专题04 指对数型复合函数题型全归纳（专项训练7大重点题型）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦指对数型复合函数的单调性、值域等五大考点，7类题型分层突破，通过典型例题构建从性质到应用的知识逻辑链，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断单调性|2题型9题|单调区间判断、单调性求参数|复合函数单调性法则的直接应用与逆向推理| |值域与最值|2题型8题|求值域最值、最值反求参数|从内函数值域到外函数最值的转化思想| |奇偶性及应用|1题型4题|奇偶性判断与应用|函数奇偶性定义在指对数结构中的迁移| |不等式问题|1题型5题|解指对复合函数不等式|单调性与奇偶性在不等式求解中的综合运用| |零点问题|1题型4题|零点个数与参数范围|函数图象交点问题的代数化处理|

专题04指对数型复合函数题型全归纳 常考题型·精准突破 考点一 判断指对型复合函数的单调性 题型1 判断指对型复合函数的单调区间（重） 题型2 根据指对型复合函数的单调性求参数（高频） 考点二 指对型复合函数的值域、最值 题型3 求指对型复合函数的最值或值域（重） 题型4 根据指对型复合函数的最值、值域反求参数（难） 考点三 指对型复合函数的奇偶性及应用 题型5 指对型复合函数奇偶性判断与简单应用（高频） 考点四 与指对型复合函数有关的不等式 题型6指对型复合函数不等式求解（重） 考点五 指对型复合函数零点问题 题型7指对型复合函数零点问题（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 判断指对型复合函数的单调性 ◆题型1判断指对型复合函数的单调区间 1．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26•东莞市校级月考）函数的单调区间为（　　） A．在，上单调递减，在，上单调递增 B．在，上单调递减，在，上单调递增 C．在，上单调递增，在，上单调递减 D．在，上单调递增，在，上单调递减 3．（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 4.（25-26高一下·山西忻州·期中）函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的单调区间； ◆题型2 根据指对型复合函数的单调性求参数 6.（25-26高一上·广东·期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.（25-26高二下·湖北武汉·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8.（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知且，函数对任意实数，，都有成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 9.（2026·河北沧州·一模）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 考点二 指对型复合函数的值域、最值 ◆题型3 求指对型复合函数的最值或值域 10．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12.（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数，则函数的最小值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 13.（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； ◆题型4 根据指对型复合函数的最值、值域反求参数 14．（2026·海南·一模）若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 15．（25-26高二下·天津·期末）“”是“函数值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16.（第03讲幂函数与二次函数（复习讲义）（全国通用）-2）已知函数的最大值为2027，则的值为（    ） A． B． C．1 D．或 17.（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 考点三 指对型复合函数的奇偶性及应用 ◆题型5 指对型复合函数奇偶性判断与简单应用 18．（25-26高二下·江苏常州·期中）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知函数为奇函数，则（   ） A．4 B．2 C． D． 20.（25-26高三下·江西赣州·期中）已知函数，若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 21.（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）下列函数中符合在定义域上是单调递增的奇函数的是（　　） A． B． C． D． 考点四 与指对型复合函数有关的不等式 ◆题型6 指对型复合函数不等式求解 22.（2026·安徽芜湖·二模）已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 23.（25-26高三上·四川眉山·期末）函数对恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 24.（2026·山东潍坊·一模）若函数和同时满足以下两个条件：①或；②，使.则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高一上·甘肃平凉·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，判断该函数的单调性（不需要证明）； (2)函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围； (3)函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围； 考点五 指对型复合函数零点问题 ◆题型7 指对型复合函数零点问题 26.（25-26高一上·四川广元·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27.（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28.（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29.（25-26高二下·北京·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，.若的图象与曲线（且）恰有6个交点，则实数（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 综合攻坚·知能拔高 1、 选择题 1.（2027年高考数学一轮复习讲练测）设，，，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．（第04讲指数与指数函数（复习讲义）（全国通用）-2）已知函数，则关于的不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高一下·河南开封·开学考试）已知函数，其中，若关于的方程恰有一个实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知的定义域为，值域为，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意，的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 6.（25-26高三下·江西南昌·阶段检测）设函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若，则的值域为 C．的图象关于直线对称 D．若，则的单调递减区间是 8．（多选）（25-26高一上·四川广安·期中）下列说法正确的有（   ） A．函数的图象关于成中心对称 B．指数函数中，a的取值范围是 C．函数的图象不过第三象限，则的取值范围是 D．函数，，则的单调递增区间是 9．（多选）（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数，，下列命题正确的有（    ） A．的图象关于原点对称 B．对于任意实数a，有 C．任意的，，有成立 D．存在实数a，使得关于x的不等式的解集为 10．（多选）（25-26高一上·浙江杭州·期末）养正高中某同学研究函数，得到如下结论，其中正确的是（    ） A．函数的定义域为，且是奇函数 B．对于任意的，都有 C．对于任意的，都有 D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足 11．（多选）（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数（且），则下列正确的是（    ）． A．的定义域为 B．当时，在上的值域为 C．的图象关于点对称 D．若有两个零点，则的取值范围为 12.（多选）（25-26高一上·山东泰安·期末）有下列几个命题，其中正确的是（     ） A．给定幂函数，则对任意，都有 B．关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 C．函数与互为反函数，则的单调递减区间为 D．已知函数是奇函数，则 2、 填空题 13.（25-26高一上·上海·期末）函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为_______． 14．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 15.（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则__________. 16.（25-26高一上·河北·期末）已知函数，，若对任意，都有，则实数m的取值范围是________． 17.（25-26高三上·山东临沂·期末）设，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是________. 18.（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数且为奇函数，若关于的方程有两个不同的实数解，则的取值范围为_____________. 三、解答题 19．（25-26高一下·湖南·阶段检测）已知函数，且. (1)求图象经过的定点坐标； (2)若的定义域为，求不等式的解集. 20．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)当时，求的解析式； (2)求满足不等式的的取值范围． 21．（25-26高一上·重庆·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)用定义证明在上是单调递减函数； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 22．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）已知函数为偶函数，． (1)求实数的值； (2)若当时，函数的图像恒在的图像下方，求实数的取值范围； (3)若当时，函数的最大值与最小值的和为2016，求实数的值． 23．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数．函数图象与的图象关于直线对称． (1)求的表达式． (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． (3)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04指对数型复合函数题型全归纳 常考题型·精准突破 考点一 判断指对型复合函数的单调性 题型1 判断指对型复合函数的单调区间（重） 题型2 根据指对型复合函数的单调性求参数（高频） 考点二 指对型复合函数的值域、最值 题型3 求指对型复合函数的最值或值域（重） 题型4 根据指对型复合函数的最值、值域反求参数（难） 考点三 指对型复合函数的奇偶性及应用 题型5 指对型复合函数奇偶性判断与简单应用（高频） 考点四 与指对型复合函数有关的不等式 题型6指对型复合函数不等式求解（重） 考点五 指对型复合函数零点问题 题型7指对型复合函数零点问题（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 判断指对型复合函数的单调性 ◆题型1判断指对型复合函数的单调区间 1．（25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的定义域，根据复合函数单调性的求法，结合二次函数、对数函数的性质，即可得答案. 【详解】由题意得，令，解得或， 的定义域为， 设，， 根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又因为在为增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. 2.（25-26•东莞市校级月考）函数的单调区间为（　　） A．在，上单调递减，在，上单调递增 B．在，上单调递减，在，上单调递增 C．在，上单调递增，在，上单调递减 D．在，上单调递增，在，上单调递减 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性法则求解即可． 【详解】解：由，解得， 即函数的定义域为，， 令， 易知函数为增函数，在，上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数的定义域为，， 则由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，． 故选：． 3．（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】C 【详解】由，得， 则函数的定义域为，排除AB； 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 则函数在上单调递增，C正确，D错误. 4.（25-26高一下·山西忻州·期中）函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将绝对值函数转为分段函数形式，结合对数函数的单调性即可判断在和上的单调性. 【详解】解：由题意可得， 因为当，则对数函数在上单调递减， 所以当时，单调性与对数函数的一致，则单调递减区间为； 当时，的单调性与对数函数相反，即在上单调递增， 综上，函数的单调递减区间为. 5.（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数， (1)求函数的单调区间； 【答案】(1)的减区间为，增区间为 【分析】本题考查复合函数的性质，通过分析内层函数与外层函数的单调性，即可求得函数的单调区间. 【详解】（1）， 在上单调递增，在上单调递减， 又因为在上单调递减， 所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为. ◆题型2 根据指对型复合函数的单调性求参数 6.（25-26高一上·广东·期末）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性法则把题目转化成二次函数单调性问题. 【详解】令，由于底数 ，所以指数函数 在上单调递减， 因此 的单调性与 的单调性相反， 要使 在 上单调递减，必须要求 在区间上单调递增. 二次函数 开口向上，对称轴为 ， 要使 在区间上单调递增，只需满足对称轴在区间的左侧， 即：. 故选： A 7.（25-26高二下·湖北武汉·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数及复合函数的单调性求解即可. 【详解】令， 因为函数在定义域内是单调递增函数， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，且恒大于0， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 8.（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知且，函数对任意实数，，都有成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为对任意实数，，都有成立， 所以在上为增函数， 则，解得，则实数的范围是. 9.（2026·河北沧州·一模）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】令，则， 因为在上单调递增， 又函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 且对恒成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 考点二 指对型复合函数的值域、最值 ◆题型3 求指对型复合函数的最值或值域 10．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又函数是增函数，所以， 则所求函数的值域为． 11．（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】题干为一复合函数求最值，利用换元法可将其转化为求二次函数和指数函数的最值. 【详解】令,通过配方可知,当时，取得最大值1， 又函数，由指数函数的单调性可知当取得最大值时，取得最大值为2. 故选：B. 12.（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数，则函数的最小值为（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数求最值的方法结合对数型复合函数的值域求解. 【详解】的定义域为， 当时， ，，所以 当时， ，,所以. 所以. . 13.（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； 【答案】(1) 【分析】（1）先化简函数解析式，然后利用换元法，结合二次函数的性质计算值域即可. 【详解】（1） 令，则在上的值域在上的值域 由于. 所以在上的值域为. ◆题型4 根据指对型复合函数的最值、值域反求参数 14．（2026·海南·一模）若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用指数函数性质计算即可得. 【详解】由指数函数的性质知必是单调函数， 又， 因为值域为，所以函数在上单调递增，故， 即，解得，又，故. 故选：B. 15．（25-26高二下·天津·期末）“”是“函数值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由“函数值域为”可得：. 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以“”是“函数值域为”的充分不必要条件. 16.（第03讲幂函数与二次函数（复习讲义）（全国通用）-2）已知函数的最大值为2027，则的值为（    ） A． B． C．1 D．或 【答案】A 【详解】令， 因为单调递减， 又因为函数的最大值为2027， 则的最小值为， 所以，且当时有， 即得，解得或， 所以. 17.（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数的值域为，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质，一次函数及二次函数的性质，结合分类讨论思想求解即可. 【详解】令， 函数的值域为，即能取到所有正数. 当时，，能取到所有正数，满足条件； 当时，是开口向上的二次函数，要让函数取到所有正数， 需，所以； 当时，是开口向下的二次函数，无法取到所有正数，不符合条件. 综上，. 故实数的取值范围是. 考点三 指对型复合函数的奇偶性及应用 ◆题型5 指对型复合函数奇偶性判断与简单应用 18．（25-26高二下·江苏常州·期中）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的奇偶性与函数值的正负，使用排除法求解. 【详解】令函数，定义域为， ，故是奇函数， 其图象关于原点对称，排除选项、， 当时，，排除选项， 所以函数的图象大致为选项. 19．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知函数为奇函数，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】依题意，因为是奇函数，所以，所以． 20.（25-26高三下·江西赣州·期中）已知函数，若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知得到关于点对称，结合平移关系有关于点对称，最后由奇偶性得，即可得. 【详解】由，则， 所以关于点对称，则关于点对称， 要使为偶函数，则为奇函数， 则， 所以. 21.（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）下列函数中符合在定义域上是单调递增的奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数奇偶性的定义及函数增减性分别判断即可． 【详解】对于A，的定义域为R，， 所以为奇函数，又与均在R上单调递增， 故在R上单调递增，故A正确； 对于B，在定义域上单调递增，且是非奇非偶函数，故B错误； 对于C，对函数，由得函数的定义域为，关于原点对称， ，所以函数为奇函数， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为函数的定义域为，该函数在其定义域上不具有单调性，故D错误． 考点四 与指对型复合函数有关的不等式 ◆题型6 指对型复合函数不等式求解 22.（2026·安徽芜湖·二模）已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上均为增函数， 则在上为增函数， 由，得，即， 则不等式的解集为. 23.（25-26高三上·四川眉山·期末）函数对恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先应用参数分离得出，再应用换元法应用指数函数值域结合二次函数计算最小值求解. 【详解】函数对恒成立， 则，即 设，，则， 当时，， 则实数的取值范围. 故选：A. 24.（2026·山东潍坊·一模）若函数和同时满足以下两个条件：①或；②，使.则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 要使条件①成立，则必须保证当时，恒成立， 又在上单调递增，故，. 时，，要使条件②成立，这必须保证在区间有解. 即成立，，又在上单调递增，. 综上，的取值范围是. 25．（25-26高一上·甘肃平凉·期末）已知函数． (1)求函数的定义域，判断该函数的单调性（不需要证明）； (2)函数，若对，都，使得成立，求实数的取值范围； (3)函数，若对，都存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)定义域为，增函数； (2)； (3). 【分析】（1）令解不等式即可求出定义域，根据复合函数的单调性即可判断函数的单调性； （2）求出函数在上的值域，求出函数在上的值域，根据题意可得出两个函数值域的包含关系，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）求出函数在上的值域，可得出，，令，可得，利用基本不等式求出的最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）令，即，解得， 所以，函数的定义域为， 由在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以函数在其定义域上为增函数. （2）， 当时，令，， 当，取得最小值，当，取得最大值， 则当，， 由（1）知函数在上单调递增，且，， 故函数在上的值域为，则， 对，都，使得成立， 则，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）因为在上单调递增，由（2）可知，函数在上的值域为， 因为函数， 若对，都存在，使得成立，则， 即，， 令，则，可得， ，当且仅当时，等号成立， 所以，，解得， 所以实数的取值范围是. 考点五 指对型复合函数零点问题 ◆题型7 指对型复合函数零点问题 26.（25-26高一上·四川广元·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，可将问题转化为在上有两个不等实根，结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】令，则方程等价于， 即在上有两个不等实根， ，解得 ， 所以实数的取值范围为. 故选：A 27.（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论可得分段函数的解析式，从而可得函数图象，结合图象，根据交点个数确定的取值范围. 【详解】由题意知函数的图象如下图所示： 如图与函数的图象有且仅有两个交点， 所以. 28.（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和，两种情况讨论，画出函数的图象，结合图象，得出关于不等式，即可求解. 【详解】由题意知，直线与函数的图象有两个公共点， 当时，的图象如图（1）所示，可得，解得； 当时，的图象如图（2）所示，可得，解得， 因为，此时不存在实数， 综上可得，实数a的取值范围为． 故选：C.      29.（25-26高二下·北京·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，.若的图象与曲线（且）恰有6个交点，则实数（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由已知可得，可得函数是以2为周期的周期函数，由题意可得时的解析式，进而作出两函数的图象，数形结合可得答案. 【详解】已知对任意实数有，则， 两式相减得，因此是周期为2的周期函数. 结合时，可推得时，. 则的图象都是由上的图象左右平移得到的，值域为. 当时，单调递减，由图可知，两函数的图象只有1个交点，不符合题意. 当时，单调递增，由图可知，两图像在上分别有一个交点， 要使的图象与曲线（且）恰有6个交点，则，解得. 综合攻坚·知能拔高 1、 选择题 1.（2027年高考数学一轮复习讲练测）设，，，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用指数函数的单调性得出，再应用对数值的范围判断求解. 【详解】判定的区间：指数函数为单调递增函数，， 因此，即， ，所以b>c; ， 所以 2．（第04讲指数与指数函数（复习讲义）（全国通用）-2）已知函数，则关于的不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数， 得， 即，所以的图象关于直线对称， 设，则， 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以由，可得，即. 所以，整理得，解得或． 故关于的不等式的解集为. 3．（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，如图所示： 由时，则与矛盾，故A错误； 选项B，如图所示： 由时，则与矛盾，故B错误； 对于C，如图所示： 由时，，但是此时，故C错误； 对于D，由函数的图象可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 若时，有，则，无法确定， 如图所示： 由，则，即， 由，所以，故D正确. 4.（25-26高一下·河南开封·开学考试）已知函数，其中，若关于的方程恰有一个实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过构造函数判断段方程的正根情况，用判别式与韦达定理分析段方程的负根情况，再分类组合使总根个数恰好为，从而确定的取值范围. 【详解】原方程等价于： 和共有一个实数根. 当时，函数在上严格单调递增，因此在上的值域为， 方程在上有一个实根等价于， 令，则，结合题干得，不等式等价于：， 构造函数，， 因为均为上的减函数，故为上的减函数， 而，故的解为，故的解为. 故当方程在上有一个实根时. 当时，考虑方程即， ，结合分类： 当， 由韦达定理，两根之和，两根之积，故有个负根； 当或； 时，方程为，根（不在区间，无负根）； 当：方程为，根（在区间，有个负根）； 当：方程无实根，无负根. 分类讨论总根个数： 当：方程有个负根，方程无正根总根个数，不符合题意； 当：方程有个负根，方程无正根总根个数，符合题意； 当：方程无负根，方程有个正根总根个数，符合题意； 故满足方程恰有一个实数根的取值范围为：. 5.（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知的定义域为，值域为，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．对任意，使得 C．对任意，的图象恒过一定点 D．若在上单调递减，则的取值范围是 【答案】B 【分析】对于A，根据题设得真数不能取遍所有正实数，再利用对数函数定义即得；对于B，直接代入求解即可；对于C，根据，求解即可；对于D ，根据对数型函数的单调性和真数在恒大于等于零即可解得. 【详解】对于A，因为定义域为，只需要恒成立， 所以判别式，即， 所以真数不能取遍所有正实数，所以，故A正确； 对于B，若，即， 化简， 故，解得，故B错误； 对于C，， 因为与无关，所以，解得， 可得，故定点为，故C正确； 对于D，若在上单调递减， 只需要在上单调递减， 且，即，解得，故，故D正确. 6.（25-26高三下·江西南昌·阶段检测）设函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定函数的定义域，接着由函数恒成立得恒成立，分、、和四种情况分析求解不等式解集，从而得，最后代入所求表达式化简利用二次函数的性质即可求解. 【详解】由题可得函数的定义域为， 因为函数恒成立，而，故， 则或，解得或， 若，得不等式的解集为， 则使得，不满足题意； 若，得不等式的解集为， 则使得，不满足题意； 若，得不等式的解集为， 则使得，不满足题意； 若，得不等式的解集为，满足题意， 综上所述， 所以， 因为且，即， 所以的取值范围为， 所以的取值范围为. 故选：C. 7．（多选）（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．若，则的值域为 C．的图象关于直线对称 D．若，则的单调递减区间是 【答案】ACD 【分析】由对数型复合函数的性质，结合二次函数性质、复合函数“同增异减”规则、函数对称性判定方法逐一分析选项即可. 【详解】选项A：当时，对数真数需满足，因式分解得， 解得或，即定义域为，A正确； 选项B：当时，真数，为增函数， 故，值域为，不是，B错误； 选项C：， ， 即，故图象关于直线对称，C正确； 选项D：当时，定义域为， 内层函数在上单调递减，外层单调递增， 由复合函数“同增异减”规则，得的单调递减区间为，D正确. 8．（多选）（25-26高一上·四川广安·期中）下列说法正确的有（   ） A．函数的图象关于成中心对称 B．指数函数中，a的取值范围是 C．函数的图象不过第三象限，则的取值范围是 D．函数，，则的单调递增区间是 【答案】CD 【分析】对于A，先分离常数，再根据函数图象平移可得的对称中心；对于B，由指数函数的定义可确定的范围；对于C，使时，恒成立即可；对于D，利用复合函数单调性即可判断. 【详解】对于A：函数，其图象是由先向右平移2个单位，再向上平移3个单位所得到的，故图象的对称中心由平移到了，故A错误； 对于B：由指数函数的定义可知，且，解得或且，故B错误； 对于C：由题可知，当时，恒成立，当时，无限趋于0，但恒大于0，因此，故C正确； 对于D：，得，解得，故，易知在上单调递增，的单调递增区间为，由复合函数单调性遵循“同增异减”可知的单调递增区间是，故D正确. 故选：CD. 9．（多选）（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数，，下列命题正确的有（    ） A．的图象关于原点对称 B．对于任意实数a，有 C．任意的，，有成立 D．存在实数a，使得关于x的不等式的解集为 【答案】BD 【分析】根据给定的函数，利用函数奇偶性定义判断A；确定单调性判断BC；利用单调性及奇偶性求出不等式解集判断D. 【详解】函数的定义域为， 对于A，，函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又不恒为0，因此的图象关于原点不对称，A错误； 对于B，当时，，函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，，则，B正确； 对于C，由函数在上单调递增，得任意的，， 有成立，C错误； 对于D，当时，，不等式， 解得或，因此所求解集为，D正确. 10．（多选）（25-26高一上·浙江杭州·期末）养正高中某同学研究函数，得到如下结论，其中正确的是（    ） A．函数的定义域为，且是奇函数 B．对于任意的，都有 C．对于任意的，都有 D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，总满足 【答案】ABC 【分析】根据真数大于0求定义域，利用奇偶性定义判断奇偶性可判断A，根据对数运算化简即可判断BC，取特殊值判断D. 【详解】由，解得，故函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以是奇函数，故A正确； 任意的，，故B正确； 因为，， 所以，故C正确； 取，则，，故D错误. 故选：ABC 11．（多选）（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知函数（且），则下列正确的是（    ）． A．的定义域为 B．当时，在上的值域为 C．的图象关于点对称 D．若有两个零点，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对A，根据解析式求出函数的定义域判断；对B，判断在上的单调性，求解值域判断；对C，利用函数对称性的定义判断；对D，函数和的图象有两个交点，数形结合判断. 【详解】对于A，由，即，所以，即的定义域为，故A正确； 对于B，当时，，因为和在上单调递减， 所以在上单调递减，又，，所以的值域为，故B错误； 对于C，因为， 所以关于点对称，故C正确； 对于D，令，即，作出函数和的图象，如下图， 若有两个零点，即函数和的图象有两个交点，由图可得，故D正确. 故选：ACD. 12.（多选）（25-26高一上·山东泰安·期末）有下列几个命题，其中正确的是（     ） A．给定幂函数，则对任意，都有 B．关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 C．函数与互为反函数，则的单调递减区间为 D．已知函数是奇函数，则 【答案】ABD 【分析】利用作差法可判定A选项，利用分类讨论结合三个二次关系计算可判定B选项，由反函数的定义及复合函数的单调性可判定C选项，根据奇函数的定义可判定D选项. 【详解】对于A，对任意， 易知， 由 得恒成立， 故A正确； 对于B，若，显然不等式恒成立， 若，则要满足题意需，解之得， 综上，的取值范围是，故B正确； 对于C，易知，在上单调递增， 要有意义需或， 又，在上单调递减， 所以根据复合函数的单调性知的单调递减区间为， 故C错误； 对于D，因为为奇函数，且， 令，则， 则，故D正确. 故选：ABD 2、 填空题 13.（25-26高一上·上海·期末）函数的图象不经过第四象限，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【分析】求出函数的图象与轴交点坐标，数形结合可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】由可得，解得， 即函数的图象与轴的交点为，作出该函数的图象如下图所示： 要使得函数的图象不经过第四象限，只需，解得. 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】的图象如下图所示 由图象可知，当时，单调递减，所以，此时， 当时，，， ，即，化简可得，解得， 综上所述，因为，所以的取值范围为. 15.（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则__________. 【答案】 【分析】根据函数奇偶性得到的一个周期为4，并得到，求出答案. 【详解】由题意得，故， 为偶函数，故， 故，所以， 所以， 故的一个周期为4，， 其中， 当时，，则， 所以. 16.（25-26高一上·河北·期末）已知函数，，若对任意，都有，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】化简不等式，转化为上恒成立，利用单调性求不等式右边式子的最小值即可得解, 【详解】因为函数，， 所以对任意时，恒成立， 即任意时，恒成立， 令，， 又在上单调递增， 所以， 所以. 故答案为： 17.（25-26高三上·山东临沂·期末）设，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】设，则，，然后根据得出，最后根据题意得出存在，使得成立，进而结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】设，则，， 因为，所以， 不等式，即， 则存在，使得成立， 而函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减， 则时，，所以， 即实数的取值范围是， 故答案为：. 18.（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数且为奇函数，若关于的方程有两个不同的实数解，则的取值范围为_____________. 【答案】 【分析】先根据函数是奇函数得出参数值进而得出解析式，再应用换元法结合指数函数值域计算求解. 【详解】由函数是定义在上的奇函数， 则，即得， 即 解得，则， 因为，即， 因为方程有两个不同的实数解， 即有两个不同的实数解， 令，则， 可得， 即在有两个不同的实数解， 所以函数和的图象在上有两个不同的交点， 根据图象及，， 可得或， 即方程有两个不同的实数解，实数的取值范围为. 故答案为:. 三、解答题 19．（25-26高一下·湖南·阶段检测）已知函数，且. (1)求图象经过的定点坐标； (2)若的定义域为，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合对数的性质求定点； （2）根据复合函数单调性判断函数的单调性，利用单调性求解不等式，注意对数函数的定义域. 【详解】（1）令，得或2， 得， 所以图象经过的定点坐标为. （2）由题意得在上恒成立， 则，得. 因为函数是增函数，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 又，所以或， 得或.故不等式的解集为. 20．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知是定义在上的偶函数，当时，． (1)当时，求的解析式； (2)求满足不等式的的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）利用偶函数性质以及时的解析式即可求得结果； （2）根据偶函数在对称区间上的单调性得出不等式关系，即可解得的取值范围. 【详解】（1）由，则，所以， 因为是偶函数，所以． （2）易知在上单调递增， 由偶函数关于轴对称可得在单调递减， 所以由及定义域可得， 解得或． 21．（25-26高一上·重庆·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求的值； (2)用定义证明在上是单调递减函数； (3)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 由（1）知，，， ，由，得，即， 因此，即，所以在上是单调递减函数. (3). 【分析】（1）利用奇函数的定义求出. （2）利用减函数的定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）由给定不等式分离参数，再利用指数函数性质求出最小值即可求出范围. 【详解】（1）由定义域为的函数是奇函数，得， 即，整理得，解得， 所以. （2）略 （3）不等式， 当时，，则，， 由存在，使得成立，得， 所以的取值范围是. 22．（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）已知函数为偶函数，． (1)求实数的值； (2)若当时，函数的图像恒在的图像下方，求实数的取值范围； (3)若当时，函数的最大值与最小值的和为2016，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义结合对数的运算公式即可求解； （2）“的图像恒在的图像下方”转化为在上恒成立，变形为，最后求出在上的最大值即可； （3）首先求出的解析式，令，利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为是偶函数，所以． 代入得：， 即， 即，即， 即（对任意）恒成立，故，解得. （2）“的图像恒在的图像下方”即在上恒成立， 代入得：，整理得：， 化简左边：， 因此不等式变为：， 易知函数在上单调递减，故， 要使不等式恒成立，需，故．即的取值范围. （3）由，得． 又， 所以． 令，由，得，， 当时，；当时，． 由题意，，解得． 23．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数．函数图象与的图象关于直线对称． (1)求的表达式． (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． (3)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据反函数可得的表达式； （2）由（1）可知，令，则在上单调递增且对恒成立，从而得到且，求出的取值范围； （3）根据定义域，解得，由函数单调性得到在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，换元，由函数单调性求出的最大值，得到实数的取值范围． 【详解】（1）的图象与的图象关于直线对称 与互为反函数 由得， （2）由（1）可知， 在上单调递增， 令，其中在上单调递增， 由同增异减可得，在上单调递增且对恒成立， 且， ， 故的取值范围为； （3）在上恒成立， 由对数函数单调性可得且， ，只需，而单调递增，故只需，得， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， ， 在上恒成立， 当时不等式成立， 在上恒成立，， 令， 而在上单调递增， ， 综上所述，实数的取值范围为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04指对数型复合函数题型全归纳 常考题型·精准突破 考点一 判断指对型复合函数的单调性 ◆题型1判断指对型复合函数的单调区间 1．【答案】D 【详解】由题意得，令，解得或， 的定义域为， 设，， 根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又因为在为增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. 2.【答案】 【详解】解：由，解得， 即函数的定义域为，， 令， 易知函数为增函数，在，上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数的定义域为，， 则由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，． 故选：． 3．【答案】C 【详解】由，得， 则函数的定义域为，排除AB； 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 则函数在上单调递增，C正确，D错误. 4.【答案】D 【详解】解：由题意可得， 因为当，则对数函数在上单调递减， 所以当时，单调性与对数函数的一致，则单调递减区间为； 当时，的单调性与对数函数相反，即在上单调递增， 综上，函数的单调递减区间为. 5.【答案】(1)的减区间为，增区间为 【详解】（1）， 在上单调递增，在上单调递减， 又因为在上单调递减， 所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为. ◆题型2 根据指对型复合函数的单调性求参数 6.【答案】A 【详解】令，由于底数 ，所以指数函数 在上单调递减， 因此 的单调性与 的单调性相反， 要使 在 上单调递减，必须要求 在区间上单调递增. 二次函数 开口向上，对称轴为 ， 要使 在区间上单调递增，只需满足对称轴在区间的左侧， 即：. 故选： A 7.【答案】C 【详解】令， 因为函数在定义域内是单调递增函数， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，且恒大于0， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 8.【答案】D 【详解】因为对任意实数，，都有成立， 所以在上为增函数， 则，解得，则实数的范围是. 9.【答案】 【详解】令，则， 因为在上单调递增， 又函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 且对恒成立， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 考点二 指对型复合函数的值域、最值 ◆题型3 求指对型复合函数的最值或值域 10．【答案】C 【详解】因为，所以， 又函数是增函数，所以， 则所求函数的值域为． 11．【答案】B 【详解】令,通过配方可知,当时，取得最大值1， 又函数，由指数函数的单调性可知当取得最大值时，取得最大值为2. 故选：B. 12.【答案】B 【详解】的定义域为， 当时， ，，所以 当时， ，,所以. 所以. . 13.【答案】(1) 【详解】（1） 令，则在上的值域在上的值域 由于. 所以在上的值域为. ◆题型4 根据指对型复合函数的最值、值域反求参数 14．【答案】B 【详解】由指数函数的性质知必是单调函数， 又， 因为值域为，所以函数在上单调递增，故， 即，解得，又，故. 故选：B. 15．【答案】A 【详解】由“函数值域为”可得：. 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以“”是“函数值域为”的充分不必要条件. 16.【答案】A 【详解】令， 因为单调递减， 又因为函数的最大值为2027， 则的最小值为， 所以，且当时有， 即得，解得或， 所以. 17.【答案】A 【详解】令， 函数的值域为，即能取到所有正数. 当时，，能取到所有正数，满足条件； 当时，是开口向上的二次函数，要让函数取到所有正数， 需，所以； 当时，是开口向下的二次函数，无法取到所有正数，不符合条件. 综上，. 故实数的取值范围是. 考点三 指对型复合函数的奇偶性及应用 ◆题型5 指对型复合函数奇偶性判断与简单应用 18．【答案】D 【详解】令函数，定义域为， ，故是奇函数， 其图象关于原点对称，排除选项、， 当时，，排除选项， 所以函数的图象大致为选项. 19．【答案】C 【详解】依题意，因为是奇函数，所以，所以． 20.【答案】A 【详解】由，则， 所以关于点对称，则关于点对称， 要使为偶函数，则为奇函数， 则， 所以. 21.【答案】AC 【详解】对于A，的定义域为R，， 所以为奇函数，又与均在R上单调递增， 故在R上单调递增，故A正确； 对于B，在定义域上单调递增，且是非奇非偶函数，故B错误； 对于C，对函数，由得函数的定义域为，关于原点对称， ，所以函数为奇函数， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为函数的定义域为，该函数在其定义域上不具有单调性，故D错误． 考点四 与指对型复合函数有关的不等式 ◆题型6 指对型复合函数不等式求解 22.【答案】A 【详解】因为函数在上均为增函数， 则在上为增函数， 由，得，即， 则不等式的解集为. 23.【答案】A 【详解】函数对恒成立， 则，即 设，，则， 当时，， 则实数的取值范围. 故选：A. 24.【答案】A 【详解】， 要使条件①成立，则必须保证当时，恒成立， 又在上单调递增，故，. 时，，要使条件②成立，这必须保证在区间有解. 即成立，，又在上单调递增，. 综上，的取值范围是. 25．【答案】(1)定义域为，增函数； (2)； (3). 【详解】（1）令，即，解得， 所以，函数的定义域为， 由在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以函数在其定义域上为增函数. （2）， 当时，令，， 当，取得最小值，当，取得最大值， 则当，， 由（1）知函数在上单调递增，且，， 故函数在上的值域为，则， 对，都，使得成立， 则，所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）因为在上单调递增，由（2）可知，函数在上的值域为， 因为函数， 若对，都存在，使得成立，则， 即，， 令，则，可得， ，当且仅当时，等号成立， 所以，，解得， 所以实数的取值范围是. 考点五 指对型复合函数零点问题 ◆题型7 指对型复合函数零点问题 26.【答案】A 【详解】令，则方程等价于， 即在上有两个不等实根， ，解得 ， 所以实数的取值范围为. 故选：A 27.【答案】C 【详解】由题意知函数的图象如下图所示： 如图与函数的图象有且仅有两个交点， 所以. 28.【答案】C 【详解】由题意知，直线与函数的图象有两个公共点， 当时，的图象如图（1）所示，可得，解得； 当时，的图象如图（2）所示，可得，解得， 因为，此时不存在实数， 综上可得，实数a的取值范围为． 故选：C.      29.【答案】C 【详解】已知对任意实数有，则， 两式相减得，因此是周期为2的周期函数. 结合时，可推得时，. 则的图象都是由上的图象左右平移得到的，值域为. 当时，单调递减，由图可知，两函数的图象只有1个交点，不符合题意. 当时，单调递增，由图可知，两图像在上分别有一个交点， 要使的图象与曲线（且）恰有6个交点，则，解得. 综合攻坚·知能拔高 1、 选择题 1.A 2．D 3．D 4.D 5.B 6.C 7．ACD 8．CD 9．BD 10．ABC 11．ACD 12. ABD 2、 填空题 13. 【详解】由可得，解得， 即函数的图象与轴的交点为，作出该函数的图象如下图所示： 要使得函数的图象不经过第四象限，只需，解得. 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 14． 【详解】的图象如下图所示 由图象可知，当时，单调递减，所以，此时， 当时，，， ，即，化简可得，解得， 综上所述，因为，所以的取值范围为. 15. 【详解】由题意得，故， 为偶函数，故， 故，所以， 所以， 故的一个周期为4，， 其中， 当时，，则， 所以. 16. 【详解】因为函数，， 所以对任意时，恒成立， 即任意时，恒成立， 令，， 又在上单调递增， 所以， 所以. 故答案为： 17. 【详解】设，则，， 因为，所以， 不等式，即， 则存在，使得成立， 而函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减， 则时，，所以， 即实数的取值范围是， 故答案为：. 18. 【详解】由函数是定义在上的奇函数， 则，即得， 即 解得，则， 因为，即， 因为方程有两个不同的实数解， 即有两个不同的实数解， 令，则， 可得， 即在有两个不同的实数解， 所以函数和的图象在上有两个不同的交点， 根据图象及，， 可得或， 即方程有两个不同的实数解，实数的取值范围为. 故答案为:. 三、解答题 19．【详解】（1）令，得或2， 得， 所以图象经过的定点坐标为. （2）由题意得在上恒成立， 则，得. 因为函数是增函数，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 又，所以或， 得或.故不等式的解集为. 20．【详解】（1）由，则，所以， 因为是偶函数，所以． （2）易知在上单调递增， 由偶函数关于轴对称可得在单调递减， 所以由及定义域可得， 解得或． 21．【详解】（1）由定义域为的函数是奇函数，得， 即，整理得，解得， 所以. （2）由（1）知，，， ，由，得，即， 因此，即，所以在上是单调递减函数. （3）不等式， 当时，，则，， 由存在，使得成立，得， 所以的取值范围是. 22．【详解】（1）因为是偶函数，所以． 代入得：， 即， 即，即， 即（对任意）恒成立，故，解得. （2）“的图像恒在的图像下方”即在上恒成立， 代入得：，整理得：， 化简左边：， 因此不等式变为：， 易知函数在上单调递减，故， 要使不等式恒成立，需，故．即的取值范围. （3）由，得． 又， 所以． 令，由，得，， 当时，；当时，． 由题意，，解得． 23．【详解】（1）的图象与的图象关于直线对称 与互为反函数 由得， （2）由（1）可知， 在上单调递增， 令，其中在上单调递增， 由同增异减可得，在上单调递增且对恒成立， 且， ， 故的取值范围为； （3）在上恒成立， 由对数函数单调性可得且， ，只需，而单调递增，故只需，得， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， ， 在上恒成立， 当时不等式成立， 在上恒成立，， 令， 而在上单调递增， ， 综上所述，实数的取值范围为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $