平行线交 于点 ,交 于点 . 故A是正确的, 不符合题意; 连接 ,过点 分别作 ,如图所示： 中, 和 的平分线交于点 , 平分 , 故B是正确的, 不符合题意; 故C是错误的, 符合题意; 点 到 的距离为 , 则 故D是正确的, 不符合题意; 故选：C. 8.（25-26·福建期中）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点， ．若，则的长为（     ） A.4 B. C.3 D.2 【答案】D 【解析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、垂直平分线的判定和性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键. 如图：连接 交 于点 , 由题意可证 垂直平分 是等边三角形, 是等腰三角形可得 , 易得 , 再根据线段的和差计算即可. 【解答】解：如图：连接 交 于点 垂直平分 , 是等边三角形, , 是等边三角形, 是等腰三角形 故选D. 9.（25-26·福建月考）如图，已知，点在边上，点，在边上，且，若，，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查直角三角形中角所对直角边等于斜边一半及等腰三角形性质，过作，根据，得到，，结合得到，即可得到答案； 【解答】解：过作于， ，，， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 10.（25-26·山东期末）如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，连接．若，下面结论正确的个数是（     ） ①；②；③；④． A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】此题考查了角平分线的性质定理, 全等三角形的判定与性质, 熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键. 根据 , 得出 , 即可判断①; 结合①即可证明 (SAS), 故②正确; 得 得 , 得 , 可得 (ASA), 得出 , 即可判断③; 根据 (ASA) 得 , 即可判断④; 【解答】解： ,故①正确； 在Rt ADC和Rt BEC中， :Rt Rt△BCE(HL)，故②正确； 平分 在 和 中， ,故③正确； 故④正确； 故选：A. 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题4 分 ，共计30分 ）   11.（25-26·陕西月考）用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设 ____直角三角形中每个锐角都大于______ 【答案】直角三角形中每个锐角都大于 【解析】此题考查了反证法，根据反证法的第一步是否定结论进行解答即可． 【解答】解：用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设直角三角形中每个锐角都大于， 故答案为：直角三角形中每个锐角都大于． 12.（25-26期末）如图，在中，，则___140°_____． 【答案】140° 【解析】本题主要考查了三角形外角的性质、邻补角的性质等知识点,掌握三角形外角等于不相邻的两内角的和是解题的关键. 先根据三角形外角的性质求得 , 再根据邻补角互补即可解答. 【解答】解：在 中， ， 故答案为：140. 13.（25-26·江苏月考）如图，在中，，平分，过点作于点，若，则________． 【答案】 【解析】本题主要考查角平分线的性质定理、等腰直角三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理、等腰直角三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键；过点 作 于点 ，由题意易得 ，则有 ，然后可得 ，则有 ，进而根据勾股定理可进行求解. 【解答】解：过点 作 于点 ，如图所示： 是等腰直角三角形， 平分 , 故答案为 . 14.（25-26·山东期末）如图，在Rt 中，线段的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若，则的长度是__4.5______ ． 【答案】4.5 【解析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质, 等角对等边, 含 30 度角的直角三角形的性质, 直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质, 根据线段垂直平分线的性质得到 , 则由等边对等角和三角形外角的性质得到 , 根据直角三角形两锐角互余得到 , 求出 , 根据 得到 , 则 , 据此可得答案. 【解答】 解：线段 的垂直平分线分别交 、 于点 、 , 故答案为：4.5. 15.（25-26期末）如图，在中，边上的点D到、边的距离相等，连接，，，，点E、F分别是、上的动点，连接、，则的最小值为____9,6____． 【答案】9.6 【解析】本题主要考查最短路径问题, 等腰三角形的性质, 三角形的面积, 角平分线的判定和性质, 熟练掌握以上知识点是做题的关键. 先根据 边上的点 到 边的距离相等, , 得出 是等腰三角形, 再利用等腰三角形的性质, 得出点 和点 关于 对称, , 再根据 三点共线, 且 时, 取得最小值, 最后利用三角形的面积公式即可求值. 【解答】解： 边上的点 到 、 边的距离相等, 平分 是等腰三角形， 垂直平分 , 点 和点 关于 对称, , 故当 , , 三点共线,且 时, 取得最小值. 如图所示， 即最小值为点 到 的距离 设点 到 的距离为 , 则 故答案为：9.6. 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ，）   16.（25-26·全国同步）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截．求证：． 证明：假设________， ， ________， ________， ________，这和“平角的定义”矛盾， 假设________不成立，即． 【答案】，，，， 【解析】本题主要考查了反证法（用反证法证明命题），平行线的性质（两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补）等知识点，熟练掌握用反证法证明命题的一般步骤是解题的关键：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 按照用反证法证明命题的一般步骤进行推理论证即可． 【解答】证明：假设， ， ， ， ，这和“平角的定义”矛盾， 假设不成立，即， 故答案为：，，，，． 17.（25-26·浙江期末）如图，在中，是边上的高线，是的平分线，若，，求的度数． 【答案】 【解析】本题考查了三角形内角和定理,角平分线的定义,根据三角形内角和定理以及角平分线的定义即可求解. 【解答】解： ， 是 的平分线, 是 边上的高线, 18.（25-26期末）如图，在中，，是边上的高，求的度数． 【答案】 【解析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及直角三角形的性质。利用等腰三角形的性质得到底角与顶角的关系，设出顶角度数，结合三角形内角和定理求出底角 的度数；再根据高的定义得到 ，最后利用直角三角形两锐角互余求出 的度数。 【解答】解：设 又 根据三角形内角和定理, , ，解得 是边 上的高,   19.（25-26期末）如图，在中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的____③____，射线是的____②____；（填序号） ①高线       ②角平分线       ③垂直平分线       ④中线 （2）求的度数； （3）若，，求的周长． 【答案】③；② 16 【解析】（1）根据作图过程进行分析, 得出直线 是线段 的垂直平分线, 射线 是 的角平分线, 即可作答. （2）先运用三角形内角和性质, 得 , 再结合垂直平分线的性质, 以及角平分线的定义进行分析, 列式计算, 即可作答; （3）勾股定理求得 ，进而证明 ，再根据三角形的周长公式，即可求解. 【解答】（1）解：通过观察尺规作图的痕迹,可以发现直线 是线段 的垂直平分线,射线 是 的角平分线； 故答案为：③；② （2） 解: . 由（1）得 是 的垂直平分线， 由（1）得 平分 （3）解: 由（2）可得 又 的周长为 20.（25-26·河北期末）如图，在中，，于点，的平分线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】证明见解答； 9 【解析】（1）根据已知条件得到 , 再根据角平分线的定义得到 , 即可得解; （2）根据含30度角的直角三角形的性质计算即可； 【解答】（1） , , ∵ CE平分∠BCD, （3） , 21.（25-26·天津期中）如图，在中，是高，是角平分线． （1）若，，求和的度数． （2）若，，，，求的长． 【答案】， 【解析】（1）先根据三角形内角和性质得，再结合角平分线的定义得，再结合是高，得出的度数，再根据角的关系进行运算得出的度数，即可作答； （2）运用等面积法进行列式，代入数值进行化简，即可作答． 【解答】（1）解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ， ， ． （2）解：，，，，是高， ， 即， ． 22.（25-26期末）如图，平分，，． （1）求证：； （2）若，判断的形状，并说明理由． 【答案】见解答； 等边三角形，见解答. 【解析】（1）由角平分线性质可得 , 然后通过等边对等角即可求证; （2）由 , , 可得 , 所以 , 由 (1) 可知 , 从而可得 , 则有 , 最后由等边三角形的判定方法即可求证. 【解答】 （1）证明： 平分 , , , （2）解: 是等边三角形, 理由如下: 由（1）可知 又 是等边三角形. 23.（25-26期末）【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． （1）若，求的度数； （2）若为等边三角形． ①说明点在线段的垂直平分线上； ②已知日影的长为米，求日影的长． 【答案】65° ①见解答,②6米 【解析】（1）利用角平分线及三角形内角和定理即可求得; （2）①通过论证 即可论证结论； (2)利用直角三角形性质即可求得. 【解答】（1）解： 又 平分 , （2）解: ① 是等边三角形, 平分 , 点 在线段 的垂直平分线上； ②在Rt ABM中， 米,由①知 , 24.（25-26·江苏月考）在如图所示的三角形纸片中，，，按如下步骤可以把这个直角三角形纸片分成三个全等的小直角三角形（图中虚线表示折痕）：折叠三角形纸片，使直角边落在斜边上，点落在斜边点处；将折叠后的纸片再沿折叠． （1）由步骤可以得到哪些等量关系？ （2）请证明； （3）按照这种方法能否将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形？直接写出你的结论． 【答案】，，，， 证明见解答 按照这种方法不能将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形 【解析】（1）由折叠得，，，，； （2）由，，求得，则，所以，而，，即可根据证明； （3）当时，则，而，所以，则与不全等，即可得出结论． 【解答】（1）解：折叠三角形纸片，使直角边落在斜边上，点落在斜边点处， ，，，，； （2）证明：，， ， ， ， 点在上，且， ， 在和中， ， ； （3）解：按照这种方法不能将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形， 理由：当时，则， ， ， 与不全等， 按照这种方法不能将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形． 25.（25-26·湖北月考）如图1，在平面直角坐标系中，，点的坐标为，且是所得结果中一次项的系数． （1）求点的坐标； （2）如图2，过点作轴于点，过点作轴于点，连接CD交AB于点． ①点的坐标为_________，②求证：为的中点； （3）如图3，点在轴上，为第一象限一动点，，且，连接，为中点，连接．试判断的度数是否为定值，并说明理由． 【答案】(-2,4) ① ；②见解析 是定值，为 ，理由见解析 【解析】 （1）根据有理数的混合运算求出 ，再由多项式除以单项式法则计算，再根据多项式项的系数的定义得到 ，即可求解； （2）① 作 轴交 轴于点 ，作 轴交 轴于点 ，根据AAS证明 ，再由全等三角形的对应边相等即可求解；② 过 作 轴交 于点 ，先证明 是等腰直角三角形，则 ，再证明 (ASA)即可； （3）延长 交 于点 , 延长 至点 , 使得 , 连接 , 先证明 , 再证明 , 然后得到 为等腰直角三角形, 即可求解. 【解答】 （1）解： ：由题意得， ：点4的坐标为 故答案为： （2）解： 如图，作 轴交 轴于点 ，作 轴交 轴于点 ：点4的坐标为 轴， 在 和 中， ∠AFO=∠OGB=90° ∠FAO-∠BOG (AAS), ②解：过 作 轴交 于点 轴，则 轴， BH|AC 是等腰直角三角形， 轴 是等腰直角三角形 在 和 中 是 中点； （3）解： 的度数是定值，理由如下： 延长 交 于点 ，延长 至点 ，使得 ，连接 为 中点， (SAS) MN \| BH, ， 为等腰直角三角形， 的度数为定值，为 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 北师大版数学八年级下册 第一章 三角形的证明 “一章三练”卷 ( 二 ) 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分）   1.（25-26·广西月考）下列真命题中，逆命题也是真命题的是（    ） A.全等三角形的对应角都相等 B.等边三角形是锐角三角形 C.对顶角相等 D.全等三角形的对应边都相等 2.（25-26期末）等腰三角形的顶角如图所示，则底角的度数为（     ） A. B. C. D. 3.（25-26期末）如图，已知，，那么的度数是（     ） A. B. C. D. 4.（25-26·云南期中）如图，在中，，，则的长为（    ） A. B. C. D. 5.（25-26·江苏期中）如图，在中，，是腰上的高，与的关系是（    ） A. B. C. D. 6.（25-26期末）如图，锐角三角形中，直线l为的中垂线，直线m为的角平分线，l与m相交于P点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7.（25-26期末）如图，中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点．下列结论不一定成立的是（     ） A. B.点在的平分线上 C. D.若，点到的距离为，则 8.（25-26·福建期中）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点， ．若，则的长为（     ） A.4 B. C.3 D.2 9.（25-26·福建月考）如图，已知，点在边上，点，在边上，且，若，，则的长为（    ） A. B. C. D. 10.（25-26·山东期末）如图，在中，，于点，平分交于点，交于点，连接．若，下面结论正确的个数是（     ） ①；②；③；④． A.4 B.3 C.2 D.1 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题4 分 ，共计30分 ）   11.（25-26·陕西月考）用反证法证明“直角三角形中至少有一个锐角不大于”，应假设 __________ 12.（25-26期末）如图，在中，，则_______． 13.（25-26·江苏月考）如图，在中，，平分，过点作于点，若，则_______． 14.（25-26·山东期末）如图，在Rt 中，线段的垂直平分线分别交于点D、E，连接，若，则的长度是______ ． 15.（25-26期末）如图，在中，边上的点D到、边的距离相等，连接，，，，点E、F分别是、上的动点，连接、，则的最小值为_______． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）   16.（25-26·全国同步）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截．求证：． 证明：假设________， ， _______， _______， ________，这和“平角的定义”矛盾， 假设________不成立，即． 17.（25-26·浙江期末）如图，在中，是边上的高线，是的平分线，若，，求的度数． 18.（25-26期末）如图，在中，，是边上的高，求的度数． 19.（25-26期末）如图，在中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的________，射线是的_______；（填序号） ①高线       ②角平分线       ③垂直平分线       ④中线 （2）求的度数； （3）若，，求的周长． 20.（25-26·河北期末）如图，在中，，于点，的平分线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21.（25-26·天津期中）如图，在中，是高，是角平分线． （1）若，，求和的度数． （2）若，，，，求的长． 22.（25-26期末）如图，平分，，． （1）求证：； （2）若，判断的形状，并说明理由． 23.（25-26期末）【传统文化】“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，为上一点，连接，． （1）若，求的度数； （2）若为等边三角形． ①说明点在线段的垂直平分线上； ②已知日影的长为米，求日影的长． 24.（25-26·江苏月考）在如图所示的三角形纸片中，，，按如下步骤可以把这个直角三角形纸片分成三个全等的小直角三角形（图中虚线表示折痕）：折叠三角形纸片，使直角边落在斜边上，点落在斜边点处；将折叠后的纸片再沿折叠． （1）由步骤可以得到哪些等量关系？ （2）请证明； （3）按照这种方法能否将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形？直接写出你的结论． 25.（25-26·湖北月考）如图1，在平面直角坐标系中，，点的坐标为，且是所得结果中一次项的系数． （1）求点的坐标； （2）如图2，过点作轴于点，过点作轴于点，连接CD交AB于点． ①点的坐标为_________，②求证：为的中点； （3）如图3，点在轴上，为第一象限一动点，，且，连接，为中点，连接．试判断的度数是否为定值，并说明理由． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $