第03讲 导数与函数的极值、最值（7题型）（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与函数的极值、最值核心考点，涵盖极值定义、导数关系、最值求法及7类典型题型，按命题透视、知识梳理、题型破译、真题溯源等环节构建“考点-方法-应用”系统框架，通过考点梳理、方法归纳、真题训练帮助学生突破极值判断、含参求解等难点。 讲义以数学思维培养为核心，题型拆解中总结“极值点判断三步骤”等方法技巧，分层练习设基础演练与能力进阶，结合课本典例与高考真题强化考向感知。通过引导学生用数学眼光分析函数图象与导数关系，提升解题效率，为教师提供精准复习路径，助力学生高效备战高考。

第03讲导数与函数的极值、最值 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 极值的定义 知识点2 极值与导数的关系 知识点3 函数的最值与导数 题型破译 (含超链接） 题型1由图象判断函数的极值 【方法技巧】由图象判断函数y＝f（x）的极值要抓住两点 题型2求函数的极值或极值点 题型3根据函数极值求参数值或范围 题型4根据函数极值点求参数值或范围 【方法技巧】根据函数极值点求参数值或范围 题型5利用导数求函数最值 【方法技巧】利用导数求函数最值 题型6由函数最值求参数值或范围 【方法技巧】根据函数极值求参数值或范围 题型7函数最值的实际应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 考情·分析解读 课标要求 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值，会求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值. 3.体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系. 考题统计 核心考点 考情预览 2022 2023 2024 2025 函数的极值 全国二卷T11 全国二卷T16全国一卷T10 全国二卷T13 全国二卷T16 函数的最值 全国甲卷T6 全国乙卷T11 全国二卷T19 全国一卷T6 考情解读 导数与函数的极值、最值多在解答题中考查，难度中等偏上。核心考查：极值（定义、求法）、闭区 间最值（含参求解）及已知极值最值求参数和不等式的证明问题。易错点：极值点判断错误（导函数变号），最值漏端点，含参分类讨论不全。 备考策略 1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值 3体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系 知识・归纳梳理 知识点1 极值的定义 极大值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，0.而且在点附近的左侧 0，右侧0.我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，0；而且在点附近的左侧0，右侧0，我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 求可导函数的极值的步骤 （1）确定函数的定义域，求导数； （2）求方程的根； （3）列表； （4）利用与随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 【自主检测】1.已知函数，则在区间上的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 因为，所以由得，即， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 即在区间上的极大值点为，故选B. 2.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（   ）    A．有2个极值点 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．有极小值，没有极大值 【答案】D 【解析】由图象得，当时，，当且仅当时取等号；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数有一个极小值，没有极大值，ABC错误，D正确.故选：D 知识点2 极值与导数的关系 是极值点，是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件 【自主检测】若函数的定义域为，则“是函数的驻点”是“是函数的极值点”的条件（   ） A．充分必要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要 【答案】D 【解析】驻点：函数在处可导，且的点. 极值点：函数在处的函数值比附近的函数值都大（极大值）或都小（极小值）的点. 充分性：如，，，是驻点但不是极值点（在上单调递增），故充分性不成立. 必要性：，是极小值点但函数在处不可导，不是驻点，故必要性不成立. 知识点3 函数的最值与导数 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 【自主检测】函数的极小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】，当或时，，当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为． 2.函数在上的最大值是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】， 时，，递增，时，，递减， 所以是的极大值也是最大值. 重难・核心突破 题型1由图象判断函数的极值 【例1】已知函数，其导数的图象如下图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．在处取得极小值 C．在处取得极大值 D．在上为增函数 【答案】D 【解析】由导函数的图象可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 在和处取得极小值，在处取得极大值， 故ABC错误，D正确，故选D. 【方法技巧】由图象判断函数y＝f（x）的极值要抓住两点 （1）由y＝f'（x）的图象与x轴的交点，可得函数y＝f（x）的可能极值点； （2）由导函数y＝f'（x）的图象可以看出y＝f'（x）的值的正负，从而可得函数y＝f（x）的单调性.两者结合可得极值点. 【变式1】已知函数的导函数的图像如图所示，则（    ）    A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值 C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值 【答案】A 【解析】  由导函数图像可知：导函数在上小于0，原函数在上单调递减， 在上大于等于0，于是原函数在上单调递增， 所以原函数在处取得极小值，无极大值，故选A. 【变式2】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）    A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（1） C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（－2） D．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（2） 【答案】D 【解析】由题图可知，当时，； 当时，；当时，；当时， 由此可以得到函数在处取得极大值，在处取得极小值．故选:D 题型2求函数的极值或极值点 【例2】（2026·广东江门·期中）函数的极小值点是（   ） A．0 B． C．-1 D． 【答案】C 【解析】函数的导数，令，解得， 当，，函数单调递减； 当，，函数单调递增. 故函数的极小值点为. 【变式1】函数的极小值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】可知， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在处取得极小值，所以极小值为. 【变式2】函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对求导：， 因为恒成立，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此是的极小值点， ，​ 即函数极小值为. 【变式3】（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值点为1 B．有极大值，且极大值点为1 C．有极小值，且极小值点为 D．有极大值，且极大值点为 【答案】A 【解析】由题意得，，当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以有极小值，且极小值点为1．故选：A． 题型3根据函数极值求参数值或范围 【例3】已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数，可得， 因为函数没有极值，可得， 即，可得，解得， 所以实数的取值范围为.故选：A. 13．（24-25高二下·河北承德·期中）已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 因为在上存在极值，所以在上有变号零点， 所以方程有两个不同的实数根， 故，解得或.故选：C. 14．（24-25高二下·湖北武汉·阶段检测）若函数（均为非零常数）既有极大值也有极小值，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，， 所以在内有两个不相等的实数根， 不妨设这两根分别为，则， 所以，，则，故选A． 15．（23-24高二下·山东淄博·阶段检测）若函数在内无极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数在内无极值， 所以在内无变号零点， 根据二次函数的对称性和单调性知，在区间单调递增， 所以或即可，解得或，故选：C. 题型4根据函数极值点求参数值或范围 19．（2026·福建漳州·二模）已知是函数的一个极值点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由题意得：， 又是的一个极值点，所以，所以， 所以，所以. 【方法技巧】已知函数极值点或极值求参数的2个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 【变式1】已知函数在处有极小值，则的值为（    ） A．1或3 B．2 C．3 D．1 【答案】D 【解析】因为，所以． 因为函数在处有极小值， 所以，解得或． 当时，， 当时，或，当时，， 所以在处取到极小值，符合题意； 当时，， 当时，或，当时，， 所以在处取到极大值，不符合题意． 综上，的值为1，故选D 【变式2】若函数在处取得极大值，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】将原函数求导得：， 因函数在处取得极大值，则，解得. 当时，. 令，得或；令，得. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 满足题意. 故选：A． 【变式3】已知函数在处取得极小值，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【解析】因为，所以. 由或. 当时，. 由或；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值， 故满足题意； 当时，. 由或；由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值， 故不满足题意. 综上，. 题型5利用导数求函数最值 【例5】（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数 的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】， 设，则， 故为上的增函数，而，， 故当时，即，当时，即， 故在上为减函数，在上为增函数，故，故选C. 【方法技巧】利用导数求函数最值 （1）求函数f（x）的导数f'（x）； （2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有可能极值点的函数值； （3）求f（x）在给定区间上的端点值； （4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值. 【变式1】函数的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．1 【答案】D 【详解】因为，由，得或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以在取到极小值，也是最小值，即. 【变式2】函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 得. 令，得或， 当或时，，在和上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以的极小值为， 又当时，且，当时，， 所以也是的最小值. 【变式3】函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则.故选：A. 题型6由函数最值求参数值或范围 【例6】若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，又， 令，，则的零点与的零点相同， 因为函数图象开口向下且，要使在区间上有最大值， 所以和，解得. 【方法技巧】根据函数极值求参数值或范围 已知函数的最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决. 【变式1】已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因为，函数在上存在最小值， 所以，得， 故a的可能取值为. 【变式2】若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，， 所以当或时，，所以在，上单调递增， 当时，，所以在上单调递减，所以当时取得极大值， 所以要使函数 在区间存在最大值， 则可得：，即， 解得：． 【变式3】已知函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，则， 由得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减，又， 则当在内存在最小值时，也即极小值即为最小值， 故需满足得，则实数的取值范围是. 题型7函数最值的实际应用 【例7】某工厂制作一个底面为正方形的无盖长方体储物箱，容积为48立方米，底面每平方米的造价为15元，侧面每平方米的造价为10元，当总造价最低时，底面正方形的边长为（   ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】D 【解析】设底面边长为米，高为米，则，总造价，，当时，， 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时总造价最低，即此时底面正方形的边长为4米． 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）某乡村振兴项目计划建造一个圆柱形粮食储存仓的钢筋骨架，用于存储当地特色农产品.现有总长度为240米的钢筋，需截成10段制作骨架.其中两段分别围成圆形作为上下底面的钢筋圈，剩余8段作为粮食储存仓的竖向支撑筋.此粮食储存仓体积最大时，底面半径的值为（   ）（单位：米） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆柱的底面半径为米， 则底面周长，两个底面的总周长为. 钢筋总长为，所以用于做母线的钢筋总长度为：, 母线共有段，所以圆柱的高为:, 圆柱的体积, 对进行求导：,令 得(舍),,当时，此时，圆柱体积最大. 【变式2】汽车在道路上每行驶100千米平均燃料消耗量（单位：升）称为百公里油耗，已知某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：.当该型号汽车以（    ）的速度匀速行驶时，百公里油耗最低. A．60千米/小时 B．80千米/小时 C．90千米/小时 D．100千米/小时 【答案】B 【详解】当速度为千米/小时时，汽车行驶100千米需小时，设百公里油耗为升， 依题意得， 则，令，得， 当时，，故在上单调递减； 当时，，故在上单调递增， 所以时，取得最小值. 【变式3】一块边长为的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器，则该容器的容积最大时正四棱锥的高为__________. 【答案】 【解析】由正方形的边长为，所以可得正四棱锥的斜高为， 设正四棱锥的底面边长为，高为， 所以，所以， 所以正四棱锥的体积， 令，求导得， 令，得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 所以，故该容器的容积最大时正四棱锥的高为. 拔高・分层集训 基础演练 1.已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且在定义域内处处可导，若为的导函数，则“在处取极值”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．不充分不必要条件 【答案】A 【解析】充分性：已知函数在定义域内处处可导，若在处取极值，所以，故充分性成立.必要性：若，无法推出在处取极值，例如：函数， 其导函数满足，但在上单调递增，处不存在极值，故必要性不成立. 因此“在处取极值”是“”的充分不必要条件. 2.函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则在内恒成立， 可知在上单调递减，且， 所以函数在上的值域为. 3.定义在上的函数的图象如图所示，则在上的极值点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由图知，的图象在区间上依次单调递减，单调递增，单调递减，单调递增，单调递减， 结合极值点的定义知，共有4个极值点. 4.已知函数在处取得极大值，则的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．-1或2 【答案】B 【解析】. 因为函数在处取得极大值，故， 解得或， 当时，， 且仅在处为零，导函数不变号，函数在上单调递减，不是极值点，舍去； 当时，， 当时，当时， 故函数在处取得极大值，符合题意. 5.若函数恰好有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，因为有两个极值点， 所以有两个不同的实数根， 于是有，得或. 6.已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数定义域为，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，即最小值， 又函数在内有最小值，则，解得， 所以实数的取值可以是.故选D 7．（多选）已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递减 B．当时，取得极大值 C．当时，取得极小值 D．是在上的最大值 【答案】ABC 【解析】对于A，由题图可知时，，单调递减，故A正确； 对于B，C，由题图易知在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值，故BC，正确； 对于D，在上的最大值应是与中的较大者，故D错误. 8．（多选）设函数，则（    ） A．当时，有两个零点 B．当时，是的极大值点 C．当时，点为曲线的对称中心 D．当时，在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】已知，所以, 当时，，方程有两个根，所以正确， 当时，的解集为，的解集为， 所以在上单调减，在上单调增，所以在处取极小值，所以错误, 当时，， 所以关于中心对称，所以正确， 当时，的解集为，而,所以在上单调递增，所以正确. 故选： 9．函数在上的最大值为___________． 【答案】0 【解析】因为，所以， 令，得或， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以是函数的极小值点，又因为， 则的最大值为． 10．已知函数有极小值，且极小值小于0，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解析】可知， 当时，可知，在上恒成立，函数在上单调递增，无极小值； 当时，令，解得， 所以时，，函数在上单调递减， 时，，函数在上单调递增， 在处取得极小值，极小值为， 可得，因为，所以，解得， 即实数的取值范围是. 11．将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，则该方盒容积的最大值为______. 【答案】 【解析】如下图所示： 由题意知，无盖方盒的底面为正方形，边长为，高为， 所以方盒的容积， 由，可得，即函数的定义域为， ，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 所以函数的最大值为，即该方盒容积的最大值为. 能力进阶 1．（山东青岛市2025-2026学年高二下学期6月部分学生调研检测（强基班调考）数学试题）已知函数在处有极大值，则的极小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【解析】，，解得：或； 当时，，， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减， 是的极小值点，不符合题意； 当时，，， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减， 是的极大值点，符合题意， 此时函数在时取极小值，极小值为， 综上所述：的极小值为. 2．（25-26高三下·重庆·期中）函数在处取得极小值，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】函数的导数为， 由题意得，解得， 当时，， 单调递减，单调递增， 所以是的极小值点，且，符合题意， 所以. 3．（25-26高三下·河南郑州·期中）已知函数在区间上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设且， 令且，则， 所以在上单调递减，时， 所以，而， 要使在上存在唯一的极值点，则，即. 4．（25-26高三下·河北石家庄·期中）若函数的最大值为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的定义域为， 易得在上单调递减，当时，，当时，， 所以存在，使得，即， 则当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 即， 易得函数在上单调递增，且0，所以， 所以，解得． 5．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数.若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则（    ） A． B．0 C．2 D．或2 【答案】D 【解析】函数，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以的极大值为，的极小值为，且，， 所以的最大值为2，的最小值为， 所以若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则或. 6．（多选）（2026·四川自贡·模拟预测）某工厂生产一种产品，其成本（万元）与产品x（百件）满足，收入，利润，则下列结论错误的是（    ） A．在处取得极大值 B．在上的最小值为10 C．当时，边际利润 D．存在使得 【答案】ABD 【解析】由题意可知利润函数， 对其求导，可得， 令，解得或. 故当时，，单调递增； 当或时，，单调递减， 所以在处取得极小值，故A错误； 所以在处取得极大值，故当时，边际利润，故C正确； 因为， ，， 所以在上的最大值为10，最小值为6，故B错误； 因为在上的最大值是在极大值点处取得，且， 且当时，，所以在时的最大值为10， 故不存在使得，故D错误. 7．（多选）（25-26高三下·辽宁辽阳·阶段检测）已知函数，，则（   ） A．曲线过定点 B．有2个极值点 C．在区间上单调递减 D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由，可知曲线过定点，故A正确； 对于B，C,由求导得，因, 由，可得或；由，可得, 故在和上单调递增；在上单调递减， 所以有2个极值点，故B正确，C错误； 对于D，因为在上单调递增，所以由，得，故D正确. 8．（2026·广西南宁·模拟预测）已知函数在区间上存在极值点，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】由求导得， 因函数在区间上存在极值点， 则需使方程在上存在变号零点； 若，则，则在上单调递减，不符合题意； 若，令，解得， 此时当时，单调递增； 当时，单调递减， 故是的极大值点，由题意知要使该极值点落在内，需满足， 故a的取值范围是. 9．（2026·浙江·二模）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】∵，∴. 令，解得或. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故是的极小值点，极小值为. 令，即，整理得， 因式分解得，解得或. ∵ 函数在开区间上存在最小值，且， 开区间端点处的函数值无法取到，且时； 所以的最小值仅在处可取到， ∴ 极小值点必须落在区间内，即，得； 综上，实数的取值范围是. 10．（2026·云南·三模）已知函数在处的切线的斜率为1. (1)求的值； (2)当时，求的极值. 【解】（1）由题可知， 因为在处切线的斜率为1， 所以， 解得 （2）由（1）得，因此， 所以， 令，则. 因为，所以，所以，而， 所以在区间上恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增. 又， 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以时，取得极小值为，在上无极大值. 综上所述，在上的极小值为1，无极大值. 11．（25-26高二下·山西·阶段检测）已知函数（），当时，有极大值4． (1)求实数，的值； (2)求函数在区间上的最值． 【解】（1），， 当时，有极大值4，， ，， 令，可得或， 当时，，则单调递减区间为， 当或时，，则单调递增区间为，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在取得极大值，满足题意，故． （2）由（1）可得，， 令，可得或， 当时，，则单调递减区间为， 当或时，，则单调递增区间为，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值， 且，，，， 综上可知，在上的最小值为0，最大值为4． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2022·全国甲卷T6）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B. 2．（2022·全国乙卷T11）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为，故选D 3.（多选）（2024新课标全国Ⅰ卷T10）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解析】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 4．（多选）(2023·新高考全国Ⅱ卷T11)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　) A．bc>0 B．ab>0 C．b2＋8ac>0 D．ac<0 【答案】BCD 【解析】函数f(x)＝aln x＋＋的定义域为(0，＋∞)， 则f′(x)＝－－＝， 因为函数f(x)既有极大值也有极小值， 则函数f′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0， 因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不相等的正实数根x1，x2， 于是 即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0， 显然a2bc<0，即bc<0，故A错误，B，C，D正确． 5.（2025·新课标Ⅱ卷T13）若是函数的极值点，则 【答案】 【解析】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 6.（2025·新课标1卷T19节选）设函数，则在的最大值 【答案】 【解析】， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 7.（2024新高考Ⅱ卷T16节选）已知函数．若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围 ． 【答案】 【解】解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 8．（2024·新课标Ⅱ卷T16）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知函数，试确定p，q的值，使得当时，有最小值4． 【解】根据题意，函数f（x）＝x2+px+q，其二次项系数为1； 若当x＝1时，f（x）有最小值4，则f（x）＝（x﹣1）2+4＝x2﹣2x+5， 又由f（x）＝x2+px+q，则p＝﹣2，q＝5． 2．求下列函数的极值： （1） （2） （3）； （4） 【解】（1）的定义域为R，. 令，解得：，列表得： x - 0 + ↘ ↗ 所以函数的极小值为，无极大值. （2）的定义域为R，. 令，解得：，列表得： x -3 3 + 0 - 0 + ↗ 54 ↘ -54 ↗ 所以函数的极小值为，极大值为.. （3）的定义域为R，. 令，解得：，列表得： x -2 2 - 0 + 0 - ↘ -10 ↗ 22 ↘ 所以函数的极小值为，极大值为.. （4）的定义域为R，. 令，解得：，列表得： x -1 1 - 0 + 0 - ↘ -2 ↗ 2 ↘ 所以函数的极小值为，极大值为. 3．导函数的图象如图所示，在标记的点中，在哪一点处 （1）导函数有极大值？ （2）导函数有极小值？ （3）函数有极大值？ （4）函数有极小值？ 【解】（1）由图知，极大值点左右两侧的单调性是先增后减的点，即为极大值点； （2）由图知，极小值点左右两侧的单调性是先减后增的点，即，为极小值点； （3）由图知，，，函数单增；，，函数单减；，，函数单增； 则函数在处取极大值； （4）由（3）知，函数在处取极小值； 4．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处有极大值，求的值. 【解】（1）由题意，函数定义域为, 当时，函数，则导函数为， 故函数在点处的斜率， 则由直线的点斜式得， 即. （2）函数的导函数为， 因为函数在处有极大值， 所以，即，解得或. 当时，则， 令，则或，即函数在单调递增； 令，则，即函数在单调递减； 所以函数在处取极小值，不成立. 当时，则， 令，则或，即函数在单调递增； 令，则，即函数在单调递减； 所以函数在处取极大值. 综上所述，. 5．已知函数的导函数的图象如图所示，在标记的点中： (1)在哪一点处导函数取到极大值？ (2)在哪一点处导函数取到极小值？ (3)在哪一点处函数取到极大值？ (4)在哪一点处函数取到极小值？ 【解】（1）由导函数的图象知，函数在的左侧增右侧减， 所以导函数在处取极大值； （2）由导函数的图象知，函数在和的左侧减右侧增， 所以导函数在和处取极小值； （3）由导函数的图象知，导函数在处， 左侧，右侧， 所以函数在处取到极大值； （4）由导函数的图象知，导函数在处， 左侧，右侧， 所以函数在处取到极小值； 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲导数与函数的极值、最值 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 极值的定义 知识点2 极值与导数的关系 知识点3 函数的最值与导数 题型破译 (含超链接） 题型1由图象判断函数的极值 【方法技巧】由图象判断函数y＝f（x）的极值要抓住两点 题型2求函数的极值或极值点 题型3根据函数极值求参数值或范围 题型4根据函数极值点求参数值或范围 【方法技巧】根据函数极值点求参数值或范围 题型5利用导数求函数最值 【方法技巧】利用导数求函数最值 题型6由函数最值求参数值或范围 【方法技巧】根据函数极值求参数值或范围 题型7函数最值的实际应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 考情·分析解读 课标要求 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值，会求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值. 3.体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系. 考题统计 核心考点 考情预览 2022 2023 2024 2025 函数的极值 全国二卷T11 全国二卷T16全国一卷T10 全国二卷T13 全国二卷T16 函数的最值 全国甲卷T6 全国乙卷T11 全国二卷T19 全国一卷T6 考情解读 导数与函数的极值、最值多在解答题中考查，难度中等偏上。核心考查：极值（定义、求法）、闭区 间最值（含参求解）及已知极值最值求参数和不等式的证明问题。易错点：极值点判断错误（导函数变号），最值漏端点，含参分类讨论不全。 备考策略 1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值 3体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系 知识・归纳梳理 知识点1 极值的定义 极大值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，0.而且在点附近的左侧 0，右侧0.我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，0；而且在点附近的左侧0，右侧0，我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 求可导函数的极值的步骤 （1）确定函数的定义域，求导数； （2）求方程的根； （3）列表； （4）利用与随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 【自主检测】1.已知函数，则在区间上的极大值点为（   ） A． B． C． D． 2.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（   ）    A．有2个极值点 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．有极小值，没有极大值 知识点2 极值与导数的关系 是极值点，是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件 【自主检测】若函数的定义域为，则“是函数的驻点”是“是函数的极值点”的条件（   ） A．充分必要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要 知识点3 函数的最值与导数 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 【自主检测】函数的极小值为（   ） A． B． C．1 D．2 2.函数在上的最大值是（ ） A．0 B． C． D． 重难・核心突破 题型1由图象判断函数的极值 【例1】已知函数，其导数的图象如下图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．在处取得极小值 C．在处取得极大值 D．在上为增函数 【方法技巧】由图象判断函数y＝f（x）的极值要抓住两点 （1）由y＝f'（x）的图象与x轴的交点，可得函数y＝f（x）的可能极值点； （2）由导函数y＝f'（x）的图象可以看出y＝f'（x）的值的正负，从而可得函数y＝f（x）的单调性.两者结合可得极值点. 【变式1】已知函数的导函数的图像如图所示，则（    ）    A．有极小值，但无极大值 B．既有极小值，也有极大值 C．有极大值，但无极小值 D．既无极小值，也无极大值 【变式2】设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）    A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（1） C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（－2） D．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（2） 题型2求函数的极值或极值点 【例2】（2026·广东江门·期中）函数的极小值点是（   ） A．0 B． C．-1 D． 【变式1】函数的极小值为（     ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值点为1 B．有极大值，且极大值点为1 C．有极小值，且极小值点为 D．有极大值，且极大值点为 题型3根据函数极值求参数值或范围 【例3】已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·河北承德·期中）已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·湖北武汉·阶段检测）若函数（均为非零常数）既有极大值也有极小值，则 （    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·山东淄博·阶段检测）若函数在内无极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4根据函数极值点求参数值或范围 19．（2026·福建漳州·二模）已知是函数的一个极值点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【方法技巧】已知函数极值点或极值求参数的2个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 【变式1】已知函数在处有极小值，则的值为（    ） A．1或3 B．2 C．3 D．1 【变式2】若函数在处取得极大值，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3】已知函数在处取得极小值，则（   ） A． B．1 C． D．3 题型5利用导数求函数最值 【例5】（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数 的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【方法技巧】利用导数求函数最值 （1）求函数f（x）的导数f'（x）； （2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有可能极值点的函数值； （3）求f（x）在给定区间上的端点值； （4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值. 【变式1】函数的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．1 【变式2】函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型6由函数最值求参数值或范围 【例6】若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧】根据函数极值求参数值或范围 已知函数的最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决. 【变式1】已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型7函数最值的实际应用 【例7】某工厂制作一个底面为正方形的无盖长方体储物箱，容积为48立方米，底面每平方米的造价为15元，侧面每平方米的造价为10元，当总造价最低时，底面正方形的边长为（   ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·三模）某乡村振兴项目计划建造一个圆柱形粮食储存仓的钢筋骨架，用于存储当地特色农产品.现有总长度为240米的钢筋，需截成10段制作骨架.其中两段分别围成圆形作为上下底面的钢筋圈，剩余8段作为粮食储存仓的竖向支撑筋.此粮食储存仓体积最大时，底面半径的值为（   ）（单位：米） A． B． C． D． 【变式2】汽车在道路上每行驶100千米平均燃料消耗量（单位：升）称为百公里油耗，已知某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：.当该型号汽车以（    ）的速度匀速行驶时，百公里油耗最低. A．60千米/小时 B．80千米/小时 C．90千米/小时 D．100千米/小时 【变式3】一块边长为的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器，则该容器的容积最大时正四棱锥的高为__________. 拔高・分层集训 基础演练 1.已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且在定义域内处处可导，若为的导函数，则“在处取极值”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．不充分不必要条件 2.函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 3.定义在上的函数的图象如图所示，则在上的极值点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.已知函数在处取得极大值，则的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．-1或2 5.若函数恰好有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递减 B．当时，取得极大值 C．当时，取得极小值 D．是在上的最大值 8．（多选）设函数，则（    ） A．当时，有两个零点 B．当时，是的极大值点 C．当时，点为曲线的对称中心 D．当时，在区间上单调递增 9．函数在上的最大值为___________． 10．已知函数有极小值，且极小值小于0，则实数的取值范围为_________． 11．将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，则该方盒容积的最大值为______. 能力进阶 1．（山东青岛市2025-2026学年高二下学期6月部分学生调研检测（强基班调考）数学试题）已知函数在处有极大值，则的极小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 2．（25-26高三下·重庆·期中）函数在处取得极小值，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 3．（25-26高三下·河南郑州·期中）已知函数在区间上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·河北石家庄·期中）若函数的最大值为，则（     ） A． B． C． D． 5．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数.若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则（    ） A． B．0 C．2 D．或2 6．（多选）（2026·四川自贡·模拟预测）某工厂生产一种产品，其成本（万元）与产品x（百件）满足，收入，利润，则下列结论错误的是（    ） A．在处取得极大值 B．在上的最小值为10 C．当时，边际利润 D．存在使得 7．（多选）（25-26高三下·辽宁辽阳·阶段检测）已知函数，，则（   ） A．曲线过定点 B．有2个极值点 C．在区间上单调递减 D． 8．（2026·广西南宁·模拟预测）已知函数在区间上存在极值点，则的取值范围是____________． 9．（2026·浙江·二模）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 10．（2026·云南·三模）已知函数在处的切线的斜率为1. (1)求的值； (2)当时，求的极值. 11．（25-26高二下·山西·阶段检测）已知函数（），当时，有极大值4． (1)求实数，的值； (2)求函数在区间上的最值． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2022·全国甲卷T6）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2022·全国乙卷T11）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 3.（多选）（2024新课标全国Ⅰ卷T10）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 4．（多选）(2023·新高考全国Ⅱ卷T11)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　) A．bc>0 B．ab>0 C．b2＋8ac>0 D．ac<0 5.（2025·新课标Ⅱ卷T13）若是函数的极值点，则 6.（2025·新课标1卷T19节选）设函数，则在的最大值 7.（2024新高考Ⅱ卷T16节选）已知函数．若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围 ． 8．（2024·新课标Ⅱ卷T16）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知函数，试确定p，q的值，使得当时，有最小值4． 2．求下列函数的极值： （1） （2） （3）； （4） 3．导函数的图象如图所示，在标记的点中，在哪一点处 （1）导函数有极大值？ （2）导函数有极小值？ （3）函数有极大值？ （4）函数有极小值？ 4．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在处有极大值，求的值. 5．已知函数的导函数的图象如图所示，在标记的点中： (1)在哪一点处导函数取到极大值？ (2)在哪一点处导函数取到极小值？ (3)在哪一点处函数取到极大值？ (4)在哪一点处函数取到极小值？ 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $