奥数培优专题-长方体和正方体（讲义）- 2025-2026学年五年级下册数学人教版

本讲义聚焦长方体和正方体核心知识点，系统梳理形体特征、棱长总和、表面积、体积容积计算、单位换算及不规则物体体积测量，从形体特征出发推导公式，结合实际场景应用，构建从基础概念到综合运用的学习支架。 资料以知识体系表格化梳理、解题方法图表记忆为特色，分层进阶练习覆盖基础到奥数。通过空间几何思维培养数学眼光，转化思维提升数学思维，如排水法测体积实例，课中辅助教师系统教学，课后帮助学生查漏补缺。

长方体和正方体 📋 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 2 三、奥数思维提升 3 📊 典型例题解构与解题策略精讲 3 📌 考点一：长方体与正方体棱长总和计算 3 📌 考点二：长方体与正方体表面积计算（含无盖 / 无底场景） 5 📌 考点三：长方体与正方体体积、容积计算 6 📌 考点四：体积与容积单位换算 8 📌 考点五：不规则物体体积测量 9 ⚠️ 易错避坑指南 11 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 13 一、基础夯实篇 (8 题) 13 二、能力进阶篇 (7 题) 14 三、思维跃迁篇 (5 题) 15 🔍 精准解析 — 思路拆解・知识点睛 17 一、基础夯实篇・解题范式与验证逻辑 17 二、能力进阶篇・解题范式与验证逻辑 19 三、思维跃迁篇・解题范式与验证逻辑 22 📋 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题围绕小学空间几何核心展开，核心是「空间几何思维 + 五大解题方法落地」，依托长方体与正方体的形体特征、四大核心公式、单位换算逻辑、实际场景建模五大模块，完整梳理本册考点内容。 知识模块 核心内容 适用场景 关键注意事项 长方体与正方体形体特征 长方体：6 个面（相对面完全相同）、12 条棱（相对 4 条棱长度相等）、8 个顶点；正方体：6 个面完全相同、12 条棱长度全相等、8 个顶点；正方体是特殊的长方体 形体特征判断、棱长分类、面的数量确认 正方体所有棱长度相等，所有面都是正方形；长方体相对的面、相对的棱才相等 棱长总和计算公式 长方体棱长总和 =（长 + 宽 + 高）×4；正方体棱长总和 = 棱长 ×12 已知棱长求总和、已知总和求棱长、框架制作类题目 长方体的 12 条棱分为长、宽、高 3 组，每组 4 条，计算时必须先算一组的和再乘 4 表面积计算公式 长方体表面积 =（长 × 宽 + 长 × 高 + 宽 × 高）×2；正方体表面积 = 棱长 × 棱长 ×6；无盖 / 无底场景：去掉对应面的面积 表面积计算、包装材料、粉刷墙面、无盖容器制作 表面积计算的是 6 个面的总面积，无盖 / 无底 / 贴商标等场景，要先确认需要计算的面的数量，不能直接套完整公式 体积与容积计算公式 长方体体积 = 长 × 宽 × 高；正方体体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长；统一公式：体积 = 底面积 × 高；容积计算方法与体积一致，需从容器内部测量长宽高 体积计算、容积测量、容器装物、土方计算 体积是物体所占空间的大小，容积是容器所能容纳物体的体积，计算容积时要考虑容器壁的厚度，无特殊说明时忽略厚度 体积与容积单位换算 体积单位：立方米、立方分米、立方厘米，相邻单位进率 1000；容积单位：升、毫升，1 升 = 1 立方分米，1 毫升 = 1 立方厘米，1 升 = 1000 毫升 单位换算、不同单位的计算、结果单位统一 高级单位转低级单位乘进率，低级单位转高级单位除以进率；体积与容积单位换算时，要先对应相等的单位再转换 不规则物体体积测量 排水法：不规则物体体积 = 容器底面积 × 水面上升的高度；溢水法：物体体积 = 溢出的水的体积 不规则物体（石头、土豆、铁块等）的体积测量 物体必须完全浸没在水中，且水没有溢出；计算时要统一单位，底面积和高度的单位要对应 二、解题方法图表记忆法 方法类型 核心思路 关键步骤 记忆技巧 形体特征记忆法 分组记忆面、棱、顶点的特征，区分长方体与正方体的异同 ①按面、棱、顶点 3 类拆分特征； ②对比长方体与正方体的相同点和不同点；③结合实物模型强化记忆 长方正方 6 个面，8 个顶点 12 条棱；长方相对面棱等，正方全相等 公式推导记忆法 从形体特征出发，推导公式的底层逻辑，避免死记硬背 ①棱长总和：长方体 3 组棱，每组 4 条，所以（长 + 宽 + 高）×4； ②表面积：6 个面，相对面面积相等，所以 3 组对面面积和乘 2；③体积：每行摆的个数 × 行数 × 层数，对应长 × 宽 × 高 棱长总和看组数，表面积看面数，体积看长宽高的乘积 单位换算逻辑法 明确进率本质，按「高级转低级乘进率，低级转高级除以进率」统一逻辑 ①先确认相邻单位的进率； ②判断转换方向；③计算结果，核对单位 长度进率 10，面积进率 100，体积进率 1000；大化小乘，小化大除 实际场景建模法 把生活场景转化为几何模型，先确定计算的核心量，再对应公式 ①提取场景中的几何形体（长方体 / 正方体）； ②确认需要计算的量（棱长 / 表面积 / 体积）；③排除干扰条件，对应公式计算 先找形体，再定目标，排除干扰，套对公式 不规则物体转化法 把不规则物体的体积转化为规则的水的体积，用排水法计算 ①测量容器的底面积和初始水面高度； ②放入物体，测量水面上升后的高度；③计算上升的水的体积，即为物体体积 物体全浸没，水不溢出，底面积乘上升高，就是物体体积 三、奥数思维提升 1. 空间几何思维：建立三维空间想象能力，能从平面展开图还原立体图形，能想象立体图形的面、棱、顶点的位置关系，解决切割、拼接类问题。 2. 转化思维：把生活中的实际场景转化为几何计算问题，把不规则物体的体积转化为规则的水的体积，把复杂的立体图形拆分为简单的长方体、正方体组合。 3. 分类思维：按场景分类解题，比如表面积计算分为完整 6 个面、无盖、无底、贴商标、挖洞等场景，分别对应不同的计算方法，避免混淆。 4. 建模思维：针对同类题目建立固定的解题模型，比如棱长总和已知求长宽高、表面积变化问题、排水法测体积等，形成固定的解题步骤，快速套用。 5. 细节思维：紧盯题目中的单位、面的数量、容器的内外测量、物体是否完全浸没等细节，规避单位换算、漏算多算面、概念混淆类错误。 📊 典型例题解构与解题策略精讲 📌 考点一：长方体与正方体棱长总和计算 ✨ 典型例题 1（基础型 —— 公式直接应用） 一个长方体的长是 5 厘米，宽是 3 厘米，高是 4 厘米，求这个长方体的棱长总和是多少厘米？ 解题步骤： ① 长方体棱长总和公式为（长 + 宽 + 高）×4，先计算长、宽、高的和：5 + 3 + 4 = 12 厘米； ② 用一组的和乘 4，得到棱长总和：12 × 4 = 48 厘米； ③ 核对公式和计算过程，确认结果正确。 【答案】48 厘米 【知识点睛】长方体的 12 条棱分为长、宽、高 3 组，每组 4 条，必须先算一组的和再乘 4，不能直接把长宽高相加。 ✨ 典型例题 2（提高型 —— 已知总和求棱长） 一个正方体的棱长总和是 72 分米，求这个正方体的棱长是多少分米？ 解题步骤： ① 正方体棱长总和公式为棱长 ×12，已知总和求棱长，用总和除以 12； ② 计算：72 ÷ 12 = 6 分米； ③ 核对公式，确认计算结果正确。 【答案】6 分米 【知识点睛】正方体的 12 条棱长度完全相等，所以棱长总和除以 12 就能得到单条棱的长度。 ✨ 典型例题 3（奥数型 —— 长方体框架变形） 用一根铁丝刚好可以围成一个长 10 厘米、宽 8 厘米、高 6 厘米的长方体框架，如果用这根铁丝围成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是多少厘米？ 解题步骤： ① 先计算长方体的棱长总和，也就是铁丝的总长度：（10 + 8 + 6）×4 = 24 × 4 = 96 厘米； ② 正方体的棱长总和等于铁丝的总长度，用总长度除以 12 得到正方体的棱长：96 ÷ 12 = 8 厘米； ③ 核对计算过程，确认铁丝长度不变，两个图形的棱长总和相等。 【答案】8 厘米 【知识点睛】同一根铁丝围成不同的立体图形，棱长总和不变，先算总长度，再对应公式计算。 📌 考点二：长方体与正方体表面积计算（含无盖 / 无底场景） ✨ 典型例题 1（基础型 —— 完整表面积计算） 一个正方体的棱长是 5 米，求这个正方体的表面积是多少平方米？ 解题步骤： ① 正方体表面积公式为棱长 × 棱长 ×6，先计算一个面的面积：5 × 5 = 25 平方米； ② 用一个面的面积乘 6，得到 6 个面的总面积：25 × 6 = 150 平方米； ③ 核对公式和计算过程，确认结果正确。 【答案】150 平方米 【知识点睛】正方体的 6 个面完全相同，所以先算一个面的面积，再乘 6 即可。 ✨ 典型例题 2（提高型 —— 无盖场景计算） 一个长方体的无盖鱼缸，长是 8 分米，宽是 5 分米，高是 6 分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ 解题步骤： ① 无盖鱼缸只有 5 个面，缺少上面的面，所以需要计算的面为：底面、前后两个面、左右两个面； ② 分别计算各面面积：底面 8×5=40 平方分米，前后两面 8×6×2=96 平方分米，左右两面 5×6×2=60 平方分米； ③ 把所有面的面积相加：40 + 96 + 60 = 196 平方分米。 【答案】196 平方分米 【知识点睛】无盖 / 无底场景，要先确认缺少的面，再计算剩余面的面积，不能直接套完整的表面积公式。 ✨ 典型例题 3（奥数型 —— 立体图形挖洞表面积变化） 一个棱长为 10 厘米的正方体木块，在它的一个面的中心挖去一个棱长为 2 厘米的小正方体，求挖洞后木块的表面积是多少平方厘米？ 解题步骤： ① 先计算原正方体的表面积：10×10×6 = 600 平方厘米； ② 挖去小正方体后，原来的面减少了 1 个小正方形的面积，同时增加了 5 个小正方形的面积，整体增加了 4 个小正方形的面积； ③ 计算增加的面积：2×2×4 = 16 平方厘米，总表面积：600 + 16 = 616 平方厘米。 【答案】616 平方厘米 【知识点睛】在正方体一个面的中心挖洞，表面积会增加 4 个小正方形的面积，要结合空间想象分析面的变化。 📌 考点三：长方体与正方体体积、容积计算 ✨ 典型例题 1（基础型 —— 体积公式直接应用） 一个长方体的长是 6 厘米，宽是 4 厘米，高是 5 厘米，求这个长方体的体积是多少立方厘米？ 解题步骤： ① 长方体体积公式为长 × 宽 × 高，直接代入数值计算：6 × 4 × 5； ② 先算 6×4=24，再算 24×5=120 立方厘米； ③ 核对公式和计算过程，确认结果正确。 【答案】120 立方厘米 【知识点睛】长方体的体积等于长、宽、高的乘积，计算时要注意单位统一，结果用体积单位。 ✨ 典型例题 2（提高型 —— 容积计算） 一个长方体的油箱，从里面量长是 1.2 米，宽是 0.8 米，高是 0.5 米，这个油箱最多可以装多少升汽油？ 解题步骤： ① 容积计算方法和体积一致，先计算油箱的容积：1.2 × 0.8 × 0.5 = 0.48 立方米； ② 进行单位换算，1 立方米 = 1000 升，所以 0.48 立方米 = 0.48 × 1000 = 480 升； ③ 核对计算和单位换算过程，确认结果正确。 【答案】480 升 【知识点睛】计算容积时，要从容器的内部测量长宽高，结果要换算成对应的容积单位（升、毫升）。 ✨ 典型例题 3（奥数型 —— 体积不变的变形问题） 把一个棱长为 6 分米的正方体铁块，熔铸成一个长为 9 分米、宽为 6 分米的长方体铁块，这个长方体铁块的高是多少分米？ 解题步骤： ① 铁块熔铸前后体积不变，先计算正方体的体积：6 × 6 × 6 = 216 立方分米； ② 长方体的体积等于长 × 宽 × 高，已知体积、长、宽，求高用体积除以长和宽的乘积：216 ÷（9 × 6）； ③ 计算：9×6=54，216÷54=4 分米。 【答案】4 分米 【知识点睛】物体熔铸、锻造前后体积不变，先算原物体的体积，再对应新物体的公式计算未知量。 📌 考点四：体积与容积单位换算 ✨ 典型例题 1（基础型 —— 相邻单位换算） 3.5 立方米 = （ ）立方分米；4800 立方厘米 = （ ）立方分米 解题步骤： ① 立方米转立方分米是高级单位转低级单位，进率 1000，所以 3.5 × 1000 = 3500 立方分米； ② 立方厘米转立方分米是低级单位转高级单位，进率 1000，所以 4800 ÷ 1000 = 4.8 立方分米； ③ 核对换算方向和进率，确认结果正确。 【答案】3500；4.8 【知识点睛】相邻体积单位之间的进率是 1000，高级单位转低级单位乘进率，低级单位转高级单位除以进率。 ✨ 典型例题 2（提高型 —— 体积与容积单位换算） 2.4 升 = （ ）立方厘米；7500 毫升 = （ ）立方分米 解题步骤： ① 先对应相等的单位，1 升 = 1 立方分米，1 立方分米 = 1000 立方厘米，所以 2.4 升 = 2.4 立方分米 = 2.4 × 1000 = 2400 立方厘米； ② 1 毫升 = 1 立方厘米，1 立方分米 = 1000 立方厘米，所以 7500 毫升 = 7500 立方厘米 = 7500 ÷ 1000 = 7.5 立方分米； ③ 核对换算过程和单位对应关系，确认结果正确。 【答案】2400；7.5 【知识点睛】体积单位和容积单位的对应关系：1 升 = 1 立方分米，1 毫升 = 1 立方厘米，先对应相等的单位，再按进率换算。 ✨ 典型例题 3（奥数型 —— 复合单位换算与计算） 一个长方体的长是 2 米，宽是 50 厘米，高是 0.8 米，求这个长方体的体积是多少立方米？ 解题步骤： ① 先统一单位，把宽的单位厘米转换成米，50 厘米 = 0.5 米； ② 代入长方体体积公式计算：2 × 0.5 × 0.8 = 0.8 立方米； ③ 核对单位统一和计算过程，确认结果正确。 【答案】0.8 立方米 【知识点睛】计算体积时，必须先把长宽高的单位统一，再代入公式计算，避免单位不统一导致的计算错误。 📌 考点五：不规则物体体积测量 ✨ 典型例题 1（基础型 —— 排水法直接应用） 一个长方体的玻璃缸，从里面量长是 10 厘米，宽是 8 厘米，里面装有 5 厘米深的水，把一块石头完全浸没在水中，水面上升到 7 厘米，求这块石头的体积是多少立方厘米？ 解题步骤： ① 石头的体积等于水面上升的水的体积，先计算水面上升的高度：7 - 5 = 2 厘米； ② 玻璃缸的底面积是长 × 宽：10 × 8 = 80 平方厘米； ③ 上升的水的体积 = 底面积 × 上升高度：80 × 2 = 160 立方厘米，即为石头的体积。 【答案】160 立方厘米 【知识点睛】用排水法测不规则物体的体积，物体必须完全浸没在水中，物体的体积等于水面上升的水的体积。 ✨ 典型例题 2（提高型 —— 溢水法计算） 一个正方体的容器，棱长为 20 厘米，里面装满了水，把一块铁块完全浸没在水中，溢出了 1.2 升的水，求这块铁块的体积是多少立方厘米？ 解题步骤： ① 溢出的水的体积等于铁块的体积，先把溢出的水的容积单位转换成体积单位，1.2 升 = 1.2 立方分米 = 1200 立方厘米； ② 所以铁块的体积就是 1200 立方厘米； ③ 核对单位换算过程，确认结果正确。 【答案】1200 立方厘米 【知识点睛】容器装满水时，放入物体溢出的水的体积，就等于物体的体积，直接转换单位即可。 ✨ 典型例题 3（奥数型 —— 部分浸没的体积计算） 一个长方体的水池，从里面量长是 5 米，宽是 3 米，深是 2 米，水池里装有 1.5 米深的水，把一个棱长为 2 米的正方体铁块竖直放入水池中，铁块的底面与水池的底面完全接触，此时水面的高度是多少米？ 解题步骤： ① 先计算水的体积：5 × 3 × 1.5 = 22.5 立方米； ② 放入铁块后，水的底面积变成了水池的底面积减去铁块的底面积：5×3 - 2×2 = 15 - 4 = 11 平方米； ③ 水的体积不变，用体积除以新的底面积得到水面高度：22.5 ÷ 11 = ≈ 2.05 米，超过了水池的深度 2 米，所以水面高度就是 2 米，水会溢出。 【答案】2 米 【知识点睛】放入物体后，要先判断水面是否会溢出，若计算出的高度超过容器深度，水面高度就是容器的深度，多余的水会溢出。 ⚠️ 易错避坑指南 ❌ 表面积与体积单位混淆，错误使用单位 错误示例：一个长方体的体积是 24 平方米，表面积是 52 立方厘米。 正确分析：表面积的单位是平方单位（平方米、平方分米、平方厘米），体积的单位是立方单位（立方米、立方分米、立方厘米），二者不能混淆。 修正方法：计算表面积时用平方单位，计算体积时用立方单位，计算前先确认目标量对应的单位。 ❌ 漏算 / 多算面的数量，表面积计算错误 错误示例：计算无盖鱼缸的表面积时，直接套完整公式计算 6 个面的面积；计算贴商标的面积时，多算了上下两个面的面积。 正确分析：表面积计算要先结合场景，确认需要计算的面的数量，无盖 / 无底场景要去掉对应的面，贴商标、粉刷墙面等场景要排除不需要计算的面。 修正方法：解题时先圈出场景关键词（无盖、无底、贴商标、粉刷），再确认需要计算的面，最后列式计算。 ❌ 容积与体积概念混淆，计算时忽略测量方向 错误示例：计算油箱的容积时，用油箱外部测量的长宽高计算，结果单位用立方米。 正确分析：体积是物体所占空间的大小，从外部测量长宽高；容积是容器所能容纳物体的体积，从内部测量长宽高，结果要换算成容积单位（升、毫升）。 修正方法：计算容积时，优先用内部测量的数值，无特殊说明时忽略容器壁厚度，结果要转换成对应的容积单位。 ❌ 单位换算进率错误，计算结果偏差 错误示例：1 立方米 = 100 立方分米，1 升 = 100 毫升，计算时直接用 10 作为进率。 正确分析：相邻长度单位进率是 10，相邻面积单位进率是 100，相邻体积 / 容积单位进率是 1000，1 升 = 1000 毫升，1 立方米 = 1000 立方分米。 修正方法：牢记不同单位的进率，换算前先确认进率，再按「大化小乘，小化大除」的逻辑计算。 📚 分层进阶专题精练 — 基础夯实・能力进阶・思维跃迁 一、基础夯实篇 (8 题) 1. 填空：一个长方体的长是 4 厘米，宽是 2 厘米，高是 3 厘米，它的棱长总和是（ ）厘米，表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 2. 一个正方体的棱长是 6 分米，它的棱长总和是（ ）分米，表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。 3. 单位换算：5 立方米 = （ ）立方分米； 3600 立方厘米 = （ ）立方分米；2.8 升 = （ ）毫升； 450 毫升 = （ ）立方厘米。 4. 一个长方体的无盖水桶，长是 5 分米，宽是 4 分米，高是 3 分米，制作这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 5. 一个长方体的油箱，从里面量长是 8 分米，宽是 5 分米，高是 4 分米，这个油箱最多可以装多少升汽油？ 6. 一个正方体的棱长总和是 48 厘米，求这个正方体的表面积和体积。 7. 一个长方体的体积是 60 立方米，长是 5 米，宽是 3 米，求这个长方体的高是多少米？ 8. 一个长方体玻璃缸，从里面量长是 12 厘米，宽是 10 厘米，里面装有 6 厘米深的水，把一块石头完全浸没在水中，水面上升到 8 厘米，求这块石头的体积。 二、能力进阶篇 (7 题) 9. 用一根铁丝刚好可以围成一个长 12 厘米、宽 10 厘米、高 8 厘米的长方体框架，如果用这根铁丝围成一个正方体框架，这个正方体的表面积和体积分别是多少？ 10. 一个长方体的游泳池，长是 50 米，宽是 25 米，深是 2 米，要在游泳池的四周和底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 11. 把一块棱长为 8 厘米的正方体铁块，熔铸成一个长为 16 厘米、宽为 4 厘米的长方体铁块，这个长方体铁块的高是多少厘米？ 12. 一个正方体的容器，棱长为 15 厘米，里面装满了水，把一个长为 10 厘米、宽为 5 厘米、高为 3 厘米的长方体铁块完全浸没在水中，会溢出多少毫升的水？ 13. 一个长方体的木料，长是 2 米，宽是 0.2 米，高是 0.1 米，把它锯成 4 段，表面积最少增加多少平方米？ 14. 一个长方体的水箱，从里面量长是 10 米，宽是 8 米，深是 5 米，水箱里装有 3 米深的水，把一个棱长为 4 米的正方体铁块竖直放入水箱中，此时水面的高度是多少米？ 15. 一个长方体的表面积是 126 平方厘米，正好可以切成 3 个完全相同的正方体，求每个正方体的表面积是多少平方厘米？ 三、思维跃迁篇 (5 题) 16. 【奥数拓展】一个长方体的前面和上面的面积之和是 209 平方厘米，它的长、宽、高都是质数，求这个长方体的体积是多少立方厘米？ 17. 【奥数拓展】一个正方体的木块，棱长为 1 米，沿着水平方向将它锯成 3 片，每片又锯成 4 条，每条又锯成 5 块，共得到大大小小的长方体 60 块，求这 60 块长方体的表面积之和是多少平方米？ 18. 【奥数拓展】一个长方体的容器，从里面量底面是一个边长为 60 厘米的正方形，容器里直立着一个高 1 米、底面边长为 15 厘米的长方体铁块，这时容器里的水深为 0.5 米，现在把铁块轻轻地向上提起 24 厘米，求露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？ 19. 【奥数拓展】有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为 6 米、3 米、2 米，把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了 6 厘米和 4 厘米，如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升高多少厘米？ 20. 【奥数拓展】一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数，它的体积是 210 立方厘米，求这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 🔍 精准解析 — 思路拆解・知识点睛 一、基础夯实篇・解题范式与验证逻辑 1. 【答案】36；52；24 解题步骤： ① 棱长总和：（4 + 2 + 3）×4 = 9×4 = 36 厘米； ② 表面积：（4×2 + 4×3 + 2×3）×2 = （8 + 12 + 6）×2 = 26×2 = 52 平方厘米； ③ 体积：4×2×3 = 24 立方厘米。 【知识点睛】直接套用长方体的棱长总和、表面积、体积公式，计算时注意单位对应。 2. 【答案】72；216；216 解题步骤： ① 棱长总和：6×12 = 72 分米； ② 表面积：6×6×6 = 216 平方分米； ③ 体积：6×6×6 = 216 立方分米。 【知识点睛】正方体的 12 条棱相等，6 个面相等，直接套用公式计算即可。 3. 【答案】5000；3.6；2800；450 解题步骤： ① 5 立方米转立方分米，高级转低级，5×1000=5000 立方分米； ② 3600 立方厘米转立方分米，低级转高级，3600÷1000=3.6 立方分米； ③ 2.8 升转毫升，高级转低级，2.8×1000=2800 毫升； ④ 450 毫升 = 450 立方厘米，1 毫升 = 1 立方厘米。 【知识点睛】牢记体积、容积单位的进率，按转换方向计算。 4. 【答案】74 平方分米 解题步骤： ① 无盖水桶有 5 个面，缺少上面，计算 5 个面的面积和； ② 底面面积：5×4=20 平方分米，前后两面：5×3×2=30 平方分米，左右两面：4×3×2=24 平方分米； ③ 总面积：20+30+24=74 平方分米。 【知识点睛】无盖场景要去掉上面的面，只计算剩余 5 个面的面积。 5. 【答案】160 升 解题步骤： ① 先计算油箱的容积，从里面量的长宽高，8×5×4=160 立方分米； ② 1 立方分米 = 1 升，所以 160 立方分米 = 160 升。 【知识点睛】计算容积时，结果要转换成对应的容积单位，1 立方分米 = 1 升。 6. 【答案】表面积 96 平方厘米，体积 64 立方厘米 解题步骤： ① 先求正方体的棱长，棱长总和 48 厘米，48÷12=4 厘米； ② 表面积：4×4×6=96 平方厘米； ③ 体积：4×4×4=64 立方厘米。 【知识点睛】已知正方体棱长总和，先除以 12 得到棱长，再计算表面积和体积。 7. 【答案】4 米 解题步骤： ① 长方体体积 = 长 × 宽 × 高，已知体积、长、宽，求高用体积除以长和宽的乘积； ② 长和宽的乘积：5×3=15 平方米； ③ 高：60÷15=4 米。 【知识点睛】灵活运用体积公式，已知体积和两个维度，求第三个维度。 8. 【答案】240 立方厘米 解题步骤： ① 石头的体积等于水面上升的水的体积，先求上升的高度：8-6=2 厘米； ② 玻璃缸的底面积：12×10=120 平方厘米； ③ 上升的水的体积：120×2=240 立方厘米，即为石头的体积。 【知识点睛】排水法测不规则物体体积，物体体积 = 底面积 × 水面上升高度。 二、能力进阶篇・解题范式与验证逻辑 9. 【答案】表面积 600 平方厘米，体积 1000 立方厘米 解题步骤： ① 先计算长方体的棱长总和，也就是铁丝的长度：（12+10+8）×4=30×4=120 厘米； ② 正方体的棱长：120÷12=10 厘米； ③ 表面积：10×10×6=600 平方厘米，体积：10×10×10=1000 立方厘米。 【知识点睛】同一根铁丝围成的图形，棱长总和不变，先算总长度，再求正方体的棱长。 10. 【答案】1550 平方米 解题步骤： ① 游泳池贴瓷砖的面是底面和四周的 4 个面，共 5 个面； ② 底面面积：50×25=1250 平方米，前后两面：50×2×2=200 平方米，左右两面：25×2×2=100 平方米； ③ 总面积：1250+200+100=1550 平方米。 【知识点睛】游泳池、鱼缸等无盖场景，只计算底面和四周的面积，不计算上面的面。 11. 【答案】8 厘米 解题步骤： ① 铁块熔铸前后体积不变，先算正方体的体积：8×8×8=512 立方厘米； ② 长方体的体积 = 长 × 宽 × 高，求高用体积除以长和宽的乘积：512÷（16×4）； ③ 计算：16×4=64，512÷64=8 厘米。 【知识点睛】物体熔铸、锻造前后体积不变，先算原体积，再求新的维度。 12. 【答案】150 毫升 解题步骤： ① 溢出的水的体积等于铁块的体积，先算铁块的体积：10×5×3=150 立方厘米； ② 1 立方厘米 = 1 毫升，所以 150 立方厘米 = 150 毫升。 【知识点睛】容器装满水时，放入物体溢出的水的体积等于物体的体积，直接转换单位即可。 13. 【答案】0.12 平方米 解题步骤： ① 把木料锯成 4 段，需要锯 3 次，每锯 1 次增加 2 个面，锯 3 次增加 6 个面； ② 要使表面积增加最少，就要增加最小的面，最小的面是宽 × 高：0.2×0.1=0.02 平方米； ③ 增加的总面积：0.02×6=0.12 平方米。 【知识点睛】锯木料时，锯的次数 = 段数 - 1，每锯 1 次增加 2 个面，要使表面积增加最少，就增加最小的面。 14. 【答案】3.75 米 解题步骤： ① 先算水的体积：10×8×3=240 立方米； ② 放入铁块后，水的有效底面积 = 水箱底面积 − 铁块底面积 = 10×8 − 4×4 = 80 − 16 = 64 平方米； ③ 水面高度 = 水的体积 ÷ 有效底面积 = 240 ÷ 64 = 3.75 米； 3.75 米＜水箱深度 5 米，不会溢水，因此水面高度为 3.75 米。 【知识点睛】放入物体后，先算水的体积，再算新的底面积，最后算水面高度，若高度超过容器深度，水面高度就是容器深度，否则就是计算出的高度。 15. 【答案】54 平方厘米 解题步骤： ① 长方体正好可以切成 3 个完全相同的正方体，说明长方体的长是正方体棱长的 3 倍，宽和高等于正方体的棱长； ② 设正方体的棱长为 a，那么长方体的长 = 3a，宽 = a，高 = a，长方体的表面积 =（3a×a + 3a×a + a×a）×2=14a²=126 平方厘米； ③ 计算得 a²=9，a=3 厘米，每个正方体的表面积 = 6a²=6×9=54 平方厘米。 【知识点睛】长方体切成 3 个相同的正方体，说明长方体的长是正方体棱长的 3 倍，宽和高与正方体棱长相等，通过表面积公式求出正方体的棱长，再算正方体的表面积。 三、思维跃迁篇・解题范式与验证逻辑 16. 【答案】374 立方厘米 解题步骤： ① 长方体前面的面积 = 长 × 高，上面的面积 = 长 × 宽，所以前面 + 上面的面积 = 长 ×（宽 + 高）=209 平方厘米； ② 把 209 分解质因数，209=11×19，所以长是 11 或 19，宽 + 高是 19 或 11； ③ 长、宽、高都是质数，若长 = 11，宽 + 高 = 19，19 可以分成 2+17，2 和 17 都是质数，符合要求；若长 = 19，宽 + 高 = 11，11 可以分成 2+9（9 不是质数）、3+8（8 不是）、5+6（6 不是），不符合要求； ④ 所以长方体的长 = 11 厘米，宽 = 2 厘米，高 = 17 厘米，体积 = 11×2×17=374 立方厘米。 【知识点睛】把前面和上面的面积和分解成两个数的乘积，再结合质数的特点，求出长宽高，最后计算体积。 17. 【答案】24 平方米 解题步骤： ① 原正方体表面积： 平方米； ② 每锯 1 刀增加 2 个与原正方体面等大的切面： 　- 水平方向锯成 3 片：需锯 刀，增加 个面； 　- 沿第二方向锯成 4 条：需锯 刀，增加 个面； 　- 沿第三方向锯成 5 块：需锯 刀，增加 个面； ③ 新增总面数： 个，新增总面积： 平方米； ④ 所有长方体表面积之和： 平方米。 【知识点睛】每锯 1 次增加 2 个切面，分三个维度分别计算切割增加的面，原表面积加新增切面面积为所有小块表面积总和。 18. 【答案】25.6 厘米 解题步骤： ① 先统一单位，1 米 = 100 厘米，0.5 米 = 50 厘米； ② 容器的底面积 = 60×60=3600 平方厘米，铁块的底面积 = 15×15=225 平方厘米； ③ 铁块提起 24 厘米，铁块下方空出的体积 = 225×24=5400 立方厘米，这部分体积需要用水来填充，水面会下降； ④ 水面下降的高度 = 5400÷（3600-225）=5400÷3375=1.6 厘米；⑤ 露出水面的铁块上被水浸湿的部分长 = 提起的 24 厘米 + 水面下降的 1.6 厘米 = 25.6 厘米。 【知识点睛】铁块提起后，下方空出的体积会让水面下降，浸湿的长度等于提起的高度加上水面下降的高度，计算水面下降高度时，要用空出的体积除以水的底面积（容器底面积 - 铁块底面积）。 19. 【答案】 厘米≈1.94 厘米 解题步骤： ① 先统一单位，6 米 = 600 厘米，3 米 = 300 厘米，2 米 = 200 厘米； ② 中水池碎石的体积 = 300×300×6=540000 立方厘米，小水池碎石的体积 = 200×200×4=160000 立方厘米，两堆碎石总体积 = 540000+160000=700000 立方厘米； ③ 大水池的底面积 = 600×600=360000 平方厘米； ④ 大水池水面升高的高度 = 700000÷360000= 厘米≈1.94 厘米。 【知识点睛】碎石的体积等于水面上升的水的体积，先分别算出两堆碎石的体积，再除以大水池的底面积，就是水面升高的高度。 20. 【答案】214 平方厘米 解题步骤： ① 长方体的长、宽、高是三个连续的自然数，体积是 210 立方厘米，把 210 分解质因数，210=2×3×5×7； ② 三个连续的自然数相乘等于 210，试算：5×6×7=210，正好符合，所以长、宽、高分别是 5 厘米、6 厘米、7 厘米； ③ 长方体的表面积 =（5×6 + 5×7 + 6×7）×2=（30 + 35 + 42）×2=107×2=214 平方厘米。 【知识点睛】先把体积分解质因数，再组合成三个连续的自然数，得到长宽高，最后计算表面积。 1 学科网（北京）股份有限公司 $