第03讲 平面向量的数量积及其应用（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学讲义聚焦平面向量数量积及其应用高考核心考点，涵盖概念、运算律、模、夹角、垂直、投影向量、几何与物理应用等内容，知识架构从基础定义到坐标运算再到综合应用层层递进，通过考情分析、知识梳理、重难突破（典例精讲+方法技巧）、分层集训（基础到真题）环节，系统构建复习体系。 资料突出数学思维与数学语言融合，如对比基底法与坐标法培养逻辑推理，模运算“先平方再开方”转化策略提升运算能力，设易错点警示（如夹角范围）和分层练习，帮助学生高效突破难点，为教师提供精准复习路径，助力提升学生应考能力。

第03讲 平面向量的数量积及其应用 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 平面向量数量积的概念 知识2 平面向量数量积的运算律 知识3 平面向量数量积的模、夹角及性质 知识4 平面向量数量积的性质及其坐标表示 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 平面向量的数量积运算 考点02 向量模的运算 方法技巧 模运算的相关公式 考点03 向量的夹角 易错点 夹角运算3个易错 考点04 平面向量的垂直问题 考点05 投影向量的运算 考点06 平面几何与数量积 考点07 向量在物理中的应用 考点08 数量积范围的综合 方法技巧 数量积范围相关方法 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积； 2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义； 3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 4．能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角； 5．能用坐标表示平面向量共线、垂直。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 数量积的运算律 全国二卷T3 全国Ⅰ卷T3 全国ⅠⅠ卷T3 数量积的坐标运算 全国一卷T6 全国二卷T12 全国甲卷（理）T9 考情解读 平面向量数量积及其应用是高考必考内容，多以5分选择、填空题出现，难度覆盖基础到中档，常结合三角形、四边形图形命题。主要考查数量积定义与坐标运算、向量模长、夹角求解、垂直判定，还会融合平面几何、三角函数综合设问，兼具工具性，是向量模块核心内容，需熟练掌握基底法与坐标法两类解题思路。 备考策略 熟练掌握数量积定义、坐标计算公式与运算律，灵活运用公式求解向量模长、夹角，掌握利用数量积判定向量垂直的方法。兼顾几何基底法与坐标法两类解题思路，多练习三角形、四边形相关综合题型，规范书写解题步骤，强化公式计算训练，熟练结合图形转化向量条件. 知识・归纳梳理 知识1 平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念 已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中是与的夹角. 【注】零向量与任一向量的数量积为0. 投影向量：①定义：如图，设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. ②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量是. 知识2 平面向量数量积的运算律 已知向量和实数,则 交换律 ； 数乘结合律 ； 分配律 . 知识3 平面向量数量积的模、夹角及性质 设非零向量，是与的夹角， （1）数量积：；（2）模：. （3）夹角： （4）垂直与平行：； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （5）性质： (当且仅当时等号成立) 知识4 平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量，θ为向量的夹角. 数量积 模 夹角 两非零向量的充要条件 易错点 数量积运算常见误区 1.若且，不能推出，向量等式两边不可以直接约去向量。 2.数量积不满足结合律：，左右两侧向量方向一般不同。 3.，无法推出或，还可能。 重难・核心突破 考点01 平面向量的数量积运算 典例1．已知和的夹角为60°，且，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】因为和的夹角为60°，且， 所以. 典例2．在中，已知点，，，则（     ）． A． B． C．18 D．12 【答案】C 【详解】在中，， 已知点，，， 则， 则. 【考法预测1】已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以根据数量积的运算律有， ， 即 . 【考法预测2】已知向量，，满足，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知，移项得，两边同时取模平方， 得， 代入 ，得 ，解得， 将代入所求表达式： ， . 【考法预测3】若平面单位向量，，两两夹角均相等，________． 【答案】2或 【详解】设平面单位向量两两的夹角为，， ①当时，三个向量同向，由数量积定义得： ，同理 ， ； ②当时，三个非共线向量两两夹角相等，故， 此时： ，同理， 因此 . 综上， 的取值为或. 考点02 向量模的运算 典例1．已知向量，满足，，若，则____________． 【答案】 【详解】因，，， 则， 则， 故. 典例2．已知单位向量，满足，则（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】D 【详解】由，得， 即，，所以， 所以． 方法技巧 模运算的相关公式 （1）核心转化公式：，所有求向量模的问题，都可以转化为数量积运算求解； （2）求两个向量和或差的模：，遵循先平方、再化简、最后开根号的固定步骤； （3）坐标形式求模：已知，则，常用于求解图形中线段长度、两点间距离。 用． 【考法预测1】已知，则与方向相同的单位向量的坐标为______. 【答案】 【详解】与方向相同的单位向量的坐标为 【考法预测2】已知，为非零向量，则“”是“存在实数，使”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】设非零向量的夹角为， 对两边平方，得： 化简得，即. 因为为非零向量，故，又，所以，即与同向共线. 若“存在实数，使”，则与共线（同向或反向）. 充分性：由可知与同向共线，因此两向量必然共线， 即存在实数，使成立，故充分性成立. 必要性：举反例，若与反向共线，如，则，而， 故不成立，故必要性不成立. 【考法预测3】已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 整理得，故，解得， ， ． 考点03 向量的夹角 典例1．已知向量，．若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围______． 【答案】 【详解】因为与夹角为钝角，所以，解得， 当与反向共线，即时，，解得， 综上所述，m的范围为. 典例2．已知单位向量，，，满足，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为都是单位向量，所以. 由，移项得，两边同时平方得： ， 所以，，整理得. 设夹角为，由夹角公式， 因为，所以，因此，的夹角为. 易错点 夹角运算3个易错 （1）记错向量夹角取值范围，误写为，两个向量的夹角最大只能是； （2）仅依靠直接判定夹角为锐角，忽略两向量同向共线（）的特殊情况；仅依靠判定钝角，忽略两向量反向共线（）的情况； （3）直接取用图形中首尾相接的线段夹角，没有平移向量至共起点，导致角度计算完全错误。 【考法预测1】已知单位向量，满足，则________ 【答案】/ 【详解】因为， 所以，即. 因为，为单位向量，所以，. 所以，则. 因为，所以. 【考法预测2】已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 【考法预测3】已知向量，，，若，的夹角与，的夹角相等，则（　　） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【详解】，， ， ，的夹角与，的夹角相等， ，即，解得， 考点04 平面向量的垂直问题 典例1．已知单位向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ， 解得，又， 典例2．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知向量， 若，则，解得， 因此，故D正确. 【考法预测1】（多选）已知点，向量，且是直角三角形，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为，所以，． 当为直角时，则，得； 当为直角时，则，得． 当为直角时，，不符合题意． 【考法预测2】如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记为，这样的坐标系称为“斜坐标系”．在该坐标系中已知点和，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以 已知点和，则. 因为，则， 化简得，解得. 【考法预测3】已知，是夹角为的单位向量，，，（其中）. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）； （2）， 因为，所以，所以， 即， 化简得，解得. 考点05 投影向量的运算 典例1．已知向量，，则在上的投影向量的模为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上的投影向量为， 所以在上的投影向量的模为. 典例2．已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，为单位向量，故. 又，所以，即，所以. 所以向量在向量上的投影向量为. 【考法预测1】已知平面向量，，则向量在向量方向上的投影向量为________． 【答案】 【详解】由 ，及 ， 将 代入上式，计算得： ， 则， ， 由在方向上的投影向量为， 代入上述结果得： 即向量在向量方向上的投影向量为. 【考法预测2】已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在上的投影向量为. 【考法预测3】已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的中点为，由向量中点公式得. 由条件，得， 故，，三点共线，且在中线上. 因为是的外心，所以垂直平分，即，. 设外接圆半径为，则，，. 在中，，，故，即. 所以，由圆心角与圆周角关系得，因此为等边三角形. 向量在上的投影向量为. 设，则，代入得投影向量为. 考点06 平面几何与数量积 典例1．已知四边形ABCD为平行四边形，，，，则等于（ ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则， 又，则，， 所以， 又，，所以. 典例2．在中，，，和相交于点，是的中点． (1)用，表示； (2)若，，，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，不妨设，，因，， 则 又 由于，不共线，对照可得，解得 所以 （2） 因，，，则, ，由（1）， 所以， ，则 ，则 又 所以 【考法预测1】如图，在四边形ABCD中，，AC与BD交于点E，F，G分别为AB，CD的中点. (1)用表示； (2)若，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以，则， 又F，G分别为AB，CD的中点， 所以， . （2）由，可得， 则. 由（1）可得 . 【考法预测2】在中，，，，为边中点，为上一点，且. (1)若，求； (2)当时，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设，，则，， 因为为边中点，则， 且，则， 可得， 若，则， 可得，所以. （2）因为， 若，则， 即，解得. 【考法预测3】如图，在中，，，，M是的中点，N是边上一点，且，与交于点P. (1)若，求x，y的值； (2)求的值； (3)求的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由，得，因此：， 对比，得：. （2）因为是中点，所以，因为， 所以， 所以. （3）∠MPN是向量与的夹角，也即的夹角， 由（2）， 所以，， 由（1）， 所以，， 由夹角公式： ， 即 的余弦值为. 考点07 向量在物理中的应用 典例1．若同一平面内的三个力作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态.已知，且与的夹角为，则力的大小为____________. 【答案】 【详解】因为物体处于平衡状态，所以，所以， 所以 ， 所以. 典例2．飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中顺风为加，逆风为减．已知某飞行器顺风飞行，在某时刻测得风速对应的向量与空速对应的向量如图所示（单位：km/h），则飞行器在该时刻的地速大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设飞行器在该时刻的地速对应的向量为，相对于周围空气的空速和风速对应的向量分别为，， 由题意可得，且，，所以， 故，即飞行器在该时刻的地速大小为． 【考法预测1】平面内，一质点在力作用下处于平衡状态，若，，则在方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，， 所以在方向上的投影向量为． 【考法预测2】如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（    ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得质点P位移为， 所以 因为，，所以， 设的夹角为，所以， 因为所以， 所以. 故选：D 【考法预测3】（多选）一条东西方向的小河，河两岸平行，河宽，一艘小船在河南岸向河北岸航行．已知小船在静水中的速度大小为，河水的流速大小为，关于这艘船的渡河情况，下列说法正确的是（    ） A．当小船以北偏西方向航行时，小船实际航向垂直河岸 B．当小船垂直河岸航行时，小船实际速度的大小为 C．当小船航程最短时，小船到达河北岸的时间为 D．当小船渡河时间最短时，小船垂直河岸方向航行 【答案】BCD 【详解】设小船在静水中的速度为为，水流的速度为， 则 ，小船的实际速度为，则有， 对于A，由小船以北偏西方向航行可知，船速的方向与垂直于河岸方向的夹角为， 若小船实际航向垂直河岸，则在平行于河岸方向的分速度大小与水速大小相等， 即，而，所以假设不成立，错误； 对于B，由题意，所以， 所以，正确； 对于C，因为，所以，所以， 所以， 所以小船到达河北岸的时间为h，正确； 对于D，当小船渡河时间最短时，垂直河岸的分速度最大， 即船垂直河岸方向航行（船头指向正北），此时分速度等于船在静水中的速度， 所以最短时间为 h，正确. 考点08 数量积范围的综合 典例1．青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，动点，关于圆心对称，圆半径为， 则，. 所以 . 又正六边形边长为1，则圆心到六边形各顶点距离为， 圆心到正六边形各边的垂直距离为， 因为点在正六边形上，所以， 所以， 故只有B选项符合题意. 典例2．已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故， 故， 因为，所以， 设，则 ， 其中可看作关于的二次函数，开口向上， 当时，取得最小值， 最小值为， 所以的最小值为. 方法技巧 数量积范围相关方法 （1）动点类综合题：设参数表示动点坐标或者基底系数，将数量积表达式转化为二次函数、三角函数，再求解值域； （2）利用向量三角不等式，快速限定模长范围，辅助求数量积最值； （3）结合垂直、夹角等题干限制条件，锁定参数取值区间后，再计算数量积的最大值与最小值。 【考法预测1】在中，，，为所在平面内的一个动点，若的最小值为，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】，以为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示：     ，， 设，则，，则，. 令，则，. ； 的最小值为，，，解得. . 【考法预测2】在中，已知，，.点在平面内运动，且满足.则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为在中，，，，所以. 不妨以为原点，以、为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，则，. 又，所以在以原点为圆心，1为半径的圆上，设，其中, 则，， 所以，其中， 因为，所以，所以.    【考法预测3】已知平面向量，，满足且，向量满足，则的最大值是______． 【答案】 【详解】已知平面向量，，满足且， 设，，， ，代入坐标得： ， 可知向量的终点在一个圆心坐标为，半径为的圆上， 则的最大值是原点到圆心的距离加上圆的半径， 即. 拔高・分层集训 基础演练 1．已知向量，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，，所以， 又因为，所以，解得. 2．若，为单位向量，且在上的投影向量为，下列说法正确的是（     ） A．，的夹角为 B．，的夹角为 C． D． 【答案】C 【详解】选项A，因为在上的投影向量为，所以， 解得，所以夹角为，错误. 选项C，，正确. 选项B，，所以夹角为，错误. 选项D，，错误. 3．设非零平面向量，，两两不垂直，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】验证充分性： 已知非零向量两两不垂直，故，， 若，则左边为与共线的非零向量，右边为与共线的非零向量， 两非零向量相等则方向一致，因此，充分性成立； 验证必要性： 若，由为非零向量，可知存在实数，使得， 代入左边得： ， 代入右边得： ， 左边等于右边，故必要性成立； 因此“”是“”的充要条件. 4．已知向量，，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，得，， 两式相减得，即， 又由，，得， 即， 故． 5．若单位向量，，满足，则向量与夹角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 由，可得，两边取平方， 所以，解得，即， 又由，可得， 则，， 所以 ， 又， ， 设向量与的夹角为，， 则， 所以. 6．已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 解得，即， 因为，， 所以，， 所以，解得，， 当时，，， ，， 则在方向上的投影向量的坐标是. 7．已知圆O的半径为2，弦AB的长度为.若动点P在圆O上运动，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点为，由垂径定理可知， 已知圆半径，，故， 所以， 所以 ， 又，即， 故，则.    8．（浙江丽水市2025-2026学年第二学期普通高中教学质量监控高一数学试题）（多选）若平面向量，满足，则（    ） A． B．向量与的夹角为 C．向量在上的投影向量为 D．若平面向量满足，则的最大值为 【答案】AD 【详解】已知，对平方得：， 解得，逐一判断选项： 选项A： ，得，A选项正确； 选项B：设与的夹角为，由夹角公式： ，得，B选项错误； 选项C：在上的投影向量为：，C选项错误； 选项D：说明当始点相同时， 的终点在以终点连线为直径的圆上： 设，得圆心为，半径，原点到圆心的距离为， 因此的最大值为原点到圆心距离加半径：，D选项正确. 9．已知向量，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________________． 【答案】 【详解】已知，，则 ，， 由，可得，整理得，解得， 又两向量共线满足坐标关系 解得，此时，需舍去， 综上，的取值范围是. 10．作用于同一点的三个力平衡，已知与之间的夹角是，则力的大小为___________N． 【答案】 【详解】由题意可知，，所以， 所以 11．如图，在四边形中，为等边三角形，且，，． (1)求； (2)若是中点，求． 【答案】(1) (2)11 【分析】 【详解】（1）由，，，则， 故， 故 ； （2）由是中点，则， ， 故 . 12．已知向量，． (1)若，求实数的值； (2)设向量，点是直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），, 因为，所以． 即，解得． （2）（法一）设，P是直线上的一个动点，所以，即． 又，， 所以 ， 所以当时，最小值为，此时点P的坐标为． （法二）设，则． 则， 所以当时，最小值为，此时点P的坐标为． 能力进阶 1．已知非零向量，，若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 因为， 所以，解得， 又 ， 所以，所以. 2．如图，设，是两条射线，，，分别为与，同向的单位向量，称和，一起构成了“-仿射坐标系”；在-仿射坐标系中，若，则称为的坐标，表示为；现有以下几个命题： ①在-仿射坐标系中，若，则； ②在-仿射坐标系中，与平行的充要条件是； ③在-仿射坐标系中，若，，且，则； 其中，真命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】对于①，在-仿射坐标系中，可知，即，则， 若，则， 所以，故①错误； 对于②，若时，显然有与平行，可得成立， 反之显然成立； 当，与平行的充要条件是存在，使得， 所以，所以，所以， 综上，在-仿射坐标系中，与平行的充要条件是，故②正确； 对于③，在-仿射坐标系中，若，，则，， 所以， ， ， 又因为，所以， 所以，解得，又因为，所以，故③正确. 故真命题有2个. 3．（新考法）（ 2026·山东烟台·模拟预测）在平行四边形中，点为的中点，点在上，且，与交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图所示，因为，所以点为三等分点，且靠近点. 设，，，， 则，， 且由题意得：，， 设，， 联立，解得：，，所以， 由得：，化简得： ，所以，令，所以，，即：. 4．在中，，．若，，且，交于点，则______． 【答案】 【详解】由题设得，，，以为平面一组基底进行运算， 由，得 ， 由，得为中点，故. 因在上，设， 又在上， 设， 根据基底表示的唯一性，对应系数相等得，解得. 又，且， 故. 代入，得. 5．已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值为_________. 【答案】 【详解】由， 则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图平面直角坐标系， 设，，则，，，， 又， 其中是与同方向的单位向量，是与同方向的单位向量， ，即， ， ， ， 当且仅当时取“”， 故的最大值为. 6．已知，，，则的最小值为_______． 【答案】 【详解】不妨设， 则，则， 因为， 所以 ， 当时，有最小值，最小值为. 7．已知点，点，点，点满足，其中，由所有点组成的线段为，则的最大值为_________ 【答案】/ 【详解】因为， 所以， 设点的坐标为，则，所以，即， 所以点坐标为 因为，当时，，此时点坐标为；当时，，此时点坐标为，不妨设， 两点间距离公式得， 由，，，，得，，， 所以， 所以， 令，，此为二次函数，对称轴， 所以当时取得最大值，， 故的最大值为 8．（新角度）如图，已知满足，，、、…是线段上的等分点，且满足. (1)当时，求的值； (2)当时，若为线段上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 解得，因为，所以，则为等边三角形， 取BC中点O，连接AO，则， 所以. （2）当时， ， 设，则， 又， 所以 ， 所以当时，有最小值. 真题实战 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知向量满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 所以，即； 由，得， 所以，即. 两式相减，得， 所以 . 2．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 3．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 7．（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 【答案】 【分析】 【详解】由题意， ，，， 第一空： 当时，， ∴， ∴. 第二空： 解法一：将代入得， 两边平方，得：， 展开：， 代入，，记， ， 令，，， 则原式变为：， 配方得：， 由于 ，，因此 ， 即 ，解得， ， 因此，的取值范围为：. 解法二：因为，， 不妨设，，，则，， 若，设， 则. 解法三：因为，， 不妨设，，，即点在直线上， 且，， 因为， 若，可知点在直线上，（或直接由三点共线的结论可得出）， 若，即，可知点在以为圆心，半径为1的圆上， 则圆在直线和之间，可得，即， 所以的取值范围为. 8．（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 【答案】 【详解】 , 与所成的夹角为 令，则 当时，的最大值为. 故答案为：. 9．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ； 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 10．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则___________ 【答案】 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 平面向量的数量积及其应用 内容导航 夯实知识·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 知识・归纳梳理（核心考点 知识梳理 方法归纳） 知识1 平面向量数量积的概念 知识2 平面向量数量积的运算律 知识3 平面向量数量积的模、夹角及性质 知识4 平面向量数量积的性质及其坐标表示 重难・核心突破（核心提炼 重难探究 命题预测）(含超链接） 考点01 平面向量的数量积运算 考点02 向量模的运算 方法技巧 模运算的相关公式 考点03 向量的夹角 易错点 夹角运算3个易错 考点04 平面向量的垂直问题 考点05 投影向量的运算 考点06 平面几何与数量积 考点07 向量在物理中的应用 考点08 数量积范围的综合 方法技巧 数量积范围相关方法 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积； 2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义； 3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 4．能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角； 5．能用坐标表示平面向量共线、垂直。 考题统计 核心考点 2026 2025 2024 数量积的运算律 全国二卷T3 全国Ⅰ卷T3 全国ⅠⅠ卷T3 数量积的坐标运算 全国一卷T6 全国二卷T12 全国甲卷（理）T9 考情解读 平面向量数量积及其应用是高考必考内容，多以5分选择、填空题出现，难度覆盖基础到中档，常结合三角形、四边形图形命题。主要考查数量积定义与坐标运算、向量模长、夹角求解、垂直判定，还会融合平面几何、三角函数综合设问，兼具工具性，是向量模块核心内容，需熟练掌握基底法与坐标法两类解题思路。 备考策略 熟练掌握数量积定义、坐标计算公式与运算律，灵活运用公式求解向量模长、夹角，掌握利用数量积判定向量垂直的方法。兼顾几何基底法与坐标法两类解题思路，多练习三角形、四边形相关综合题型，规范书写解题步骤，强化公式计算训练，熟练结合图形转化向量条件. 知识・归纳梳理 知识1 平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念 已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中是与的夹角. 【注】零向量与任一向量的数量积为0. 投影向量：①定义：如图，设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. ②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量是. 知识2 平面向量数量积的运算律 已知向量和实数,则 交换律 ； 数乘结合律 ； 分配律 . 知识3 平面向量数量积的模、夹角及性质 设非零向量，是与的夹角， （1）数量积：；（2）模：. （3）夹角： （4）垂直与平行：； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （5）性质： (当且仅当时等号成立) 知识4 平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量，θ为向量的夹角. 数量积 模 夹角 两非零向量的充要条件 易错点 数量积运算常见误区 1.若且，不能推出，向量等式两边不可以直接约去向量。 2.数量积不满足结合律：，左右两侧向量方向一般不同。 3.，无法推出或，还可能。 重难・核心突破 考点01 平面向量的数量积运算 典例1．已知和的夹角为60°，且，则（    ） A．1 B． C．3 D． 典例2．在中，已知点，，，则（     ）． A． B． C．18 D．12 【考法预测1】已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】已知向量，，满足，，，，则（     ） A． B． C． D． 【考法预测3】若平面单位向量，，两两夹角均相等，________． 考点02 向量模的运算 典例1．已知向量，满足，，若，则____________． 典例2．已知单位向量，满足，则（   ） A． B．4 C． D．3 方法技巧 模运算的相关公式 （1）核心转化公式：，所有求向量模的问题，都可以转化为数量积运算求解； （2）求两个向量和或差的模：，遵循先平方、再化简、最后开根号的固定步骤； （3）坐标形式求模：已知，则，常用于求解图形中线段长度、两点间距离。 用． 【考法预测1】已知，则与方向相同的单位向量的坐标为______. 【考法预测2】已知，为非零向量，则“”是“存在实数，使”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【考法预测3】已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 考点03 向量的夹角 典例1．已知向量，．若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围______． 典例2．已知单位向量，，，满足，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 易错点 夹角运算3个易错 （1）记错向量夹角取值范围，误写为，两个向量的夹角最大只能是； （2）仅依靠直接判定夹角为锐角，忽略两向量同向共线（）的特殊情况；仅依靠判定钝角，忽略两向量反向共线（）的情况； （3）直接取用图形中首尾相接的线段夹角，没有平移向量至共起点，导致角度计算完全错误。 【考法预测1】已知单位向量，满足，则________ 【考法预测2】已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】已知向量，，，若，的夹角与，的夹角相等，则（　　） A． B． C．5 D．6 考点04 平面向量的垂直问题 典例1．已知单位向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 典例2．已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】（多选）已知点，向量，且是直角三角形，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 【考法预测2】如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记为，这样的坐标系称为“斜坐标系”．在该坐标系中已知点和，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【考法预测3】已知，是夹角为的单位向量，，，（其中）. (1)求的值； (2)若，求的值. 考点05 投影向量的运算 典例1．已知向量，，则在上的投影向量的模为（   ） A． B． C． D． 典例2．已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【考法预测1】已知平面向量，，则向量在向量方向上的投影向量为________． 【考法预测2】已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【考法预测3】已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 考点06 平面几何与数量积 典例1．已知四边形ABCD为平行四边形，，，，则等于（ ） A．5 B． C． D． 典例2．在中，，，和相交于点，是的中点． (1)用，表示； (2)若，，，求． 【考法预测1】如图，在四边形ABCD中，，AC与BD交于点E，F，G分别为AB，CD的中点. (1)用表示； (2)若，求. 【考法预测2】在中，，，，为边中点，为上一点，且. (1)若，求； (2)当时，求的值. 【考法预测3】如图，在中，，，，M是的中点，N是边上一点，且，与交于点P. (1)若，求x，y的值； (2)求的值； (3)求的余弦值. 考点07 向量在物理中的应用 典例1．若同一平面内的三个力作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态.已知，且与的夹角为，则力的大小为____________. 典例2．飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中顺风为加，逆风为减．已知某飞行器顺风飞行，在某时刻测得风速对应的向量与空速对应的向量如图所示（单位：km/h），则飞行器在该时刻的地速大小为（    ） A． B． C． D． 【考法预测1】平面内，一质点在力作用下处于平衡状态，若，，则在方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【考法预测2】如图所示，质点P从点A出发，沿AB，BC，CD运动至点D，已知，，则质点P位移的大小是（    ） A．9 B． C． D． 【考法预测3】（多选）一条东西方向的小河，河两岸平行，河宽，一艘小船在河南岸向河北岸航行．已知小船在静水中的速度大小为，河水的流速大小为，关于这艘船的渡河情况，下列说法正确的是（    ） A．当小船以北偏西方向航行时，小船实际航向垂直河岸 B．当小船垂直河岸航行时，小船实际速度的大小为 C．当小船航程最短时，小船到达河北岸的时间为 D．当小船渡河时间最短时，小船垂直河岸方向航行 考点08 数量积范围的综合 典例1．青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（     ） A． B． C． D． 典例2．已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为（     ） A． B． C． D． 方法技巧 数量积范围相关方法 （1）动点类综合题：设参数表示动点坐标或者基底系数，将数量积表达式转化为二次函数、三角函数，再求解值域； （2）利用向量三角不等式，快速限定模长范围，辅助求数量积最值； （3）结合垂直、夹角等题干限制条件，锁定参数取值区间后，再计算数量积的最大值与最小值。 【考法预测1】在中，，，为所在平面内的一个动点，若的最小值为，则（    ） A． B．2 C． D．4 【考法预测2】在中，已知，，.点在平面内运动，且满足.则的取值范围是__________. 【考法预测3】已知平面向量，，满足且，向量满足，则的最大值是______． 拔高・分层集训 基础演练 1．已知向量，．若，则（    ） A． B． C． D． 2．若，为单位向量，且在上的投影向量为，下列说法正确的是（     ） A．，的夹角为 B．，的夹角为 C． D． 3．设非零平面向量，，两两不垂直，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知向量，，满足，，则（   ） A． B． C． D． 5．若单位向量，，满足，则向量与夹角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 6．已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．已知圆O的半径为2，弦AB的长度为.若动点P在圆O上运动，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知向量，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________________． 10．作用于同一点的三个力平衡，已知与之间的夹角是，则力的大小为___________N． 11．如图，在四边形中，为等边三角形，且，，． (1)求； (2)若是中点，求． 12．已知向量，． (1)若，求实数的值； (2)设向量，点是直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标． 能力进阶 1．已知非零向量，，若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如图，设，是两条射线，，，分别为与，同向的单位向量，称和，一起构成了“-仿射坐标系”；在-仿射坐标系中，若，则称为的坐标，表示为；现有以下几个命题： ①在-仿射坐标系中，若，则； ②在-仿射坐标系中，与平行的充要条件是； ③在-仿射坐标系中，若，，且，则； 其中，真命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（新考法）（ 2026·山东烟台·模拟预测）在平行四边形中，点为的中点，点在上，且，与交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．在中，，．若，，且，交于点，则______． 5．已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值为_________. 6．已知，，，则的最小值为_______． 7．已知点，点，点，点满足，其中，由所有点组成的线段为，则的最大值为_________ 8．（新角度）如图，已知满足，，、、…是线段上的等分点，且满足. (1)当时，求的值； (2)当时，若为线段上的动点，求的最小值. 真题实战 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知向量满足，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 7．（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 8．（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 9．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 10．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则___________ 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $