奥数培优讲义 第10讲 图形的分割与拼接（讲义）2025-2026学年五年级下册数学人教版

【人教版】小学五年级下册奥数培优讲义★★★★★ 第10讲 图形的分割与拼接 单元定位 平面几何拓展专题，承接多边形面积与等积变换，为立体几何打下图形想象基础 前置知识 长方形、正方形、三角形面积公式；同底等高三角形面积相等；轴对称与中心对称 难度梯度 校内基础巩固 → 奥数能力提升 → 竞赛拔高 配套资源 思维导图、核心速记清单、高频易错警示、随堂小练、分层习题、完整分步解析、一题多解、生活情境趣味压轴题 【前言】 图形的分割与拼接属于几何变换专题，重点锻炼几何直观与空间想象能力，是小升初几何常考题型。校内仅学习基础图形面积计算，本讲在面积基础上，学习图形的分割、拆分、重组拼接，核心思想：分割拼接前后总面积保持不变。本讲落实新课标"几何直观、推理意识"核心素养。 学习内容：等分面积分割、全等图形分割、中心对称分割、分割后再拼接四大模型；掌握"面积先算 → 分析形状 → 动手试画 → 验证结果"标准化解题流程，为后续割补法求面积、立体图形学习做好铺垫。 【三维教学目标】 一、知识与技能 1. 理解图形分割拼接核心规律：分割、拼接前后，总面积恒定不变； 2. 掌握三角形面积等分方法，利用同底等高三角形面积相等进行图形分割； 3. 会处理方格图形，实现全等分割（大小、形状完全一样），掌握中心对称分割技巧； 4. 能够完成"先分割成若干块，再重新拼接成新图形"的综合题型； 5. 可以识别多种分割方案，做到一题多解。 二、过程与方法 建立"计算总面积 → 求出每一小块面积 → 分析图形形状特点 → 画图分割/拼接 → 验算核对面积"五步解题模板；训练画图、空间想象能力，学会利用中心对称快速找分割线。 三、情感态度与价值观 感受图形变换的奇妙，破除几何想象畏难心理；养成画图分析、结果验算的习惯；体会图形重组之美，提升几何直观素养。 【教学重难点】 重点（校内拓展必考） ① 分割拼接前后总面积不变；② 三角形面积等分，同底等高三角形面积相等；③ 方格图形全等分割；中心对称分割方法。 难点（奥数 / 小升初拔高） ① 不规则图形分割后重新拼接为全新图形；② 实际应用题中尺寸不匹配时剪两块重组；③ 多解题型，寻找全部合理分割方案。 【高频易错警示】 ⚠ 易错1： 分割拼接之后忘记验算总面积，分割后面积之和与原图面积不相等。 ⚠ 易错2： 全等分割只看面积相等，忽略形状也要完全相同。 ⚠ 易错3： 方格分割题目，破坏小方格，把格子切开（题目要求小方格必须保持完整）。 ⚠ 易错4： 三角形等分，错误认为"边平分就一定面积平分"，忽略高的条件。 ⚠ 易错5： 拼接题忽略边长匹配，拼接后边长对不上。 一、核心知识点梳理 （一）分割拼接核心公理 ✨ 图形经过分割、拼接，总面积保持不变！把一个图形切成若干小块，再重新拼合，所有小块面积之和 = 原图形面积 = 拼接之后新图形面积。 （二）三角形面积等分原理 1. 同底等高的三角形，面积相等。 2. 中线等分：三角形一条边上的中点连接对顶点（中线），把三角形分成面积相等的 2 份。 3. n 等分法：将三角形一条底边平均分成 n 份，各分点连接对面顶点，把三角形分为 n 个面积相等三角形。 4. 重心等分：三角形三条中线的交点（重心）与三个顶点连线，把三角形分成 3 个面积相等三角形。 （三）方格全等分割：中心对称法 方格整体图形，若要分割成大小、形状完全相同的 2 块： ① 两块格子数量必须完全相等； ② 分割线一定穿过图形中心点； ③ 分割出两部分呈中心对称，绕中心点旋转 180° 两部分完全重合。 注意：题目如果写明"保持每个小方格完整"，分割线不可以切破小方格。 （四）通用标准化解题五步模板 第一步 算面积：算出原图总面积； 第二步 求单块：计算分割后每一小块图形的面积； 第三步 看特征：观察原图形状、方格、中心点、对称特点； 第四步 做分割/拼接：画图尝试分割，规划拼接边长； 第五步 验算：核对每块面积，拼接后核对总面积与边长。 二、经典例题精讲（ 6 道，配套随堂小练） 例1 三角形面积三等分　★基础 【题目】 请将一个任意三角形分成面积相等的 3 个三角形，至少写出两种不同的分割方法。 【解析】 利用同底等高三角形面积相等的原理，有以下方法： 方法一（底边三等分法）：将三角形任意一条底边 BC 三等分，得到分点 D、E（即 BD = DE = EC）。将 D、E 分别与对顶点 A 连接，得到 3 个小三角形 △ABD、△ADE、△AEC。它们的底边 BD = DE = EC，高相同（都是 A 到 BC 的垂线），因此面积相等。 方法二（重心等分法）：找到三角形三条中线的交点 G（重心），将 G 分别与三个顶点 A、B、C 连接，得到 3 个三角形 △ABG、△BCG、△CAG。重心到三边的距离成比例，三个三角形面积相等。 拓展：同一个图形分割方案往往不止 1 种，做题可以写出多种合理方案。 例2 4×5 方格等分 4 块　★基础 【题目】 一个由 20 个完全相同的小正方形组成的 4×5 方格长方形，请将其分成 4 个大小相等、形状完全相同的图形。 【解析】 ① 总面积：4×5 = 20 格； ② 每块面积：20 ÷ 4 = 5 格（每块由 5 个小正方形组成，即五连格）； ③ 5 格基础形态有多种：一字长条（1×5）、L 型、P 型、T 型等； ④ 方案一：分成 4 个 1×5 的长条形（最简单）；方案二：分成 4 个 L 型五连格。方案不唯一。 方案一示意图（四条 1×5 长条）： A A A A A B B B B B C C C C C D D D D D 例3 6×4 方格全等二分（中心对称）　★提升 【题目】 6×4 方格纸，保持每个小方格完整，分割成大小、形状完全相同的两部分。 【解析】 ① 总格数：6×4 = 24 格，每块：24 ÷ 2 = 12 格。 ② 分割要求：格子不能切破；两块大小形状完全一样。 ③ 技巧：分割线必须穿过整个方格的中心点（第 3.5 列与第 2.5 行的交点）；两部分中心对称，旋转 180° 可完全重合。 ④ 方案一：直线竖切（左 3 列、右 3 列各 12 格）；方案二：阶梯形切割，两块 L 形互补。 方案二示意图（阶梯形 L 形互补分割）： A A B B B B A A B B B B A A A A B B A A A A B B A 块（12 格）与 B 块（12 格）中心对称，旋转 180° 可重合 例4 L 形分割拼长方形　★★拔高 【题目】 一个由小方格组成的 L 形图形（共 12 格，如下图），请将其分成两块，拼成一个长方形。求长方形的长和宽，并画出分割方案。 L 形图形（4×4 去掉左下角 2×2）： ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 【解析】 ① 数方格：L 形共 12 格； ② 长方形面积 = 12，可能为 1×12、2×6、3×4；最合理的是 2×6 或 3×4； ③ 分割方案：沿第 2 列与第 3 列之间竖切，将图形分为左块（2×2 = 4 格）和右块（2×4 = 8 格）。 ④ 拼接：将左块（2×2）移至右块（2×4）下方，拼成 2×6 长方形。 分割与拼接示意： A A B B A A B B B B B B ↓ 将 A 块移到 B 块下方 B B B B B B B B A A A A 拼成 2×6 长方形，面积 = 12 ✓ 【关键点】分割既要满足面积匹配，也要满足拼接后边长互相匹配。 例5 花坛改造实践题　★★拔高 【题目】 社区有一块长 5 米、宽 3.2 米的长方形花坛，计划改造成边长 4 米的正方形花坛。请将原花坛分成面积相等的两块，重新拼合成正方形花坛。 【解析】 第一步 验算面积：原花坛 5 × 3.2 = 16 平方米；正方形 4 × 4 = 16 平方米。✅ 面积相等，具备拼接可能性。 第二步 尺寸分析：长需从 5 米缩至 4 米（减 1 米），宽需从 3.2 米增至 4 米（增 0.8 米）。 第三步 阶梯分割：将长 5 米分为 4 米 + 1 米段，宽 3.2 米分为 2.4 米 + 0.8 米段。沿阶梯状切割线将花坛切成两块阶梯形，两块互相咬合。 第四步 拼接：将其中一块平移，两块阶梯互补咬合，拼成 4 × 4 正方形。 【要点】此类题型多用"阶梯锯齿分割"，分割两块锯齿互补，交错拼接。 例6 正方形分拼三形　★★★竞赛 【题目】 将一个正方形沿两条对角线分成 4 个完全相同的等腰直角三角形，用这 4 个三角形分别拼出：（1）一个大正方形；（2）一个长方形；（3）一个梯形。 【解析】 设正方形边长为 2a，沿对角线分成 4 个等腰直角三角形，每个三角形直角边为 a，面积 = a² /2，4 块总面积 = 2a²。 （1）拼大正方形：将 4 个三角形的直角顶点放在中心，4 条斜边朝外围成正方形四条边。新正方形边长 = a√2，面积 = 2a²。✓ （2）拼长方形：每两个三角形斜边相拼组成一个边长为 a 的小正方形，两个小正方形并排拼成 2a × a 的长方形。✓ （3）拼梯形：三个三角形底边朝下排成一排（作为下底），第四个倒置拼在上方中间位置（作为上底），形成等腰梯形。✓ 【补充】同一组图形可以拼出多种不同形状，体现几何变换的多样性。 三、随堂小练（ 3 道） 随堂小练 1：把一个任意三角形分成面积相等的 2 个三角形，请画出 1 种分割方法。 随堂小练 2：由 24 个小正方形组成的图形分成 4 块全等图形，每块含几个小正方形？ 随堂小练 3：4×2 方格纸，保持方格完整，分割成全等两块，请思考至少 1 种分割思路。 四、易错题精析（ 3 道典型错例） 易错题 1：只看面积相等，忽略形状全等 题目：6×4 方格，分割两块全等图形。 ❌ 错误：分割成一块 10 格、一块 14 格；或者 12 格但两块形状不一样，仅仅面积相等。 ✅ 正确：必须同时满足：格子数量相等 + 形状旋转翻转后完全一样。 ✅避坑：全等分割 = 面积相等 + 形状完全相同。 易错题 2：方格题切破小方格 题目：保持小方格完整，分割图形。 ❌ 错误：分割线从小方格中间切开。 ✅ 正确：分割线必须沿着方格边线切割。 易错题 3：拼接题不验算总面积 ❌ 做完分割拼接，不去核对原图面积和新图形面积。 ✅ 避坑：拿到拼接题第一步先算总面积，快速判断题目是否有可行性。 五、趣味综合压轴题（ 2 道新课标情境） 趣味 1　巧分方格拼新图 【题目】 一张 4×4 方格纸（共 16 格），保持小方格完整，分成形状相同、面积相等的 4 块，再用这 4 块拼成一个长方形。请画出分割和拼接方案。 【解析】 ① 总格数：16 格；每块：16 ÷ 4 = 4 格（四连格）。 ② 方案：将 4×4 方格分成 4 个 L 型四连格（田字型分割）。 ③ 拼接：将 4 个 L 型四连格重新排列，可以拼成 2×8 长方形。 ④ 面积验算：4×4 = 16 = 2×8 ✓ 趣味 2　创意剪纸拼图 【题目】 将一个正方形沿两条对角线剪成 4 个完全相同的等腰直角三角形，用这 4 个三角形分别拼出：（1）一个大正方形；（2）一个长方形；（3）一个梯形。 【解析】 设原正方形边长为 2a，每个三角形直角边为 a，面积 = a²/2，总面积 = 2a²。 （1）大正方形：4 个三角形直角顶点放中心，4 条斜边朝外围成正方形，边长 a√2，面积 2a²。✓ （2）长方形：两个三角形斜边相拼成边长 a 的小正方形，两个小正方形并排拼成 2a×a 长方形。✓ （3）梯形：三个三角形底边朝下排列为下底，第四个倒置拼在上方中间为上底，形成等腰梯形。✓ 【体会】同一组图形可拼出多种不同形状，展现几何变换之美。 六、一题多解探究 【题目】任意三角形，分割成 3 块面积相等的三角形。 方法一：底边三等分，分点连顶点（最简单，适合书写） 方法二：找重心（三条中线交点），重心与三个顶点连线 小结：几何分割题目大多答案不唯一，写出合理方案即可。 七、分层习题 基础必做习题（3 道） 1. 将任意三角形分成面积相等的 4 个三角形，至少写出两种方法。 2. 把任意三角形分成面积相等的 6 个三角形，画出一种方法。 3. 一个由小方格组成的缺角图形（共 16 格），分成两块拼成 4×4 正方形。 拓展拔高习题（3 道） 1. 5×4 方格纸，保持方格完整，用至少 3 种不同方法分成全等两块。 2. 由 16 个小正方形组成的 4×4 方格，能否分成 3 块大小形状完全相同的图形？说明理由。 3. 一个由 18 个小正方形组成的 6×3 方格长方形，分成 3 块全等图形，每块含几个小正方形？画出一种方案。 八、全解详析 随堂小练参考答案 小练 1：作三角形任意一条边上的中线（顶点连接底边中点），分割得到 2 块面积相等三角形。 小练 2：总面积 24 格，24 ÷ 4 = 6，每块包含 6 个小方格。 小练 3：4×2 长方形，沿中线竖切（左右各 2×2），或阶梯式中心对称分割，方案不唯一。 基础必做习题完整解析 基础 1： 方法一：底边四等分法——将底边四等分，3 个分点分别连接对顶点，得到 4 个等底等高三角形，面积相等。 方法二：两次中线法——先作一条中线将三角形二等分，再分别对两个小三角形作中线二等分，得到 4 个等面积三角形。 基础 2： 将三角形底边六等分，5 个分点分别连接对顶点，得到 6 个等底等高三角形，面积全部相等。 基础 3： 数方格：缺角图形共 16 格；目标 4×4 = 16 格，面积匹配。沿适当路径分割两块，一块平移后拼合成边长 4 正方形。方案不唯一。 拓展拔高习题完整解析 拓展 1： 5×4 = 20 格，每块 10 格。分割线穿过中心点（第 2.5 列与第 3 行交点），寻找至少 3 种中心对称分割：①直线竖切；②直线横切；③阶梯形切割。必须沿格子边线，不切割方格。 拓展 2： 总格数 16，16 ÷ 3 = 5……1，不能整除。本题无解。 【提示】分割成全等几块，总格子数必须能够被块数整除，这是前提条件。 拓展 3： 6×3 = 18 格，18 ÷ 3 = 6 格/块。方案：分成 3 个 2×3 长条形，或 3 个 L 型六连格。方案不唯一。 九、本讲全套总结 （一）思维导图：图形的分割与拼接 一、核心公理 分割拼接，总面积恒定不变 三角形等分：同底等高，面积相等 二、两大分割模型 面积等分分割（只要求面积相等） 全等分割：面积 + 形状完全相同 方格全等：中心对称，分割线过中心点，方格不能切破 三、两类题型 只分割：分成若干小块 分割 + 拼接：切块，平移重组新图形 四、标准化五步解题模板 1. 计算原图总面积 2. 计算每一小块面积 3. 观察图形对称特点 4. 画图分割规划拼接 5. 验算面积与边长 五、高频避坑要点 1. 全等分割不能只看面积，形状也要一致 2. 方格题禁止切割小方格 3. 拼接前先核对总面积是否匹配 4. 三角形等分注意高相等条件 （二）核心速查表 题型 核心操作 三角形等分面积 作中线；底边 n 等分连顶点；重心连线，同底等高 方格全等分割 总格子 ÷ 块数，中心对称，分割线过中心点 分割后拼接新图形 先算总面积，求新图形边长，再规划切割 实际应用锯齿拼合 阶梯锯齿分割，两块互补咬合平移拼接 （三）记忆口诀 图形分割总面积不变，同底等高面积见； 全等分割形要一样，方格完整边线画； 拼接先把面积算，中心对称多方案； 割完拼接细验算，边长匹配才算完。 老师寄语 本讲属于平面几何动手思维专题，重点锻炼几何直观想象，很多题目答案不唯一。做题优先使用五步模板，先算面积，再动手画图。方格全等分割优先利用中心对称技巧。本讲为割补法求面积专题做铺垫，下一讲学习多边形面积综合。 ————————————————————————————————— 恭喜完成本讲学习！👍 学科网（北京）股份有限公司 $